Дифференциальное уравнение
1. Решить уравнение
Решение:
- уравнение с разделяющимися
переменными
Проинтегрируем обе части полученного
уравнения:
- общее решение уравнения
Ответ:
2. Решить однородное дифференциальное
уравнение
Решение:
Сделаем замену
Проинтегрируем обе части полученного
уравнения:
Разложим подынтегральную дробь на
сумму простейших дробей:
- общий интеграл дифференциального
уравнения
Ответ:
3. Найти частное решение линейного
дифференциального уравнения
,
Решение:
Решаем уравнение методом Бернулли:
Для решения исходного уравнения
необходимо решить систему уравнений
(*)
Решим первое уравнение системы (*):
Проинтегрируем обе части полученного
уравнения
Подставим найденное выражение для
функции во второе
уравнение системы (*) и решим его.
Проинтегрируем обе части полученного
уравнения.
- общее решение дифференциального
уравнения
Найдем частное решение уравнении при
условии .
- частное решение дифференциального
уравнения
Ответ:
4. Найти общий интеграл уравнения
,
Решение:
,
Таким образом, данное уравнение -
уравнение в полных дифференциалах.
Решим второе уравнение системы:
Найдем от
найденной функции и подставим в первое уравнение полученной выше системы:
- общий интеграл дифференциального
уравнения
Ответ:
5. Найти решение уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям
, ,
Решение:
Найдем общее решение однородного
уравнения, соответствующего данному неоднородному. Для этого составим
характеристическое уравнение:
Тогда общее решение однородного
уравнения запишем в виде
Для нахождения частного решения
неоднородного уравнения составим систему
Решим полученную систему методом
Крамера. Вычислим главный определитель:
Вычислим побочные определители:
Тогда общее решение неоднородного
уравнения имеет вид:
Найдем частное решение, отвечающее
начальным условиям.
- решение задачи Коши
Ответ:
6. Решить уравнение
Решение:
Найдем общее решение однородного
уравнения, соответствующего данному неоднородному. Для этого составим
характеристическое уравнение:
Тогда
Найдем частное решение неоднородного
уравнения. Поскольку не является
корнем характеристического уравнения, то искать его будем в виде
Подставим найденные значении
производных в исходное уравнение:
Тогда общее решение неоднородного
уравнения имеет вид:
общее решение неоднородного
уравнения
Ответ:
7. Исследовать сходимость ряда
Решение:
Для исследования ряда на сходимость
применим признак Даламбера.
Поскольку , то ряд расходится
Ответ: ряд расходится
8. Найти область сходимости
функционального ряда
(1)
Решение:
Найдем радиус сходимости ряда (1):
- интервал сходимости ряда (1)
Исследуем сходимость ряда в
граничных точках:
: (2)
Исследуем ряд (2)на сходимость:
условия теоремы Лейбница выполнены,
т.е. ряд (2) сходится
Рассмотрим ряд из модулей (3)
Данный ряд расходится как
геометрический.
Поскольку ряд (2) сходится, а ряд
(3) из модулей расходится, то ряд (2)сходится условно.
: (4)
Исследуем ряд (4)на сходимость:
условия теоремы Лейбница выполнены,
т.е. ряд (4) сходится
Рассмотрим ряд из модулей (5)
Данный ряд расходится как
геометрический.
Поскольку ряд (4) сходится, а ряд
(5) из модулей расходится, то ряд (4) сходится условно.
Таким образом, окончательно получаем
интервал сходимости
Ответ: ряд сходится
при ; причем,
при соответствующие
знакочередующиеся ряды сходятся условно
. Разложить в степенной ряд
функцию в
окрестности точки и найти
интервал сходимости ряда.
Решение:
Вычислим несколько производных указанной
функции:
Найдем радиус сходимости полученного
ряда:
Исследуем граничные точки.
: (1)
, т.е. не существует предела
частичных сумм ряда (1), следовательно, этот ряд расходится
: (2)
т.е. не существует предела частичных
сумм ряда (2), следовательно, этот ряд расходится
Ответ: , данный ряд
сходится при
. Разложить в ряд Фурье периодическую
функцию с периодом , заданную
на отрезке .
Решение:
Поскольку - нечетная
функция на , то ее ряд
Фурье будет содержать только синусы.
Тогда ряд Фурье исходной функции
имеет вид:
1.
На книжной полке случайным образом расставлены 4 учебника и 3 задачника. Найти
вероятность того, что все учебники окажутся рядом.
Решение:
Событие : все
учебники окажутся рядом
Для решения задачи воспользуемся
классическим определением вероятности.
Общее число исходов равно числу
перестановок семиэлементного множества:
Благоприятствующее число исходов
определим следующим образом как квадрат числа перестановок четырех элементного
множества. Поскольку все учебники должны оказаться рядом, то рассмотрим их как
единый элемент. Тогда с учетом еще трех задачников получаем 4 элемента. Число
всех возможных размещений таких элементов - число перестановок
четырехэлементного множества. Но "внутри" единого элемента учебники
тоже могут меняться местами (при этом они все равно будут рядом), поэтому
.
Ответ:
. Вероятность отказа каждого
элемента в течение времени равна . Элементы
работают независимо и включены в цепь по приведенной схеме.
