Содержательный исследование массовых школьных учебников по геометрии как форма методической и учебно-методической работы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Ануфриева Софья Геннадьевна

Дипломная работа

Содержательный анализ массовых школьных учебников по геометрии как форма методической и учебно-методической работы

Допустить к защите

зав.кафедрой педагогики высшей школы,

кандидат физ.-мат. наук, профессор КГУ

Аронов А.М.

Подпись:____________

Научный руководитель:

кандидат философских наук

доцент кафедры ПВШ Ермаков С. В.

Подпись:_____________

аксиоматика погорелов критика учебник геометрия

Красноярск - 2003

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

ГЛАВА 1. Аксиоматический подход в преподавании математики: основания и реализация

.1       Происхождение аксиоматического метода

.2       Особенности современного аксиоматического подхода

.3 Аксиоматика евклидовой геометрии

.4 Два подхода к преподаванию математики и задача проектирования курса геометрии

.5 Реализация аксиоматического подхода у А.В. Погорелова

ГЛАВА 2. Критика учебника А.В. Погорелова

.1 Возможные основания критики

.2 Критика реализации аксиоматического подхода у А.В. Погорелова

.2.1 Реализация аксиоматического подхода

.2.2 «Полнота» вводимой теории

.2.3 Адекватность возрасту

.2.4 Адекватность материала культурным задачам преподавания

ГЛАВА 3. Образовательное значение критики школьного учебника в обучении педагогов математиков

.1 Образовательное значение критики

.2 Предложения по заданию на содержательный анализ для студентов

Заключение

Литература

Приложения

Введение

Актуальность. «Современная математика слишком абстрактна, слишком оторвалась от своих исторических корней, что бы быть легко понятной и хорошо усваиваемой. Постоянное изменение предмета в сторону все большей его абстрактности вкупе с устоявшимся представлением о его неизменности делают ситуацию в математическом образовании все более иррациональной. Мысль о необходимости реформы математического образования постоянно обсуждается людьми, входящими в математическое сообщество». [33 с.62]

В школьном курсе геометрии традиционно соединены два различных предметных содержания. Первое - знание о геометрических объектах, а также способы получения этих знаний и их прикладной аспект. Второе - понятие о доказательном выводе, а также идея объединения геометрических теорем в дедуктивную аксиоматическую систему. Геометрия трактуется в рамке первого содержания - как естественная наука, в рамке второго содержания - как прикладная логика.

Улучшение качества преподавания геометрии (проектирование новых курсов или разработка методического обеспечения существующих ), должно опираться на оценку того, на сколько существующая практика преподавания соответствует культурной задаче. Подобная оценка может быть проведена студентами педегогами - проектировщиками на примере массового школьного учебника.

Наиболее массовым курсом геометрии является курс А. В. Погорелова, который был разработан в 1978 - 1980 годах, одобрен министерством образования в 1981, и с тех пор не претерпевал существенных изменений. Поэтому именно анализ курса А. В. Погорелова, определение его возможностей и ограничений (критика в смысле И. Канта) актуальны для определения той границы, с которой может начинаться разработка новых подходов к преподаванию геометрии.

Критика существующего курса геометрии оказывается полезной не только для разработчиков курсов геометрии и их методического обеспечения, но и для подготовки педагогов - проектировщиков.

Без специальной работы студентам сложно выстроить рефлексивное отношение к геометрии как учебному предмету и к его представлению в курсе А. В. Погорелова, что связано в первую очередь с тем, что большинство современных студентов, сами учились по учебнику А. В. Погорелова.

Цель работы - оформление оснований и границ возможностей курса геометрии А. В. Погорелова.

Для этого решаются следующие задачи

1.  реконструкция логических оснований курса А. В. Погорелова на основе культурной формы - аксиоматического подхода

2.       определение оснований критики и описание границ и нежелательных побочных эффектов курса А. В. Погорелова с различных позиций.

.        представление критики учебника А. В. Погорелова как учебной задачи в подготовке педагогов -проектировщиков

Объектом работы является курс А. В. Погорелова в системе преподавания математики

Предмет - процедуры анализа учебного курса.

Гипотеза работы состоит в том, что непосредственная реализация аксиоматического метода в математике, приводит, с одной стороны к редукции этой культурной формы, с другой стороны, к увеличению трудностей школьников при изучении геометрии по сравнению с другими возможными подходами

Работа состоит из введения, трех глав и заключения.

В первой главе рассматривается аксиоматический подход в преподавании математики.

Прежде чем говорить о аксиоматическом подходе, рассмотрим проблемы развития математики, начиная со времен Евклида и до наших дней.

А. Френкель и И. Бар-Хиллел в своей книге «Основания теории множеств» выделяют три кризиса математической науки. Первый произошел в пятом веке до нашей эры, причинами которого стали два парадоксальных открытия сделанных при превращении геометрии в точную дедуктивную науку. Первым открытием явилось то, что не все «геометрические сущности одного и того же соизмеримы друг с другом» (в современной терминологии тоже самое, что квадратный корень из 2 не есть рациональное число). Вторым открытием явились парадоксы школы Зенона, развивающие тему о невозможности построения конечной величины из бесконечно малых величин.

Результатами этого кризиса явились еще два блестящих достижения. Первое из них - теория пропорций, содержащаяся в 5-й и 10-й книгах Начал Евклида; второе - изобретенный Архимедом метод исчерпания, провозвестник современной теории интегрирования.

В 17 и 18 веках под впечатлением мощи новоизобретенного исчисления бесконечно малых большинство математиков применяли этот метод не задумываясь над тем, на сколько прочна его основа. Но в начале 19 века уяснение шаткости этой основы привело ко второму кризису оснований.

Стремясь преодолеть этот кризис, Коши в 30-х годах показал, как употребление бесконечно малых «может быть заменено корректным использованием пределов» [28 с.27], а Вейерштрасс (60 - 70 годы) продемонстрировал возможность полной «арифметизации» анализа и теории функций.

Пуанкаре в 1900 г. на Втором международном конгрессе сказал: « Теперь в математике остаются только целые числа и конечные или бесконечные системы целых чисел… Математика … полностью арифметизирована… Мы можем сказать сегодня, что достигнута абсолютная строгость» [28, с 27].

Но, по иронии судьбы, в то самое время уже выяснилось, что «бесконечные системы целых чисел» - часть теории множеств - весьма далека от абсолютной надежности своих основ. Выяснилось неожиданное расхождение мнений и точек зрения по поводу основных математических понятий (начиная уже с понятия множества и числа). Этот факт «вынуждает говорить о третьем кризисе основ, который математика переживает до сих пор» [28, с 28].

Здесь же разобраны положительные и отрицательные стороны аксиоматического подхода к математике в целом и в учебнике геометрии А. В. Погорелова в частности.

Вторая глава посвящена критике учебника геометрии А. В. Погорелова.

Под критикой какого-либо содержания мы понимаем - выявление его границ, которое происходит за счет того, что анализируются все возможные следствия из данного содержания, такой определение критики было дано И. Кантом.

Критика производится по следующим основаниям

1.       реализация аксиоматического подхода

2.       «полнота» вводимой теории

.        адекватность возрасту

.        адекватность материала культурным задачам преподавания.

Мы предлагаем на второй ступени формулировать задания исходя из возможных позиций, уже в самой формулировке задания описывать позицию. Мы предполагаем, что такими позициями могут быть выделенные во второй главе основания критики.

В заключении описываются основные результаты нашей работы

1.       Показано, каким образом учебник А. В. Погорелова реализует аксиоматический подход в построении математического знания.

2.       Показано, что учебник А. В. Погорелова может претендовать на полноту и связность системы евклидовой геометрии, но при этом не соответствует ни возрастным особенностям школьников, ни культурной задаче преподавания геометрии.

.        Показаны особенности решения студентами задачи критики учебника и предложены рекомендации к тому, как сделать эту работу более продуктивной по содержанию и полезной для студентов.

 

ГЛАВА 1. Аксиоматический подход в преподавании математики: основания и реализация

1.1    Происхождение аксиоматического метода

С самого зарождения математической науки как самостоятельной отрасли знания и на протяжении более чем двух тысячелетий математики занимались поиском истины и добились на этом пути выдающихся успехов. Необозримое множество теорем о числах и фигурах, казалось, служили неисчерпаемым источником абсолютного знания, которое никогда и никем не может быть поколеблено.[14], [28]

Математические понятия широко использовались за пределами самой математики, они казались непреложными, как и принципы самой математики.

Древние греки (со времён открытия Пифагором математической природы музыкальной гармонии) считали, что вселенная существует на математических принципах. «Математика внутри присуща природе; закон и порядок существует в природе и математика - ключ к пониманию этого порядка» [14 с. 40]. Исходя из такого понимания, пифагорейцы сумели описать математическими законами (законами отношения величин и чисел) некоторые природные явления, такие, как движение планет и звёзд. Последнее стало возможным благодаря предположению, что планеты, двигаясь в пространстве, издают звуки.

Способ работы математиков, состоящий в выводе новых содержательных утверждений, применимых к разным объектам действительности, из нескольких представляющихся очевидными принципов был впоследствии оформлен в дедуктивный, или аксиоматический, метод. Природа дедуктивных выводов такова, что метод гарантирует истинность заключения, если только истинны исходные положения (аксиомы).

С помощью дедуктивного метода математики наглядно продемонстрировали возможности и силу человеческого разума в понимании и описании законов природы. Энтузиазм по поводу успехов математического метода в изучении природы в эпоху Просвещения привёл к тому, что логические требования и даже математические понятия и теоремы стали применяться ко многим областям человеческой деятельности.

«Созданные в начале 19 века необычные геометрии и столь же не обычные алгебры вынудили математиков, крайне не охотно, осознать, что и сама математика и математические законы в других науках не есть абсолютные истины» [14 с.32]. Так, К.-Ф. Гаусс поставил под сомнение то, что аксиомы евклидовой геометрии описывают физические свойства реального пространства, и поставил вопрос о том, как можно определить, какова его реальная геометрия. Было обнаружено, что в пределах точности измерений невозможно определить, какая из геометрий соответствует реальности.

Но эти геометрии противоречили одна другой, что, по представлениям того времени, означало, все они не могли быть одновременно истинными.

