Тотализатор как экономическая модель
НИУ-ВШЭ
Контрольная
работа
по
курсу "Микроэкономика"
"Тотализатор
как экономическая модель"
Подготовили:
Драбкин Леонид,
Чернышевский Евгений,
Пивнев Владислав,
Федорова Юлия, Рябинина Дарья,
Группа 2103
Москва
2011
Введение
В своём небольшом исследовании мы бы хотели
разобрать несколько экономических аспектов одного достаточно распространенного
рыночного механизма-тотализатора. Наш анализ будет интересен тем людям, которые
собираются создавать свои тотализаторы, а также тем, кто периодически делает
ставки в букмекерских конторах. Более того, первой категории анализ будет не
только интересен, но и жизненно необходим. Безусловно, исследования, подобные
нашим, уже были сделаны опытными конторами в личных целях, однако результаты их
анализа невозможно найти в общем доступе в сети Интернет.
Результатом нашего исследования будут
определенные рекомендации для букмекерских контор. Однако зная нюансы, о
которых будет идти речь в рекомендации, каждый "игрок" сможет
запросто обнаружить недочеты букмекера и воспользоваться этим для своего блага.
В своем анализе мы будем, естественно, исходить
из базовых микроэкономических предпосылок, таких как рациональное поведение
потребителя и производителя, стандартные предпочтения потребителей. То есть,
проецируя вышесказанное на тотализатор, потребитель и производитель
(производитель услуги "тотализатор") будут хотеть понести наименьшие
потери, либо получить наибольший выигрыш. Также будем исходить из предпосылки о
полноте информации и честности проведения тотализатора. Все
"лохотроны" выходят за рамки экономического анализа.
Тотализатор
Итак, для начала разберемся, что же такое
тотализатор и как он работает. Тотализатор-это такая "игра", в
которой у потребителя есть возможность приумножить вложенные деньги. Для
увеличения своих активов нужно выбрать один из возможных вариантов развития
событий (чаще всего спортивного события). У каждого варианта есть свой
коэффициент. И если выбранный вами вариант и будет реальным исходом, то вы
получаете выигрыш = вложенные деньги*коэффициент. Естественно, вы можете
поставить на два исхода, руководствуясь тактикой "лучше синица в руке, чем
журавль в небе" (при такой стратегии часть вложенных вами денег сгорит в
любом случае, так как исходы взаимоисключаемы), и даже на три.
В нашем исследовании мы возьмем простейший
пример тотализатора. Пусть на следующие выходные намечен футбольный матч между
Командой 1 и Командой 2. Всего есть три варианта исхода этого матча- победа
Команды 1 или Команды 2, либо ничья. Соответственно, для каждого исхода
высчитываются специальные коэффициенты. На этом стоит заострить внимание, так
как бытует заблуждение о том, что в тотализаторе не существует никаких
коэффициентов, а выигрыш = общей сумме ставок*долю ставки в объеме ставок,
которые были сделаны на верный исход, в случае если вы правильно угадали исход,
либо выигрыш=0, если вы не сумели предугадать исход. В обоих случаях прибыль =
выигрыш-ставка.
Еще пара слов о коэффициентах. Коэффициенты
выводятся специалистами, которые опираются на множество факторов, влияющих на
результат матча. И чем менее вероятен исход, тем больше коэффициент на него. То
есть если событие маловероятно, то букмекеры готовы пообещать больше денег,
нежели если исход достаточно предсказуем. Это вполне сочетается со здравой логикой
и рациональностью. Так же все коэффициенты изменяются с изменением количества
ставок. Проще говоря, чем больше людей поставят на Команду 1, тем меньше
коэффициент будет на ее победу. Однако ваш выигрыш будет рассчитываться, исходя
из коэффициента в тот момент, когда вы делали ставку. В нашем анализе мы будем
делать ставки одновременно, то есть коэффициенты не будут меняться после первой
ставки, они будут одинаковыми в момент всех трех ставок.