Пусть событие означает
отказ элемента с номером , а событие - отказ
цепи за время (прекращение
тока в цепи). Требуется написать формулу, выражающую событие через все
события . Найти
вероятность события при .
Решение:
Поскольку событие - отказ
элемента с номером , тогда -
нормальная работа элемента с номером . Для наступления события необходимо,
чтобы
· отказали все три элемента с номерами
1, 2, 3, но мог работать хотя бы один из элементов 4, 5;
· отказали оба элемента с номерами 4,
5, но мог работать хотя бы один из элементов 1, 2, 3;
· отказали все элементы в цепи.
В формульном виде это можно записать следующим
образом:
Найдем вероятность события на
основании теорем сложения и умножения вероятностей.
Поскольку
, то
Ответ:
3. Противник может применить в
налете самолеты одного из двух типов и с вероятностями соответственно 0,7
и 0,3. Самолет типа сбивается
ракетой с вероятностью 0,7, типа - с вероятностью 0,9. По
появившемуся самолету выпущены одновременно две ракеты. Найти вероятность того,
что сбитый самолет был типа .
Решение:
Событие : самолет
сбит
Событие : самолет
типа
Событие : самолет
типа
Событие : самолет
типа сбит
Событие : самолет
типа сбит
Событие :
оказавшийся сбитым самолет был типа
, , ,
По формуле полной вероятности
По формуле Байеса
Ответ:
. Каждый прибор проходит два
независимых испытания. Вероятность выхода из строя прибора при первом испытании
равна , при втором
- . Испытано
независимо 5 приборов. Найти вероятность выхода из строя не более одного
прибора.
Решение:
Событие : при
независимом испытании 5 приборов из строя вышло не более одного прибора
Вероятность для одного прибора
пройти оба испытания
,
тогда вероятность того, что прибор
испытания не пройдет равна
Вероятность события определим
по формуле Бернулли:
Ответ:
5. Самолеты испытываются при перегрузочных
режимах. Вероятность каждого самолета пройти испытание равна 0,8. Испытания
заканчиваются после первого самолета, не выдержавшего испытания. Составить
закон распределения и функцию распределения числа испытаний самолетов.
Решение:
- вероятность того, что самолет
пройдет испытание
- вероятность того, что самолет не
пройдет испытание
Пусть - случайная величина - число
самолетов, прошедших испытание
Данная случайная величина
распределена по биномиальному закону. Составим закон распределения данной
случайной величины:
Составим функцию распределения:
6. Дана плотность вероятности случайной
величины :
Найти , , , , .
Решение:
Вычислим данный интеграл:
Оценим вероятность с помощью
неравенства Чебышева:
переменная
дифференциальный неравенство гистограмма
Ответ:
, , ,, .
7. Случайная величина распределена
по закону Гаусса с и . Найти
вероятность попадания в интервал .
Решение: Поскольку и , то ,
Для нахождения искомой вероятности воспользуемся
формулой
Ответ:
8. Ряд наблюдений для отклонения
воздушного судна от заданной высоты полета (в м) имеет вид:
+27; +38; -5; -36; -62; -77;
-85; -54; -8; +25; +34; +73; +112; +90; +61; +37; -15; -29; -62; -33; -44; -17;
+20; +40; +47; +61; +10; -8.
Построить интервальный вариационный
ряд. Дать статистические оценки среднего значения , дисперсии и среднего
квадратичного отклонения генеральной
совокупности, а так же интервальную оценку с доверительной вероятностью 0,99.
Построить статистические графики - гистограмму (вместе с плотностью нормального
распределения с параметрами и ) и выборочную функцию
распределения.
Решение: Упорядочим
данный ряд по убыванию:
+112; +90; +73; +61; +61; +47; +40; +38; +37;
+34; +27; +25; +20; +10; -5; -8; -8; -15; -17; -29; -33; -36; -44; -54; -62;
-62; -77; -85.
Тогда ,
Число интервалов определим по
формуле Стерджеса:
Длина каждого частичного интервала
Построим интервальный вариационный
ряд:
Интервал
|
-85
-52,17
|
-52,17
-19,34
|
-19,34
13,49
|
13,49
46,32
|
46,32
79,15
|
79,15
112
|
Частота
546742
|
|
|
|
|
|
|
Середина
интервала -68,585-35,755-2,92529,90562,73595,575
|
|
|
|
|
|
|
Найдем статистические оценки
Найдем интервальную оценку . Поскольку
доверительная вероятность , то
Тогда искомый доверительный интервал
Плотность нормального распределения
с параметрами и имеет вид:
Построим гистограмму и функцию
плотности на одном графике:
№
интервала
|
|
|
|
|
|
1
|
-68,585
|
0,0028
|
0,178
|
0,005
|
0,178
|
2
|
-35,755
|
0,0058
|
0,143
|
0,004
|
0,321
|
4
|
-2,925
|
0,0081
|
0,214
|
0,007
|
0,535
|
3
|
29,905
|
0,0072
|
0,250
|
0,008
|
0,785
|
5
|
62,735
|
0,143
|
0,004
|
0,928
|
6
|
95,575
|
0,0014
|
0,072
|
0,002
|
1,000
|
Построим выборочную функцию распределения