Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение

1.       Решить уравнение

Решение:

 - уравнение с разделяющимися переменными

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

 - общее решение уравнения

Ответ:

2.       Решить однородное дифференциальное уравнение

Решение:

Сделаем замену

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей:

 - общий интеграл дифференциального уравнения

Ответ:

3.       Найти частное решение линейного дифференциального уравнения

,

Решение:

Решаем уравнение методом Бернулли:

Для решения исходного уравнения необходимо решить систему уравнений

(*)

Решим первое уравнение системы (*):

Проинтегрируем обе части полученного уравнения

Подставим найденное выражение для функции  во второе уравнение системы (*) и решим его.

Проинтегрируем обе части полученного уравнения.

 - общее решение дифференциального уравнения

Найдем частное решение уравнении при условии .

 - частное решение дифференциального уравнения

Ответ:

4.       Найти общий интеграл уравнения

,

Решение:

,

Таким образом, данное уравнение - уравнение в полных дифференциалах.

Решим второе уравнение системы:

Найдем  от найденной функции и подставим в первое уравнение полученной выше системы:

 - общий интеграл дифференциального уравнения

Ответ:

5.       Найти решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

, ,

Решение:

Найдем общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному. Для этого составим характеристическое уравнение:

Тогда общее решение однородного уравнения запишем в виде

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения составим систему

Решим полученную систему методом Крамера. Вычислим главный определитель:

Вычислим побочные определители:

Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

Найдем частное решение, отвечающее начальным условиям.

 - решение задачи Коши

Ответ:

6.       Решить уравнение

Решение:

Найдем общее решение однородного уравнения, соответствующего данному неоднородному. Для этого составим характеристическое уравнение:

Тогда

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Поскольку  не является корнем характеристического уравнения, то искать его будем в виде

Подставим найденные значении производных в исходное уравнение:

Тогда общее решение неоднородного уравнения имеет вид:

общее решение неоднородного уравнения

Ответ:

7.       Исследовать сходимость ряда

Решение:

Для исследования ряда на сходимость применим признак Даламбера.

Поскольку , то ряд  расходится

Ответ: ряд  расходится

8.       Найти область сходимости функционального ряда

(1)

Решение:

Найдем радиус сходимости ряда (1):

 - интервал сходимости ряда (1)

Исследуем сходимость ряда в граничных точках:

: (2)

Исследуем ряд (2)на сходимость:

условия теоремы Лейбница выполнены, т.е. ряд (2) сходится

Рассмотрим ряд из модулей  (3)

Данный ряд расходится как геометрический.

Поскольку ряд (2) сходится, а ряд (3) из модулей расходится, то ряд (2)сходится условно.

: (4)

Исследуем ряд (4)на сходимость:

условия теоремы Лейбница выполнены, т.е. ряд (4) сходится

Рассмотрим ряд из модулей  (5)

Данный ряд расходится как геометрический.

Поскольку ряд (4) сходится, а ряд (5) из модулей расходится, то ряд (4) сходится условно.

Таким образом, окончательно получаем интервал сходимости

Ответ: ряд  сходится при ; причем, при  соответствующие знакочередующиеся ряды сходятся условно

.        Разложить в степенной ряд функцию  в окрестности точки  и найти интервал сходимости ряда.

Решение:

Вычислим несколько производных указанной функции:

Найдем радиус сходимости полученного ряда:

Исследуем граничные точки.

: (1)

, т.е. не существует предела частичных сумм ряда (1), следовательно, этот ряд расходится

: (2)

т.е. не существует предела частичных сумм ряда (2), следовательно, этот ряд расходится

Ответ: , данный ряд сходится при

.        Разложить в ряд Фурье периодическую функцию  с периодом , заданную на отрезке .

Решение:

Поскольку  - нечетная функция на , то ее ряд Фурье будет содержать только синусы.

Тогда ряд Фурье исходной функции имеет вид:

1.      
На книжной полке случайным образом расставлены 4 учебника и 3 задачника. Найти вероятность того, что все учебники окажутся рядом.

Решение:

Событие : все учебники окажутся рядом

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности.

Общее число исходов равно числу перестановок семиэлементного множества:

Благоприятствующее число исходов определим следующим образом как квадрат числа перестановок четырех элементного множества. Поскольку все учебники должны оказаться рядом, то рассмотрим их как единый элемент. Тогда с учетом еще трех задачников получаем 4 элемента. Число всех возможных размещений таких элементов - число перестановок четырехэлементного множества. Но "внутри" единого элемента учебники тоже могут меняться местами (при этом они все равно будут рядом), поэтому

.

