Переходный процесс в цепи, закон изменения во времени

Переходный процесс в цепи, закон изменения во времени

Министерство образования и науки

Вологодский государственный технический университет

Кафедра электротехники

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Вологда

Задача 1

Рис. 1

Дана электрическая цепь, в которой происходит коммутация (рис. 1). В цепи действует постоянная ЭДС Е. Параметры цепи: Е = 120 В; L1 = 10 мГн; С1 = 10 мкФ; R1 = 20 Ом; R2 = 80 Ом; R3 = 1000 Ом; R4 = 1000 Ом.

Определить i3.

Рассмотреть переходный процесс в цепи второго порядка, когда L2 = 0, т.е. участок а-в схемы закорочен. Определить закон изменения во времени указанной величины тока i3.

На основании полученного аналитического выражения построить график изменения искомой величины в функции времени в интервале от t = 0 до t = .

Решение.

Обозначим R12 = R1 + R2 = 30 + 70 = 100 Ом

Заменим источник ЭДС и сопротивления R1, R2, R3 в схеме коммутации эквивалентным генератором - рис. 2.

Рис. 2

где R0 =

Е0 =

Классический метод

Будем вначале искать напряжение на конденсаторе uc, которое представим в виде двух составляющих - принуждённой и свободной

= uпр + uсв

Принуждённая составляющая - это значение напряжения спустя бесконечный промежуток времени после коммутации, т.е. в установившемся режиме. Поскольку на входе действует постоянная ЭДС, то в установившемся режиме сопротивления катушки равняется нулю, а сопротивление конденсатора - бесконечности. В результате, схема в установившемся режиме имеет вид - рис. 3.

Рис. 3

Откудапр =

Свободная составляющая напряжения представляется в видесв =

Где А1 и А2 - постоянные, подлежащие определению, р1 и р2 - корни характеристического уравнения.

Тогда искомое напряжение примет вид (1)= (1)

Ток конденсатора ic =

Тогда= (2)

Для определения корней характеристического уравнения необходимо записать комплекс входного сопротивления цепи, заменить множитель jw на р и приравнять полученное выражение к нулю

(p) = R0 + p·L1 +

После упрощения

(p) = R0 + p·L1 + z(p) =

Приравнивая к нулю числитель

(R0 + p·L1)·( R4·p·C1 +1) + R4 = 0·L1·C1·R4 + p·(R0·R4·C1) + R0 + R4 = 0

или+ р · = 0

Введём обозначения

δ =

ω0 =  

Тогда, характеристическое уравнение примет вид

р2 + 2·δ·р + ω02 = 0

Решив это уравнение, получим

р1= -δ + = -4,595·103 +  = - 1,4·103

р2 = -δ -  = -4,595·103 -  = - 7,791103

Для определения постоянных А1 и А2 рассмотрим уравнения (1), (2) в начальный момент времени после коммутации

(0) = А1 + А2 +  (3)(0) = C1·(p1·A1 + p2·A2) (4)

В соответствии с законом коммутации uc(0) = uc(-0), где напряжение до коммутации определим из схемы до коммутации - рис. 4.

Рис. 4

(-0) =

Для определения напряжения на катушке в первый момент времени после коммутации (схема рис.2) решим уравнение, записанное по 1-му закону Кирхгофа

(0) =  + ic(0)

откуда(0) = 0

В результате система уравнений (3), (4) примет вид

А1 + А2 +  =  (5)

р1·А1 + р2·А2 = 0 (6)

Из уравнения (5) А2 =

Подставим в (6) р1·А1  р2·А1 +  = 0

Откуда

А1 =  =  = 11,083

Обратной подстановкой получим

А2 =  =  = -1,992

Подставив найденные постоянные в (2) получим искомый ток конденсатора(t) =

Искомый ток

i3(t) =  = = = -0,1552·е-1400·t + 0,1552·е-7791·t

Операторный метод

Операторная схема замещения представлена на рис. 5.

