Методика обучения студентов педагогических вузов теме: 'Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник'

Вид работы:

Дипломная (ВКР)
Предмет:

Педагогика
Язык:

Русский
,
Формат файла:
MS Word

1,19 Mb
Опубликовано:

2011-06-16

Все дипломные работы по педагогике

Скачать дипломную работу Читать текст online Заказать дипломную
*Помощь в написании! Посмотреть все дипломные работы

Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.

Методика обучения студентов педагогических вузов теме: 'Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник'

Факультет математики и информатики

Специальность: 050201.65 “математика” с дополнительной специальностью 050202.65 “информатика”

Кафедра математики и методики её преподавания

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:

Методика обучения студентов педагогических вузов теме: «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»

Оглавление

Введение

Глава 1. Дидактические, психологические и методические основы обучения студентов педагогических вузов теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»

§1.1 Психологические особенности студенческого возраста

§1.2 Профессионально-педагогическая направленность обучения студентов педагогического вуза теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»

§1.3 Выбор технологий, форм, методов и средств преподавания темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»

§1.4 Анализ изложения темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» в учебной литературе

Глава 2. Методические рекомендации к обучению студентов педагогических вузов теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»

§2.1 Тематический план и методические рекомендации к проведению лекционных занятий

§2.2 Планы-конспекты лекций

§2.3 Тематический план и методические рекомендации к проведению практических занятий

§2.4 Планы-конспекты практических занятий

§2.5 Методические рекомендации к организации самостоятельной работы и контроля знаний студентов

§2.6 Методические рекомендации к применению информационных технологий при обучении теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»

Заключение

Литература

Приложение

Введение

Данная выпускная квалификационная работа посвящена методике преподавания темы проективной геометрии «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник».

Ряд задач школьного курса геометрии на евклидовой плоскости имеет проективный характер, т.е. в них говорится о коллинеарности точек, сложном отношении четырех точек или прямых, взаимном расположении прямой и линии второго порядка и т.д. Дополняя несобственными точками евклидову плоскость до расширенной плоскости, мы можем применять к ней известные теоремы проективной геометрии. В частности, оказывается весьма полезным использование фактов проективной геометрии для решения задач на построение одной лишь линейкой, задач на ограниченном чертеже и т.д.

Изучая на первом курсе аналитическую геометрию, мы рассматривали простое отношение трех точек прямой. Изучая на втором курсе тему проективной геометрии «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» продолжаем изучение отношений точек, только теперь уже изученный материал о простом отношении точек понимается лучше и глубже, изучая сложное отношение четырех точек. Также тема выпускной квалификационной работы может быть рассмотрена в курсе школьной геометрии. В работе предложена разработка нескольких факультативных занятий (Гармония отрезков. Перспектива. Теорема о трех окружностях. Четырехвершинник). Эти занятия рассчитаны на учащихся, освоивших курс планиметрии в рамках учебника Л.С. Атанасяна, но не изучавших на уроках приложений к учебнику (Приложение 4 «Некоторые замечательные теоремы планиметрии»).

Объектом исследования данной выпускной квалификационной работы выступает процесс организации учебной деятельности студентов при обучении теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник».

Предметом исследования является методика обучения студентов педагогических вузов теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник».

Целью дипломной работы является совершенствование методики обучения студентов педагогических вузов теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник».

Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) изучить психологические особенности студенческого возраста в высшей школе;

) дать методические рекомендации к организации аудиторных занятий, самостоятельной работы студентов, контроля знаний обучаемых;

) составить подробные планы-конспекты лекций и практических занятий по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»;

) разработать учебно-методический комплекс (УМК) включающий в себя моделирующую программу, конспекты лекционных и практических занятий, презентации к лекционным занятиям, тестирующую программу и дать методические рекомендации к его использованию.

Решение этих задач потребовало привлечения следующих методов исследования:

1) анализ научной, справочной литературы, учебных пособий по высшей геометрии и методике её преподавания;

2) обобщение и систематизация теоретического и практического материала по данной теме;

) проектирование лекционных и практических занятий по данной теме;

) разработка моделирующей демонстрационной программы.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, основной части, заключения, списка литературы и приложения.

Основная часть работы состоит из двух глав.

Первая глава посвящена теоретическим основам методики обучения теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвнршинник». В данной главе рассмотрены психолого-педагогические аспекты обучения студентов, современные педагогические технологии, способствующие повышению эффективности обучения данной теме. Также рассмотрена профессионально-педагогическая направленность обучения студентов данной теме. Приведен анализ изложения темы в различных учебных пособиях.

Во второй главе даны методические рекомендации к обучению студентов педагогических вузов сложному отношению точек и полному четырехвершиннику. Разработаны методические рекомендации к проведению лекционных и практических занятий по данной теме, а также их подробные планы-конспекты.

В работе решено одиннадцать задач, приведено девятнадцать рисунков. В списке литературы содержится двадцать источников, в приложении содержится решение задач по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» и факультативные занятия по данной теме для изучения в школьном курсе геометрии.

§1.1 Психологические особенности студенческого возраста

Тема «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» изучается в третьем семестре в курсе проективной геометрии. Студенты второго курса - это, прежде всего, молодые люди в возрасте 18-19 лет. Этот возраст определяется как поздняя юность или ранняя зрелость. Отсутствие единого термина уже говорит о сложности, неоднозначности психологических характеристик этого периода жизни [18].

Преподаватель должен учитывать, что особенно велико сильное психическое напряжение студентов в периоды контроля и оценивания. Но именно здесь часто совершается одна из грубейших педагогических ошибок: негативную оценку результатов усвоения учебной программы преподаватель переносит на оценку личности студента в целом, давая студенту знать с помощью мимики, жестов, а то и в словесной форме, что он не умён, ленив, безответственен и т.п. Заставляя студента переживать негативные эмоции, преподаватель оказывает прямое влияние на физическое состояние и здоровье студента[2].

Отношение же педагога к студенту как к социально зрелой личности, напротив, как бы отодвигает планку, раскрывает новые горизонты, тем самым не ограничивая возможности развития личности, а усиливая их своей верой, внутренней поддержкой.

Преподавателю необходимо проводить лекционные и практические задания по теме данной выпускной квалификационной работы так, чтобы студенты понимали, что на занятиях им дают знания, а не требуют от них чего-то сверхъестественного. Проводить занятия нужно так, чтобы студентам было интересно, например, используя мультимедиапроектор, показать студентам последовательное построение полного четырехвершинника

Важнейшая способность, которую должен приобрести студент в вузе, - это, собственно, способность учиться, которая радикальным образом скажется на его профессиональном становлении, ибо определяет его возможности в послевузовском непрерывном образовании. Научиться учиться важнее, чем усвоить конкретный набор знаний, которые в наше время быстро устаревают. Ещё важнее способность самостоятельного добывания знаний, основанная на творческом мышлении [2].

Особенно бурно в период вузовского обучения идёт развитие специальных способностей. Студент впервые сталкивается со многими видами деятельности, являющимися компонентами его будущей профессии. Студент должен понимать, что курс проективной геометрии важен для будущего преподавателя математики. Он должен стремиться к познанию, осознавая то, что ему нужен изучаемый материал. Важно отметить, что этот материал используется в школьном курсе математики, в частности при решении задач на построение с помощью одной линейки.

Как правило, именно в студенческом возрасте достигают максимума в своём развитии не только физические, но и психологические свойства и высшие психические функции [13].

При изучении темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» развиваются такие психологические функции как внимание, восприятие, абстрактное мышление, память. Студент должен внимательно слушать рассуждения преподавателя по данной теме, чтобы лучше воспринять изучаемый материал. При решении некоторых задач проективной геометрии используются чертежи ограниченных размеров, это помогает развивать у студентов абстрактное мышление. Изучая свойства сложного отношения точек и свойства полного четырехвершинника обучаемому нужно их понять и запомнить, здесь важной психологической функцией будет являться память. Поэтому при разработке лекционных и практических занятий, преподаватель должен стремиться развивать у студентов именно эти психические функции.

При изучении темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» преподаватель в процессе обучения формирует студента как субъекта учебной деятельности, что предполагает, прежде всего, необходимость обучить его умению планировать, организовывать свою учебную деятельность, умению полноценно учиться, общаться. Поэтому, студенту предлагается учебно-методический комплекс, с помощью которого возможно самостоятельно изучить данную тему, тем самым, планировать и организовывать свою учебную деятельность. При разработке практических занятий был использован коллективный методзможно самостоятельно изучить данную тему, тем самым, планировать и организовывать свою учебную деятельность. самостояте обучения, в результате чего студенты не только решают индивидуальные задания, но и обучают решению своих заданий однокурсников, таким образом, происходит обучение в процессе общения.

Курсы педагогического института по высшей математике должны:

1) в первую очередь освещать на современном научном уровне те вопросы, которые учитель излагает в школе;

2) обеспечивать широкий кругозор студентов в математике, знакомство по мере возможности с современной математикой и её задачами. Поэтому курсы по высшей математике должны освещать те фундаментальные вопросы современной математики, которые служат сейчас её основой и определяют её лицо. Это обеспечит определённый уровень математической культуры будущего учителя;

) учить математически мыслить, т.е. умению решать математические задачи и умению в простейших случаях формулировать на языке математики различные задачи, возникающие в других науках;

) содержать достаточно богатые приложения высшей математики к естествознанию и технике. Это позволит учителю в процессе преподавания дать представление учащемуся о приложении к жизненной практике тех понятий и процессов, которые будут изучаться в элементах высшей математики в школе;

) обеспечивать воспитывающий характер обучения, т.е. развитие общей культуры и формирование мировоззрения и личности студента.

Готовя учителей сегодня, необходимо наряду с прочими знаниями обучить их не только таким разделам математики, которые важны сейчас, но и тем, относительно которых есть основание думать, что они будут развиваться в близком будущем или станут основой будущих разделов науки. Иными словами, это значит, что необходимо развивать мышление обучаемых так, чтобы они впоследствии сами могли осваивать те новые разделы математики, которые им, может быть, в будущем придётся преподавать в школе, даже если они их сейчас и не изучают[5].

Студенты-математики знают, что в школе им предстоит преподавать в основном элементарную математику и лишь самые начала высшей. В институте же наряду с курсами элементарной математики и методики математики они изучают большие курсы высшей математики, которые посвящены в основном тому, что им непосредственно не придётся преподавать в школе. Эти курсы по своему характеру часто представляют собой уменьшенные университетские курсы. Их главная цель - сообщить учащимся возможно больше сведений. Но они далеко не всегда излагают эти сведения под тем углом зрения, который важен будущим учителям. В результате у студентов математического факультета пединститута часто создаётся ложное представление, будто бы высшая математика им, как будущим учителям, для работы в школе не нужна, и поэтому иногда студенты считают, что их обучают, может быть, и интересным вещам, но в общем «не тому, чему нужно». Они знают теоремы из высшей математики и умеют их доказывать, но не знают, зачем эти теоремы им нужны. Что с ними делать? Где и как их применить? И эти чисто психологические моменты нельзя недооценивать[5].

Прежде всего, надо отметить бесспорный факт: студентам, будущим школьным учителям, которым предстоит преподавать в основном в школе только элементарную математику и лишь самые начала высшей, нужны большие и серьёзные курсы по высшей математике. Эти курсы им нужны потому, что все основные вопросы, излагаемые в школьном курсе элементарной математики, излагаются там поневоле элементарно и неполно. Истинное же обоснование и освещение на современном научном уровне эти вопросы находят лишь в высшей математике. Важнейшая задача вузовской педагогики математики - так излагать высшую математику в педвузе, чтобы студенты знали и понимали, что без её изучения полноценных учителей из них не выйдет.

Надо считать, что решающую роль в обучении должна играть его осознанность. Студент должен не только познавать отдельные факты и отдавать себе отчёт в их взаимоотношениях друг с другом, но и понимать цели и задачи обучения, что и зачем он изучает. Поэтому само преподавание должно воспитывать у студента потребность отдавать себе отчёт в смысле своей учебной работы[18].

