Исследование точности оценки функции дожития с помощью оценки Каплана-Мейера и формулы Гринвуда

Исследование точности оценки функции дожития с помощью оценки Каплана-Мейера и формулы Гринвуда

Содержание

Введение

. Исследование точности оценки функции дожития с помощью оценки Каплана-Мейера и формулы Гринвуда

.1 Задание

.2 Оценка Каплана-Мейера и формула Гринвуда

.3 Доверительный интервал выживаемости

. Программа-функция

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Целью данной работы является создание программы-функции на MATLAB для исследования точности оценки функции дожития с помощью оценки Каплана-Мейера и формулы Гринвуда. Данный метод - непараметрический. Он является полезным не только как гибкий альтернативный метод по отношению к параметрическим, но и при применении графических методов проверки согласия для сложных моделей. Термин «таблица времени жизни (наработок)» часто используется для непараметрического оценивания функции надежности по цензурированным данным.

1. Исследование точности оценки функции дожития с помощью оценки Каплана-Мейера и формулы Гринвуда

.1 Задание

Исходные данные.

Параметр экспоненциального распределения , n - объём независимой случайной выборки длительностей, имеющих экспоненциальное распределение, m - число цензурированных данных.

Задание.

·  Описать теоретические основы построения непараметрической оценки функции дожития (оценка Каплана-Мейера) и вычисления 95% доверительного интервала с использованием формулы Гринвуда.

·        Написать требуемую программу-функцию на MATLAB, предусмотрев ввод параметров , n и m через формальные параметры функции, генерирование независимой случайной выборки объёма n длительностей, имеющих экспоненциальное распределение с параметром , независимое цензурирование (случайное «удаление» из выборки m элементов), построение и вывод на экран точной функции дожития и оценки Каплана-Мейера с 95% доверительными интервалами в фиксированных точках, рассчитанных с помощью формулы Гринвуда.

·        Провести вычисления для значений параметров

1.2 Оценка Каплана-Мейера и формула Гринвуда

Этот метод был придуман статистиками Е.Л. Капланом и П. Мейером. Метод используется для вычисления различных величин, связанных с временем наблюдения за пациентом. Примеры таких величин:

·              вероятность выздоровления в течении одного года при применении лекарственного препарата

·              шанс возникновения рецидива после операции в течении трёх лет после операции

·              кумулятивная вероятность выживания в течение пяти лет среди пациентов с раком простаты при ампутации органа

Поясним преимущества использования метода Каплана - Мейера.

Значение величин при «обычном» анализе (не использующем метод Каплана-Мейера) рассчитываются на основе разбиения рассматриваемого временного интервала на промежутки.

Например, если мы исследуем вероятность смерти пациента в течение 5 лет, то временной интервал может быть разделён как на 5 частей (менее 1 года, 1-2 года, 2-3 года, 3-4 года, 4-5 лет), так и на 10 (по полгода каждый), или на другое количество интервалов. Результаты же при разных разбиениях получатся разные.

Процедура Каплана-Мейера или процедура выживания (англ. Kaplan-Meier estimator) оценивает функцию выживаемости <#"550606.files/image002.gif"> - моменты времени.

Экспоненциальный закон:

- оценка функции надежности.

где  - число объектов, наблюдаемых в момент ,

 - число объектов, отказавших в момент .

В  входят все объекты, цензурированные в момент . Тогда формула для логарифма правдоподобия следующая:

Из этой формулы следует вывести формулу для .

А для вероятности неудачного исхода:

Оценка максимального правдоподобия:

Оценка  формально не зависит от выборки точек (если при этом сохраняется их порядок и значения не превышают t), в которых наблюдаемое число отказов равно нулю. Обычно  называют множительной оценкой Каплана-Мейера.

Для каждого момента времени оценим вероятность пережить этот момент. Такой оценкой будет отношение числа переживших этот момент к числу наблюдавшихся к этому моменту. Тогда, согласно правилу умножения вероятностей, перемножая вероятности выживания в каждом интервале, в результате преобразований:

Следовательно, оценка функции дожития вычисляется по формуле:

Где  - число объектов, доживающих до момента времени , исключая выбывших,

- число объектов, для которых произошёл исход в момент времени ,

 - вероятность исхода.

Заметим, что можно перемножать значения только для тех моментов времени, когда произошёл хотя бы один исход, потому что, если =0, то  = 1, а умножение на единицу никак результат не меняет.

