Методика решения задач линейного программирования
1.
Решение задачи линейного программирования симплекс-методом
Постановка
задачи
На предприятии выпускают n видов продукции . При ее изготовлении используются ресурсы P1, P2 и P3. Размеры допустимых затрат ресурсов
ограничены соответственно величинами b1, b2 и b3. Расход ресурса i-го (i = 1, 2, 3) вида на единицу продукции j-го вида составляет aij ден. ед. Цена единицы продукции j-го вида равна cj ден. ед.
Требуется:
составить экономико-математическую модель задачи, позволяющую
найти сбалансированный план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию
максимальный доход;
найти оптимальный план выпуска продукции по видам (дать
содержательный ответ, раскрыв экономический смысл всех переменных, приведенных
в решении задачи);
n = 3; b = ; A = ; c = (9 10 16).
Обозначим через x1, x2, x3 количество единиц продукции соответственно П1, П2,
П3, планируемой к выпуску, а через f - величину дохода от реализации этой продукции. Тогда, учитывая
цену единицы продукции П1, равную 9 ден. ед., единицы П2
- 10 ден. ед., единицы П3 - 16 ден. ед., запишем суммарную величину
дохода - целевую функцию - в следующем виде:
f = 9x1 + 10x2 + 16x3. (1)
Переменные х1, х2, х3 должны
удовлетворять ограничениям, накладываемым на расход имеющихся в распоряжении
предприятия ресурсов. Так, затраты ресурса Р1 на выполнение плана (х1,
х2, х3) составят
18x1 + 15x2 + 13x3 единиц,
где 18х1 - затраты ресурса Р1 на выпуск
x1 единицы продукции П1; 15х2 - на выпуск
единицы продукции П2; 12х3 - на выпуск единицы продукции
П3. Указанная сумма не может превышать имеющийся запас Р1
в 360 единиц, т.е.
x1 + 15x2 + 13x3 £ 360. (2)
Аналогично получаем ограничения по расходу ресурсов Р2,
Р3:
x1 + 4x2 + 8x3 £ 192. (3)
x1 + 3x2 + 3x3 £ 180. (4)
По смыслу задачи переменные х1, х2, х3
не могут выражаться отрицательными числами, т.е.
xj 0 (j =) (5)
Соотношения (1) - (5) образуют экономико-математическую
модель данной задачи. Итак, математически задача сводится к нахождению числовых
значений х1*, х2*, х3* переменных х1,
х2, х3, удовлетворяющих линейным неравенствам (2) - (5) и
доставляющих максимум линейной функции (1).
Приведем модель задачи к канонической форме, преобразовать
неравенства в эквивалентные уравнения. Для этого введем в левые части
неравенств дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные x5, x6, х7. В
результате получим:
f = 9x1 + 10x2 + 16x3 → max (6)
x1 + 15x2 + 13x3 + x4 = 360.
6x1 + 4x2 + 8x3
+ x5 = 192. (7)
x1 + 3x2 + 3x3 +
x6 = 180.
xj ³ 0 (j =) (8)
Экономический смысл переменных х4, х5,
х6 - возможные остатки ресурсов Р1, Р2, Р3
соответственно (резервы).
Решение
задачи симплекс-методом
В канонической модели (6) - (8) каждая из переменных х4,
х5, х6 является базисной, а остальные переменные -
свободными. В связи с этим, в первую симплексную таблицу системы
ограничительных уравнений (1.7) можно записать в виде, разрешенном относительно
базиса х4, х5, х6 (табл. 1).
Таблица 1
|
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
|
x4
|
360
|
18
|
15
|
13
|
1
|
0
|
0
|
27,7
|
x5
|
192
|
6
|
4
|
8
|
0
|
1
|
0
|
24
|
x6
|
180
|
5
|
3
|
3
|
0
|
0
|
1
|
60
|
f
|
0
|
-9
|
-10
|
-16
|
0
|
0
|
0
|
|
задача математический модель программирование
Все элементы столбца свободных членов положительны, поэтому
содержащийся в табл. 1 план (0; 0; 0; 360; 192; 180) является опорным. Однако
этот план не является оптимальным: в f-строке имеются отрицательные элементы.