В то же время было обнаружено (Коши), что в математических доказательствах именно там, где математик не может опираться на интуитивно очевидные представления и, казалось бы, единственной гарантией истинности является строгость рассуждений (как, например, в «исчислении бесконечно малых»), математики используют нечёткие понятия вместо определений и расплывчатые аналогии вместо доказательств.

Опасность получить неверный результат привела к тому, что требования к точности и основательности математических рассуждений в течение XIX века стали значительно строже.

Во-первых, от аксиом перестали требовать «интуитивной очевидности». Это требование было заменено логическими требованиями, о которых пойдёт речь в следующем параграфе.

Во-вторых, была поставлена задача преобразования «содержательной» математики, то есть системы накопленных моделей, рассуждений и методов решения задач, в дедуктивные системы - преобразования, подобного тому, которое проделал Евклид с суммой геометрических знаний, накопленных древними греками.

Иначе говоря, «чистая» математика превратилась в совокупность теорий, истинных «внутри себя»; вопрос о применимости математики к реальным задачам, основаниях использования тех или иных математических методов вообще был вынесен за пределы математики.

По словам Д. Гильберта, характеризующим этот этап развития математики, «в евклидовой геометрии ничего не должно измениться, если мы заменим слова «прямая» и «точка» словами «стул» и «стол»».

В то же время математика была и остаётся содержательной наукой, «необычайно эффективной» (Г. Вейль) во многих областях практики - почему, собственно, она была и остаётся одним из основных предметов преподавания как в средней, так и в высшей школе.

1.2    Особенности современного аксиоматического подхода

В настоящее время аксиоматический подход понимается как «способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами теории, а все остальные предложения получаются как логические следствия аксиом» [21 с 45].

Аксиоматический метод зародился в работах древнегреческих геометров. Блестящим образцом применения аксиоматического метода вплоть до 19 в. была геометрическая система известная под названием «Начала» Евклида (ок. 300 до н.э.). Во времена Евклида не вставал еще вопрос об описании логических средств, применяемых для извлечения содержательных следствий из аксиом, в системе Евклида уже достаточно четко проведена идея получения всего основного содержания геометрической теории только дедуктивным путем из некоторого относительно небольшого числа утверждений - аксиом, истинность которых представлялась наглядно очевидной [21].

В работах Евклида пятая аксиома о параллельности прямых была сформулирована как теорема: предположим, что есть прямая  и точка , не лежащая на этой прямой. Опустим перпендикуляр из точки А на прямую . Всякая прямая пересекающая этот перпендикуляр в точке  под не прямым углом , пересекает прямую . Имея такую аксиому Евклид доказывает теорему, что если , то две прямые параллельны. Так как угол равный 90 единственный, то и прямая параллельная данной - одна.

После доказательства эквивалентности пятой аксиомы и теоремы о параллельности двух прямых, стали пользоваться формулировкой теоремы как аксиомой. Но, даже в такой формулировке математики не верили в незыблемость пятой аксиомы. Показав, что следствия, полученные из отрицания пятой аксиомы и всех теорем, выводимых на ее основе, не противоречивы, Лобачевский тем самым показал независимость пятой аксиомы.

Открытие в нач. 19 в. неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским и Я. Больяи явилось толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода. Они установили, что, заменив привычный, и, казалось бы, единственный «объективно истинный» V постулат Евклида о параллельных прямых, его отрицанием, можно развить чисто логическим путем геометрическую теорию, столь же стройную и богатую содержанием, как и геометрия Евклида. Этот факт заставил математиков 19 в. обратить особое внимание на дедуктивный способ построения математических теорий, что повлекло за собой возникновение связанной с самим понятием аксиоматического метода и формальной (аксиоматической) математической теории новой проблематики, на основе которой выросла теория доказательств как основной раздел современной математической логики.

Понимание необходимости обоснования математики и конкретные задачи в этой области зародились в более менее отчетливой форме уже в 19 веке. Уточнение основных понятий анализа и сведение более сложных (хотя и более очевидных интуитивно) понятий к простейшим логическим схемам, а также открытие неевклидовых геометрий, стимулировало оформление требований к любой системе аксиом.

Эти требования включают в себя полноту (возможность вывести из системы аксиом всё содержание теории), непротиворечивость (отсутствие в теории утверждений, выводимых из аксиом и противоречащих друг другу) и независимость (невозможность вывести какую-либо аксиому из других аксиом этой теории).

Первые результаты в этой области принес метод интерпретаций. Данный метод заключается в следующем: пусть каждому исходному понятию и отношению данной аксиоматической теории T поставлен в соответствие некоторый конкретный математический объект. Совокупность таких объектов называется полем интерпретации. Всякому утверждению  теории T естественным образом ставиться в соответствие некоторое высказывание  об элементах поля интерпретации, которое может быть истинным или ложным. Тогда говорят, что утверждение  теории T составлено истинно или ложно в данной интерпретации. Поле интерпретации и его свойство обычно сами являются объектом рассмотрения какой - либо математической теории T, которая, также, может быть аксиоматической.

Слабая сторона метода интерпретаций состоит в то, что в вопросах непротиворечивости и независимости систем аксиом он дает возможность получить только результаты, носящие относительный характер. Важным достижением этого метода стало выявление особой роли арифметики как такой математической теории, к вопросу о непротиворечивости которой сводится аналогичный вопрос для целого ряда других теорий.

Дальнейшее развитие аксиоматический метод получил в работах Д. Гильберта и его школы. В рамках этого направления было выработано дальнейшее уточнение понятия аксиоматической теории, а именно понятие формальной системы. В результате этого уточнения оказалось возможным представить сами математические теории как точные математические объекты и строить их общую теорию, или метатеорию, таких теорий. При этом соблазнительной представлялась перспектива решить на этом пути главные вопросы обоснования математики. Всякая формальная система строится как точно очерченный класс выражений - формул, в котором некоторым точным образом выявляется подкласс формул, называемых теоремами данной формальной системы. При этом формулы формальной системы не несут в себе никакого содержательного смысла; их можно строить из произвольных знаков или элементарных символов, руководствуясь только соображениями технического удобства. На самом деле, способ построения формул и понятия теоремы, той или иной формальной системы, выбираются с таким расчетом, чтобы весь этот формальный аппарат можно было применить для возможно более адекватного и полного выражения той или иной конкретной математической (или не математической) теории. Всякую конкретную математическую теорию T перевести на язык подходящей формальной системы S таким образом, что каждое осмысленное (ложное или истинное) предложение теории T выражается некоторой формальной системы S [21]. Такой метод построения теории, Гильберт назвал методом формализации.

После этого открытия Гильберта естественно было надеяться, что метод формализации позволит строить все содержание математической теории на такой точной, и, казалось бы, надежной основе, как понятие выводимой формулы (теоремы формальной системы), а принципиальные вопросы типа проблемы непротиворечивости математической теории решать в форме доказательств соответствующих утверждений.

Однако исследование К. Геделя в начале 30-х гг. 20 в. привели к краху основных надежд. Гедель показал следующее:

1.  всякая естественная непротиворечивая формализация S арифметики или любой другой математической теории, содержащей арифметику, не полна и непополнима;

2.       если формализованная арифметика в действительности не противоречива, то, хотя утверждение о ее непротиворечивости выразимо на ее собственном языке, доказательство этого утверждения провести невозможно средствами, формализуемыми в ней самой. [21]

Это означает, что уже для арифметики принципиально не возможно исчерпать весь объем ее содержательно истинных суждений классом выводимых формул, какой - бы то ни было формальной системы и что нет никакой надежды получить доказательство непротиворечивости арифметики.

 

.3 Аксиоматика евклидовой геометрии

Современная система аксиом Евклидовой геометрии состоит из пяти групп и опирается на шесть основных неопределяемых понятия: точки, прямые и плоскости и трех видов отношений выражаемых словами «принадлежит», «между» и «движение».

Введем аксиомы, предложенные в математической энциклопедии. [21 стр 215]

1.       Аксиомы принадлежности: 1.через каждые две точки можно провести прямую и при том только одну. 12. На каждой прямой лежат по крайне мере две точки. Существует хотя бы три точки не лежащие на одной прямой. 13. через каждые три точки не лежащие на одной прямой можно провести плоскость и при том только одну. 14. На каждой плоскости существует по крайне мере три точки и существует хотя бы четыре точки, не лежащие на одной плоскости. 15. Если две точки данной прямой лежат на данной плоскости, то и сама прямая лежит на этой плоскости. 16. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют еще одну общую точку (и, следовательно, общую прямую).

.        Аксиомы порядка. 21. Если точка B лежит между A и C, то все точки лежат на одной прямой. 22. Для каждых точек A, B существует такая точка C, что B лежит между A и C. 32. Из трех точек прямой только одна лежит между двумя другими. 42. Если прямая l пересекает одну сторону треугольника, то она пересекает еще другую его сторону или проходит через вершину.

.        Аксиомы движения. 31 Движение ставит в соответствие точкам точки, прямым прямые, плоскостям плоскости, сохраняя принадлежность точек прямым и плоскостям. 32. Два последовательных движения дают опять движение, и для всякого движения есть обратное. 33. Если даны точки A, B и полуплоскости , , ограниченные продолженными полупрямыми a, b, которые исходят из точек A, B, то существует движение, и при том единственное, переводящее A, a,  в B, b, .

.        группа содержит 2 аксиомы непрерывности 41 Аксиома Архимеда. Всякий отрезок AB можно перекрыть меньшим отрезком откладывая его на AB достаточное количество раз; откладывание отрезка осуществляется движением. 42 Аксиома Кантора. Если дана бесконечная последовательность вложенных отрезков AnBn, то существует, и при том единственная, точка c принадлежащая всем отрезкам AnBn.

.        группа содержит одну аксиому параллельности. Через данную точку вне данной прямой можно провести на плоскости не более одной прямой, не пересекающей данную, т.е. не более одной прямой параллельной данной ( в современная формулировка Ламперта).

С помощью основных понятий евклидовой геометрии определяются все другие ее понятия, Все предложения о свойствах геометрических фигур, не содержащиеся в аксиомах, должны быть выводимы только логически из этих аксиом. Система аксиом евклидовой геометрии обладает свойством полноты и непротиворечивости. Если в аксиоматике евклидовой геометрии заменить аксиому о параллельных на ее отрицание, то полученная новая система аксиом (система аксиом геометрии Лобачевского) тоже будет не противоречива. Получается, что аксиома о параллельных не зависит от остальных аксиом евклидовой геометрии.

