Линейные уравнения и матрицы, их расчет
Контрольная
работа
По
дисциплине: Высшая математика
Задание
1.
Даны матрицы А и В.
Найти: А × В, В ×
А, 2Ат + В, А - 3Вт.
А = 
, В = 
× = 
= 
;
× = 
= 
;
А = , Ат = 
, 2Ат =
+ = 
;
В = , Вт = 
, 3Вт =
- = 
Задание
2.
Вычислить
определитель матрицы А:
а) по первой
строке;
б) по третьему
столбцу
А = 
а) 
= 1× 
+ (-1) × 
+ 3 × 
= 1(4 -
(-10)) - 1(0 - (-4)) + 3(0 - 8) = 14 - 4 - 24 = -14. D = -14.
б) = 3 × + (-2) × 
+ 1 × 
= 3(0 - 8)
- 2(5 - (-2)) + 1(4 - 0) = -24 - 14 + 4 = -34. D = -34.
Задание
3.
Решить систему
линейных уравнений АХ=В:
а) Методом Гаусса;
б) по формулам Крамера; в) с помощью обратной матрицы.
А = 
, В = 
а) x1 +
2x2
- x3 =
-3
2x1
-
x2 +
x3 =
5
x1
-
2x2 -
2x3 =
-1
~ 
~ 
~
~ 
~ 
~
~ 
x1
=
1
x2
=
-1
x3
=
2
б) x1 +
2x2
- x3 =
-3
2x1
-
x2 +
x3 =
5
x1
-
2x2 -
2x3 =
-1
D
= 
= 1× (-1) × (-2) + 2 × 1 × 1 + 2 × (-2) × (-1) - 1× (-1) × (-1) - 2 × 2 × (-2) - (-2)
× 1 × 1 = 17;
D1 = 
= 17; D2 = 
= -17; D3 = 
= 34.
х1 = 
= 
= 1; х2
= 
= -= -1; х3
= 
= 
= 2.
x1 = 1
x2 = -1
x3 = 2
в) А-1 = 
;
Х = А-1 × В = × = 
;
x1 = 1
x2 = -1
x3 = 2
Задание
4.
Вычислить предел,
не используя правило Лопиталя.
;
L =
;
неопределенность типа 
.
Умножим и разделим данное выражение
на сопряженное:
;
L = 
=
= 
;
Делим числитель и знаменатель на x:
L=
= 
= ¥.
Задание
5.
Вычислить
производные функций:
а) y =
;
y' = 
=
=
.
б) y = ln(1-x+e2-3x);
y' = 
.
Задание
6.
Исследовать функцию
и построить ее график.
y = 
;
) при x = 0, y =-3; y = 0,
при 4x2 = 3, т.е. x1,2 = ± 
) знаменатель x + 1 = 0, при
x
= -1.
x1 = -
, x2
= -
.
Исследуем y(x) на монотонность,
составим таблицу:
|
x
|
(-¥; -)-(-; -)-(-; ¥)
|
|
|
|
|
|
y'
|
+
|
0
|
-
|
0
|
+
|
|
y
|
|
 
|
|
|
|
4) наклонная ya
= xb;
k = 
= 
= 
= 4= (y(x) - kx) = 
= 0, a = 4x.
5) Построим
график
y" = 
¹ 0;
перегибов нет, знак меняется в точке x = -1
выпуклость -1 вогнутость
Задание
7
матрица
уравнение функция предел
Найти частные
производные второго порядка функции многих переменных
u
= ln(x2
+ y - 2z);
; 
; 
;
Задание
8
Вычислить
неопределенные интегралы
1) 
= 
.
) 
;
или 
) 
; выделить в числителе группу 
,
,
и 
) 
по формуле
, тогда
, т.е. 
Задание
9.
Вычислить
определенные интегралы
= 
Задание
10.
Вычислить площадь
фигуры, ограниченной линиями
или 
и 
Точки пересечения линий найдем из
решения уравнения:
1 = 0, x2 = 4
Построим график
S = 
;
S = 
.