Чтобы получить новый опорный план более близкий к
оптимальному, выполним симплексное преобразование (табл. 1). С этой целью
выберем переменные, участвующие в преобразовании базиса х4, х5,
х6 в новый базис. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-16) f-строки указывает, что в
новый базис следует ввести переменную х3, т.е. в качестве
разрешающего в предстоящем симплексном преобразовании надо взять третий
столбец. Чтобы определить переменную, выводимую из базиса, составляем
симплексные отношения и выбираем наименьшее из них:
min (360/13; 192/8; 180/3) = min (27,7; 24; 60) = 24.
Итак, из базиса надо исключить переменную, стоящую во второй
(разрешающей) строке, т.е. х5. На пересечении разрешающих
столбца и строки находится разрешающий элемент 8, с которым и выполняем
симплекс-преобразование. Получаем табл. 2.
Таблица 2
|
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
|
x4
|
48
|
8,25
|
8,5
|
0
|
1
|
-1,625
|
0
|
5,6
|
x3
|
24
|
0,75
|
0,5
|
1
|
0
|
0,125
|
0
|
48
|
x6
|
108
|
2,75
|
1,5
|
0
|
0
|
-0,375
|
1
|
72
|
f
|
384
|
3
|
-2
|
0
|
0
|
2
|
0
|
|
Полученному плану X = (0; 0; 24; 48; 0; 108) соответствует значение
целевой функции f(X1) = 384. В f-строке табл. 2 есть отрицательный элемент, равный -2,
значит, полученный опорный план оптимальным не является.
Наибольший по модулю отрицательный элемент (-2) f-строки указывает, что в
новый базис следует ввести переменную х2, т.е. в качестве
разрешающего в предстоящем симплексном преобразовании надо взять второй
столбец. Чтобы определить переменную, выводимую из базиса, составляем
симплексные отношения и выбираем наименьшее:
min (48/8,5; 24/0,5; 108/1,5) = min (5,6; 48; 72) = 5,6.
Итак, из базиса надо исключить переменную, стоящую в первой
(разрешающей) строке, т.е. х4. На пересечении разрешающих
столбца и строки находится разрешающий элемент 8,5, с которым и выполняем
следующее симплекс-преобразование.
В результате приходим к табл. 3.
Таблица 3
|
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
|
x2
|
5,647
|
0,971
|
1
|
0
|
0,118
|
-0,191
|
0
|
|
x3
|
21,176
|
0,265
|
0
|
1
|
-0,059
|
0,221
|
0
|
|
x6
|
99,529
|
1,294
|
0
|
0
|
-0,176
|
-0,088
|
1
|
|
f
|
395,3
|
4,941
|
0
|
0
|
0,235
|
1,618
|
0
|
|
Полученному плану X2 = (0; 5,647; 21,176; 0; 0; 99,529) соответствует
значение целевой функции f(X2) = 395,3. В результате получаем табл. 3, в f-строке которой
отрицательных элементов нет.
Значит, опорный план X* = Х2 = (0; 5,647; 21,176;
0; 0; 99,529) является оптимальным, а соответствующее ему значение 395,3
целевой функции будет максимальным.
Итак, по оптимальному плану следует изготовить 5,647 ед.
продукции вида П2 и 21,176 ед. продукции П3, продукцию
вида П1 производить не следует. При этом предприятие получит
максимальную прибыль, которая составит 395,3 денежных единиц.
Останутся неиспользованными 99,529 ед. ресурса Р3,
а ресурсы Р1 и Р2 будут израсходованы полностью.
Двойственная
задача
Чтобы составить модель двойственной задачи, запишем матрицу
исходной задачи (1) - (5) в следующем виде:
. (9)
Транспонируем матрицу (9) и получим матрицу (10) двойственной
задачи.
. (10)
По исходной матрице (10) запишем модель задачи, двойственной
исходной задаче:
φ = 360y1
+ 192y2 + 180y3 → min (11)
18y1 + 6y2 + 5y3 9;
15y1 + 4y2 + 3y3 10;
y1 + 8y2 + 3y3 16;
yi 0 (i =). (13)
Из теорем двойственности следует, что если решена одна из
пары двойственных задач, то одновременно найдено решение и другой задачи.