В «Началах» Евклида содержится описание основных объектов как абстракций от реальных предметов окружающего мира. Однако объекты, удовлетворяющие системе аксиом евклидовой геометрии, допускают бесчисленное множество интерпретаций.

Например, в декартовой интерпретации на плоскости точкой называется любая пара действительных чисел  и  взятых в определенном порядке. Числа  и называются координатами точки. Прямая - совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют линейному уравнению  (уравнения прямой), точка принадлежит прямой, если она является одной из ее точек, т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению прямой. При таком конкретном понимании точек и прямых и отношения между ними каждая из аксиом евклидовой геометрии представляет собой некоторое утверждение, относящееся к действительным числам, и имеет место в силу соответствующих предложений арифметики. Поэтому система аксиом евклидовой геометрии непротиворечива, если не противоречива система аксиом арифметики.

 

.4 Два подхода к преподаванию математики и задача проектирования курса геометрии

Проблемы в самой математической науке неизбежно влекут за собой проблемы в преподавании математики. Пересмотр основ математики сильно отразился на преподовании геометрии, как на основе и историческом начале всей математики.

Остро встал вопрос: «Как преподавать математику и в частности геометрию?».

Ответ на этот вопрос на наш взгляд нужно искать, рассматривая цели преподавания математики вообще.

Нам удалось выделить два подхода преподавания математики:

1.       формирование навыков использования основных теорем и решения типовых задач; ученик понимает поставленную задачу и может найти численное решение; имеет представления о основных теоремах и способах решения типовых задач. Академик Крылов называл такое содержание образования - «образованием инженеров».

2.       теоретическое знание математических понятий. Таким понятием в системе развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова является понятия числа, а процесс преподавание математики выстроен как процесс построение понятия числа.

Для реализации второго подхода необходим учебник, выстроенный в определенной логике, а не набор существующих инструментов.

Примером такой логики построения для старших классов может быть аксиоматический подход.

 

.5 Реализация аксиоматического подхода у А.В. Погорелова

Возьмем за основу введенные в пункте 1.3. аксиомы евклидовой геометрии и сравним с ними аксиомы, вводимые А. В. Погореловым, обращая внимание на порядок их введения.

А. В. Погорелов начинает учебник со свойств принадлежности точек и прямых, аксиома 11 (хотя здесь А. В. Погорелов не называет это аксиомами, а называет свойствами принадлежности точек и прямых): какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. [24, с. 4]

Видно, что первая аксиома у А. В. Погорелова это аксиома 14 сформулированная для плоскости. Подобное начальное уточнение аксиом с пространства на плоскость связанно с тем, что учебник разделен на два раздела: планиметрию и стереометрию. В стереометрии А. В. Погорелов доопределяет введенные раньше аксиомы.

Аксиома 12: Через любые две точки можно провести прямую и только одну. Эта аксиома эквивалентна аксиоме 11

Следующим шагом введения аксиом у А. В. Погорелова является введение основных свойств расположения точек на прямой и на плоскости.

Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Эта аксиома является аксиомой порядка 21 ;

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости;

Каждый отрезок имеет определенную длинны, большую нуля. Длинна отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой;

32 Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180. Градусная мера угла, равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами. [24]

Свойства откладывания отрезков и углов

На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один;

. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньше 180, и только один;

. Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полу прямой. [24 с 10].

Свойство параллельных прямых.

5       Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной [24 c 13].

Свойства 32 и 42 не являются аксиомами, это технические правила вводящие, способ измерения углов.

Аксиомы о построении углов и отрезков являются следствиями аксиом движения.

Аксиомы стереометрии

C2 Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой;

C3 Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну [24 c 181].

Введя три аксиомы стереометрии, А. В. Погорелов предлагает уточнить аксиомы планиметрии для бесконечного числа плоскостей. При таком уточнении аксиомы принимают вид:

Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает эту плоскость на две полуплоскости.

42. От полупрямой на содержащей ее плоскости в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей  , и только один.

каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в данной плоскости в заданном расположении относительно данной полупрямой в этой плоскости.

На плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не боле одной прямой, параллельной данной.[24 с 181]

После введения аксиом планиметрии, называя их основными свойствами, А. В. Погорелов проясняет понятия теоремы и доказательства. «Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. Предположение, выражающее свойство геометрической фигуры, которое доказывается, называется теоремой» [24, с. 13].

Предлагается разобрать эти понятия на примере теоремы: «если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон» [24 с 14]. Только после доказательства теоремы автор говорит, что «утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказываются и называются аксиомами. Слово «аксиома» происходит от греческого слова аксиом и означает утверждение не вызывающее сомнений» [24 c 14].

В следующем абзаце вводятся «правила» аксиоматического метода. А. В. Погорелов пишет «при доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т.е. аксиомами, а также свойствами уже доказанными, т.е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя» [24, с. 15].

К концу первой главы введены все основные аксиомы Евклидовой геометрии, описаны все теоретические понятия, которые используются в геометрии, и приведены соответствующие примеры.

А. В. Погорелов не говорит и не дает представления о возможности разных интерпретаций свойств в разных теориях. Введя аксиомы таким способом, А. В. Погорелов сразу говорит о свойствах фигур. Аксиома, заданная как свойство, уже не может быть интерпретирована в другой теории, уже невозможно провести соответствие с реальным миром.

А. В. Погорелов не дает возможность интерпретации аксиом как свойств простейших фигур, в следствии чего возникает убеждение, что аксиомы прямо соответствуют свойствам.

После сравнения аксиом, введенных А. В. Погореловым, с аксиомами евклидовой геометрии рассмотрим несколько примеров введения понятий.

Предварительно стоит уточнить, что одним из основных правил составления А. В. Погореловым учебника, является правило использование уже известных и доказанных ранее фактов. Листая учебник можно уточнить это правило. «Используемые понятия должны быть введены «недавно, рядом», лучше, если в этой же главе.

Рассмотрим примеры введения понятий в учебнике А. В. Погорелова с точки зрения аксиоматического подхода и нашего уточнения.

. Параграф 4 главы 1 «Планиметрия» называется «Сумма углов треугольника». Первое, что мы видим в этой главе «признаки параллельности прямых». У школьников и у студентов, критикующих учебник часто возникает вопрос: «Причем здесь признаки параллельности прямых?».

В поисках ответа на этот вопрос листаем дальше. Следующий пункт этой главы «Сумма углов треугольника». Вот и ответ.

Для доказательства теоремы о том, что сумма углов треугольника равна 180, нужны знания о параллельных прямых и сумме внутренних накрест лежащих углов, которые вводятся в пункте «признаки параллельности прямых».

А. В. Погорелов решил проблему «недостающих знаний», введя их непосредственно перед необходимостью использовать.

Разобрав структуры с точки зрения аксиоматического подхода становиться заметной необходимость такого строения. Ученик не может восстановить замыслы автора, поэтому для него подобные вставки остаются безосновательными. На наш взгляд, такое построение учебника приводит к тому, что у ученика к концу школы складывается четкое непонимание геометрии.

. Такое же построение учебного материала отмечено и в параграфе 5 этой же 1 главы. Параграф называется «Геометрическое построение». В пунктах 26 -33 действительно производиться построение, а вот пункт 24 (опять же первый в параграфе) «Окружность» (приложение 1).

Какое отношение имеет понятие окружность к параграфу про построение? Самое прямое. Все построения, так или иначе, связаны с понятием окружности, а оно еще не было введено, следовательно, с точки зрения из аксиоматического подхода, пользоваться им нельзя. Конечно нельзя, но ввести то можно. Теперь, когда введено понятие окружности, объяснения построений становиться возможным.

. Параграф 7 «Теорема Пифагора». Первый пункт параграфа «Косинус угла» (приложение 1). Это понятие введено в связи с иго использованием в доказательстве теоремы Пифагора.

Через два пункта в этом же параграфе идет пункт «Как пользоваться таблицами синусов, косинусов и тангенсов», затем «Основные тригонометрические тождества», «Значение синусов, косинусов и тангенсов некоторых углов», «Изменение при возрастании угла ». Можно было вынести в отдельную главу все тригонометрию, и лишь потом сделать главу «Теорема Пифагора», тогда бы не пришлось такой важный материал вводить как дополнение к другому.

Следующий подобный пример встречается уже в 10 параграфе «Векторы на плоскости». Первым пунктом этого параграфа является пункт «Параллельный перенос и его свойства» при чем здесь векторы не понятно. Листая дальше эту главу понятно, что без этого понятия невозможно ввести операции над векторами. Таким образом происходит искусственное доворачивание теории учебника, до аксиоматического метода. Искусственное потому, что вводимая теория не отвечает ни на какой вопрос, а наоборот делает так, что бы вопросов ни возникало.

. §12 «Многоугольники». Название подразумевает введение понятия многоугольника и операции с ним. На деле первые пункт параграфа «Ломаная», понятия которой нам понадобиться для введения понятия многоугольник.

Последние два пункта этого параграфа «Длина окружности» и «Центральный угол и дуга окружности». Студент еще может восстановить логику введения материала, а для школьника она остается скрытой и, как видно из студенческих работ, не принимаемой.

. Подобное введение теории встречается также в §16 «Перпендикулярность прямых и плоскостей» в последний пункт «Расстояние между скрещивающимися прямыми»

Приведенные примеры иллюстрируют реализацию аксиоматического метода у А. В. Погорелова.

 

ГЛАВА 2. Критика учебника А. В. Погорелова

 

.1 Возможные основания критики

В обыденном представлении критика - обсуждение, разбор чего-нибудь с целью оценить, выявить недостатки; отрицательное суждение о чем - ни будь, указание на недостатки. Мы же исходим из культурного представления, введенного И. Кантом. Критика какого-либо содержания - это выявление его границ, которое происходит за счет того, что анализируются все возможные следствия из данного содержания.

Обсуждение учебников, оценка их качества и возможности работ с ними учителя и ученика - одно из важных направлений в методической работе. Учебник А. В. Погорелова, как один из наиболее массовых, является и одним из самых обсуждаемых методистами и педагогами. Знакомясь с работами методистов, учителей, преподающих по учебнику А. В. Погорелова, и критическими работами студентов, мы можем выделить несколько различных оснований используемых для обсуждения и анализа.