Необходимость изучения проективных свойств фигур вытекает из их роли в человеческой деятельности, и в частности в необходимости знания их учителем математики в средней школе, так как со многими из них школьник встретится не только на уроках математики, но и на уроках искусства, физики.

Задачи на проективные свойства фигур даются учащимся в качестве олимпиадных задач. Рассмотрим для примера следующую задачу. Точка O принадлежит высоте треугольника ABC и находится внутри него. Прямые AO и BO пересекают стороны треугольника в точках E и K. Докажите, что углы KHC и EHC равны.

Доказательство. Пусть и . Покажем, что .

Проведем прямую KE и обозначим точку её пересечения с прямой AB буквой P (рис. 1).

Рассмотрим четырехвершинник . Так как четверка точек - гармоническая (утверждение 3, см. приложение), то и проектирующие её из центра H прямые HK, HE, HM, HP составляют гармоническую четверку, поэтому, согласно замечанию 1 (занятие 2, см приложение),

=1.

Итак, , а так как углы острые, то .

Если прямые KE и AB параллельны, то к точкам A, B и H четвертой гармонической будет бесконечно удаленная точка. В этом случае H - середина отрезка AB и из свойств осевой симметрии следует равенство углов и .

В геометрии встречаются свойства фигур различной природы: метрические, аффинные, проективные. Данная тема изучается учащимися, освоившими курс планиметрии в рамках учебника Л. С. Атанасяна и др.. Приложение 4 «Некоторые замечательные теоремы планиметрии» содержат интересующие нас утверждения и задачи на доказательство (отличающиеся повышенным уровнем сложности). В приложении 1 разработан факультатив который может быть использован в школьном курсе геометрии, при изучении темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» на факультативе.

Основной целью этого параграфа было предложить такой подход к курсу геометрии, чтобы студент с самого начала понимал, что и почему он изучает, в чём состоят основные идеи и ценность этого курса, чтобы студент видел цельность и единство курса геометрии, чтобы курс не распался как раньше в представлении студента на отдельные предметы.

Важную роль в подготовке будущих специалистов имеет профессионально - педагогическая направленность.

Проектирование методической системы обучения спецдисциплинам студентов математических специальностей педагогических вузов необходимо осуществлять в русле усиления прикладной направленности их профессиональной подготовки.

В одних случаях профессиональная направленность подготовки будущих учителей отождествляется с обстоятельным освещением в вузовском преподавании основ школьного курса.

Любой учебный предмет включает в себя дидактически переработанный научный материал. Следовательно, структура учебного предмета должна отражать, насколько это возможно, структуру науки. Нужно, чтобы учитель «в совершенстве владел основами наук, которые будет преподавать в школе. При этом нельзя забывать, что основы наук, изучаемые в школе, и научные курсы, изучаемые в вузе, не представляют собой чего-то принципиально отличного. Их различие состоит в том, что отдельные проблемы в этих учебных заведениях изучаются в различном объеме и на различном уровне»[20].

Другой подход заключается в объединении и сбалансированности математической и методической подготовок студентов педвузов. Здесь обычно выделяют две линии: педагогическую ориентацию содержания математических курсов и педагогическую ориентацию средств и методов преподавания.

Первая линия заключается в особом акцентировании внимания на понятиях и методах, имеющих большое значение в школьном курсе математики, различных способах их введения, на отражении в содержании обучения действий, адекватных математическим понятиям и методам. Все разделы спецдисциплин, имеющие непосредственное отношение к школе, должны изучаться особенно тщательно, с установлением связи с разделами школьной математики, с расстановкой методических акцентов.

Вторая линия - педагогическая ориентация методов и средств обучения - заключается в такой организации занятий, которая служила бы образцом для будущего учителя математики. Реализация этого направления проявляется в поиске таких приемов и средств обучения, которые активизируют учебно-познавательную деятельность студентов. Это внедрение проблемности, использование компьютерной техники, сочетание обычного лекционного метода с программированным обучением, коллективное выполнение заданий и др.

Учитель должен иметь фундаментальную математическую подготовку, согласованную с нуждами приобретаемой профессии.

Важным признаком педагогической квалификации учителя является не только знание предмета, а и умение обучить предмету, вызвать интерес к нему. Принцип бинарности подразумевает двуединую задачу основных математических курсов пединститута - дать необходимый объем знаний по предмету (современные научные истолкования основных понятий и фактов школьного курса математики, определенный уровень математической культуры) и частично сформировать методические умения и навыки преподавания (знание методов изложения школьного курса, определенный уровень методической культуры).

Для того, чтобы студент мог успешно изучать математику в педвузе, он должен знать школьный курс математики. Но с другой стороны, курс математики в педвузе изучается, прежде всего, для того, чтобы студент в будущем мог успешно преподавать математику в школе. Значит, он должен хорошо знать школьный курс и как ученик, и как учитель, т.е. хорошо знать предмет преподавания и хорошо владеть методикой преподавания.

Концепция профессионально-педагогической направленности обучения выдвигает на первый план идею связи математических курсов с соответствующими школьными предметами. Студентам необходимо разъяснять перспективу изучения курса проективной геометрии, преемственность между школьным и вузовским курсами математики. Указать на то, что тема «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» может быть рассмотрена в школьном курсе математики на факультативе с учащимися, освоившими курс планиметрии в рамках учебника Л.С. Атанасяна и др., но не изучавших на уроках приложений к учебнику. Организация материала вокруг ведущей идеи преследует цели формирования основ профессионального мастерства учителя математики и достижения эффективности процесса обучения конкретным математическим дисциплинам.

Принцип непрерывности обеспечивает непрерывное постижение студентами основ педагогической деятельности при изучении математических курсов. Реализация указанного принципа оказывает положительное воздействие на перестройку системы мотивов, лежащих в основе ориентации личности на профессию учителя математики, а значит и на профессиональную направленность личности студента, на формирование его педагогического призвания.

Принципы ППНО воздействуют на методическую систему обучения математике. Все принципы ППНО связаны с главным компонентом методической системы - целями обучения. Принцип бинарности является лидирующим при выборе методов обучения, принцип фундаментальности и принцип ведущей идеи - при выборе содержания обучения, принцип непрерывности - при выборе форм и средств обучения.

Одним из путей повышения качества подготовки учителя математики является профессионально-педагогический подход к преподаванию всех математических дисциплин в педвузе, который подразумевает педагогическую направленность содержания изучаемых спецдисциплин и педагогическую ориентацию средств и методов преподавания, т.е. профессионально-педагогическая направленность связывается не только с содержательным компонентом математического знания.

Комплексная профессионально-педагогическая направленность преподавания специальных дисциплин способствует развитию профессиональной направленности личности студента - будущего учителя математики, его мировоззрения, характера, способностей, призвания, в чем, в конечном счете, заключается психологический смысл единства обучения и воспитания; она способствует и формированию общего педагогического настроя на факультете, а это немаловажный (хотя и редко учитываемый) фактор профессионального воспитания будущего учителя. Можно сказать, что профессиональная направленность личности студента воспитывается всем стилем работы педагогического учебного заведения.

В современных условиях развития общества значимым становится еще один аспект профессионально-педагогической направленности обучения. Появление и распространение компьютеров обозначило собой фактор, определяющий изменения в системе математического образования, в том числе создания новых технологий в учебном процессе. Значит информационная культура должна стать неотъемлемой чертой личности современного учителя.

Поэтому при рассмотрении темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» используется мультимедиапроектор, с помощью которого показываются слайды с ключевыми моментами изучаемого вопроса. Также используется программа, с помощью которой можно увидеть последовательное построение полного четырехвершинника, рассмотреть задачи на нахождение четвертой гармонической точки и вычисление сложного отношения точек.

Таким образом, к перечисленным принципам следует присоединить принцип информатизации (компьютеризации и использования новых технологий) обучения математике в педвузе[15].

Принцип информатизации обучения предполагает использование современных информационных технологий на разных этапах обучения спецдисциплинам в педвузе. Компьютер способен осуществлять функции контроля, тренировки, анализа, синтеза и т.д. К составлению контролирующих, простых прикладных программ целесообразно привлекать самих студентов, что позволит им приобрести навыки, представляющие практическую ценность для их будущей работы.

Информационно-коммуникативные технологии обучения

На сегодняшний день во всем мире широкое развитие получили информационно-коммуникативные технологии (ИКТ). Современное общество характеризует процесс активного использования информационного ресурса в качестве общественного продукта в условиях функционирования всемирной информационной сети, которая позволяет обеспечить доступ к информации без каких-либо существенных ограничений по объему и скорости транслируемой информации.

В процессе обучения использование ИКТ повышает мотивацию учения и стимулирует познавательный интерес обучаемых, возрастает эффективность самостоятельной работы. Компьютер вместе с ИКТ открывает принципиально новые возможности в области образования, учебной деятельности и творчестве учащегося.

При использовании информационно-коммуникативных технологий необходимо стремиться к реализации всех потенциалов личности - познавательного, морально-нравственного, творческого, коммуникативного и эстетического. Чтобы в процессе обучения в школе с помощью ИКТ эти потенциалы были реализованы на достаточно высоком уровне, необходима педагогическая компетентность в области информационных технологий. Развитие этой компетенции надо развивать еще при обучении педагогов в вузах. Поэтому, в процессе написания выпускной квалификационной работы был разработан учебно-методический комплекс, в который включены презентации к лекционным занятия, конспекты практических и лекционных занятий, тестирующая программа, а также моделирующая программа по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник». Умелое сотрудничество человека и персонального компьютера в образовании позволит сделать процесс обучения более эффективным.

В процессе изложения лекций по теме выпускной работы преподаватель эпизодически представляет информацию на слайде в качестве иллюстрации. Это способствует лучшему усвоению учебного материала студентами.

Участие в процессе обучения одновременно педагога и компьютера значительно улучшает качество образования. Использование предложенной методики активизирует процесс преподавания, повышает интерес студентов к изучаемой теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» и эффективность учебного процесса, позволяет достичь большей глубины понимания учебного материала. С одной стороны, сотрудничество преподавателя и компьютера делает изучение проективной геометрии более доступной для понимания различными категориями студентов, улучшает качество её усвоения. С другой - оно предъявляет более высокие требования к уровню подготовки преподавателя математики и его квалификации, который должен не только владеть традиционными методиками, но и уметь модернизировать их в соответствии со спецификой обучаемых, используя современные достижения науки и техники.

Технологии модульно-рейтинговой системы обучения

Термин «модуль» пришел в педагогику из информатики, где им обозначают конструкцию, применяемую к различным информационным системам и структурам и обеспечивающую их гибкость, перестроение.

Обучающий модуль - это логически завершенная форма части содержания учебной дисциплины, включающая в себя познавательный и профессиональные аспекты, усвоение которых должно быть завершено соответствующей формой контроля знаний, умений и навыков, сформированных в результате овладения обучаемыми данным модулем [11].

Модуль «Проективная геометрия» включает в себя несколько вопросов, среди них учебная тема «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник». Материал в модуле сконструирован таким образом, что он вполне обеспечивает достижение каждым обучающимся поставленных перед ним дидактических целей. В соответствии с учебным материалом интегрированны различные виды и формы обучения, подчиненные достижению намеченной цели. Так, при изучении темы выпускной квалификационной работы при чтении лекций применяются мультимедиа-технологии обучения, а на практические занятия построены с помощью коллективных способов обучения.

Для оценки знаний при модульном обучении используется рейтинговая система оценки знаний. Рейтинг обученности студента - это количественная оценка результатов педагогического воздействия на человека. Таким образом, рейтинг студента - это сумма баллов, набранная студентом в течение некоторого промежутка времени, рассчитанная по определенным формулам, не изменявшихся в течение этого промежутка.

Модульная система высшего образования и связанные с ее введением интенсификация информационно-деятельного процесса обучения, система контроля знаний и профессиональной пригодности может в значительной мере повысить эффективность и качество подготовки специалистов, обеспечить целенаправленность творческой деятельности личности.