Ответ:

.        Вероятность отказа каждого элемента в течение времени  равна . Элементы работают независимо и включены в цепь по приведенной схеме.

Пусть событие  означает отказ элемента с номером , а событие  - отказ цепи за время  (прекращение тока в цепи). Требуется написать формулу, выражающую событие  через все события . Найти вероятность события  при .

Решение:

Поскольку событие  - отказ элемента с номером , тогда  - нормальная работа элемента с номером . Для наступления события  необходимо, чтобы

·        отказали все три элемента с номерами 1, 2, 3, но мог работать хотя бы один из элементов 4, 5;

·        отказали оба элемента с номерами 4, 5, но мог работать хотя бы один из элементов 1, 2, 3;

·        отказали все элементы в цепи.

В формульном виде это можно записать следующим образом:

Найдем вероятность события  на основании теорем сложения и умножения вероятностей.

Поскольку

, то

Ответ:

3.       Противник может применить в налете самолеты одного из двух типов  и  с вероятностями соответственно 0,7 и 0,3. Самолет типа  сбивается ракетой с вероятностью 0,7, типа  - с вероятностью 0,9. По появившемуся самолету выпущены одновременно две ракеты. Найти вероятность того, что сбитый самолет был типа .

Решение:

Событие : самолет сбит

Событие : самолет типа

Событие : самолет типа

Событие : самолет типа  сбит

Событие : самолет типа  сбит

Событие : оказавшийся сбитым самолет был типа

, , ,

По формуле полной вероятности

По формуле Байеса

Ответ:

.        Каждый прибор проходит два независимых испытания. Вероятность выхода из строя прибора при первом испытании равна , при втором - . Испытано независимо 5 приборов. Найти вероятность выхода из строя не более одного прибора.

Решение:

Событие : при независимом испытании 5 приборов из строя вышло не более одного прибора

Вероятность для одного прибора пройти оба испытания

,

тогда вероятность того, что прибор испытания не пройдет равна

Вероятность события  определим по формуле Бернулли:

Ответ:

5.       Самолеты испытываются при перегрузочных режимах. Вероятность каждого самолета пройти испытание равна 0,8. Испытания заканчиваются после первого самолета, не выдержавшего испытания. Составить закон распределения и функцию распределения числа испытаний самолетов.

Решение:

 - вероятность того, что самолет пройдет испытание

 - вероятность того, что самолет не пройдет испытание

Пусть  - случайная величина - число самолетов, прошедших испытание

Данная случайная величина распределена по биномиальному закону. Составим закон распределения данной случайной величины:

Составим функцию распределения:

6.       Дана плотность вероятности  случайной величины :

Найти , , , , .

Решение:

Вычислим данный интеграл:

Оценим вероятность  с помощью неравенства Чебышева:

переменная дифференциальный неравенство гистограмма

Ответ:

, , ,, .

7.       Случайная величина  распределена по закону Гаусса с  и . Найти вероятность попадания  в интервал .

Решение: Поскольку  и , то ,

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся формулой

Ответ:

8.       Ряд наблюдений для отклонения воздушного судна от заданной высоты полета (в м) имеет вид:

+27; +38; -5; -36; -62; -77; -85; -54; -8; +25; +34; +73; +112; +90; +61; +37; -15; -29; -62; -33; -44; -17; +20; +40; +47; +61; +10; -8.

Построить интервальный вариационный ряд. Дать статистические оценки среднего значения , дисперсии  и среднего квадратичного отклонения  генеральной совокупности, а так же интервальную оценку  с доверительной вероятностью 0,99. Построить статистические графики - гистограмму (вместе с плотностью нормального распределения с параметрами  и ) и выборочную функцию распределения.

Решение: Упорядочим данный ряд по убыванию:

+112; +90; +73; +61; +61; +47; +40; +38; +37; +34; +27; +25; +20; +10; -5; -8; -8; -15; -17; -29; -33; -36; -44; -54; -62; -62; -77; -85.

Тогда ,

Число интервалов определим по формуле Стерджеса:

Длина каждого частичного интервала

Построим интервальный вариационный ряд:

Найдем статистические оценки

Найдем интервальную оценку . Поскольку доверительная вероятность , то

Тогда искомый доверительный интервал

Плотность нормального распределения с параметрами  и  имеет вид:

Построим гистограмму и функцию плотности на одном графике:

Построим выборочную функцию распределения