Одним из главных оснований анализа, у нас первым, является полнота и точность реализации аксиоматического подхода. Суть этого подхода изложена в первой главе данной работы. С этой точки зрения прежде всего рассматривается логика изложения материала в учебнике.

Следующим, вторым, основанием анализа можно считать «полноту» вводимой теории. Говоря о полноте, мы в большей степени будем говорить о «месте» введения того или иного понятия на страницах учебника геометрии.

Одной из специфик написания учебника является, введение новых фактов через уже известные школьнику понятия, теоремы. Поэтому одним из основных высказываний критики являются высказывание по типу «определение через неизвестное», или «доказательство неизвестным методом». Именно специфику, которую студенты выделяют такими высказываниями мы назвали «полнотой вводимой теории».

Так, например, студенты отмечают несколько определений, где новое понятие вводится через другое, но тоже еще не известное школьникам. Кроме того речь пойдет о необходимости привидения некоторых теорем в курсе школьной геометрии вообще, или введение понятия именно в этой главе, разделе, классе. По этому основанию мы чаще будем ссылаться на работы студентов вынесенные в приложении.

Третье основание - адекватность возрасту. Здесь в большей мере речь пойдет о двух аспектах

1.       адекватное возрасту содержание. Этот критерий возник из предположения, что само содержание может быть не адекватно возрасту.

2.       адекватное возрасту оформление текста учебника. В этом пункте мы будем рассматривать оформление учебника, исходя из представления об учебнике, как о помощнике школьника. Красочное оформление учебника помогает ученику лучше понять и запомнить новый материал.

Формы высказываний и объяснений, приводимых в учебнике, рассматриваются в привязке к возрасту читателя. Очевидно, что учебник должен быть написан с учетом возрастных особенностей. Конечно, это основание имеет место, только если мы говорим о школьном учебнике. Предполагая при этом, что целью учебника является не просто изложение материала, а такое изложение, при котором школьнику проще, а иногда и вообще возможно, понять и запомнить новое знание.

Четвертым основанием можно выделить адекватность материала культурным задачам преподавания. Если считать, что целью преподавания культурной дисциплины является формирование представления о ней как о системе, что предполагает формирование умений логически и обоснованно рассуждать, то и сам способ преподавания должен быть системным: исходить из истории, как это предлагает А. И. Щетников, или из проблемных ситуаций как А.М. Аронов.

 

2.2 Критика реализации аксиоматического подхода у А.В. Погорелова

 

2.2.1 Реализация аксиоматического подхода

Одно из направлений анализа задается вопросом: « На сколько точно и полно реализован аксиоматический подход. Основанием для анализа здесь является сравнение логики построения учебного текста с идеальной моделью. Идеальная модель описана в параграфе 1.3.

Рассмотрим логику построения учебного курса. Можно говорить о цикличности построения учебника. Содержательный материал начинается с более легкого для понимания, прямых, точек, углов на плоскости, и переходит на «составные» понятия в пространстве, понятия, которые опираются на уже известное школьнику. Первым циклом, выделенным у А. В. Погорелова, является планиметрия. Второй раздел, стереометрия, можно назвать вторым циклом, в котором происходит усложнения материала за счет добавления еще одной координаты.

Покажем теперь, насколько не адекватно лобовое следование аксиоматическому подходу в учебном тексте. В частности, методист И. Е. Феоктистов обсуждает проблему введения аксиоматического метода, говоря, что «Для учащихся аксиоматический метод выступает как форма предъявления учебного требования: доказывать все предложения, опираясь на аксиомы и ранее доказанные теоремы» [27]. Методическое значение такого требования состоит в формировании у учащихся психологической установки доказывать все, в том числе и наглядно очевидные факты. И. Е. Феоктистов, восстанавливая замысел А. В. Погорелова, допускает, что это могло быть сделано из предположения, что такая установка ведет к развитию у учащихся устойчивого познавательного интереса.

На практике же виден обратный процесс: «требование доказывать очевидное приводит к быстрому снижению интереса к предмету, к возникновению и закреплению в сознании учащихся неверного представления о геометрии как об очень занудной школьной дисциплине» [27 с 49].

Ощущение того, что геометрия занимается чем-то противоестественным, существенно влияет на учебную установку школьника. Примером такой не естественной ситуации может служить фраза ученика 6 класса, ставшая ответом на вопрос родителей «Чем занимались на уроке геометрии?» школьник ответил: «Учительница нарисовала на доске два одинаковых треугольника, и зачем - то целый урок доказывала, что они равны». Этот пример показывает, что школьник не способен понять суть доказательства и перенести его как способ на другой пример, он, в своих решениях, следует показанной ему форме.

Можно выделить также проблему не последовательности изложения материала. Эту проблему описывают прежде всего студенты, которые критикуя учебник относятся к нему еще не с точки зрения специалистов, а с точки зрения школьников. При этом последовательным они считают такое изложение материала, когда под названием параграфа, например «Многоугольник», пишется все про многоугольник.

Например, Н. В. Чагина в своей работе пишет «В пятом и шестом пунктах (первой главы) рассматриваются полуплоскости и полупрямая. Ранее рассматривается угол, откладывания отрезков и углов. Затем автор переходит к треугольникам, еще не рассмотрев смежные и вертикальные углы, к которым он обращается только в следующем параграфе». Интуитивно чувствуя разрыв, Н. В. Чагина называет это непоследовательностью изложения материала, «что может привести к затрудненному восприятию материала». [приложение 8]

Студентам 4 курса удается выделить несколько спорных мест в предложенном математическом материале.

К. А. Баженова в своей работе рассматривает определение угла приводимого А. В. Погореловым, выделяя в нем ограничения.

А. В. Погорелов вводит определение угла как «геометрической фигуры, состоящей из точки (вершины) и двух исходящих из нее лучей (сторон угла)». При таком определении делая несложные логические операции получаем, что «в треугольнике нет углов… Или здесь угол имеет другое определение, о котором «забыл» упомянуть автор. Или стороны углов могут быть отрезки?» [приложение 4]

Кроме того в учебнике А. В. Погорелова отсутствуют некоторые теоретические положения которые так или иначе «всплывают» в процессе преподавания. Многие учителя включают в свои уроки, формально проводимые по учебнику А. В. Погорелова, пропущенные автором теоретические положения, например: понятие о вневписанных окружностях, теоремы о величине угла между хордами окружности и между двумя секущими окружности, теоремы о пропорциональности отрезков секущих, отрезков секущих и касательной к окружности, теорему тангенсов, теорему об угле между высотами параллелограмма, проведенными из одной вершины, и многое другое. [27 стр 8].

 

2.2.2 «Полнота» вводимой теории

Полноту теории обсуждают студенты 3 и 4 курса, замечая не корректное введение понятий.

Одним из основных объектов для критики у четвертого курса стал тот факт, что понятие геометрии вводится через понятие геометрической фигуры, которое не введено, и совсем даже не тривиально. А. В. Погорелов пишет на первой странице учебника «Геометрия - эта наука о свойствах геометрических фигур». При первом прочтении такое определение вызывает непонимание «как можно определять неизвестное через неизвестное?». Попробуем разобраться.

Определение можно будет считать корректным при условии, что читатель точно знает, что такое геометрическая фигура, но этого школьники не знают. А. В. Погорелов решает эту проблему показывая на примерах (на рисунках) различные геометрические фигуры (треугольник, квадрат, окружность). Можно спросить, на сколько введение основного понятия корректно через приведение примеров. Но вспомним, что сейчас речь идет о 7 классе, о детях возраста13-14 лет, кроме того, учебник А. В. Погорелова - эта традиционная школа, где с первого класса все новые понятия вводятся через примеры и затем уточняются и дополняются. За 6 лет учебы им вполне привычно и очень понятно введенное на примерах понятие.

Конечно, можно говорить о математической точности, корректности такого определения. Но это же учебник призванный показать и сделать принятым известный цивилизации материал для школьника, для ученика 13 - 14 лет.

Сейчас, при разработке курса геометрии (А.М. Аронов и А.Скрипка, В.Г.Ликонцева, С.В. Ермаков) преодоление этой трудности происходит через построение в начале курса понятия фигуры. Четко разделяется геометрическая форма и объект. Лишь когда уже построено понятие фигуры и даны способы работы с ними, вводится понятие геометрии как науки занимающейся свойствами этих фигур.

 

2.2.3 Адекватность возрасту

В этом основании нами было выделено два пункта: 1. адекватное возрасту содержание, 2. оформление, адекватное возрасту

Рассмотрим критику, исходя из первого пункта выделенного основания: адекватное возрасту содержание

Традиционно геометрии отводится главная роль в воспитании пространственного воображения школьников. Однако в курсе планиметрии учебника «Геометрия 7-11» полностью отсутствует пропедевтика стереометрического материала. В результате за три года изучения планиметрии учащиеся полностью теряют пространственное воображение. Напомним, что это подростковый возраст в котором происходит, или должно происходить, развитие пространственных представлений [22]. Начале 10 класса, после трех лет изучения планиметрии, школьникам очень сложно увидеть в плоских чертежах пространственные формы.

Второй пункт этого основания: оформление, адекватное возрасту. Здесь мы будем рассматривать оформление учебника, исходя из представления об учебнике, как о помошнике школьника

Даже для взрослого человека очень важны красивые иллюстрации на страницах книг. Что же говорить о детях? Никто не будет спорить с тем, что учебная книга для школьника и учебник для студента могут иметь сходное содержание, но должны кардинально отличаться по оформлению. Сравнивая первую страницу из книги для студентов «Элементарная геометрия» А. В. Погорелова [приложение № 9] и первую страницу его учебника для школы «Геометрия 7-11» с удивлением замечаем, что за много лет картинки на них остались идентичными. О первых строчках изложение курса геометрии можно сказать то же самое.

Строгость изложения определяет сжатость и лаконизм объяснительных текстов. Никакого отвлечения от темы изложения. Нет и различных методических приемов активизации позновательной деятельностью ученика в объяснительных текстах. Только определения, аксиомы, теоремы, контрольные вопросы и задачи.

Но на страницах современных учебников математики для 5-6 классов живут сказочные герои. Всеми доступными средствами авторы и издатели учебников пытаются сделать их более привлекательными. И лишь увлеченные дедуктивным методом геометры предлагают учебник, более похожий на книгу для абитуриента: голая теория, типовые задачи, ничего лишнего. По признанию учеников тексты они читают лишь тогда, когда нависает угроза вызова к доске или очередной контрольной работы.