Компоненты оптимального плана этой задачи находятся в строке целевой функции
последней симплекс-таблицы решенной задачи,
В п. 2 найден оптимальный план исходной задачи, его
компоненты находятся в табл. 3. В f-строке этой же таблицы содержатся и компоненты уi* оптимального
плана двойственной задачи (11) - (13). Выписать компоненты уi* поможет соответствие
между переменными двойственных задач
Чтобы установить это соответствие, преобразуем
ограничения-неравенства (12) в эквивалентные уравнения, вычитая из левых частей
дополнительные неотрицательные переменные у1*, у2*, у3*,
равные разностям между левыми и правыми частями этих неравенств. Тогда модель
(11) - (13) запишется в виде:
φ = 360y1 + 192y2 + 180y3 → min;
18y1 + 6y2 + 5y3
- y4 = 9;
y1 + 4y2 + 3y3 -
y5 = 10;
3y1 + 8y2 + 3y3 -
y6 = 16;
yi ³ 0 (i =).
В этой записи переменные у4, у5, у6
являются базисными, а у1, у2, у3 - свободными.
В исходной задаче (6) - (8) переменные x1, x2, x3 являются свободными, а x4, x5, x6 - базисными. Сопоставим
базисным переменным одной задачи свободные переменные другой и наоборот, т.е.
СП БП
x1 x2 x3 x4 x5 x6
у4 у5 у6 у1
у2 у3 (14)
БП СП
Воспользуемся соответствием (14) для нахождения компонентов
оптимального плана двойственной задачи. Находим их в табл. 3 в f-строке
.
|
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
х6
|
f
|
395,3
|
4,941
|
0
|
0
|
0,235
|
1,618
|
0
|
|
|
у4
|
у5
|
у6
|
у1
|
у2
|
у3
|
Получим оптимальный план двойственной задачи:
Y* = (0,235; 1,618; 0; 4,941; 0; 0). (15)
Как следует из теорем двойственности, экстремальные значения
функций разрешимых двойственных задач совпадают:
fmax = φmin = 395,3.
Величины y1* = 0,235, y2* = 1,618 и y3* = 0 ден. ед. являются
теневыми ценами на ресурсы S1, S2, S3 соответственно и в данном случае служат мерой их
дефицитности.
Как следует из оптимального плана (15) двойственной задачи,
избыточным является ресурс S3 (y3* = 0). Ресурс S2 является наиболее
дефицитным (y2* = 1,618), ресурс S1 менее дефицитным (y1* = 0,235).
2.
Решение транспортной задачи методом потенциалов
Постановка
задачи
В пункте Аi (i = 1,2,3) находится однородная
продукция в количестве ai единиц. Себестоимость
единицы продукции в пункте Аi равна ci. Готовая продукция
поставляется в пункт Вj (j = 1,2,3,4), потребности которого составляют bj единиц. Стоимость сij перевозки единицы
продукции из пункта Ai в пункт Bj известна. Требуется:
– составить экономико-математическую модель задачи,
позволяющую найти план перевозки готовой продукции из пункта Аi производства в пункт В;
потребления при полном удовлетворении спроса на продукцию в этих пунктах,
обеспечивающего минимальные суммарные затраты, вызванные производством и
доставкой продукции;
– найти оптимальный план перевозки продукции при
дополнительном условии, что продукция пункта Аk, в котором себестоимость
ее производства наименьшая, должна быть распределена полностью;
– вычислить величину fmin минимальных суммарных
затрат на производство и доставку продукции;
– назвать пункты, в которых остается нераспределенная
продукция, и указать объемы такой продукции.
А = ; с = (4 2 1); В = (180 720 360 480); С = .
Построение
экономико-математической модели
Запишем начальные условия задачи в форме табл. 1.
Таблица 1
Поставщики
|
Мощности поставщиков
|
Себестоимость продукции
|
Пункты потребления и их спрос
|
|
|
|
В1
|
В2
|
В3
|
В4
|
|
|
|
180
|
720
|
360
|
480
|
А1
|
540
|
4
|
3+4=7
|
6+4=10
|
5+4=9
|
1+4=5
|
|
|
|
x11
|
x12
|
x13
|
x14
|
А2
|
660
|
2
|
8+2=10
|
5+2=7
|
10+2=12
|
6+2=8
|
|
|
|
x21
|
x22
|
x23
|
x24
|
А3
|
780
|
1
|
9+1=10
|
7+1=8
|
4+1=5
|
6+1=7
|
|
|
|
x31
|
x32
|
x33
|
x34
|
Обозначим через xij (i =; j =) количество продукции, которое
планируется перевезти от поставщика Ai потребителю Bj, а
через f - суммарные затраты на производство и
перевозку.