Также все коэффициенты должны быть больше
единицы. Докажем это через обратное. Пусть коэффициент(a)
на победу Команды 1 меньше единицы. Тогда в случае победы Команды 1, игрок
получит прибыль = выигрыш - ставка = а*ставка-ставка =(а-1)*ставку, что меньше
нуля в силу того, что а<1. Если Команда 1 не выиграет, то его прибыль =
-ставка. А вот если он не поставит на Команду 1, то у него будет нулевая
прибыль, что соответственно лучше других вариантов. Значит, никто не будет
ставить на исход, коэффициент которого меньше единицы (не больше единицы).
Любые ставки на исходы должны быть неотрицательными, что следует из здравого
смысла.
Гипотеза
Мы в своем исследовании сделали предположение о
том, что существует такая комбинация коэффициентов, при которой потребитель
всегда останется в плюсе (при правильной игре). А правильная игра заключается в
том, чтобы поставить одновременно определенные ставки на все три исхода так,
чтобы при любом развитии событий твоя прибыль оказалась положительной, а
прибыль букмекера, соответственно, отрицательной. Так вот, мы поставили перед собой
цель найти такие комбинации коэффициентов, при которых это будет возможно.
Соответственно букмекерским конторам нужно будет избегать такой комбинации
котировок.
Введем обозначения:
тотализатор игра комбинация прибыль
Пусть x,
y, z-это
наши ставки на победу Команды 1, ничью и победу Команды 2 соответственно.
x, y,
z≥0
a, b,
c- коэффициенты на
победу Команды 1, ничью и победу Команды 2 соответственно.
a, b,
c>1
Анализ
Приняв данные обозначения, мы можем сказать, что
всегда наши затраты составляют x+y+z.
А значит прибыль = выигрыш-x-y-z.
Сам выигрыш у нас может варьироваться в зависимости от исхода (всего 3 варианта
выигрыша). Исходя из нашей гипотезы, при каждом исходе наша прибыль должна быть
положительна (так как мы хотим выигрывать деньги при любом исходе). Отсюда
получается система неравенств:
Однако здесь мы можем сделать одно очень
полезное упрощение. Примем ставку на победу Команды 2(z)
за единицу. Мы это можем сделать с чистой совестью, так как от масштабов наших
ставок зависят масштабы прибыли, но не наличие оной. То есть, если мы увеличим
все ставки в n раз, то прибыль
увеличится тоже в n раз(В
данном случае n=1/z)
π1(nx, ny,
nz)=a*n*x-n*x-n*y-n*z=n* π1(x,
y, z).
Сделав замены и проведя некоторые преобразования,
мы получим следующую систему неравенств:
Тем самым, мы попытаемся найти такую комбинацию
(a;b;c),
для которой существуют (x;y),удовлетворяющие
неравенствам.
Проведем анализ графически. Сначала нарисуем на
графике ограничение 3. Затем заметим, что ограничения 1 и 2 проходят через
точки (0;-1) и (-1;0). И теперь, опираясь на эти точки, мы будем строить
ограничения 1 и 2. Из-за ограничений 4 и 5 у нас может быть всего три типа
ограничений 1 и 2, кардинально отличающихся местом их пересечения на плоскости.
Их и нарисуем, одновременно заштриховав подходящие нам области.
Сначала попытаемся разъяснить отличие в
графиках. Из-за ограничения 5 ограничения 1 и 2 имеют положительный наклон. Тем
самым они могу пересечься только в первой и третьей четвертях(учитывая, что они
проходят через точки (-1;0) и (0;-1)). В третьей четверти все возможные точки
пересечения сходны между собой, их различия в координатах не имеют значения для
нашего исследования. А вот в первой четверти прямые могут пересечься под
ограничением 3 или над ним. Этим отличиям соответствуют I
и II варианты.