Например в своей работе «Критика школьно учебника», Шумова С.В, студентка 3 курса, пишет «передо мной лежит невзрачный, плохо оформленный учебник, который и открывать, то не хочется, лучше уж взять красочный учебник по географии и прочитать его» [приложение № 6]

Автор учебника часто приписывает ученику возможность восстановить логику его мыслей, вследствие чего пропускаются как уточнения о проделанных действиях, так и сами действия. Практика показывает, что студенты, после сделанных преподавателем уточнений, могут восстановить пропущенные выкладки автора. Школьники же даже не подозревает, что автор мог что - то пропустить. В школе, для ученика не встает вопрос о «полноте» изложенной в учебнике теории.

Ученик не понимает школьный курс геометрии. Для него, во - первых, не явлена логика построения учебного курса, во - вторых остается непонятным большинство математических преобразований. У ученика складывается впечатления ненужности всего математического курса.

В изучении геометрии новым для школьников прежде всего является построение доказательства. Но как замечают в своих работах студенты, А. В. Погорелов приводит доказательство в готовом виде, без предварительных рассуждений. Учащимся предлагается заучить отвлеченные результаты мышления другого человека, но для них при этом остается скрытым сам процесс поиска доказательства, процесс мышления, приводящий к этим результатам. Такой подход никоим образом не способствует освоению учениками навыка доказательства.

Большой пробел, на наш взгляд, заключается в том, что рассуждения, приводящие к последовательности выкладок в доказательстве, нигде не приведены и схемы нахождения доказательства не обсуждается. Остается предположить, что формирование этого важнейшего навыка целиком возложено на плечи школьных учителей.

Рассматривая стилистику написания учебника А. В. Погореловым, мы замечаем, что он написан в вузовском стиле. Под вузовским стилем понимается разделение теории и практики. А. В. Погорелов помещает теорию вперед, а после определений и теорем помещены вопросы на повторение и лишь затем практические задания (упражнения), которые не разделены по введенным в параграфе понятиям и темам.

Например, с первых страниц учебника автор вводит понятия аксиомы, теоремы и доказательство. Говоря, что аксиомы, это - «утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств, простейших фигур, не доказываются… Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. Предложение, выражающее свойство геометрической фигуры, которое доказывается, называется теоремой».[24, с.13]

Или во втором параграфе автор описывает метод доказательств от противного, рассматривая его на примере приведенного выше доказательства теоремы.

Такие вставки в учебнике позволяют говорить, что текст написан не только в аксиоматическом стиле, но и с использованием и отдельным выделением методов, но, к сожалению, использование выделенных методов не явлено ученику. Например, нигде в дальнейшем, не пишется, каким именно методом доказывается теорема, что позволяет говорить о случайности этой вставки. Если бы было предложено ученику самому доказать некоторые теоремы методом от противного, то мы могли бы говорить о попытке А. В. Погорелова представить геометрию еще и как методы. Это давало бы более полное представление о геометрии и связи разных предметов.

2.2.4 Адекватность материала культурным задачам преподавания

Одной из главных целей преподавание математики в школе является научение (формирование умений) логически и обоснованно рассуждать. Этого можно добиться точным задаванием вопросов, на которые ученик сам сможет ответить. А. В. Погорелов же таких вопросов не ставит.

При составлении учебных пособий часто возникает вопрос о значимости и необходимости доказательства в учебнике вообще. Основание этого вопроса заключается в том, что теоремы выделены еще до доказательства как уже известные факты. В связи с этим, школьник даже не задумывается над их истинностью или ложностью.

Одной из возможностей заинтересовать школьника в доказательстве студенты называют приведение теорем не как уже известных и доказанных фактов, а как задач, для решения которых необходимо доказать утверждения, сформулированных самим учеником.

С.В. Ермаков и М. М. Кужабекова предлагают обучить ребёнка какому-либо универсальному методу работы с геометрическими задачами и теоремами, что, по их мнению, сделает его обучение геометрии более эффективным и продуктивным. Одним из таких методов является метод декомпозиции, который получил название благодаря своему основному свойству (разбиение задачи или теоремы на значимые части). Введение этого метода на примере рассматривает в своей дипломной работе Кужабекова М. М. [17]

Еще одним из выходов в сложившейся ситуации может быть преподавание геометрии в историческом контексте, который предлагает Щетников А.И. Щетников выделяет два аспекта математики в ее отношении к историческому времени:

.        математика, как система связных между собой вечных вневременных фактов.

Деятельность математиков сводится к открытию этих фактов и к построению дедуктивных связей между ними; соответственно история математики представляет собой «эволюционный прогресс, по ходу которого математика становиться лучше и лучше, при этом подразумевается, что математика прошлого постепенно отвергается как неуместная, неточная и имеющая изъяны» [19];

.        математика как человеческая деятельность, разворачивающаяся в культурном времени.

Такая точка зрения позволяет нам увидеть, что в деятельности математика, открывающих новое знание, и преподавателей и учащихся, имеющих дело с уже открытыми знаниями, есть нечто общее, поскольку и в этой последней деятельности элемент содержательного общения, открытия и творчества оказывается очень важным, если только мы стремимся к осмысленности учебного процесса.

Возможно, ключ к решению проблемы преподавания математики состоит в изменении точки зрения на соотношения математики и ее истории. Щетников предлагает систематическое рассмотрение происхождения математических идей и розыгрывание драмы их возникновения «не только в факультативных курсах истории математики, но (и прежде всего!) в основных математических курсах».[ 33 с 61]

Другой выход предлагает Аронов А.М., предлагая обучение геометрии методом учебно - предметных проблем. Данный метод заключается в изложении учебного материала вокруг выделенных учебно - предметных проблем. Учебно - предметная проблема - это предметная (научная ) проблема, адаптированная к учебной деятельности; знание о незнании, которое в результате учебного поиска приводит к открытию нового фундаментального факта.

С точки зрения обучения методом учебно - предметных проблем постановка проблемы является наиболее важным этапом. От учащихся которые не приняли проблему, будет скрыто содержание соответствующего проблеме учебного блока, так как, не видя проблемы, невозможно увидеть ее решения. Весь материал при обучении данным методом появляется в процессе решения проблемы.

На этапе постановки проблем учащийся еще может быть только получателем информации. Но процесс решения проблемы потребует от него расширения поиска возможных средств решения, спровоцирует самостоятельное обращение к различным источникам данных: учебнику, учебно - методическим пособиям, другим учащимся. Учащийся, как и любой исследователь, не владеет полным объемом информации о конкретной проблеме и поэтому у него неизбежно возникнут вопросы. Тогда с цель поиска ответов на них произойдет обращение к различным источникам. Ответов на все вопросы в источниках нет и быть не может в силу ограниченности самих источников и относительной не предсказуемости вопросов. Например трудно найти ответ на вопрос о наличии у фигуры такого - то свойства. Даже если о свойстве не упоминается в учебнике, это еще не значит, что фигура данным свойством не обладает. Обучение методом учебно - предметных проблем способствует формулированию подобных вопросов, на которые нет готовых ответов.

В случае отсутствия ответа в источниках желающий решить проблему обратиться к учителю, который выступает в качестве эксперта. Другой вариант действий учащегося - обсуждение вопроса с другими учащимися, совместный поиск ответа.

На наш взгляд каждый из приведенных трех подходов к содержанию курса геометрии в школе способствует формированию логического мышления и умения обоснованно рассуждать. В курсе А. И. Щетникова это происходит исходя из исторической рамки; А. М. Аронов, А. М.Скрипка делают тоже самое через учебно - предметные проблемы; Ермаков С.В., Кужабекова М. М. - через обучение какому-либо универсальному методу работы с геометрическими задачами и теоремами.

ГЛАВА 3. Образовательное значение критики школьного учебника в обучении педагогов математиков

 

.1 Образовательное значение критики

Одной из важных задач образования педагога математика является становление проектного мышления [2]. Под проектным мышлением мы понимаем такое мышление, которое создает образ будущей деятельности и тех средств, в том числе и еще не существующих, которые необходимы для того, что бы эта деятельность состоялась.

Задача проектирования включает в себя два разных аспекта. С одной стороны, необходимо учитывать задачи конкретной практики (в нашем случае такой конкретной задачей является подготовка педагога - проектировщика), с другой, необходимо удерживать логические требования к системе подготовки педагогов в высшем образовании.

Кроме выделенных двух аспектов, также нужно учитывать еще и особенности студенческого возраста и их мотивацию к учебе. С одной стороны они уже выбрали профессию и, вроде, у них должен быть профессиональный интерес, но это только 3 -4 курс, притом, что два года они учились как математики, профессионального интереса еще нет, или его не достаточно. С другой стороны это студенты, которым 19 - 20 лет, их интересует не конкретное знание, а соотношение их профессиональных знаний и жизни. Им важно не конкретное знание, а понимание ценности этого знания.

На наш взгляд, необходимость учитывать три выделенных аспекта задает некоторую сложность построения образовательной ситуации. Эта сложность проектирования может быть решена через постепенное введение практики проектирования, начиная с анализа.

Одна из возможностей освоения практики проектирования в образовании - проектирование студентом собственного образования.

Введем схему акта рефлексии Г. П. Щедровицкого (рис 1).

Рисунок 1

Схема описывает процесс преобразования прошлой ситуации в новую ситуацию через выход в рефлексивную позицию.

Опишем с помощью этой схемы форму организации проектной работы студентов как рефлексию над собственной образовательной траекторией. Для описания формы организации разобьем процесс преобразования на три этапа.

1.       для анализа прошлой образовательной ситуации необходимо выделить прошлую ситуацию и ее основание. Это может быть сделано из рефлексивной позиции

2.      

Рисунок 2

Проделав это студенты оформляют свои школьные переживания в опыт.

2. вторым шагом мы выделяем построение образа себя как педагога - проектировщика. Такое построение образа происходит в рефлексивном слое (рис 3).

Рисунок 3

3.       определение последовательности шагов приводящих к реализации образа будущего и определение необходимых ресурсов (рис 4).

Рисунок 4

Обсуждаемая нами работа включается в первый этап такой деятельности.

Объектом анализа является массовый школьный учебник математики, тот по которому учились сами студенты. Если говорить о мотивации студента, она создается за счет того, что студенты, прежде всего, делая анализ, выкладывают свои представления и обоснования исходя из личного опыта.