На самостоятельную работу и домашнее задание по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник», учебной программой отводится по 1,5 балла. Вопросы по данной теме включены в коллоквиум, семестровый экзамен и тестовые задания, где студент также, должен заработать определенное количество баллов [16].

Методика коллективных способов обучения

Специфика коллективных способов обучения состоит в соблюдении следующих принципов:

· наличие сменных пар учащихся;

· их взаимообучение;

· взаимоконтроль;

· взаимоуправление.

В обучаемом коллективе все учат каждого и каждый учит всех. При коллективных способах обучения (КСО) одновременно несколько учащихся воздействуют на всех остальных.

В свое время А.Г. Ривин разработал несколько методик КСО, применяемых в различных ситуациях:

· изучение текстового материала по любому учебному предмету;

· взаимопередача текстов;

· взаимообмен заданиями;

· решение задач и примеров по учебнику;

· выполнение упражнений в парах;

· работа по вопросникам.

К примеру, взаимообмен заданиями применяется при изучении прежде всего естествоведческих дисциплин - химии, физики, географии, биологии, математики. Назначение этой методики - отработка практических умений и навыков на серии аналогичных заданий [11].

На практическом занятии при изучении темы «Сложное отношение точек» преподаватель выбирает из задачника однотипные задания. Пять - семь пар таких заданий выписываются на карточках, и каждая карточка получает свой номер.

Задание 1 Вычислить сложное отношение точек А)

Б) Задание 2

Проверить лежат ли на одной прямой точки:

А)

Б)

Предположим, что студент Иванов знает решение всех задач задания 1, а студент Петров -2. Тогда, работая в паре, они могут обменяться заданиями. Обмен осуществляется следующим образом: Иванов обучает Петрова решению задачи А) из задания 1, заново решая эту задачу. При этом если есть необходимость, он дает теоретическое объяснение и отвечает на все вопросы Петрова. Записывать решение задачи и все необходимые формулы он может прямо в тетрадь Петрова.

Затем таким же образом учит Петров, объясняя Иванов, как решается задача А) задания 2. Потом Петров приступает к самостоятельному решению задачи Б) из задания 1, а Иванов - к самостоятельному решению задачи Б) из задания 2. Проверив друг у друга правильность решения задач, напарники расходятся. На этом их работа в данной паре заканчивается, а каждый из них ищет себе нового напарника

Коллективный способ обучения в классе считается запущенным только тогда, когда каждое задание выполнено хотя бы одним учеником.

Если по какому-то заданию никто не справился с решением, преподаватель должен дать консультацию. Отработка практических умений и навыков на серии аналогичных заданий видна из следующей карточки.

Фамилия студента	Номера заданий
	1	2	3	4	5	6
Иванов Петров Сидоров Степанов Попов Кузнецов	+ +	+ +	+	+ +	+ + +	+

Против каждой фамилии в соответствующей графе ставится точка, означающая, что студент может консультировать по тому или иному заданию. После окончания работы в паре на месте точки ставится +. Каждый обучаемый выполняет все шесть заданий, работая с разными партнерами.

Сначала организуется несколько групп по 5-7 студентов, и они работают по своему набору заданий в карточках. Через некоторое время в каждой группе появляются студенты, освоившие соответствующую часть теории и справившиеся со всеми задачами. Из них создаются новые микрогруппы для решения задач из других карточек.

Карты контроля за результатом деятельности студентов могут быть индивидуальными, групповыми. Получил задание - поставь точку в карточке, выполнил его - получи оценку (баллы) в карточку.

§1.4 Анализ изложения темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» в учебной литературе

Лекции по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» основываются на учебных пособиях следующих авторов: С.Л. Певзнер, В.Т. Базылев, К.И. Дуничев, Л.С. Атанасян, Н.В. Ефимов.

Учебное пособие С.Л. Певзнера [10] носит название «Проективная геометрия». Учебное пособие содержит материал по проективно-геометрическим темам программы курса геометрии педагогических институтов, а именно по разделам «Понятие проективного пространства» и «Основные факты проективной геометрии». Здесь подробно рассмотрена проективная геометрия. Изложение начинается с одномерной проективной геометрии. Это помогает читателю подготовиться к изучению основного материала двумерной геометрии. Используется большое количество иллюстраций, которые помогают лучше представить, понять и усвоить соответствующий материал. Но в данной книге используется сравнительно старая терминология, например, говоря о сложном отношении, автор называет его двойным, полный четырехвершинник - полным четырехсторонником. Певзнер в своем учебном пособии отводит одну главу простейшим фактам геометрии проективной плоскости. В нее входят следующие параграфы: принцип двойственности. Теорема Дезарга; двойное отношение точек и прямых на плоскости; полный четырехвершинник и полный четырехсторонник.

Учебное пособие В.Т. Базылева и К.И. Дуничева[3] носит название «Геометрия, II». Данное учебное пособие является непосредственным продолжением книги «Геометрия, I» В.Т. Базылева, К.И. Дуничева, В.Т. Иваницкой. Оно написанно на основе лекций, прочитанных авторами на математическом факультете Московского областного педагогического института им. Н.К. Крупской, и вместе с первой частью охватывает весь материал, предусмотренный программой по геометрии для педагогических институтов.

Геометрия проективного пространства дана в векторном изложении. В конце каждой главы дано небольшое число задач и теорем. Большинство этих задач (как и задач рассмотренных в тексте) непосредственно связаны со школьным курсом геометрии.

В.Т. Базылев и К.И. Дуничев в своей книге проективной геометрии отводят две главы: проективное пространство, которая содержит десять параграфов, и основные факты проективной геометрии, которая содержит двенадцать параграфов. Изложение курса проективной геометрии представлено в сложной форме. Недостатком данного учебного пособия является недостаточное количество наглядных иллюстраций.

Учебное пособие Л.С. Атанасяна и В.Т. Базылева [1] носит название «Геометрия, ч. II». Предлагаемое учебное пособие является непосредственным продолжением книги «Геометрия, ч. I» Л.С. Атанасяна, В.Т. Базылева. Настоящая книга вместе с первой частью охватывает весь курс, предусмотренный программой по геометрии для студентов математических и физико-математических факультетов педагогических институтов. Книга написана на основе лекций, прочитанных авторами на математическом факультете им. В.И. Ленина.

Настоящее пособие существенно отличается от уже изданного издательством «Просвещение» пособия В.Т. Базылева, К.И. Дуничева «Геометрия, II» как по отбору и расположению материала, так и по стилю изложения. Новое пособие по сравнению с этой книгой отличается более тщательным отбором материала и более доступным изложением. В связи с этим объем пособия оказался сокращенным.

Терминология и символика, принятые в пособии, по возможности согласованны с теми, которые в настоящее время вводятся в среднюю школу.

Геометрия проективного пространства дана в векторном изложении по схеме Вейля.

В соответствии с требованиями реформы общеобразовательной и профессионально школы в курсе уделено большое внимание профессиональной направленности подготовки будущего учителя.

Л.С. Атанасян и В.Т. Базылев в своей книге проективной геометрии отводят две главы: проективное пространство, которая включает в себя двенадцать параграфов, и основные факты проективной геометрии, которая включает в себя тринадцать параграфов. В данном учебном пособии используется недостаточное количество иллюстраций.

Учебное пособие Н.Ф. Ефимова носит название «Высшая геометрия». В данной книге основной материал излагается систематически, почти без пропусков деталей рассуждений (за исключением доказательства некоторых теорем элементарной геометрии). Само собой разумеется, что в лекционном изложении такая детализация нецелесообразна (даже если бы на курс было отведено много часов).

Ефимов в своей книге проективной геометрии отводит три главы: основы проективной геометрии, теоретико-групповые принципы геометрии, группы преобразований и пространство миновского.

Изложение курса проективной геометрии представлено в доступной форме. Недостатком данного учебного пособия является недостаточное количество наглядных иллюстраций.

Наиболее доступно и подробно тема «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» изложена в учебном пособии В.Т. Базылева и К.И. Дуничева. Здесь достаточное количество иллюстраций, которые помогают лучше представить, понять и усвоить данную тему. В этой книге используется доступная терминология, а также охватывачен весь материал по данной теме. Поэтому, при подготовке лекционных и практических занятий наиболее оптимальным является учебное пособие В.Т. Базылева и К.И. Дуничева, которое можно взять за основу. Дополнительно обратиться к учебному пособию Л.С. Атанасяна и В.Т. Базылева.

Глава 2. Методические рекомендации к аудиторным занятиям и планы-конспекты лекций и практических занятий по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»

§ 2.1 Тематический план и методические рекомендации к проведению лекционных занятий

В высшей школе три основные формы работы - лекция, семинар и самостоятельная работа студентов (изучение литературы и источников, написание рефератов, курсовых и выпускных квалификационных работ). Важнейшим видом работы студентов являются также производственные и учебные практики.

Цель вуза в современных условиях - подготовка специалиста, умеющего инициативно, самостоятельно решать сложнейшие профессиональные и жизненные задачи, владеющего современными достижениями науки и техники, умеющего на практике применять и приумножать полученные знания, умения, навыки, обладающего гибкостью мышления, творческим подходом и находчивостью в быстро меняющихся ситуациях, несущего ответственность за результаты собственной деятельности и ориентированного на эффективное самообразование[18].

Если учесть значительно возросшую информированность молодёжи по многим вопросам, обилие источников и каналов информации, то ясно, что информационная функция современной лекции - важная, но далеко не единственная и не ведущая её функция.

В современных условиях не утрачивается, а возрастает роль таких функций вузовской лекции, как мотивационная (развитие интереса к науке, познавательных потребностей, убеждение в теоретической и практической значимости изучаемого), организационно - ориентированная (ориентация в источниках, литературе, советы по организации работы), профессионально - воспитательная (воспитание профессионального призвания, профессиональной этики, развитие специальных способностей), методическая (образцы научных методов объяснения, анализа, интерпретации, прогноза), оценочная и развивающая (формирование мыслительных умений, чувств, отношений, оценок). Реализация указанных функций позволяет осуществлять на лекции разностороннее воспитание студентов, вот почему воспитательную функцию считают не рядоположенной остальным, а интегрирующей[20].

Поэтому, чтобы изучение темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» было сознательным, студентов нужно убедить в теоретической и практической значимости изучаемого. Ведь ряд задач школьного курса геометрии на евклидовой плоскости имеет проективный характер, то есть в них говориться о коллинеарности точек, сложном отношении четырех точек или прямых, взаимном расположении прямой и линии второго порядка и т.д. Дополняя несобственными точками евклидову плоскость до расширенной плоскости, можно применять к ней известные теоремы проективной геометрии. Помочь студентам сориентироваться в источниках, литературе. Указать на учебные пособия, в которых изучаемая тема изложена более доступно. Такими при изучении темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» являются учебные пособия В.Т. Базылева, К.И. Дуничева [3] и Л.С. Атанясян, В.Т. Базылев [1]. Важно ввести новую тему так, чтобы студент увидел необходимость изучения данной темы.

Понимая, почему он должен изучать этот предмет и эти теоремы, а не какие-нибудь другие, какую роль этот предмет играет среди смежных предметов, почему нельзя обойтись без данной науки, что этот предмет даст лично ему, будущему математику и учителю, понимая всё это, студент будет считать изучение предмета своим кровным делом, и тогда он будет изучать его с интересом. Изучение же трудного предмета, в котором учащийся не видит для себя смысла и пользы, не может быть успешным. Итак, первая часть курса должна иметь характер постановки задач и мотивировки дальнейших действий студента. Здесь должен быть намечен перед студентом план курса, здесь должны быть освещены перспективы курса и поставлены задачи, решение которых станет его целью[5].

В педагогическом институте вводный раздел каждого курса высшей математики должен осветить важный вопрос о связи высшей математики с элементарной. Педагогический институт готовит не математиков вообще, а в первую очередь учителей математики средней школы. Поэтому высшая математика должна давать не только общее математическое образование, но и отвечать на вполне определённые и конкретные вопросы школьного курса, так же как курс высшей математики в техническом вузе отвечает определённым требованиям специальности студента. Это будет содействовать сознательному изучению предмета. Каждый студент будет знать, что именно даёт ему высшая математика для его будущей работы в школе[18].

