Множительное устройство

Множительное устройство

Введение

Курсовой проект предполагает синтез множительного устройства для умножения чисел с плавающей запятой, представленных в двоично-четверичной системе счисления. Процесс умножения фактически является повтором некоторых циклических действий, число повторений которых зависит только от разрядности сомножителей. Для получения действительного произведения необходима аппаратура для хранения и сдвига модуля множимого удвоенной разрядности, для хранения модуля множителя, сумматор удвоенной разрядности и устройство для хранения суммы накопившихся частичных произведений. Умножение выполняется только сдвигами и сложением. Целью данного проекта является разработка процессов умножения и суммирования и реализация их в заданном функционально полном логическом базисе. Все действия производимые в ходе проекта выполняются исключительно по законам и следствиям булевой алгебры. Также одной из целей является практическое определение действительных временных затрат на выполнение умножения и суммирования в зависимости от заданного логического базиса.

1. Разработка алгоритма умножения

В разработке алгоритма умножения можно выделить следующие составные элементы:

) Перевод сомножителей из десятичной системы счисления в четверичную, а затем в двоично-четверичную:

Мн10 ® Мн4 ® Мн2\4

,3010 ® 231,1034 ® 11 00 01, 01 10 00 2/4

Мт10 ® Мт4 ® Мт2\4

,1410 ® 313,0204 ® 00 10 01 , 01 01 00 2/4

) Запишем сомножители в форме с плавающей запятой:

Мн = 1 , 11 00 01 01 10 00 0 , 10 00

Мт = 0 , 00 01 00 10 11 10 0 , 10 00 .

) Перемножение двух чисел с плавающей запятой сводится к сложению порядков, формированию знака произведения и перемножению мантисс сомножителей.

Порядок произведения будет равен:

ПМн = 0, 10 00

+ПМт = 0, 10 00

ППр = 0, 01 11

Знак произведения определяется суммой по модулю двух знаков сомножителей, т.е.

ЗнМн Å ЗнМт = 1 Å 0 = 1

Перемножение мантисс приведено в Таблице 1.1:

Таблица 1.1

Таблица 1.1(окончание)

Произведение до округления Mн*Mт = 1,11 01 00 10 10 10 00

Для округления добавим к седьмому разряду 11.

Произведение после округления: Мн*Мт = 1,11 01 00 10 10 01 01

) Полученный результат можно перевести в десятичную систему и оценить погрешность вычислений. Для этого полученное ранее произведение приводится к нулевому порядку, а затем переводится в десятичную систему счисления:

(Mн × Mт)10 = - ( 2 × 45 + 1 × 44 + 3 × 43 + 1 × 40 + 1 × 40 ) = - 2497,25 10

Результат прямого перемножения операндов дает следующее значение:

н10 × Mт10 = 55,14 × (-45,30)= - 2497,84210

Абсолютная погрешность:

D = - 2497,842 - (- 2497,25) = - 0,592

Относительная погрешность:

d = D / (Мн × Мт) =0,592 / 2497,842 = 0,00024 (d = 0,024 %)

Эта погрешность является суммарной, накопленной за счет приближённого перевода из 10 с/с в четверичную обоих сомножителей, а также за счет округления полученного результата произведения.

2. Разработка структурной схемы

При разработке устройства умножения использование непосредственно четверичной системы затруднительно. Поэтому четверичные цифры кодируються двоичными эквивалентами (диадами) так, что перемножение одной четверичной цифры на другую заменяется перемножением их двоичных эквивалентов. В связи с этим для получения четверичного разряда произведения строится отдельная схема - одноразрядный четверичный умножитель (ОЧУ)(Рис 2.1.), на входы которого поступают диады Мн и Мт.

Для суммирования необходим одноразрядный четверичный сумматор (ОЧС), на входы которого поступают диады четверичных цифр с учетом их сдвига влево. На выходе ОЧС (Рис 2.2.) формируются четверичные цифры произведения, представленные двоичными эквивалентами. Младший разряд произведения как и старший формируется без суммирования, однако в старший разряд поступает единица переноса из младшего разряда. С учетом этого структура ОЧС старшего разряда может быть несколько проще ОЧС других разрядов.