Разберем подробнее основания нашего выбора именно учебника геометрии А. В. Погорелова для критики студентами. Для этого ответим на четыре вопроса.

1.       Что такое учебник?

Учебник представляет собой проект деятельности ученика в свернутом виде. Автор пишет учебник исходя из своих представлений о возможностях и деятельности ученика.

. Почему именно массовый учебник?

Массовость учебника говорит о признанности именно такого содержания. Какие бы недостатки студенты не выделяли, сколько не критиковали, а учебник «работает».

Массовость учебника дает представление студентам о тех учебниках которыми пользуются в большинстве школ.

Важным представляется еще и тот факт, что по учебнику А.В. Погорелова будучи школьниками учились сами студенты. Можно точно сказать что они были в позиции ученика, могут ее вспомнить и перевести в опыт, необходимый для проектировочной деятельности.

.        Почему учебник по геометрии?

Геометрия единственная является логически выстроенным математическим разделом. Уже в 3 веке до н.э. Евклид сделал первые попытки представления геометрии в определенной логике (аксиоматический подход), тогда как алгебра и арифметика до сих пор представляют собой набор средств, применяемых для решения задач определенного типа.

Вторым ответом на этот вопрос является то, что решение задач по геометрии опирается на интуицию. Решая геометрические задачи ученик интуитивно подбирает набор нужных ему фактов и лишь затем доказывает их, или находит доказательство. При решении именно геометрических задач повышается вероятность индивидуального математического творчества.

4.  Почему учебник А. В. Погорелова?

По учебнику А. В. Погорелова училось большинство студентов. Таким образом, решаются задача привлечения личного опыта и массовость.

На 3 и 4 курсе студенты получают задание написать критику школьного учебника. Через такую постановку задания снимается некоторый страх, переросший из уважения, к своим школьным учебникам и к учебникам вообще.

Часто работы студентов начинаются именно с описания подобных сложностей. «Честно говоря, мне трудно критиковать какой - либо учебник, по которому я училась», студентка 3 курса [приложение № 5]

Преодоление такого страха, уважения перед учебником дает возможность критического взгляда, без которого невозможно проектирование, например проектирование уроков развивающего обучения, невозможно без критического отношения к учебнику, к текстам, и к своему пониманию.

Критикуя учебник, студенты начинают относиться к учебнику как к целостному тексту, описывая структуру глав и пытаясь понять причины именно такого расположения.

Например «Учебник построен в следующем виде: сначала изложены все темы параграфа, затем даны контрольные вопросы к параграфу и только потом задачи, изложенные подряд для всего параграфа. Такое построение учебника затрудняет самостоятельное изучение темы и подбор задач для определенной темы. В учебнике отсутствуют любые примеры, с помощью которых было бы легче разбираться с трудными для ученика заданиями» [приложение 2].

Еще один аспект написания работ по критике учебника - оформление опыта. Окончив школу, выпускник, или теперь уже студент, по отношению к учебе в школе имеет в основном переживание и воспоминание. Через написание текста и обсуждения своих школьных (образовательных) ситуаций на семинарах эти переживания оформляются как опыт.

Кроме того, для написания работы по критике учебника, студенты необходимо занять позицию и четко ее удерживать. Здесь под позицией мы понимаем, прежде всего, ответ на вопрос «Что свое?» и действие которое лежит в этом содержании и в этих основаниях.

 

.2 Предложения по заданию на содержательный анализ для студентов

Критикуя учебник, студенты вспоминают свои переживания, в результате чего написанные ими тексты больше похоже не на критику, а не пересказ своих ощущений.

Это подтверждает следующее высказывание «Формулировка теоремы довольно странная, особенно фраза «равны соответственно». Школьников данная фраза просто шокирует. И обычно родители тратят много времени на ее разъяснения (личный опыт). Далее идет доказательство - просто шедевр. Когда я прочитала его несколько раз, то поняла, что там доказывают фразу «равны соответственно» [приложение 7]

Вот пример еще одного воспоминания ощущений «… я то занималась именно по такому учебнику и я помню, какое впечатление он на меня производил» [приложение 6] . «Геометрия для школьников является очень трудным предметом. Для меня он тоже был непонятен» [приложение 3].

Немногим студентам удается прорваться до критики. Из опыта видно, что критические работы пишут студенты, у которых была ситуация, когда они занимали «место» (еще не позицию) учителя, педагога. Вспоминая эти ситуации студент пишет более позиционный текст. Примером таких текстов, могут быть тексты Баженовой К и Черненко Т.В. [приложении 4, 7].

На приведенных примерах видно, что без строгого задания позиции студенты скатываются в обыденное представления. Если задана собственная позиция, хотя бы игровая, то есть возможность выстроить диалог с позицией автора, восстановить его основания. Если позиция не задана и критика происходит из обыденного сознания, то не различаются отношения понятно\не понятно и согласен\не согласен, кроме того отношение согласен\не согласен склеивается с отношением нравится\не нравится.

Этап описания переживаний и перевода их в опыт важен и не может быть пропущен. Поэтому мы предлагаем четко разделить задачи критики по годам.

На 3 курсе написание критики преследует цель переведения переживаний в опыт. Поэтому задание на критику для студентов может быть сформулировано предельно абстрактно: «напишите критику учебника». На этом этапе важна рефлексивная позиция по отношению к своему образованию.

На 4 курсе целью критики может быть позиционирование, или удержание позиции. Исходя их этих целей, задание должно содержать некоторые основания для выбора позиции. Это могут быть основания, выделенные во 2 главе нашей работы; реализация аксиоматического подхода, полнота вводимой теории, оформление адекватное возрасту, адекватность материала культурным задачам преподавания.

Заключение

В дипломной работе показано, что А. В. Погорелов при попытке построения учебника в аксиоматическом подходе очень сильно меняет сами аксиомы евклидовой геометрии, о чем можно говорить, сравнивая аксиомы А. В. Погорелова с приведенными во второй главе культурными аксиомами евклидовой геометрии.

Кроме этого, после проделанного анализа можно выделить положительную и отрицательную стороны учебника. Положительной стороной является полнота и связность представленной системы аксиом евклидовой геометрии. Отрицательная сторона - не соответствие возрастным особенностям школьников и культурной задаче преподавания геометрии. Несоответствие возрастным особенностям, прежде всего, проявляется в структуре и оформлении текста.

На наш взгляд, каждый из приведенных подходов формирует логическое мышление и умение обоснованно рассуждать. В курсе А. И. Щетникова это происходит исходя из исторической рамки; в курсе А. М. Аронова, Т.В. Тимковой, А. М.Скрипка делается то же самое через учебно - предметные проблемы; у Ермакова С.В., Кужабековой М. М. - через обучение какому-либо универсальному методу работы с геометрическими задачами и теоремами.

Выделено три этапа организации проектной работы студентов. Первый этап - выделение прошлой ситуации и ее оснований; второй - построение образа себя как педагога - проектировщика; третий этап - определение последовательности шагов приводящих к реализации образа будущего и определение необходимых ресурсов

На основе выделенных этапов предложено более продуктивное задание на студенческие работы «критика массового школьного учебника» на 3 и 4 курсах обучения педагогов проектировщиков. Задание разбивается на два этапа: 1. критика массового школьного учебника в обыденном понимании критики, что приводит к оформлению собственного опыта; 2. позиционирование, или удержание позиции при критике. На этом этапе задание должно содержать некоторые основания для выбора позиции. Это могут быть основания, выделенные во второй главе нашей работы; реализация аксиоматического подхода, полнота вводимой теории, оформление адекватное возрасту, адекватность материала культурным задачам преподавания.

Литература

1. Аронов А.М, ВасильевВ.Г., Фрумин И.Д., Хасан Б.И.. Комплексный психолого - педагогический эксперимент: Методическое пособие. Красноярск, 1994

2.   Аронов А.М., Знаменская О.В., Ермаков С.В.Учебно - образовательное пространство в педагогике развития: математическое образование // Монография. Красноярск 2001.

3.       Атанасян Л.С, Позняк Э.Г. О пробных учебниках по геометрии для 6-8 классов общеобразовательной школы// Математика в школе 1981

.        Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А. и др. Геометрия. / Учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 1995

.        Бурбаки Н. Теория множеств. - М.: Мир, 1965

.        Бурбаки. Очерки по истории математики. Архитектура математики//М.: Издательство иностранных дел, 1963.

.        Грузин А.И, Из опыта работы по пособию А. В. Погорелова в 6-7 классах. //Математика в школе 1983

.        Гусев В.А. Каким должен быть курс школьной геометрии? //Математика в школе 2002

.        Ермаков С.В. генезис структур математического доказательства / Педагогический ежегодник 1995

.        Ефимов В.С., Лаптева А.В., Ермаков С.В., Барцев С.И., Кучерова В.В., Миркес М.М., Возможные миры. Инициация творческого мышления : Учеб. Пособие /КрасГУ. Красноярск, 1993

.        Земляков А.Н. Аксиоматический подход к геометрии (тезисы) /Математическое образование. №3 2001

.        Кант И. Пролегомены ко всякой будущей метафизике могущей возникнуть в качестве науки / собрание соч. в 8 т Сп 1994

.        Кац Г.С, Саврасов С.М, Ястребинецкий Г.А, Из опыта работы в шестых классах по учебному пособию «Геометрия 6 -10» А. В. Погорелова. //Математика в школе 1983

.        Клайн М. Математика: утрата опредененности:.//М.: мир, 1984

.        Кнопский А.М, Ягодовскай М.И, СкопецТ.А. О новом издании учебного пособия «Геометрия 9-10» //Математика в школе 1984

.        Кудашев В.И. Развитие диалогичности сознания в работе с философским текстом// Педагогический ежегодник. - Красноярск, 1995. С. 37-39

.        Кужабекова М. М. Декомпозиция задачи (теоремы), как опора Геометрического рассуждения школьника (на материале 7-го класса). \ Дипломная работа. Красноярск 2001

.        Левитас Г.Г, Кому мешает учебник А. В. Погорелова //Математика в школе 2002

.        Лео Роджерс. Историческая реконструкция математического знания /Математическое образование. №1 2001

.        Ликонцева В.Г. Некоторые аспекты построения курса геометрии в РО// Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября» №29/ август, 2000. С. 31-32

.        Математика. Большой энциклопедический словарь./ Гл. ред. Ю.В. Прохоров. - М.: Большая Российская Энциклопедия, 2000

.        Обухова Л.Ф. Возрастная психология.учебное пособие - М.:педагогическое общество России.1999

.        Платон. Теэтет/ собрание сочинений в 4 т.Т.2 М.: Мысль 1993

.        Погорелов А. В. геометрия: учебное пособие для 6 -10 \ М.: Просвещение, 1988

.        Скрипка А.М. Пробное учебное пособие по темам "Ломаная", "Четырехугольник", "Площадь"для восьмого класса. \Дипломная работа. Красноярск 2002

.        Тимкова Т. В. Основные понятия планиметрии. Геометрические построения. (Пробный учебно - методический комплект по геометрии для 7 класса) \ Дипломная работа. Красноярск 2001

.        Феоктисов И.Е. Обсуждение одного учебника //Математика в школе 2002

.        Френкель А., Бар - Хиллеел И. Основания теории множеств // Ред. А.С.Есенина - Вольпина. М.:"Мир" 1963

.        Шумская Е. А. теория параллельных прямых. Теория треугольника. (Пробный учебно-методический комплект по геометрии для 7 класса)\ Дипломная работа. Красноярск 2001

.        Щедровицкий Г.П. К анализу процессов решения задач./ Избранные труды. - М:.Шк. Культ. Полит., 1995. С. 667 - 672.