Непосредственно в таблице подсчитываем суммарные тарифы на
производство и перевозку продукции из пункта Ai (i =) в пункт Bj (j =).
Целевая функция задачи запишется в виде:
f = 7x11 + 10x12 + 9x13
+ 5x14 + 10x21 + 7x22 + 12x23 + 8x24
+
+ 10x31 + 8x32 + 5x33
+ 7x34. (1)
Запишем ограничения, накладываемые мощностями поставщиков:
x11 + x12 + x13 + x14 540;
x21 + x22 + x23 + x24 660; (2)
x31 + x32 + x33 + x34 780.
Спрос пунктов потребления выражаем в виде равенств:
x11 + x21 + x31 = 180;
x12 + x22 + x32 = 720; (3)
x13 + x23 + x33 = 360;
x14 + x24 + x34 = 480.
Если исключить обратные перевозки, должны выполняться
ограничения:
xij
0 (i =; j =). (4)
Соотношения (1) - (4) образуют экономико-математическую
модель рассматриваемой задачи: целевая функция (1), описывающая транспортные
затраты, минимизируется при ограничениях (2) - (4).
Сравнивая суммарную мощность поставщиков 540 + 660 + 780 =
1980 с суммарным спросом пунктов потребления 180 + 720 + 360 + 480 = 1740,
видим, что эти суммы не совпадают. Имеем открытую транспортную задачу.
Часть произведенной поставщиками продукции (1980-1740 = 240
единиц) останется нераспределенной. Введем в рассмотрение фиктивного
потребителя В5 со спросом, равным небалансу, т.е. 240 единицам, с
одинаковыми затратами на перевозку, равными ci5 = 0 (i = ). Пятый столбец будем рассматривать в последнюю очередь.
Построение
исходного опорного плана
Построим опорный план по правилу минимального элемента.
В клетку (1; 4) с тарифом 5 впишем число х14 =
480, удовлетворив спрос потребителя В4 - четвертый столбец исключаем
из рассмотрения.
В клетку (3; 3) с тарифом 5 впишем число х33 =
360, удовлетворив спрос потребителя В3 - третий столбец исключаем из
рассмотрения.
В клетку (1; 1) с тарифом 7 впишем число х11 = 60,
исчерпав запасы поставщика А1 - первую строку исключаем из
рассмотрения.
В клетку (2; 2) с тарифом 7 впишем число х22 =
660, исчерпав запасы поставщика А2 - вторую строку исключаем из
рассмотрения.
В клетку (3; 2) с тарифом 8 впишем число х32 = 60,
удовлетворив спрос потребителя В2 - второй столбец исключаем из
рассмотрения
В клетку (3; 1) с тарифом 10 впишем число х31 =
120, удовлетворив спрос потребителя В1 - первый столбец исключаем из
рассмотрения
Оставшуюся у поставщика А3 продукцию в объеме 240
единиц распределяем фиктивному потребителю В5. Окончательно получаем
табл. 2.
Таблица 2
|
180
|
|
720
|
|
360
|
|
480
|
|
240
|
|
|
|
7
|
|
10
|
|
9
|
|
5
|
|
0
|
540
|
60
|
|
|
|
|
|
480
|
|
|
|
|
|
10
|
|
7
|
|
12
|
|
8
|
|
0
|
660
|
|
|
660
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
|
|
8
|
|
5
|
|
7
|
|
0
|
780
|
120
|
|
60
|
|
360
|
|
|
|
240
|
|
Исходным опорным планом перевозок является
Х1 =.
Этому плану соответствует значение целевой функции:
f (X1) = 60 · 7 + 480 · 5 + 660 · 7 + 120 · 10 + 60 · 8 + 360 · 5 =
= 420 + 240 + 4620 + 1200 + 480 + 1800 = 10920
(без учета показателей фиктивного потребителя).
Определение
оптимального плана
Условие для базисных клеток m + n - 1 = 3 + 5 - 1 = 7
выполняется.
Для определения потенциалов имеем систему уравнений:
u1 + v1 = 7;1 +
v4 = 5;2 + v2 = 7;3 + v1
= 10;3 + v2 = 8;3 + v3 = 5;3 + v5
= 0.