В числе руководящих идей любого курса по высшей математике должна найти себе место и идея его связи с элементарной математикой. Связь высшей математики с элементарной должна красной нитью проходить через все курсы высшей математики и цементировать всё её преподавание в педагогическом институте.

Студент должен сознавать, что, не усвоив курса высшей математики в пединституте, т.е. не освоив современного научного фундамента элементарной математики, он мало чем будет отличаться от своего ученика-школьника. В результате он может попасть в школе в неловкое положение, так как любой из его учащихся сможет задать ему вопрос, на который он не сумеет ответить. В этом правильном понимании студентом существа дела и есть залог его успехов в учебной работе.

Отыскание общих методов решения геометрических задач и доказательств геометрических теорем приводит будущего учителя к изучению аналитической геометрии. Грамотное выполнение стереометрических чертежей на классной доске основано на изучении ряда теоретических вопросов начертательной, а следовательно, и проективной геометрии, и студент, изучая эти предметы, должен всё это иметь в виду. Более того, ряд вопросов, встречающихся в различных других школьных предметах, приводит к высшей математике. Так, создающий полотно художник-реалист должен, следуя строгим законам геометрии, решать задачу на построение перспективного изображения (или центральной проекции) каждой фигуры.

Студенты должны понимать, что изучение высшей математики настолько развивает их мышление, что обращение студента-математика второго или третьего курса к решению тех задач элементарной математики, которые в школе превышали его силы, теперь приводит к быстрому их решению, хотя за годы, проведённые в вузе, он мог совсем не решать школьных задач.

Поэтому, заканчивая изучение данной темы, лектор должен отметить значение для обучаемых рассмотренных проблем, а для студентов пединститута подчеркнуть ценность предмета с точки зрения элементарной математики. Для того чтобы в истинном свете оценить значение этой завершающей части курса, необходимо взглянуть на весь курс как на путь к его завершению. Именно эта точка зрения является педагогически наиболее правильной.

Важнейшим фактором успеха в обучении является интерес студента к науке. А, следовательно, и лекция, и практическое занятие должны быть интересными.

Какие интересные мероприятия можно предложить, чтобы сделать лекцию интересной? Конечно, умение заинтересовать талантливым изложением математического предмета - дело непростое, и в этом смысле личного мастерства лектора нельзя недооценивать. Однако можно указать и отдельные конкретные приёмы, способствующие возбуждению интереса. Прежде всего, изложение предмета, связывающее его с практикой, автоматически обеспечит к нему интерес. Если учащийся видит, что наука возникла в результате определённых потребностей человеческого общества, если он видит, что эта наука содействует ему в разрешении задач, которые ставит перед ним его собственная профессия, - то это одно уже пробуждает интерес к делу. Те теоретические тонкости, которые часто так трудно преодолевать в сухом формальном изложении, здесь будет усваиваться значительно легче, так как студент будет чувствовать себя заинтересованным в их преодолении и будет понимать, почему они возникают[17].

При обучении теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» рекомендуется лекции провести с помощью мультимедиа-технологий, а практические занятия, используя коллективные методы обучения.

Ниже приведено тематическое планирование лекций по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»:

Тема	Количество часов	Всего Часов
1. Сложное отношение четырех точек прямой.	2 часа	3 часа
2. Полный четырехвершинник.	1 час

Ниже приведена таблица изучаемых вопросов рассматриваемых тем:

Тема	Изучаемые вопросы
1. Сложное отношение четырех точек прямой.	Сложное отношение четырех точек, свойства. Сложное отношение четырех прямых пучка.
2.Полный четырехвершинник.	Гармонические четверки. Теорема о свойствах полного четырехвершинника.

При чтении лекционного материала используются слайды. На них изложен основной теоретический материал темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» (см. приложение).

При чтении лекций на тему «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник», используя компьютерные технологии вместе с традиционными, преподаватель повышает интерес студентов к изучению проективной геометрии. С помощью ИКТ довольно легко заострить внимание студентов на более сложных моментах и при этом, с помощью разработанной программы, пошагово разобрать построение полного четырехвершинника, изучит его свойства, а также разобрать решение основных задач.

Заканчивая изучение вопросов темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» проективной геометрии, следует указать, что здесь решены такие вопросы:

) получены основные формулы для вычисления сложного отношения точек;

) изучены общие методы построения полного четырехвершинника и способы построения четвертой гармонической точки.

§2.2 Планы-конспекты лекционных занятий

Лекция №1

Тема: Сложное отношение четырех точек

Цель: обучающая: познакомить студентов с понятием сложного отношения точек и сложного отношения четырех прямых пучка, рассмотреть свойства сложного отношения четырех точек прямой и сложное отношение четырех прямых пучка;

развивающая: развивать память, логическое мышление, умение анализировать, выделять закономерности, обобщать, способность быстро ориентироваться в ситуации;

воспитательная: воспитывать положительное отношение к процессу обучения, уважение к сверстникам и преподавателю.

Тип занятия: лекция.

Структура занятия:

.Организационный момент (2 мин).

.Мотивация к изучению темы (3 мин).

.Изложение нового материала (80 мин).

.Итог занятия (5 мин).

Ход занятия

.Организационный момент.

преподаватель здоровается и отмечает отсутствующих студентов;

сообщается тема занятия, его цель: Сегодня мы продолжаем изучение «Проективной геометрии», рассмотрим тему «Сложное отношение четырех точек прямой», которая будет читаться в течении одной лекции. На этой лекции мы познакомимся с понятием сложного отношения четырех точек прямой, а так же узнаем основные свойства сложного отношения четырех точек прямой, сложное отношение четырех прямых пучка.

.Мотивация к изучению темы.

Начнём с того, что необходимость изучения темы «Сложное отношение точек» проективной геометрии вытекает из её роли в дальнейшей педагогической деятельности.

Например: Часто предлагаемые на школьных олимпиадах задачи довольно трудно решить, зная только школьный курс геометрии, но при более глубоком изучении геометрии в вузе решение таких задач становится гораздо легче. Так например, некоторые задачи носят проективный характер, и при их решении необходимы знания отношения четырех точек прямой, а также четырех прямых пучка.

Всё это требует знания различных свойств сложного отношения точек. И вы, как будущие учителя, всё это должны знать, так как, с одной стороны, изучение этих вопросов углубляет его понимание элементарной геометрии, а с другой стороны, расширяет кругозор студентов как будущих учителей математики.

. Изложение нового материала осуществляется с помощью традиционных методов обучения и слайдов по теме «Сложное отношение точек», которые отражаются мультимедиа-проектором и содержат основной материал лекции.

§ 1. Сложное отношение четырех точек (четырех прямых)

1. Определение сложного отношения четырех точек прямой

Пусть точки лежат на одной прямой и заданы своими координатами: в некотором репере .

Определение. Сложным отношением упорядоченной четверки точек называется число равное

. (1)

Коротко можно записать так , где определитель составленный из координат точек и .

Сложное отношение точек не зависит от выбора проективного репера. Если - собственные точки прямой, то выполняется равенство:

. (2)

Пусть точки имеют координаты: , , . Поскольку проективные координаты определяются с точностью до проективного множества, то можно считать, что эти точки имеют координаты:

, , , . (*)

Где , ,,. Поскольку, сложное отношение точек не зависит от выбора репера, то в качестве репера можно выбрать репер , тогда будут являться аффинными координатами на данной прямой.

Найдем простое отношение (используя определение простого отношения): , .

Найдем сложное отношение по формуле (1), используя координаты (*):

Замечание 1. Несобственная точка делит любой отрезок прямой в отношении , то есть .

Замечание 2. Если выбрать в качестве репера , то в этом репере точка будет иметь координаты: . Зная сложное отношение точек , всегда можно найти расположение точки на прямой. В этом случае .

Значит, если , то .

2. Свойства сложного отношения четырех точек

10: Сложное отношение точек не изменится, если поменять местами пару точек: .

Доказательство: , . Учитывая, что получим, что . Свойство доказано.

20: Сложное отношение точек меняет свое значение на обратное, при перестановке точек внутри одной пары: .

Доказательство: , . Свойство доказано.

30: Если поменять местами точки внутри каждой пары, то сложное отношение не изменится: .

Доказательство: следует из свойства 20. . Свойство доказано.

40: .

Доказательства первого, второго и третьего свойства предложить студентам на самостоятельное изучение.

Замечание. Пусть на прямой заданы точки , тогда

) тогда и только тогда, когда точки ,

) тогда и только тогда, когда точки .

3. Теоремы о сложном отношении точек и прямых

Теорема 1. При любом проективном преобразовании плоскости сложное отношение четырех точек прямой сохраняется.

Доказательство. Пусть - проективное преобразование плоскости , прямая , ; точки переходят в отображении в точки . Как мы знаем, сужение есть проективное отображение . Это отображение вполне определяется упорядоченной парой реперов , где , . Если - координаты точки в репере , то эти же координаты имеет точка в репере . Но , . Теорема доказана.

Следствие. При любом проективном отображении одной прямой на другую сложное отношение четырех точек сохраняется.

Теорема 2. Если биекция сохраняет сложное отношение любой четверки точек, то - проективное отображение.

Доказательство. Пусть - различные точки прямой и их образы в отображении . Существует единственной проективное отображение , которое переводит точки в точки соответственно.

Если , и , то по доказанному

.(3)

Если , то по условию

(4)

(3), (4)

и, значит, точки и совпадают. Так как , то такой вывод справедлив для любой точки . Следовательно, данное нам отображение совпадает с проективным отображением . Теорема доказана.

Следствие. Биекция является проективным отображением тогда и только тогда, когда она сохраняет сложное отношение любой четверки точек.

Теорема 3. Пусть - четыре различные прямые пучка П(О), прямая не проходит через точку и - точки пересечения этой прямой с прямыми . Тогда сложное отношение не зависит от выбора прямой (оно называется сложным отношением четырех названных прямых).

Рис. 2

Доказательство. Проведем еще какую-либо прямую , она пересекается с прямыми в точках соответственно (рис 2). Пучок П(О) устанавливает перспективное отображение по закону: . Так как это частный случай проективного отображения, то . Теорема доказана.

Следствие. Биекция :П()П() одного пучка на другой является проективным отображением тогда и только тогда, когда она сохраняет сложное отношение любой упорядоченной четверки прямых.

4. Сложное отношение точек заданных своими координатами на проективной плоскости

Как найти сложное отношение четырех точек прямой , зная их координаты , , , относительно репера на плоскости?

Прямая не проходит по крайней мере через одну из точек . Для определенности будем считать, что (рис. 3).

Рис.3

Рассмотрим перспективное отображение с помощью пучка прямых П(). Имеем:

. (5)

В репере на прямой имеем координаты точек:

Поэтому

и, учитывая равенство (5),

. (6)

Аналогичные выражения получим, если прямая не проходит через вершину или координатного треугольника, проектируя точки прямой на из или на и из .

На проективной плоскости возьмем репер и произвольную точку . Пусть - проекции точек и на прямую из центра . Мы знаем, что в репере на прямой точка имеет координаты и, следовательно, по формуле (2) при условии, что , то есть . Аналогичные выражения получим и для других отношений между координатами точки . Поэтому справедлива

Теорема 4. Если точка имеет координаты относительно репера проективной плоскости, то отношение равно сложному отношению четырех точек: двух вершин , и проекций , на прямую точек и из третьей вершины координатного треугольника (при условии, что , т. е. ) [3].

.Итог занятия.

Итак, сегодня мы познакомились с понятием сложного отношения четырех точек прямой, изучили свойства сложного отношения, рассмотрели сложное отношение четырех прямых пучка.

Как обозначается сложное отношение четырех точек прямой?

Возможный вариант ответа: (AB,CD).