.        Щедровицкий Г.П. Об исходных принципаах анализа проблемы обучения и развития в рамках теории деятельности/ Избранные труды. - М:.Шк. Культ. Полит., 1995. С. 197 - 227.

.        Щетников А.И. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы.- Новосибирск: Артель «Напрасный труд», 2000

.        Щетников А.И.. Щетникова А.В. Преподование математики в историческом контексте. / Математическое образование. №3 2001

.        Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А.П. Савин. - М.:Педагогика 1989

Приложение

 

Критика школьного учебника

Целью данного отчета является критика учебника по геометрии для 7-11 классов средней школы составленный А. В. Погореловым.

Остановимся на одном из разделов данного учебника: стереометрия. Приведем данное определение: Стереометрия - это раздел геометрии, в котором, изучаются фигуры в пространстве. Ниже уточняется, что здесь происходит введение нового геометрического образа - пространства …. Остановим ваше внимание на выделенных словах. Кроме этого о плоскости больше ни сказано не слова, тоже можно сказать и о пространстве.

На мой взгляд, понятия пространства определено не корректно. Необходимо некоторое уточнение, - какое пространство. Ведь даже рассматриваемые фигуры на плоскости в планиметрии, можно сказать, описываются в пространстве R, тогда как в этом разделе имеется в виду - пространство R.

В планиметрии дети работают с фигурами на плоскость. Они не получают ответа и в дальнейшем. Для них это нечто вроде параллелограмма.

Проследим к чему же все это может привести.

Если в планиметрии дети могут взять карандаш, нарисовать точку, провести прямую и начертить «плоскость - параллелограмм», то в стереометрии не достаточно видеть фигуры на листе бумаге, их необходимо представлять и воображать.

Основная проблема заключается в том, что дети не умеют представлять геометрические фигуры.

Я думаю, что одной из основных задач планиметрии является формирование образного мышления, которое напрямую используется стереометрией, но, т.к. базовые понятия геометрии (точка, прямая и т.д.) преподносятся абстрактно, лишь через их чертеж на бумаге, то это не может быть выполнено.

Остановимся на еще одном моменте данной темы. На сколько я понимаю, первая глава данного раздела является вводной. В ней рассматриваются лишь основные фигуры в пространстве: точка, прямая и плоскость, а о других не основных не говориться не слово. Рассматриваемые в следующей главе многогранники воспринимаются детьми как нечто отстраненное от понятия фигур в пространстве. Все это сильно искажает понимание и представление (если, конечно, его удалось, таки, у кого-либо сформировать) учеников.

Обратимся непосредственно к теоремам и доказательствам, на чем строится собственно вся геометрия. Их простое зазубривание, что подразумевается в обучении по данному учебнику, не приводит к развитию и образованию умения самостоятельно доказывать теоремы у школьников, лично я тому живой пример. Формальная логика построения учебника не позволяет детям увидеть и представить многие моменты доказательства (дополнительные построения, доказательство от противного и т.д.)

Приложение 2

Критика школьного учебника. ПМ - 42 Устименко М.

Учебник построен в следующем виде: сначала изложены все темы параграфа, затем даны контрольные вопросы к параграфу и только потом задачи, изложенные подряд для всего параграфа. Такое построение учебника затрудняет самостоятельное изучение темы и подбор задач для определенной темы.

В учебнике отсутствуют любые примеры с помощью которых было бы легче разбираться с трудными для ученика заданиями.

Самой трудной и непонятной главой всего курса геометрии является глава «векторы». Данная тема непонятна с самого начала. Само определение вектора вызывает непонимание и вопрос: как отрезок (имеющий начало и конец) может быть направлен? Очень непонятно объяснено действие с векторами, разложение их по координатным осям и неколлинеарным векторам. Для ученика выполняющего эти действия создается трудность в представлении того, что он делает и зачем это надо, где это можно применить на практике, если он этого даже представить себе не может.

Приложение 3

Критика школьного учебника. ПМ -42 Феськава Е.М.

Геометрия для школьников является очень трудным предметом. Для меня он тоже был непонятен. Объяснить тему по геометрии с трудом могут родители ребенку, не понявшему урок, даже глядя в учебник. По учебнику А. В. Погорелова училось не одно поколение, но я, считая, что он труден для понимания. Не уходя вглубь, начинаю его листать и практически сразу нахожу интересную вещь: в п.12 доказывается теорема, что через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую и только одну, методом от противного, а после чего, в следующем пункте говориться, что та теорема была доказана этим способом. Но ведь ребенку этот способ еще и не был знаком, а, следовательно, пункт «доказательство от противного» нужно было поместить перед доказываемой теоремой.

Далее §4 «Сумма углов треугольника», в котором п.20 признаки параллельности прямых. Как-то странно причем здесь параллельные прямые, если речь пошла о треугольниках? Следующим пунктом все-таки «Сумма углов треугольника», но доказательство столь простой теоремы просто ужасает: сделаны какие-то дополнительные построения. Почему именно такие и зачем? Как можно было догадаться, что можно было делать именно их? Мне известно более простое доказательство теоремы о сумме углов и доказательство, приведенное в учебнике, как мне кажется, слишком громоздко и непонятно школьнику - ученика 7 класса. Автору, наверняка были известны другие способы доказательства этой теоремы, но он почему-то выбрал этот.

А еще я думаю, что задач, которые даются после каждого параграфа, слишком много, а как их решать не совсем понятно. И мне остается не ясным, каким образом у детей могут сформироваться математические знания и умения, если без помощи учителя ученики не могут решать самостоятельно, потому что они скорее видят странные чертежи, чем связанные логично между собой геометрические объекты, а изобразить правильно нужные дополнительные построения удается не каждому.

В учебнике нет даже никаких исторических ссылок, хотя иногда детям было б не только полезно, но и интересно узнать о происхождении какого-либо геометрического термина или объекта, поэтому учебник А. В. Погорелова я вижу только, как историк «сухих» фактов, которые вряд ли способны заинтересовать и привлечь внимание детей.

Так же я считаю, что ни при каких условиях ответов в конце учебника быть не должно. Они могут быть только в методических пособиях для учителей, а зачем ответы к задачам в учебнике не понятно.

Приложение 4

Критика школьного учебника. ПМ -42 Баженова К.

Я проанализировала учебник по геометрии для 7-11 классов средней школы, составленный А.В. Погореловым. Учебник занял призовое место на Всесоюзном конкурсе учебников по математике для средней школы.

В этом учебнике имеется много задач: задачи на отработку темы параграфа, задачи повышенной трудности, отмеченные звездочкой, задачи «на повторение», задачи-примеры, которые разбираются в параграфе непосредственно. В конце учебника к задачам даны ответы или указания для решения (которые нужно догадаться, как применить). Для наглядности предложены рисунки чертежи и портреты ученых для общего развития.

Структура и некоторое содержание учебника.

В начале «большой» темы, обозначенной просто заголовком более крупного шрифта, не дается ни какого предисловия относительно того, что будет изложено ниже. После идет ряд параграфов, имеющих похожую друг на друга структуру. В начале (или после теоремы) даются новые определения, после формулируется и доказывается теорема(ы), приводятся примеры-задачи по использованию, полученной информации.

Замечу, что в середине учебного материала 7 класса есть пункт «Как готовиться по учебнику самостоятельно». Наверное, по замыслу автора учащиеся болеют или пропускают школу только с середины года (учебного).

Скажу немного об определениях этого учебника (предполагаю, что не только этого). На мой взгляд, есть некоторые особенные определения, одно из таких нашли я и моя сестра, когда она готовилась к экзамену по геометрии в конце 9 класса.

Итак, определение угла: «Угол - геометрическая фигура, состоящая из точки (вершины) и двух исходящих из нее лучей (сторон угла)». Теперь рассмотрим развернутый угол, геометрически прямая и точка, лежащая на ней. Сколько развернутых углов мы нарисовали? Конечно, два. А если поставить еще одну точку (см. рис. 2). Сколько углов теперь? Ответ: 4.

Теперь вспомним фигуру - треугольник. Выходит, в треугольнике нет углов. Почему? потому, что нет лучей в количестве двух штук, выходящих из одной точки. Или здесь угол имеет другое определение, о котором «забыл» упомянуть автор. Или стороны углов могут быть отрезки? Тогда на прямой с двумя точками 8 углов, а с 3-мя точками? Я предполагаю, что есть еще несколько таких «молчаливых» определений.

Отмечу, что если ребенок обучался 7 -9 класс по другому учебнику (например, Атанасян Л.С.), то ему потребуется некоторое время чтобы согласовать темы, которые он изучал (соответственно думал, что такая-то тема может находиться только в такой-то теме) предполагаемые в учебнике А. В. Погорелова.