При умножении Мн на последующие цифры Мт на выходах ОЧС в каждом такте умножения будут появляться двоичные диады, которые добавляясь к сумме ранее полученных диад постепенно образуют полное произведение. Для накопления произведения необходимы регистры и схемы суммирования, аналогичные ОЧС.

Знак произведения формируется сложением по модулю 2 знаков Мн и Мт. Порядок произведения вычисляется сложением дополнительных кодов порядков сомножителей.

Рис 2.1. Схема ОЧУ

Рис 2.2. Схема ОЧС

множительный устройство система счисление

Временные затраты на умножение шестиразрядных сомножителей определяются в основном затратами на образование частичных произведений, получаемых на выходах ОЧС, и примерно равны

Ту = 6 (tсдв + tочу + 6tочс) ,   (2.1)

где

tочс - время формирования единицы переноса в ОЧС;

tочу - время умножения на одном ОЧС;

tсдв - время сдвига множимого (множителя).

Здесь предполагается, что суммирование частичных произведений в аккумуляторе производиться одновременно со сдвигом сомножителей и получением очередных частичных произведений.

Для хранения в памяти машины отсылается, как правило, лишь n разрядов произведения. При отбрасывании n младших разрядов произведения производиться округление путем добавления половины основания системы в (n+1) разряд. Если в этом разряде цифра равна или больше половины основания системы счисления, то возникает единица переноса в n разряд. При таком способе округления максимальная абсолютная ошибка округления определяется как

Dmax = 24-74Pmax = 217,  (2.2)

а наибольшая относительная ошибка равна

dmax = 24-74Pmax/4-14Pmax = 2-11 » 0.0005 = 0.05%,  (2.3) 

где Pmax - наибольший порядок произведения, равный 1510.

3. Разработка функциональной схемы

.1 Логический синтез одноразрядного четверичного умножителя

Одноразрядный четверичный умножитель производит умножение разряда множителя на разряд множимого, которые поступают на входы ОЧУ в виде диад четверичных цифр. На выходе соответственно формируются две диады результата умножения, поступающие затем в ОЧС. Таким образом таблица истинности будет иметь 24 наборов.

Рис 3.1.1 Схема ОЧУ

Составим таблицу истинности из 16-ти двоичных наборов (Таблица 3.1.1).

Таблица 3.1.1

Таблица истинности для ОЧУ

Расчет производится расчетно-табличным методом.

На первом шаге осуществляется запись функции в аналитеческом виде. Второй шаг - полученная на шаге 1 форма является совершенной дьзъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой (СДНФ (СКНФ)). Шаг три - производится склейка и/или поглощение. Если элементы функции являются изолированными, т.е. не подлежат склейке и поглощению, то СДНФ (СКНФ) будет являться сокращенной дьзъюнктивной (конъюнктивной) нормальной формой (сДНФ (сКНФ)). На четвертом шаге строится таблица с количеством строк равным количеству импликант (имплицент) в сДНФ (сКНФ) +1 и количеством столбцов равным количеству конституент единицы (нуля) в СДНФ (СКНФ) функции +1. В названиях строк, начиная со второй, записываются импликанты (имплиценты) тупиковой формы. В названиях столбцов, начиная со второго, записываются конституенты СДНФ (СКНФ) функции. Условными знаками помечаются оставшиеся свободные клетки таблицы, если соответствующая строке импликанта (имплицента) является собственной частью конституенты из соответствующего столбца.

По таблице выбираются импликанты (имплиценты), составляющие ядро тупиковой формы. При этом выбираются те импликанты (имплиценты), которые имеют единственный условный знак в столбце. Вычеркиваются все столбцы, в которых имеются условные знаки выбранных импликант (имплицент). Если вычеркнутыми оказались все столбцы, то полученное ядро является тупиковой формой. Если имеются невычеркнутые столбцы, то из оставшихся невыбранными импликант (имплицент) выбираются те, которые покрывают максимальное количество столбцов (имеют большее количество условных знаков в невычеркнутых столбцах). Выделенные таким образом импликанты (имплиценты) включаются в состав тупиковой формы вместе с ядром.

Запишем СДНФ для P1.

сДНФ будет иметь вид:

(3.1.2)

Таблица 3.1.2

Определение тупиковой формы