Какие свойства сложного отношения точек сегодня были изучены?

Каким отношением связанно сложное отношение четырех точек прямой и отношение трех точек прямой?

При обозначении сложного отношения точек важен порядок записи точек?

Лекция № 2

Тема: Полный четырехвершинник

Цель: обучающая: ввести определение гармонической четверки точек, изучить теорему о свойствах полного четырехвершинника;

Тип занятия: лекция.

Структура занятия:

.Организационный момент (2 мин).

.Изложение нового материала (85 мин).

.Итог занятия (3 мин).

Ход занятия

.Организационный момент.

преподаватель здоровается и отмечает отсутствующих студентов;

сообщается тема занятия, его цель: На этой лекции мы познакомимся с понятием гармонической четверки точек, изучим теорему о свойствах полного четырехвершинника.

. Изложение нового материала осуществляется с помощью традиционных методов обучения и слайдов по теме «Полный четырехвершинник», которые отражаются мультимедиа-проектором и содержат основной материал лекции.

§2. Гармонические четверки. Полный четырехвершинник

Четверка точек прямой называется гармонической, если . Говорят также, что точки и гармонически сопряжены относительно точек и или что пары , и , гармонически разделяют одна другую. Точку называют при этом четвертой гармонической к упорядоченной тройке точек , , .

Из свойств сложного отношения четырех точек, заключаем, что в случае гармонической четверки точек , , , их сложное отношение не меняется только при перестановке пар точек, но и при перестановке точек одной пары:

Аналогичными свойствами обладает и гармоническая четверка прямых пучка (которая определяется условием: ).

Пусть , , , - четыре точки общего положения на проективной плоскости. Если через каждые две из них провести прямую, то получим шесть прямых (рис. 4).

Фигура, образованная точками , , , и полученными шестью прямыми, называется полным четырехвершинником (или полным четырехугольником). Данные точки - его вершины, указанные прямые -его стороны.

Рис. 4

Две стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными: и , и , и - пары противоположных сторон.

Точки , , пересечения противоположных сторон называются диагональными точками, а прямые , , - диагоналями полного четырехвершинника.

Пусть и - точки пересечения диагонали с противоположными сторонами и , проходящими через третью диагональную точку . Докажем, что

. (7)

Проектируя точки , , , на прямую из центра , получим:

. (8)

Проектируя точки , , , на прямую из центра , получим:

(9)

(2), (3) (10)

Но по второму свойству §1

, (11)

(4), (5)

Но при точки и совпадают, а следовательно, совпадают прямые и , и точки , , , оказываются на одной прямой, что противоречит условию. Поэтому

студент педагогический преподавание конспект

(6)

(7)

Заметим, что в полном четырехвершиннике все его вершины равноправны, как равноправны все его диагональные точки. Поэтому справедлива

Теорема 5. Полный четырехвершинник обладает следующими свойствами:

1) на каждой диагонали имеется гармоническая четверка точек, в которой одной парой служат диагональные точки, а другой парой - точки пересечения этой диагонали со сторонами, проходящими через третью диагональную точку;

2) на каждой стороне имеется гармоническая четверка точек, в которой одной парой служат вершины, а другая пара образована диагональной точкой и точкой пересечения этой стороны с диагональю, проходящей через две другие диагональные точки;

) через каждую диагональную точку проходит гармоническая четверка прямых, в которой одной парой служат противоположные стороны, а другой диагонали.

Тогда искомая.

.Итог занятия.

Итак, сегодня на занятии мы ввели понятие гармонической четверки, изучили теорему о свойствах полного четырехвершинника.

Когда четыре точки лежащие на одной прямой, называют гармонически расположенными?

Возможный вариант ответа: Если сложное отношение четырёх точек прямой равно минус единице.

Далее, в подведении итогов лекции, студентам предлагается решить следующую задачу:

Даны отрезок , его середина C и точка M, не лежащая на прямой . С помощью одной линейки построить прямую, проходящую через точку M и параллельную прямой .

После нескольких минут самостоятельного решения задачи, к доске вызывается студент либо по собственному желанию, либо на усмотрение преподавателя. Далее задача решается студентом с помощью аудитории.

§2.3 Тематический план и методические рекомендации к проведению практических занятий

Практические занятия чаще всего являются продолжением лекционных форм обучения и служат для осмысления и более глубокого изучения теоретических проблем, а также отработки навыков использования знаний. Практическое занятие даёт студенту возможность проверить, уточнить, систематизировать знания, овладеть терминологией и свободно его оперировать, научиться точно и доказательно выражать свои мысли на языке конкретной науки, анализировать факты, вести диалог, дискуссию, оппонировать. Практика призвана укреплять интерес студента к науке и научным исследованиям, научить связывать научно - теоретические положения с практической деятельностью[15].

На практических занятиях студенты проверяют, насколько тесно теория связана с практикой и осознают её необходимость для будущей профессиональной деятельности. По сути дела, практическое занятие и его результаты есть ничто иное как проявление принципа обратной связи на вузовском этапе профессиональной подготовки.

Преимущество практических занятий перед лекционными заключается в том, что здесь преподаватель имеет больше возможностей для индивидуальной работы со студентами. Контакт между преподавателем и студентами более тесен, чем при других организационных формах обучения [19].

Практические занятия занимают значительное место в обучении и важны для успешной работы в других видах учебной деятельности студентов по геометрии.

Для того, чтобы студенты быстрее и легче усвоили изучаемый материал, можно все задачи разбить на две основные темы: «Сложное отношение точек», «Полный четырехвершинник».

Первое практическое занятие по теме «Сложное отношение точек» предлагается провести с помощью методики коллективных способов обучения.

На практическом занятии при изучении данной темы преподаватель выбирает из задачника однотипные задания. Пять - семь пар таких заданий выписываются на карточках, и каждая карточка получает свой номер.

Задание 1 Вычислить сложное отношение точек А)

Б) Задание 2

Проверить лежат ли на одной прямой точки:

А)

Б)

Фамилия студента	Номера заданий
	1	2	3	4	5	6
Иванов Петров Сидоров Степанов Попов Кузнецов	+ +	+ +	+	+ +	+ + +	+

На втором практическом занятии по теме «Полный четырехвершинник» используется моделирующая программа. При рассмотрении какой-либо задачи на нахождение сложного отношения точек можно рассмотреть несколько не сложных задач с помощью программы и мультимедиа проектора.

В конце второго практического занятия для контроля знаний учащихся по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» проводится самостоятельная работа на 20 минут.

Ниже приводится содержание практических занятий:

Тема	Количество часов	Всего Часов
1.Сложное отношение четырех точек прямой.	2 часа	4 часа
2. Полный четырехвершинник.	2 часа

§2.4 Планы-конспекты практических занятий

Практическое занятие №1

Тема: «Сложное отношение четырех точек».

Цель: сформировать умения и навыки применения на практике теоретического материала, данного на лекции.

Задачи:

1) образовательная - формирование научного мировоззрения;

) развивающая - развитие у обучаемых умения обобщать, систематизировать полученные знания;

) воспитательная - воспитания познавательного интереса обучаемых, коммуникативных качеств, умения слушать, культуры межличностных взаимоотношений, аккуратности в работе, трудолюбия.

Оборудование: доска, мультимедиапроектор, компьютер.

Структура практического занятия:

1) организационный момент (5 мин.);

2) актуализация знаний по данной теме (5 мин.);

) закрепление теоретического материала на практике (70 мин.);

) запись домашнего задания (7 мин.);

) подведение итогов практического занятия (3 мин.).

Ход практического занятия:

1. Организационный момент.

Сообщается тема практического занятия и записывается на доске, в тетради.

2. Актуализация знаний по данной теме.

Задаются вопросы, необходимые для проведения данного практического занятия, рассмотренные на лекционном занятии (основные понятия и формулы).

1) Что называется сложным отношением четырех точек прямой?

- Сложным отношением четырех точек лежащих на одной прямой называется число:

2)
Свойства сложного отношения точек

- 10: Сложное отношение точек не изменится, если поменять местами пару точек: .

- 20: Сложное отношение точек меняет свое значение на обратное, при перестановке точек внутри одной пары: .

30: Если поменять местами точки внутри каждой пары, то сложное отношение не изменится: .

- 40: .

3) Каким отношением определяется связь сложного отношения точек с простым?

- .

3. Закрепление теоретического материала на практике.

На этом этапе проведения занятия используется методика коллективных способов обучения. К занятию заранее приготовлено пять видов карточек. Пять задач, в каждой из которых содержится пара однотипных заданий. Каждой задаче соответствует свой номер. Каждый из студентов получает номер задачи и приступает к её решению. После того как все студенты, по мере своих сил справились с заданиями, группа разбивается на пары. Работая в парах студенты проверяют правильность решения задачи напарником, объясняя решение своего задания подробно, если у другого возникли затруднения при решении задания напарника. Проверив друг у друга правильность решения задач и оформив решение в тетрадь, напарники расходятся. На этом их работа в данной паре заканчивается, пара распадается, а каждый из них ищет себе нового напарника.

Если по какому либо заданию никто не справился с решением, преподаватель должен дать консультацию. Преподаватель контролирует процесс отработки практических умений и навыков на серии аналогичных заданий заполняя таблицу с фамилиями студентов и указанными номерами заданий. После окончания работы в паре в таблице в соответствующей графе ставится + в соответствующей графе. После завершения работы преподаватель выставляет баллы заработанные каждым студентом во время выполнения заданий. Причем больше баллов получает тот, у кого в тетради окажется больше решенных задач.

Ниже приведены пять типов заданий предлагаемых студентам для решения, ответы и решения всех видов заданий описаны в приложении.

Задача №1.

А) Точки A, B, С, D в репере имеют следующие координаты: A(2;3), B(3;-1), C(4,1), D(5,3). Вычислить значение сложного отношения этих точек, соответствующие всевозможные их перестановкам.

Б) Точки A, B, С, D в репере имеют следующие координаты: A(-1;4), B(12;-11), C(-6,4), D(-6,8). Вычислить значение сложного отношения этих точек, соответствующие всевозможные их перестановкам.

Задача №2

А) Три точки в репере имеют следующие координаты: А(-3;1), B(2;11), C(1;9). Они лежат на одной прямой. Найти на этой прямой точку D удовлетворяющую условию .

Б) Три точки в репере имеют следующие координаты: А(-3;11), B(5;7), C(3;12). Проверить лежат ли эти точки на одной прямой. Если точки A, B, C расположены на одной прямой, то найти на этой прямой точку D удовлетворяющую условию .

Задача №3

А) Три точки прямой заданы своими аффинными координатами: A(-3;1), B(2;11), C(1;9). Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию: .

Б) Три точки прямой заданы своими аффинными координатами: A(1;2), B(12;1), C(6;4). Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию: .

Задача №4

А) Проверить, лежат ли на одной прямой точки A(1;0;2), B(3;-1;1), C(0;2;3), D(1;1;-2), заданные в репере плоскости.

Б) Проверить, лежат ли на одной прямой точки A(2;5;4), B(5;6;7), C(1;5;9), D(0;0;1), заданные в репере плоскости.

Задача №5

А) Известно, что . Найти сложное отношение точек всех возможных порядков.

Б) Известно, что . Найти сложное отношение точек всех возможных порядков.

4. Запись домашнего задания.

Домашнее задание даётся под запись.

1) Точки A, B, С, D в репере имеют следующие координаты: A(4;3), B(5;6), C(-2,1), D(7,13). Вычислить значение сложного отношения этих точек, соответствующие всевозможные их перестановкам.

) Найти координаты точки B в репере на прямой, если в этом репере: A(-4;0), C(1;10), D(0;8), а сложное отношение

) Три точки заданы своими аффинными координатами: A(-4;0), B(3;6), C(5;9). Они лежат но одной прямой. Найти на этой прямой точку D(x; y), удовлетворяющую условию .

. Подведение итогов практического занятия.

Подводятся итоги. Преподаватель сообщает студентам количество баллов заработанных на этом занятии. Сообщается, что на следующем занятии будет проводиться самостоятельная работа и необходимо повторить теоретический материал.