Приложение 5

Критика школьного учебника. Автор неизвестен

Честно говоря, мне трудно критиковать какой - либо учебник, по которому я училась. Почему? потому, что учебник как средство (основное) передачи информации стал только в 10 -11 классе, до этого учебник я использовала как задачник т.е. книжку с примерами. До 10 -11 класса учебник я практически не употребляла без учителя. Поясню на примере, проходим тему по геометрии (допустим вертикальные углы) учитель все рассказывает пересказывает учебник, мы записываем, и потребности открывать учебник, как носитель теоретического материала, нет, только задачник.

Сейчас передо мной лежит учебник А. В. Погорелова «Геометрия 7-11» . Я считаю его доступным, т.е. понятным. За исключением, наверное, некоторых тем, например, «Геометрическое место точек», «признаки равенства треугольников». Трудность первой, по моему, заключается в том, что она не привязана к тому, что изложено ранее. Признаки равенства треугольников тяжелы из - за их доказательства (способа).

Вообще, учебник кроме того, что содержит доступную (!) для ученика информацию, должен еще и обозначать проблемные места (важные) (конечно может быть это функция учителя, но …). Например, в выше указанном учебнике, ничего не сказано о том, что 5 аксиома параллельности «особенная». Можно отметить еще и такой факт, что ученик все - таки прибегает к учебнику, то редко понятно, что в нем написано «с первого раза».

Вообще, каждый учебник выполняет свою функцию, составлен исходя из личных особенностей автора.(его соображений, его взгляд на проблему, которая стоит перед ним)

Приложение 6

Критика школьного учебника. ПМ - 32 Шумова С.В.

Предметом критики я выбрала учебник геометрии для 6 -10 классов А. В. Погорелова.

Передо мной лежит невзрачный, плохо оформленный учебник, который и открывать то не хочется, лучше уж взять красочный учебник по географии и почитать его. Конечно у меня учебник старого выпуска, сейчас, возможно, оформление учебника и улучшилось, но я то занималась именно по такому учебнику и я помню какое впечатление он на меня производил.

В первом параграфе приводится небольшая историческая справка. В ней говориться, что геометрия, которая изучается в школе, называется евклидовой, по имени древнегреческого ученого Евклида (2 век до н. э.), создавшего замечательное руководство под названием «Начала». Это что же получается, что мы в школе на протяжении 5 лет, изучаем то, что изучали и студенты в 3 веке до н.э. Я не говорю, что не надо проходить всех этих теорем, но неужели не появилось новых доказательств этих же теорем и, возможно, надо бы включить в школьный курс геометрии теоремы у доказательства более новые, ну хотя бы 3 - 4 века н.э., что бы ученик, не поступивший после окончания школы в ВУЗ, не чувствовал себя на том же уровне, что и ученик третьего века до н.э.

Далее идет определение планиметрии: планиметрия - это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры на плоскости. А вот, что такое плоскость нигде не сказано, догадывайся ребенок сам. Определение пространства строится, кстати, тоже нигде не дается. И чем, вообще, плоскость от пространства отличается, непонятно.

Когда впервые вводится понятие прямой не говориться, что она бесконечна и не имеет концов, а в учебнике нарисована лишь часть ее, а на самом деле прямую можно продолжать далеко - далеко. По - моему, дети не будут себе четко представлять разницы между прямой и отрезком. Из определения отрезка видно только, что отрезок меньше прямой. К тому же отрезок определяется, как часть прямой, которая состоит из всех точек той прямой, лежащих между двумя данными ее точками. Однако, о том, что сама прямая состоит из точек ничего сказано не было. Для детей прямая - это просто сплошная линия, которую чертишь, не отрывая карандаша от тетради, а не составляешь ее из точек.

В школе я всегда считала, что треугольник -это основная фигура в геометрии, именно с него начинается обучение, и только в университете я узнала, что, оказывается, самая простая и идеальная фигура - это окружность и первые теоремы были доказаны именно об окружности. По - моему нужно составлять учебник именно так, ставя сначало окружность.

По - моему, нужно приводить больше исторических данных, как, например, с площадью фигуры. В учебнике написано, откуда вообще появилась площадь фигур, ее практическое применение, из практики же вывели и некоторые свойства площадей. На мой взгляд, детям было бы интересно узнавать, где на практике применяются изучаемые ими понятия.

Вообще учебник А. В. Погорелова не учит детей думать. Здесь даны все определения, формулировки и доказательства теорем. Приведены примеры задач, по образцу которых решаются все задачи, приведенные в учебнике. Ничего не сказано о том откуда берутся эти теоремы, как их доказывали, какие рассуждения проводились. Есть только чистый результат.

По - моему некоторые теоремы можно было бы дать детям самостоятельно попробовать доказать, что бы у них развивалось мышление, а не только память от заучивания результатов, полученных другими.

Приложение 7

Критика школьного учебника. ПМ - 32 Черненко Т.В.

Я несколько раз помогала детям из 7 класса делать домашнее задание по геометрии и так получалось, что задачи были на тему «Признаки равенства треугольников». И я заглянула в учебник. Но начну сначала данной темы в учебнике.

Сперва идет первый признак треугольников. Уже формулировка теоремы довольно странная, особенно фраза «равны соответственно». Школьников данная фраза просто шокирует. И обычно родители тратят много времени на ее разъяснения (личный опыт). Далее идет доказательство - просто шедевр. Во - вторых там не понятно, что именно там доказывают, т.к. непонятно зачем описывать на целую страницу как наложить один треугольник на другой мне не понятно. Когда я прочитала его несколько раз, то поняла, что там доказывают фразу «равны соответственно». Но данное доказательство очень нравиться школьникам, т.к. все задачи, где надо доказать, что треугольники равны они подстраивают под доказательство теоремы (сказать учительнице, чтобы наложила два треугольника). В начале учебника есть описание, что такое доказательство. Но там не написано, что для решения задач нужно использовать теорему, а не ее доказательство.

Второй признак по способу доказательства похож на первый признак. Поэтому останавливаться на нем я не буду.

Далее идет параграф о равнобедренном треугольнике. Определение еще куда не шло, но то, что написано дальше странно.

Опр. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми.

Мне не понятно, почему равны должны быть именно боковые стороны, а не основание и боковая сторона.

Дальше идет теорема о том, что углы при основании у равнобедренных треугольников равны. Я понимаю, что так детям легче понять смысл данной теоремы, но почему именно при основании, чем другие стороны хуже. В доказательстве теоремы хорошо хоть додумались нарисовать два треугольника. Т.к. в начале доказательства написано, что равенство углов надо доказать в одном треугольнике, но далее написано, что есть два треугольника, причем, обозначены они одинаковыми буквами. Обратная теорема сделанна в том же духе.

Далее идут определения высоты, биссектрисы и медианы треугольника. Если определение медианы понятно, два других - головоломка.

Опр. Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, которая сожержит противолежащую сторону треугольника. Ну почему просто не написать: опущенной к основанию треугольника, зачем все так усложнять.

Опр. Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок бессектрисы угла треугольника, соеденяющий эту вершину с точкой на противолежащей стороне.

Даже мне понадобилось некоторе время, что бы понять о чем оно, что уже говорить о школьниках.

Если взять третий признак равенства треугольников, то сама теорема очень проста, но на мой взгляд доказательство теоремы очень сложное и довольно запутанное.

В конце данной темы есть параграф «Как готовиться по учебнику самостоятельно». Там описано как самостоятельно изучать теоремы, как пример описан третий признак равенства треугольников. Конечно, описание разбора теоремы там хорошее, но не для школьников, т.к. им нужно, чтобы в учебнике было написано все сразу, понятно и очень просто, ну может еще интересно.

Приложение 8

Критика школьного учебника. ПМ - 42 Чагина Н.В.

Непременным условием повышения качества всего педагогического процесса является хороший школьный учебник.

Учебник должен помогать в получении знаний, объяснять материал доступно и наглядно. В нем должно быть разнообразие заданий, влияющие на творческие способности учащихся.

В учебнике формулируются и раскрываются основные научные понятия, предназначение для изучения в школе. Но это еще и средство обучения. Учебник должен способствовать усвоению учебного материала, выработки у учащихся в процессе учения умений и навыков, опыта самостоятельной творческой деятельности, способности ориентироваться в предмете. С помощью учебника учащиеся овладевают не только определенным объемом информации, но и умением обобщать изученное, проверять достоверность знаний, применять их в той или иной конкретной ситуации.

Рассмотрим учебник А. В. Погорелова. Проанализируем первые два параграфа. Учебник начинается с основных свойств простейших геометрических фигур. В первом пункте даны определения геометрии и планиметрии и приведены примеры геометрических фигур, подкрепленные рисунками. Второй пункт содержит сведения о точке и прямой, а следующие два сведения об отрезке. В них приводиться решение задач.

Эти три пункта можно было объединить в один, т.к. понятие отрезка тесно связано с точками и прямыми. Автор не привел никаких практических заданий. Чтобы можно было закрепить усвоенный материал. В пятом и шестом пунктах рассматриваются полуплоскости и полупрямая. Далее рассматривается угол, откладывание отрезков и углов. Затем автор переходит к треугольникам, еще не рассмотрев смежные и вертикальные углы, к которым они обращаются только в следующем параграфе. Т.Е. налицо непоследовательное изложение информации, что может привести к затруднительному восприятию учебного материала.

Второй параграф посвящен смежным и вертикальным углам. Здесь же находится пункт перпендикулярных прямых. В следующем пункте описывается способ доказательства от противного, который целесообразнее было бы поместить перед его применением в теореме о перпендикулярных прямых, доказанной в предыдущем пункте. Далее дано определение биссектрисы угла. В конце этого параграфа имеется пункт «Что надо делать, что бы успевать по геометрии». Я считаю, что в этой информации нет необходимости.

Вообще материал в тексте изложен не последовательно, перегружен второстепенным материалом; отсутствует введение, которое должно быть в каждом учебнике.

В учебнике использованы различные типографические способы для привлечения внимания и подчеркивания смысла, значения; основные свойства и формулировки теорем выделены жирным шрифтом, определения - курсивом; возле заголовков «Контрольные вопросы» и «Задачи» стоят специальные значки. В конце каждого параграфа приведены контрольные вопросы и задачи. Некоторые из этих задач рассматриваются в тексте самого параграфа с приведением решений. В учебнике иметься ответы и указания к задачам, предметный указатель и содержание.

На форзацах учебника приводятся некоторые признаки, формулы, значение тригонометрических функций, буквы латинского и греческого алфавита.

В целом, этим учебником можно пользоваться, но нужно его немного подредактировать.