Поскольку число уравнений системы на 1 меньше числа
потенциалов (система неопределенная), положим u1 = 0. Найдем остальные
потенциалы и впишем их в табл. 3.
v1 = 7 - 0 = 7; v4 = 5 - 0 = 5; u3 = 10 - 7 = 3;
v2 = 8 - 3 = 5; v3 = 5 - 3 = 2; v5 = 0 - 3 = -3;
u2 = 7 - 5 = 2.
Таблица 3
|
180
|
|
720
|
|
360
|
|
480
|
|
240
|
|
|
|
|
7
|
s12 = 5
|
10
|
s13 = 6
|
9
|
|
5
|
s15 = 3
|
u1 = 0
|
540
|
60
|
(+)
|
|
|
|
|
480
|
(-)
|
|
|
|
|
s21 = 1
|
10
|
|
7
|
s23 = 8
|
12
|
s24 = 1
|
8
|
s25 = 1
|
0
|
u2 = 2
|
660
|
|
|
660
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10
|
|
8
|
|
5
|
s34 = -1
|
7
|
|
0
|
u3 = 3
|
780
|
120
|
(-)
|
60
|
|
360
|
|
|
(+)
|
240
|
|
|
|
v1 = 7
|
v2 = 5
|
v3 = 2
|
v4 = 5
|
v5 = -3
|
|
Определим оценки свободных клеток и впишем их в левые верхние
углы клеток:
s12 = 10 - (5 + 0) = 5; s13
= 8 - (2 + 0) = 6; s15 = 0 - (-3 + 0) = 3;21 = 10 - (7
+ 2) = 1; s23 = 12
- (2 + 2) = 8; s24 = 8 - (5 + 2) = 1;25 = 0 - (-3 + 2) =
1; s34 = 7 - (5
+ 3) = -1.
Имеется отрицательная оценка s34
= -1. Начиная
с нее строим замкнутый цикл:
(3, 4)(+) - (3, 1)(-) - (1, 1)(+)
- (1, 4)(-).
Минимальной загрузкой (120) среди отрицательных клеток
обладает (3, 1). Вычитаем 120 из загрузки клеток (3, 1), (1, 4) и добавляем 120
к загрузке клеток (1, 1), (3, 4).
Получаем новую таблицу 3, в которой заново рассчитываем
потенциалы и оценки свободных клеток.
Таблица 3
|
180
|
|
720
|
|
360
|
|
480
|
|
240
|
|
|
|
|
7
|
s12 = 4
|
10
|
s13 = 5
|
9
|
|
5
|
s15 = 2
|
0
|
u1 = 0
|
540
|
180
|
|
|
|
|
|
360
|
|
|
|
|
|
s21 = 2
|
10
|
|
7
|
s23 = 8
|
12
|
s24 = 2
|
8
|
s25 = 1
|
0
|
u2 = 1
|
660
|
|
|
660
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s31 = 1
|
10
|
|
8
|
|
5
|
|
7
|
|
0
|
u3 = 2
|
780
|
|
|
60
|
|
360
|
|
120
|
|
240
|
|
|
|
v1 = 7
|
v2 = 6
|
v3 = 3
|
v4 = 5
|
v5 = -2
|
|
Отрицательных оценок нет. Следовательно, получен оптимальный
план:
X* = Х1 =.
По оптимальному плану Х* следует перевезти от поставщика А1
потребителям В1 и В4 продукцию в количестве 180 и 360
единиц соответственно, от поставщика А2 потребителю В2 -
660 единиц, от поставщика А3 - потребителям В2, В3
и В4 - 60, 360 и 120 единиц соответственно.
При этом суммарные затраты на перевозку продукции от
поставщиков к потребителям будут минимальными и составят fmin = 10800 денежных единиц.
У поставщика А3 останется невостребованными 240
единиц продукции.
3.
Решение задачи методом наименьших квадратов
Предприятие потребляет некоторый ресурс X (един. в месяц) и
выпускает продукцию, которую продает и получает доход Y (денежных един. в месяц).
Этот процесс продолжается в течении 10 месяцев. Значения X и
Y приведены в таблице 3. Необходимо построить линейную модель зависимости Y от
X методом наименьших квадратов. Решение проиллюстрировать графически. Сделать
выводы экономического характера с использованием полученной модели.