Практическое занятие № 2

Тема: «Полный четырехвершинник».

Цель: сформировать умения и навыки применения на практике теоретического материала, данного на лекции.

Задачи:

1) образовательная - формирование научного мировоззрения;

) развивающая - развитие у обучаемых умения обобщать, систематизировать полученные знания;

Оборудование: доска, мультимедиапроектор, компьютер.

Структура практического занятия:

1) организационный момент (5 мин.);

) актуализация знаний по данной теме (5 мин.);

) закрепление теоретического материала на практике (55 мин.);

) самостоятельная работа (15 мин.);

) запись домашнего задания (3 мин.);

) подведение итогов практического занятия (3 мин.).

Ход практического занятия:

1. Организационный момент.

Сообщается тема практического занятия и записывается на доске, в тетради.

. Актуализация знаний по данной теме.

) Когда четверка точек A, B, C, D (прямых a, b, c, d) называется гармонической?

- Четверка точек (прямых) называется гармонической, если , ().

) Какая фигура называется полным четырехвершинником?

Фигура, образованная четырьмя точками общего положения и шестью прямыми их попарно соединяющими, называется полным четырехвершинником. Данные точки его вершины, указанные прямые - его стороны.

) Постройте полный четырехвершинник и выпишите его противоположные стороны, диагональные точки, диагонали

- и , и , и - пары противоположных сторон.

, , - диагональные точки.

, , - диагонали.

4) Рассказать теорему о полном четырехвершиннике и указать на рисунке расположение всех гармонических точек (прямых).

Теорема. Полный четырехвершинник обладает следующими свойствами:

3. Закрепление теоретического материала на практике.

На этом этапе проведения занятия используется мультимедиапроектор. При рассмотрении полного четырехвершинника и решении задач можно увидеть построение на экране, с помощью моделирующей программы.

Задача №1.

Используя свойства полного четырехвершинника, доказать, что прямая, соединяющая точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции с точкой пересечения её диагоналей, делит основания трапеции пополам.

Задача №2.

Даны две прямые и точка , не лежащая ни на одной из них. Через точку проведены две прямые и : Доказать, что точка при любом выборе прямых и лежит всегда на одной и той же прямой , проходящей через точку .

Задача №3.

Построены диагональные точки полного четырехвершинника : , , . Точки определены соотношениями: пара точек гармонически разделяет пару точек ; - разделяет ; - разделяет . Доказать, что: 1) прямые сходятся в одной точке ; 2) пара точек гармонически разделяет пару точек

Задача №4.

На прямой даны три точки . Пользуясь одной линейкой, построить четвертую гармоническую точку .

Задача №5.

Даны три прямые пучка (рис. 5). Пользуясь одной линейкой, построить четвертую гармоническую прямую .

4. Самостоятельная работа.

Работа выполняется в течении 20 минут. Она пишется на отдельных листочках, которые после написания сдаются преподавателю на проверку. Она включает в себя два варианта, по одному заданию в каждом. Данная самостоятельная работа проводится в конце второго практического занятия. Если студенту что-либо не понятно, то ему предлагается прийти на дополнительное занятие по этому предмету, где ему будет объяснён материал ещё раз.

Вариант №1.

Найти координаты точки С в репере на прямой, если в этом репере: A(2;3), В(-1;1), D(-3;5), а сложное отношение

Вариант №2.

Три точки прямой заданы своими аффинными координатами: A(5;12), B(9;3), C(10;7). Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию .

5. Запись домашнего задания.

Домашнее задание даётся под запись.

1) Построены диагональные точки полного четырехвершинника , , . Точки определены соотношениями: пара точек гармонически разделяет пару точек ; - разделяет ; - разделяет . Доказать, что: 1) прямые сходятся в одной точке ; 2) пара точек гармонически разделяет пару точек

. Подведение итогов практического занятия.

Подводятся итоги, преподаватель выставляет баллы, заработанные студентами на этом занятии. Сообщается, что тема «Сложное отношение точек. Полный четырехвершнник» завершена.Далее будет рассматриваться следующая тема.

§2.5 Методические рекомендации к организации самостоятельной работы и контроля знаний студентов

Важной формой обучения в вузе является самостоятельная работа, которую организует, направляет и оценивает преподаватель. Это, вполне понятно, так как без этого невозможно решить задачи ни специальной, ни общенаучной подготовки будущих специалистов.

Под самостоятельной работой иногда понимают не только организационную форму, в которой протекает учебный процесс, но и метод, и приём, и средство обучения. Самостоятельная работа является составной частью учебного процесса, научно-исследовательской работы и практики студентов в вузе и вне его[5].

В процессе самостоятельной работы студент сам организует свою познавательную деятельность. Активность её протекания полностью зависит от его личностных особенностей, от сформированности профессиональной направленности и уровня развития познавательного интереса.

Наиболее изучены исследователями особенности организации самостоятельной работы студентов в процессе слушания, записи, последующего изучения записанной информации в лекции. Студент самостоятельно может работать с литературой по курсу «Проективная геометрия» при подготовке к коллоквиуму, практической, самостоятельной, курсовой, дипломной работе, выполнении научной работы[20].

Самостоятельная работа студентов предназначена не только для овладения курса проективной геометрии, но и для формирования навыков самостоятельной работы вообще, в учебной, научной, профессиональной деятельности, способности принимать на себя ответственность, самостоятельно решить проблему, находить конструктивные решения, выход из кризисной ситуации и т.д.

Высшая школа отличается от средней специализацией, но главным образом - методикой учебной работы и степенью самостоятельности обучаемых. Преподаватель лишь организует познавательную деятельность студентов. Студент сам осуществляет познание. Самостоятельная работа завершает задачи всех видов учебной работы. Никакие знания, не подкреплённые самостоятельной деятельностью, не могут стать подлинным достоянием человека. Кроме того, самостоятельная работа имеет воспитательное значение: она формирует самостоятельность не только как совокупность умений и навыков, но и как черту характера, играющую существенную роль в структуре личности современного специалиста высшей квалификации. Поэтому в каждом вузе, на каждом курсе тщательно отбирается материал для самостоятельной работы студентов под руководством преподавателей.

Самостоятельная работа способствует:

§ углублению и расширению знаний;

§ формированию интереса к познавательной деятельности;

§ овладению приёмами процесса познания;

§ развитию познавательных способностей.

На лекции преподаватель рекомендует студентам литературу и разъясняет методы работы с учебником и первоисточниками. Студентам можно порекомендовать следующую литературу по теме «Дифференциальная геометрия поверхностей»: Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. «Геометрия»; Атанасян Л.С., Базылев В.Т. «Геометрия»; Базылев В.Т., Дуничев К.И. «Геометрия», Глаголев Н. А. «Проективная геометрия», Житомирский О. К. «Проективная геометрия в задачах», Комиссарук «Проективная геометрия в задачах», Певзнер С. Л. «Проективная геометрия», Четверухин Н. Ф. «Проективная геометрия».

Также студентам предлагаются задачи и упражнения для самостоятельного решения.

В помощь студентам при самостоятельном изучении темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник», была разработан электронный учебник, с помощью которого студент может самостоятельно изучить лекционный материал, решить задачи вынесенные на практические занятия, рассмотреть построение полного четырехвершинника и изучить его свойства, а также самостоятельно оценить свои знания пройдя тест предложенный в электронном учебнике.

На первой лекции студентам на самостоятельное изучение предложено несколько доказательств. Каждый студент должен самостоятельно проработать лекции прочитанные лектором в аудиторное время. Задания вынесенные на домашнюю работу с первого и второго практического занятия, также являются самостоятельной работой студентов во вне аудиторное время. Для выполнения заданий вынесенных на самостоятельное изучение студенту необходимо воспользоваться библиотечными ресурсами, изучить необходимую литературу.

Известно, что контроль стимулирует обучение и влияет на поведение студентов. Как показала практика, попытки исключить контроль частично или полностью из учебного процесса приводит к снижению качества обучения.

Особо следует сказать о формах организации контроля за качеством усвоения материала студентами в вузах, оценке знаний, как стимулировании процесса обучения и профессиональной подготовки специалистов. Традиционно сложились несколько видов контроля, которые мало изменяются с течением времени. Первый - устный: собеседование по курсу, тестирование, зачёт, экзамен; второй - письменный: контрольная, курсовая, дипломная работа.

Во время устного опроса контролируются не только знания, но тренируется устная речь, развивается педагогическое общение. Письменные работы позволяют документально установить уровень знания материала, но требуют больших затрат времени для преподавателя. Экзамены создают дополнительную нагрузку на психику студента. Курсовые и дипломные работы способствуют формированию творческой личности будущего специалиста. Умелое сочетание разных видов контроля - показатель уровня постановки учебного процесса в вузе и один из важных показателей педагогической квалификации преподавателя.

После изучения темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» студентам предлагается пройти тест и самостоятельно оценить свои знания по данной теме.

Тема выпускной квалификационной работы входит в вопросы к коллоквиуму, а также в экзаменационные вопросы третьего семестра. Также данная тема входит в итоговую контрольную работу по проективной геометрии. При модульно-рейтинговой системе обучения на самостоятельную работу, в аудиторное время, и домашнюю работу в соответствии с учебной программой [16] отводится по 1,5 балла.

§2.6 Методические рекомендации к применению ИКТ при обучении студентов теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»

Компьютерные учебные демонстрации постепенно становятся важным средством предъявления информации в хорошо оборудованных учебных аудиториях. При этом имеется эффектная возможность по ходу лекции иллюстрировать явления и разнообразные процессы с помощью гибких и наглядных компьютерных динамических моделей, с гибким управлением параметрами моделей непосредственно по ходу изложения материала. Использование мультимедиа-проектора открывает для лектора новые богатейшие дидактические возможности увеличения эффективности лекций, тем более что в настоящее время число готовых программ-моделей постоянно возрастает, а возможности Интернета делают эти модели всё более доступными.

Использование компьютерных учебных демонстраций при чтении темы «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник» позволит лектору нагляднее объяснить новую тему, а студентам представить, как выглядит построение полного четырехвершинника, как именно расположены все гармонические четверки точек на его сторонах и диагоналях.

Для самостоятельной работы студентов был разработан электронный учебник. В нём представлен весь теоретический материал данной темы. Так же есть тестирующая и моделирующая программа. После того, как студент изучит лекционный материал по этому учебнику, ему предлагается пройти тест. Если он недоволен своими результатами, то он может вернуться и просмотреть теоретический материал ещё раз.

Электронный учебник, разработанный по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник», состоит из следующих компонентов:

1) планы-конспекты лекций и практических занятий по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»;

2) презентации к лекциям;

) моделирующая программа;

) тест по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник».

Первый компонент учебника служит для самостоятельного изучения данной темы или для повторного изучения. Второй содержит основной материал лекций.

Моделирующая программа помогает пошагово разобрать построение полного четырехвершинника, изучить его свойства, с помощью этих свойств разобрать построение четвертой гармонической точки к трем точкам заданным на прямой. В программе решаются четыре различные задачи на тему «Сложное отношение точек»:

· вычисление сложного отношения четырех точек с координатами заданными пользователем;

· найти координаты четвертой точки, если известны координаты трех точек и значение сложного отношения четырех точек, заданных пользователем;

· найти сложное отношение точек любого возможного порядка, если задать сложное отношение одного из возможных вариантов расположения точек;

· проверить лежат ли четыре точки заданные на плоскости на одной прямой, если пользователь произвольно задает координаты этих точек.

Четвертый компонент учебника - тест по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник», состоит из одного варианта в котором десять вопросов. Тест подразумевает проверку теоретических знаний учащихся и охватывает тему «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник». В каждом вопросе по четыре варианта ответов. Тест осуществляет проверку знаний учащихся по данной теме.