где uc(0) = =  = 109,091 В(0) = =  = 0,109 А

Выполним расчёт схемы методом контурных токов

(R0 + p·L1 + R4)·I11 - R4·I22 =  + L1·iL(0) =  +

R4·I11 +  =  =

Контурный ток во втором контуре

 =

где главный определитель системы

Δ(р) =

Определитель

Δ22(р) =

После упрощения

 =

Обозначим

G(p) = -1,091·104(p) = 1,011·104·p + 1,2·108 + 11·p2

Тогда (p) =

Для нахождения оригинала воспользуемся теоремой разложения=

Найдём корни полинома H(р)=0 с помощью теоремы Виета

р1 = -1,4·103 р2 = -7,791·103

Найдём производную Н'(р)

Н'(р) =  = 22·p + 101100

Подставив полученные значения в теорему разложения получим

 = -0,155  = 0,155(t) = -0,155·е-1400·t + 0,155·е-7791·t,

что совпадает с решением классическим методом

Построение графиков

Длительность переходного процесса примем равной tпп = tпп = 2,142·10-3

Задаваясь значениями времени в этом интервале рассчитаем ток и построим график - рис. 6.

Рис. 6

Задача 2

конденсатор напряжение ток линия

Воздушные линии без потерь (V = 3·105 км/с) подключаются к источнику постоянного напряжения U. Параметры линии: U = 10В; ZВ1 = 400 Ом; ZВ2 = 600 Ом; R = 400 Ом; L = 7 мГн; l1 = 10 км; l2 = 10 км.

Определить законы изменения во времени напряжений и токов в линиях.

Построить графики распределения вдоль линий напряжений и токов для момента времени, когда волна, отразившись от конца первой линии, дойдёт до её середины.

Рис. 7

Введём обозначение ZВ12 = ZВ1 + ZВ2 = 400 + 600 = 1·103 Ом

Определим падающие волны

uφ = U

iφ = =  = 0,025 A

Определим ток в конце линии по расчётной схеме (рис.2) как сумму принужденного и свободного тока

Рис. 8

где принужденный ток iпр =  = 0,02 A

ток в начальный момент времени с учётом того, что катушка в первый момент времени ток не пропускает,= = 0,014 A

Корень характеристического уравнения найдём приравняв к нулю входное характеристическое сопротивление цепи+  = 0=  = -4,0816·104

Тогда(t) = -0,0057143·е-40816·t + 0,02 А

Поскольку ток в любой точке линии равен сумме токов прямой и обратной волны, то ток отражённой волны в конце линии

iψ(t) = i(t) - iφ

iψ(t) =  

напряжение отражённой волны в конце линии

uψ(t) = -iψ(t)·Z1

Распределение волн напряжения и тока отражённой волны по длине линии

iψ(x,t) =  

uψ(x,t) = -iψ(x,t)·Z1

Результирующие напряжение и ток в линии при наличии отражённой волны

uψ(x,t) = uφ + uψ(x,t) iψ(x,t) = iφ + iψ(x,t)

Напряжение преломлённой волны по схеме (рис.2)

uφ2(t) = i(t)·Z2φ2(t) =  

Ток преломлённой волны по схеме (рис.29

iφ2(t) = i(t)

iφ2(t) =

Распределение волн напряжения и тока преломлённой волны по длине линии

iφ2(x,t) =

uφ2(x,t) = iφ2(x,t)·Z2

Рассчитаем напряжение и ток в линии для момента времени, когда отражённая волна дойдёт до середины, что соответствует времени=  = 1,667·10-5 сек

Построим графики распределения волн напряжения (рис.3) и тока (рис. 4)

Рис. 9

Литература

1. Бессонов Л.А. "Теоретические основы электротехники": Учебник/ М.: "Гардарики", 2001 - 638 с.

. Ганичев Г.Л., Реутов В.В. "ТОЭ. Часть 2. Переходные процессы в длинных линиях": Методические указания по выполнению расчётно-графических работ/ Вологда: РИО ВоГТУ, 2005 - 19 с.