Решение
19
|
Xi
|
23
|
7
|
31
|
6
|
11
|
20
|
17
|
12
|
4
|
19
|
|
Yi
|
26
|
3
|
22
|
4
|
24
|
32
|
11
|
8
|
16
|
7
|
Зависимость между X и Y будем искать в виде x =
a + bx. Параметры a и b модели найдем по методу наименьших квадратов из системы:
Вспомогательные вычисления соберем в таблицу:
i
|
xi
|
yi
|
xiyi
|
xi2
|
yi2
|
y(x)
|
1
|
23
|
26
|
598
|
529
|
676
|
20,3488
|
2
|
7
|
3
|
21
|
49
|
9
|
10,2512
|
3
|
31
|
22
|
682
|
961
|
484
|
25,3976
|
4
|
6
|
4
|
24
|
36
|
16
|
9,6201
|
5
|
11
|
24
|
264
|
121
|
576
|
12,7756
|
6
|
20
|
32
|
640
|
400
|
1024
|
18,4555
|
7
|
17
|
11
|
187
|
289
|
121
|
16,5622
|
8
|
12
|
8
|
96
|
144
|
64
|
13,4067
|
9
|
4
|
16
|
64
|
16
|
256
|
8,3579
|
10
|
19
|
7
|
133
|
361
|
49
|
17,8244
|
Σ =
|
150
|
153
|
2709
|
2906
|
3275
|
|
Из таблицы имеем:
= 150 / 10 = 15; = 153 / 10 = 15,3;
= 2709 / 10 = 270,9; = 2906 / 10 = 290,6;
= 3275 / 10 = 327,5.
По формуле Крамера
b = = = 0,6311.
Из первого уравнения
a = - b · = 15,3 - 0,6311 · 15 = 5,8335.
Итак, уравнение прямой линии регрессии Y на Х:
x =
5,8335 + 0,6311х.
Коэффициент b = 0,6311 означает, что при потреблении 1 единицы ресурса
доход предприятия от продажи единицы продукции составляет 0,6311 денежных
единицы. Коэффициент а = 5,8335 численно равен гипотетической прибыли при
отсутствии потребления ресурса.
Построим корреляционное поле и график x = 5,8335 + 0,6311х.
Вычислим коэффициент корреляции:
r
= = =
0,5289;
коэффициент детерминации:
r2 = 0,52892 = 0,2797.
Поэтому 27,97% рассеивания зависимой переменной Y объясняется линейной
регрессией Y
на Х, а 72,03% рассеивания Y остались необъясненными. Эта доля рассеяния Y может быть вызвана либо
случайными ошибками эксперимента, либо тем, что линейная модель не достаточно
хорошо согласуется с экспериментальными данными.
Список использованной литературы
1. Акулич
И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа,
1986.
2. Замков
О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. -
М.: ДИС, 1997.
. Левин
М.И., Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математические модели экономических
взаимодействия. - М.: Наука, 1993.
. Минюк
С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. Математические методы и модели экономике. - Мн.:
ТетраСистемс, 2002.
. Кузнецов
А.В., Сакович В.А., Холод Н.И. Высшая математика. Математическое
программирование. - Мн.: Вышэйшая школа, 1994.
. Кузнецов
А.В. Руководство по решению задач по математическому программированию. - Мн.:
Вышэйшая школа, 1978.
7. Сборник
задач и упражнений по высшей математике: Мат. программирование: Учеб. пособие /
А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод и др.; Под общ. ред. А.В. Кузнецова,
Р.А. Рутковского. - 2-е изд., перераб. и доп. - Мн.: Выш. шк., 2002. - 487 с.:
ил.
8. Справочник
по математике для экономистов / В.Е. Барбаумов, В.И. Ермаков, Н.Н. Кривенцова и
др.; Под ред. В.И. Ермакова. - М.: Высш. шк., 1987. - 336 с.: ил.
. Черняк
А.А., Новиков В.А., Мельников О.И., Кузнецов А.В. Высшая математика на базе MathCAD / Учебное пособие. -
Мн.: МИТСО, 2003. - 272 с.
. Экономико-математические
методы и модели: Учебно-методическое пособие для студентов экономических вузов
/ В.Н. Тюнянов, Н.Г. Кохан. - Гомель: ГФ УО ФПБ «МИТСО», 2003. - 76 с.