Заключение

Изучены психологические особенности студенческого возраста в высшей школе; даны методические рекомендации к организации аудиторных занятий, самостоятельной работы студентов, контроля знаний обучаемых; составлены подробные планы-конспекты лекций и практических занятий по теме «Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник»; разработан учебно-методический комплекс (УМК) включающий в себя моделирующую программу, планы-конспекты лекционных и практических занятий, презентации к лекциям, тестирующую программу, даны методические рекомендации к использованию УМК.

Материалы данной выпускной квалификационной работы могут быть полезны студентам математических факультетов педагогических вузов для подготовки к лекциям и практическим занятиям, коллоквиумам, к экзаменам, при выполнении курсовых и выпускных работ, а также преподавателям педагогических вузов математических факультетов для проведения лекционных и практических занятий с использованием технических средств предъявления информации.

Литература

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия: Учеб. пособие для студ. физ-мат. фак-тов пед. ин-тов. В 2-х ч. Ч. 2. - М.: Просвещение, 1987.-236 с.

2. Абульханова-Славская К.Я. Деятельность и психология личности. - М., 1980. - 362 с.

3. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия. Учеб. пособие для студ. физ-мат. фак-тов пед. ин-тов. В 2-х ч. Ч. 2. - М.: Просвещение, 1980. -248 с.

. Глаголев Н. А. Проективная геометрия. - М.: - 1963.- 190 с.

. Гольцер Я.Н. Актуальные вопросы школьной и вузовской методики преподавания математики: Темат. сб. научн. тр./каз. пед. ин-т. им. Абая.- Алма-Ата: КазПи, 1989. - 97 с.

. Житомирский О.К. Проективная геометрия в задачах. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954.- 358 с.

. Комиссарук А.М. Проективная геометрия в задачах. - Минск: Вышэйш. школа, 1971.- 416 с.

. Моденов П.С., Пархоменко А.С. Геометрические преобразования. - М.: Издательство московского университета, 1961.- 326 с.

. Математика в школе: научно-теоретический и методический журнал. Министерство образования Российской Федерации. - издательство «Школа-Пресс», 2005, №5

. Певзнер С.Л. Проективная геометрия. - М.: Просвещение, 1980.- 156 с.

. Педагогические технологи: Учебное пособие для студентов педагогических специальностей / Под общей ред. В.С. Кукушина. - серия «Педагогическое образование». - Москва: ИКЦ «МарТ»; Ростов н/Д: Издательский центр «МарТ», 2004.-336 с.

. Ситаров В.А. Дидактика: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений/Под ред. В.А. Сластёнина. - М.: Академия, 2002.- 136 с.

. Смирнов С.Д. Педагогика и психология высшего образования: от деятельности к личности: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. - М.: Академия, 2003. - 304 с.

14. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: Учебное пособие.- М.: Народное образование, 1998.-256 с.

. Темербекова А.А. Методика преподавания математики: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. - М.: ВЛАДОС, 1987.- 176 с.

16. Учебная программа по курсу «Геометрия» для студентов специальности «Математика» с дополнительной специалиностью «Информатика», факультета математики и информатики, курс 1-3, семестры 1-5. Программа разработана доцентом кафедры математики и МПМ Чернышева У.А. Славянск-на-Кубани, 2007г. - 52 с.

. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия: Учебник для пед. ин-тов.- М.: Просвещение, 1969.- 248 с.

. Черниченко В.И. Дидактика высшей школы: история и современные проблемы. - М.: Вузовская книга, 2002. - 136 с.

19. Яковлева У.А. Проективная геометрия: Учебно-методическое пособие по геометрии для студентов специальности 032100-«Математика»/Славянский-на-Кубани государственный педагогический институт. - Славянск-на-Кубани: ООО «Берегиня», 2004. - 57 с.

. Якушин В.А. Современные методы обучения в высшей школе. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1991. - 174 с.

Приложения

Приложение 1

Задачи

Задача №1.

Точки A, B, С , D в репере имеют следующие координаты: A(2;3), B(3;-1), C(4,1), D(5,3). Вычислить значение сложного отношения этих точек, соответствующие всевозможные их перестановкам.

Решение

1) Вычислим сперва значение сложного отношения (AB,CD) по формуле (3).

2) Как известно, четыре элемента допускают перестановки. Согласно свойствам сложного отношения,

Таким образом, 24 перестановки букв A, B, C, D распадаются на шесть четвёрок, каждой из которых соответствует одно и тоже значение сложного отношения. Следовательно, сложное отношение данных четырёх точек не более шести различных значений:

) ,

где ,.

В нашем случае сложное отношение принимает следующие шесть значений:

Задача №2

Три точки в репере имеют следующие координаты: А(-3;1), B(2;11), C(1;9). Они лежат на одной прямой. Найти на этой прямой точку D удовлетворяющую условию .

Решение:

Пусть в репере . Согласно формуле (3) получаем:

Но, по условию известно, что . Тогда

Значит, искомая точка D(1,3).

Задача №3

Три точки прямой заданы своими аффинными координатами: A(-3;1), B(2;11), C(1;9). Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию: .

Решение:

(4;8), (1;2), тогда . , , тогда По формуле (6): Получаем:

, откуда: , .

Значит, D(7,21).

Задача №4

Проверить, лежат ли на одной прямой точки A(1;0;2), B(3;-1;1), C(0;2;3), D(1;1;-2), заданные в репере плоскости.

Решение:

Спроектируем точки A, B, C, D на прямую из центра . Получим . При этом . Тогда:

Аналогично, при проецировании из центра , имеем:

При проецировании из центра , имеем:

Так как во всех трёх случаях получили разные результаты, то можно сделать вывод, что точки не лежат на одной прямой.

Задача №5 Точки A, B, С , D в репере имеют следующие координаты: A(4;3), B(5;6), C(-2,1), D(7,13). Вычислить значение сложного отношения этих точек, соответствующие всевозможные их перестановкам.

Задача №6 Найти координаты точки B в репере на прямой, если в этом репере: A(-4;0), C(1;10), D(0;8), а сложное отношение

Задача №7 Три точки заданы своими аффинными координатами: A(-4;0), B(3;6), C(5;9). Они лежат но одной прямой. Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию .

Задача №8.

Используя свойства полного четырёхвершинника, доказать, что прямая, соединяющая точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции с точкой пересечения её диагоналей, делит основания трапеции пополам.

Решение:

Пусть продолжение боковых сторон трапеции ABCD пересекаются в точке E,а диагонали - в точке F (рис. 5). Прямая EF пересекает основания трапеции AB и CD в точках M и N соответственно. Требуется доказать, что точки M и N являются серединами оснований.

Рис. 5

Рассмотрим полный четырёхвершинник ABCD. Точки E и F являются его диагональными точками. Третьей диагональной точкой является несобственная точка параллельных сторон AB и CD. Так как, на каждой стороне полного четырёхвершинника имеется гармоническая четвёрка точек, то четвёрка точек - гармоническая; значит . В силу того, что - несобственная точка прямой AB, значение сложного отношения , то есть, последнее равенство равнрсильно следующему: . Значит, что M есть середина отрезка AB. Точно так же доказывается, что N середина отрезка CD.

Задача №9.

Решение:

Рис. 6

Обозначим прямую через . Рассмотрим полный четырёхвершинник . Его диагональными точками являются , прямые и - две его диагонали. Так как, через каждую диагональную точку полного четырёхвершинника проходит гармоническая четверка прямых, то есть пара прямых гармонически разделяет пару прямых . Отсюда следует, что как только заданные прямые и точка , так однозначно определяется третья прямая , а затем и четвёртая гармоническая прямая . Итак, прямая зависит только от и , но не от и .

Задача №10.

Решение:

1) Рассмотрим полный четырехвершинник . Его диагональными точками являются и . Диагональ пересекает сторону четырехвершинника в точке, четвертой гармонической к . Но согласно условию, гармонически разделяет ; значит, прямая проходит через точку , а поэтому и через . Итак, прямые и действительно сходятся в точке .

Рис. 7

) Рассмотрим полный четырехвершинник . Точки и - его диагональные точки, прямая - диагональ. Она пересекает противоположные стороны и , проходящие через третью диагональную точку, в точках и соответственно; следовательно в силу того, что на каждой диагонали полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек, пара точек гармонически разделяет пару точек .

Задача №11.

На прямой даны три точки . Пользуясь одной линейкой, построить четвертую гармоническую точку .

Решение:

Будем считать плоскость чертежа евклидовой плоскостью, поэтом различим два случая.

) Точка лежит вне отрезка (рис 8, а).

Будем считать и вершинами некоторого полного четырехвершинника, а - его диагональной точкой. Возьмем вне прямой точку (вторая диагональная точка). Построим и (пара противоположных сторон). Из точки (которая пока без пары) проведем к треугольнику секущую ( и - третья и четвертая вершины; лежит на , - на ).

Рис 8, а

Построим прямые и ; получим точку (третья диагональная точка). Наконец, построим прямую (диагональ) и получим точку . В силу того, что на каждой стороне полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек, получаем - пара точек гармонически разделяет пару точек .

Точка не зависит от выбора точки и секущей .

) Точка лежит внутри отрезка (рис 8, б)

Снова будем считать и вершинами некоторого полного четырехвершинника, но теперь диагональной точкой будем считать не , а искомую точку .

Рис 8, б

Возьмем вне прямой точку (диагональная точка). Построим прямые и (пара противоположных сторон и диагональ). На прямой возьмем точку (вторая диагональная точка) и построим прямые и (пара противоположных сторон); получим точки и (третья и четвертая вершины). Наконец, построим прямую (сторона, противоположная ) и получим точку (третья диагональная точка). В силу того, что на каждой стороне полного четырехвершинника имеется гармоническая четверка точек, получаем, что пара точек гармонически разделяет пару точек .

Как в первом, так и во втором случае мы строим одну и ту же фигуру. Разница заключается лишь в очередности построения прямых и .

Задача №12.

Даны три прямые пучка (рис. 9). Пользуясь одной линейкой, построить четвертую гармоническую прямую .

Решение:

Будем считать и парой противоположных сторон некоторого полного четырехвершинника, а - его диагональю. Тогда центр пучка будет диагональной точкой этого четырехвершинника, а искомая прямая будет второй диагональю, проходящей через , так как через каждую диагональную точку полного четырехвершинника проходит гармоническая четверка прямых.

Рис. 9

Возьмем на прямой точку (вторая диагональная точка). Проведем из к углу две секущие (вторая пара противоположных сторон). Мы получим четыре точки: (вершины). Построим прямые и (третья пара противоположных сторон) и получим точку (третья диагональная точка). Прямая (диагональ) и есть искомая прямая .

Задача №13. Найти координаты точки С в репере на прямой, если в этом репере: A(2;3), В(-1;1), D(-3;5), а сложное отношение

Задача №14. Три точки прямой заданы своими аффинными координатами: A(5;12), B(9;3), C(10;7). Найти на этой прямой точку D(x;y), удовлетворяющую условию .

Задача №15 Построены диагональные точки полного четырехвершинника : , , . Точки определены соотношениями: пара точек гармонически разделяет пару точек ; - разделяет ; - разделяет . Доказать, что: 1) прямые сходятся в одной точке ; 2) пара точек гармонически разделяет пару точек

Приложение 2

Элементы проективной геометрии на факультативе в школе

Что такое проективные свойства фигур? Это те свойства, которые сохраняются при центральном проектировании, когда проектирующие лучи не параллельны некоторой фиксированной прямой, а выходят из заданной точки пространства, называемой центром проектирования.

Параллельное проектирование - своего рода частный случай центрального проектирования, если считать, что центр проектирования бесконечно удален. Наша цель - познакомить школьников на доступном уровне с некоторыми свойствами центрального проектирования и их практическими применениями.

Проективные теоремы и задачи

В геометрии встречаются свойства фигур различной природы: метрические, аффинные, проективные.