Данная оценка функции дожия, называемая множительной оценкой, впервые была предложена Капланом и Мейером (1958).

1.3 Доверительный интервал выживаемости

дожитие каплан доверительный интервал

Оценку точности приближения кривой выживаемости дает стандартная ошибка выживаемости, ее можно рассчитать по формуле Гринвуда.

Формула Гринвуда:

Симметричный доверительный интервал:

Доверительный интервал <#"550606.files/image030.gif"> с доверительной вероятностью  определяется так:

,

где = 1.96 - квантиль нормального распределения. Обычно берётся 95% доверительный интервал <#"550606.files/image034.gif">

Преимущество метода Каплана-Мейера (по сравнению с методом таблиц жизни) состоит в том, что оценки не зависят от разбиения времени наблюдения на интервалы, т.е. от группировки. Метод множительных оценок и метод таблиц времен жизни приводят, по существу, к одинаковым результатам, если временные интервалы содержат, максимум, по одному наблюдению.

Выбор наиболее подходящего разбиения - непростая задача. Оценки значений величин, полученных по методу Каплана- Мейера не зависят от разбиения времени наблюдения на интервалы, а зависят только от времени жизни каждого отдельного пациента. Поэтому исследователю проще проводить анализ, да и результаты нередко оказываются качественней результатов «обычного» анализа.

2. Программа-функция

k2(lambda,n,m)%входные параметры

a=exprnd((1/lambda),1,n);%выборка= sort(a);

a1=a;=randperm(n);%временная переменная для цензурированияm>0(t(1:m))=[];%цензурирование

end

for j=1:(n-m)

r(j)=sum(a>=a1(j));%число отработавших элементов

end(1)=1;(1)=1;j=1:(n-m)

s(j+1)=(s(j))*(1-(1/r(j)));%ф-ия дожития Каплана-Мейера

t1(j)=1/(r(j)*(r(j)-1));t1(j)==Inf(j)=t1(j-1);=[0,a1];=0:0.1:10;=0.5;=exp(-lambda*t2);(t2,s1,'m');%изображение графика функции дожития

sigma=s*sqrt(sum(t1));%оценка точности по ф-ле Гринвуда

hold on(a2,sigma)(1)=[];=(t1)./(log(s).^2);=log(-log(s))-1.96.*sqrt(v);=log(-log(s))+1.96.*sqrt(v);

c1=exp(-exp(b2));%нижний предел доверительного интервала=exp(-exp(b1));%верхний предел доверительного интервала

stairs(a1,c1,'r-')%изображение нижнего предела доверительного интервала

stairs(a1,c2,'g-')%изображение верхнего предела доверительного интервала

xlabel('t')%подпись оси x

ylabel('S(t)')%подпись оси y

Вычисления для значений параметров

Графики точной функции дожития для значений параметров λ, n, m и оценки Каплана-Мейера с 95% доверительными интервалами в фиксированных точках, рассчитанных с помощью формулы Гринвуда.

. Графики: S(изображен светло-синим цветом), нижний и верхний интервалы для S(t) (показаны желтым и зелеными цветами соответственно) и оценка точности по формуле Гринвуда (показана синим цветом), при значениях λ=0.5, n=10, m=0 (рис. 1).

Рис. 1

. Графики: S(изображен светло-синим цветом), нижний и верхний интервалы для S(t) (показаны желтым и зелеными цветами соответственно) и оценка точности по формуле Гринвуда (показана синим цветом), при значениях λ=0.5, n=50, m=5 (рис. 2).

Рис. 2

. Графики: S(изображен светло-синим цветом), нижний и верхний интервалы для S(t) (показаны желтым и зелеными цветами соответственно) и оценка точности по формуле Гринвуда (показана синим цветом), при значениях λ=0.5, n=150, m=15 (рис. 3)

Заключение

В данной курсовой работе были подробно изложены метод Каплана-Мейера и использование формулы Гринвуда. Также было выполнено задание построение графиков с помощью программы Matlab.

Список используемой литературы

1. Д.Р. Кокс, Д. Оукс. Анализ типа времени жизни - Москва «Финансы и статистика», 1988. - 191 стр.

. Анохин Л.В. Медицинская статистика / Л.В. Анохин, Г.А. Пономарева, О.Е. Коновалов, С.Н. Рубцов, О.В. Медведева. - Рязань, 2002.

. http://www.machinelearning.ru

. Михальский А.И. Лекции по компьютерным технологиям в медико-биологических системах. - Москва, 2012.