На графиках мы попытаемся найти области, которые
удовлетворяют всем условиям, то есть заштрихованные одновременно красным, синим
и зеленым цветом. Очевидно, что при I
варианте пересечения ограничений 1 и 2 такой нужной нам области нет. При
варианте III такая
область есть, но она, к сожалению, находится в третьей четверти координатной
плоскости, что нас не устраивает, ибо нас интересуют только положительные
комбинации x и y(ограничение
4). А вот вариант II-то,
что нам нужно. Треугольник с основанием AB-это
та область, которая удовлетворяет всем условиям.
Теперь же попытаемся описать особенность
пересечения во II
варианте математически. Сравнив второй график с первым, мы сразу заметим
главное отличие второго графика от первого: точка пересечения ограничений 1 и
3(A) северо-западнее,
чем пересечение ограничений 2 и 3(B).
Что же, запишем это математическим языком: севернее - это значит, что ордината
точки A больше ординаты
точки B;западнее - значит,
что абсцисса точки B больше
абсциссы точки A. Сначала из
ограничений 1 и 3 найдем координаты точки A(для
этого знак неравенства заменим на знак равенства).
Аналогично найдем координаты точки B:
Запишем вышеупомянутые неравенства относительно
абсцисс и ординат:
Очевидно, что оба неравенства выражают одно и то
же. Значит, будем использовать лишь одно из них.
c/a<c-1-c/b |*ab =>
ab<abc-ab-ac => abc>ab+ac+bc
Вывод
abc>ab+ac+bc
Это и есть наш финальный результат. Осталось его
правильно истолковать. Если соблюдается данное неравенство, то для потребителя
существует такой набор ставок(x,
y, z),
при котором он всегда будет иметь положительную прибыль от участия в
тотализаторе. Все такие наборы лежат в треугольнике с основанием AB
на
рисунке 2.Они соответствуют выбору (x;y)
при z=1.Однако всегда
можно будет пропорционально увеличить (уменьшить) вложения. Это обозначает, что
при рациональном поведении потребителей (а именно такое поведение мы и
рассматриваем) букмекеры всегда будут нести убытки. То есть букмекерским
конторам всегда нужно придерживаться обратному неравенству (abc<ab+bc+ac).
В ином случае они могут обанкротиться в одночасье. К примеру с утра можно взять
много кредитов в разных банках, днем сделать ставку в этой щедрой конторе, а
вечером забрать свой выигрыш, отдать кредиты банкам и начать покупать дом на
Лазурном Берегу. Игрокам же стоит проверять начинающие конторы на такого рода
ляпы и быстро этим пользоваться при случае.
Еще одним небольшим достижением нашего исследования
является доказательство достаточно наглядного и очевидного факта о том, что
котировки должны больше единицы.
В своем исследовании мы рассмотрели игру в
тотализатор, которая достаточно часто встречается людям, которые любят азартные
игры. Более того наш анализ будет полезен и начинающими букмекерам. Пример с
тремя исходами футбольного матча - самый распространенный и практически самый
тривиальный. Однако на его основе можно уже делать выводы о более сложных
моделях тотализатора (которых, впрочем, не так много) и не только его.
Также хотим отметить красоту полученного нами
ответа (которой мы и не ожидали). Получается, что в букмекерских конторах на
любой матч с N исходов сумма
произведений котировок без одной должна быть не меньше, чем произведение всех котировок
(Например: 4 исхода => abc+abd+acd+bcd≥abcd).
В данном случае мы говорим о тотализаторе с тремя исходами, однако вполне
возможно, и мы возьмем на себя смелость предположить, что это относится и к
тотализатору с большим числом исходов (безусловно, эта гипотеза требует
проверки).
И напоследок посмотрим, не опровергает ли мою
теорию реальные котировки. Возьмем упомянутый ранее матч Динамо - Локомтив и
подставим коэффициенты в нашу формулу.
abc
=3,05*3,05*2,78=25.86095
ab+bc+ac
=3.05^2+2*3.05*2.78=9.3025+16.958=26.2605
Как мы видим, второе число больше, а это значит,
что практика подтверждает нашу теорию.