Как же распознать проективные теоремы и задачи? Как правило в их условии речь идет о взаимном расположении точек и прямых и часто требуется доказать, что некоторые три прямые имеют общую точку или что три характерные точки лежат на одной прямой. Например: «Даны три окружности. Докажите, что точки A, B и C пересечения общих касательных к парам этих окружностей лежат на одной прямой ». К проективным относятся упоминающиеся в учебнике геометрии Л.С. Атанасяна и др. теоремы Паскаля, Брианшона и некоторые другие утверждения.

О возможностях использования элементов проективной геометрии в школе

Умение распознавать природу тех или иных рассматриваемых свойств фигур способствует успешному решению самых разных геометрических задач.

Если задача метрическая, то нужно ввести обозначения длин отрезков и величин углов, выбрать подходящий треугольник (или другую фигуру) и составить связывающие её элементы тригонометрические соотношения и т.д. Аффинную задачу проще рассмотреть на некоторой параллельной проекции исходного чертежа. А вот задачу на проективные свойства фигур целесообразно решать средствами проективной геометрии, позволяющими быстрее достичь цели.

С помощью теорем проективной геометрии удается легко справиться и с другими задачами, которые не являются чисто проективными, однако имеют «близкое происхождение». Это касается, например, такой задачи: «Точка O принадлежит высоте треугольника ABC и находится внутри него. Прямые AO и BO пересекают стороны треугольника в точках E и K. Докажите, что углы KHC и EHC равны».

Кроме того, свойства центрального проектирования имеют важное практическое значение. В частности, они нашли широкое применение в живописи. Знание этих свойств помогает понять геометрические основы законов изображения предметов в линейной перспективе, которыми уже несколько столетий пользуются художники, пишущие в реалистической манере.

Проективные свойства фигур довольно сложны и малопригодны в учебном процессе, но некоторые из них могут быть рассмотрены на факультативе. Ниже предлагаются разработки нескольких таких факультативных занятий. Их главная цель - расширить кругозор школьников, познакомив их с элементами проективной геометрии.

Занятия рассчитаны на учащихся, освоивших курс планиметрии в рамках учебника Л.С. Атанасяна и др., но не изучавших на уроках приложений к учебнику. Приложение 4 «Некоторые замечательные теоремы планиметрии» содержат интересующие нас утверждения и задачи на доказательство (отличающиеся повышенным уровнем сложности), например упомянутую задачу о трех окружностях. Помимо неё, рассмотрим еще две-три задачи, которые будут интересны ученикам, а также затронем вопросы проективной геометрии, тесно связанной с живописью и гармонией (учением о музыке). Отметим, что из содержания материала были исключены те специальные термины и факты, без которых можно было обойтись при достижении поставленной цели.

Занятие 1. Гармония отрезков

На рис. 10 точка C отрезка AB делит его в отношении 3 : 1, т.е. . Иначе говоря, точка C находится в три раза ближе к B, чем к A. На прямой AB существует еще одна точка (назовем её D), которая обладает таким же свойством. Говорят, что точка D делит отрезок AB в том же отношении, но только внешним образом:

Рис 10.

Четверку точек A, B, C, D будем называть гармонической. Отметим, что важен порядок перечисления точек в четверке. В нем заключена информация о том, что точки C и D делят отрезок AB в одинаковом отношении. Говорят также, что первая пара элементов (A,B) разделяет вторую - (C,D).

Очевидно, что существует бесконечно много гармонических четверок точек. Например, на рис. 11

Рис. 11

Для каждой такой четверки характерно, что

Верно и обратное: если точки A, B, C, D удовлетворяют такому соотношению, то они гармонически расположены.

Комментарий. Здесь и далее мы не вводим определение четырех точек с его правилом знаков. Будем говорить лишь о делении отрезка в одинаковом отношении, т.е. «гармонии отрезков».

Происхождение названия непосредственно связано с музыкальной гармонией. Как известно, во времена Пифагора в «математику» включили четыре раздела: арифметику, геометрию, астрономию и гармонию (от греч. слаженный, соразмерный). Для чисел a и древние греки вводили не только среднее арифметическое и среднее геометрическое , но и среднее гармоническое . Отсюда происходит название гармонического ряда - числового ряда , каждый член которого есть среднее гармоническое соседних членов.

В гармонии, в частности, изучалась связь между размерами струн и высотой их звучания. Пифагор знал, что длины струн, дающих ноты мажорного трезвучия (до, ми, соль), связаны с числами 1, и . Здесь - среднее гармоническое чисел 1 и .

Так если открытую гитарную струну (AD=60 см, рис 12) настроить на до, зажатые струны (CD=48 см, BD=40 см) дадут соответственно ми и соль. Легко видеть, что

т.е. четверка точек A, B, C, D - гармоническая.

Рис 12

Гармонические четверки точек часто встречаются в геометрии окружностей.

Например, для двух окружностей разного радиуса с центрами и внутренний и внешний центры гомотетии (точки H и S соответственно) делят отрезок в одинаковом отношении (рис. 13), т.е.

Это равенство следует из подобия изображенных на рисунке прямоугольных треугольников.

Рис 13

Если же окружности имеют равные радиусы (рис. 14), то внешний центр S гомотетии как бы устремлен в бесконечность (бесконечно удален). Договоримся и в этом случае считать четверку точек гармонической.

Рис 14

Занятие 2. Перспектива

Рассмотрим рис. 15. Пусть изображенные на нем точки A, B, C, D образуют гармоническую четверку. Они видны из точки S как бы сквозь точки другой прямой.

Рис. 15

Такое расположение точек называют перспективным (от лат. perspicere - смотреть сквозь), а точку S - центром перспективы. В этом случае говорят, что ряд точек проектируется из центра S в ряд точек и наоборот, второй ряд точек проектируется в первый.

Оказывается, сквозь гармоническую четверку точек одной прямой можно увидеть только гармоническую четверку точек другой прямой.

Утверждение 1.

Если , то (рис. 15).

Доказательство. Опустим из центра перспективы на прямую AD перпендикуляр SH и рассмотрим треугольник с общей вершиной S и основаниями, лежащими на прямой AD (рис. 15). Поскольку треугольники имеют общую высоту, их основания относятся как площади фигур.

Для треугольника ASC и BSC имеем:

откуда

Для треугольников BSD и ASD имеем:

Перемножив почленно левые и правые части двух последних равенств, получим:

Аналогично, опустив перпендикуляр на прямую и рассмотрев соответствующие треугольники, можно доказать, что

По условию , значит, и .

Замечание 1. При проектировании гармонической четверки точек прямые оказались связаны зависимостью . Такую четверку прямых будем называть гармонической.

Итак, прямые проходящие через центр проектирования и четверку гармонически расположенных точек, образуют гармоническую четверку. Верно и обратное: если прямые, проходящие через центр проектирования, гармонически расположены, то четверка точек, образующаяся при их пересечении некоторой прямой, также будет гармонической.

Замечание 2. Если четверка точек одной прямой не является гармонической, а - перспективная с ней четверка точек, то и в этом случае

Иначе говоря, значение произведения сохраняется при центральном проектировании.

Занятие 3. Теорема о трех окружностях

Итак, мы выяснили, что такое гармоническое расположение четырех точек прямой, и установили, что оно сохраняется при перспективе. Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 2. Если две гармонические четверки точек и имеют общую точку , то для них найдется общий центр перспективы.

Доказательство. Пусть прямые и пересекаются в некоторой точке. Покажем, что она и есть искомый центр перспективы (рис. 16).

Действительно, в противном случае прямая пересекла бы прямую не в точке , а в какой-то другой точке X. Тогда согласно утверждению 1, точка X делила бы отрезок в том же отношении, что и точка D а, значит, и точка , что невозможно. Следовательно точки X и совпадают, а S - искомый центр перспективы.

Рис.16

Замечание. Если бы прямые и были параллельны, то и прямая была бы им параллельна. Это означало бы, что центр S перспективы бесконечно удален. Такой случай мы считаем вырожденным и не рассматриваем.

На основе доказанного утверждения можно решить, например, задачу о трех окружностях.

Задача 1. Докажите, что внешние центры гомотетий трех окружностей лежат на одной прямой.

Доказательство. Пусть даны окружности с центрами . Обозначим внешние центры гомотетий буквами , а внутренние центры - буквами .

Четверки точек и являются гармоническими и имеют общую точку , значит для них существует центр перспективы (утверждение 2). Итак, прямые должны пересекаться в одной точке и это точка . Следовательно, внешние центры гомотетий расположены на одной прямой.

Занятие 4. Четырехвершинник

Выделим на рис. 16 фигуру состоящую из четырех точек - (никакие три из них не лежат на одной прямой!) и шести прямых - . Эта фигура называется четырехвершинником . Указанные точки называются его вершинами, а прямые - сторонами.

Четырехвершинник легко построить путем проведения прямых через все пары отмеченных вершин.

Рис. 17

Замечание. На практике построение произвольного четырехвершинника удобно начинать не с вершин (иначе некоторые прямые могут пересечься за пределами чертежа), а с двух сторон и вспомогательной прямой . И далее следовать представленной на рис. 17 схеме.

Утверждение 3. В любом четырехвершиннике, построенном по указанной на рис. 17 схеме, четверка точек получится гармонической.

Доказательство. На рис. 16 четверка точек проектируется из центра в четверку точек . Согласно замечанию 2 (занятие 2),

В четверку точек также проектируется, но уже из центра , четверка точек (обратите внимание на порядок точек в этом случае!). Имеем:

Перемножив почленно левые и правые части этих равенств, получим

, откуда .

Следовательно, четверка точек - гармоническая.

Покажем теперь, как отмеченное свойство четырехвершинника применяется при решении задач планиметрии.

Задача 2. Точка O принадлежит высоте треугольника ABC и находится внутри него. Прямые AO и BO пересекают стороны треугольника в точках E и K. Докажите, что углы KHC и EHC равны.

Доказательство. Пусть и . Покажем, что .

Проведем прямую KE и обозначим точку её пересечения с прямой AB буквой P (рис. 18).

Рис. 18

Рассмотрим четырехвершинник . Так как четверка точек - гармоническая (утверждение 3), то и проектирующие её из центра H прямые HK, HE, HM, HP составляют гармоническую четверку, поэтому, согласно замечанию 1 (занятие 2),

=1.

Итак, , а так как углы острые, то .

Замечание. Из доказанного в задаче 2 утверждения следует, что если серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке O, расположенной внутри треугольника, то она является одновременно точкой пересечения высот в треугольнике и точкой пересечения биссектрис в треугольнике .

Задачи для самостоятельной работы

. На прямой отмечены точки A, B и C. Постройте четвертую гармоническую к ним точку D, если точка C:

а) лежит между точками A и B и AC>BC;

б) лежит вне отрезка AB;

в) является серединой отрезка AB.

2. Докажите, что пересекающиеся прямые a и b гармонически разделяются прямыми c и d, содержащими биссектрисы образовавшихся при пересечении углов.

3. Докажите, что на рис.19 любая четверка точек, принадлежащих одной прямой, - гармоническая.

Рис. 19

Ответы и указания к решению

1. Указание. Воспользуйтесь гармоническим свойством четырехвершинника.

а) См. схему на рис.8; б) точка D будет располагаться между точками A и B. В этом случае построения выполняются в обратном порядке; в) точка D окажется в бесконечности.

2. Пусть прямые c и d содержат биссектрисы острого и тупого углов, образующихся при пересечении прямых b и a . Обозначим угол между прямыми a и b как , тогда

. Указание. Воспользуйтесь тем, что четверка точек на рис.10 - гармоническая, и рассмотрите перспективу с разными центрами: и т.д.

Похожие работы на - Методика обучения студентов педагогических вузов теме: 'Сложное отношение точек. Полный четырехвершинник'

Методические рекомендации к уроку "Сложное отношение точек. Полный ...

СкачатьСкачать документ Информация о работеИнформация о работе
Исследование профессиональной мотивации студентов педагогического вуза

СкачатьСкачать документ Информация о работеИнформация о работе
Методика преподавания "Основ взаимозаменяемости и стандартизации" на базе ВУЗа

СкачатьСкачать документ Информация о работеИнформация о работе

Другие дипломные работы по педагогике