Свойства электрического тока
ЗАДАЧА 1
По стальному проводу [электрическая
проводимость
γ
= 
(Ом-м)-1;
относительная магнитная проницаемость μ = 
] диаметром
2а = 6,04 мм течет синусоидальный ток I = 100 А
частотой f Гц.
Определить плотность тока на
поверхности и на оси провода.
Вариант численного значения частоты
тока определяется по формуле:
= 1,38866 • n2 Гц ,
где n - последняя
цифра шифра студента (n = 9).
f = 1,38866 •
92 =112,481Гц
Привести вывод формул для
определения плотности тока δ и напряженности Н в любой точке
сечения провода, не учитывая влияния обратного провода на поле в прямом
проводе. При решении задачи использовать цилиндрическую систему координат.
Решение задачи следует начать с
обязательной проверки соотношения между током проводимости и током смещения в
данном проводнике, что является важным обоснованием для всех последующих
рассуждений.
Решение:
Рассмотрим особенности
распространения электромагнитной волны в проводящей среде с проводимостью γ и магнитной
проницаемостью μа.
Обратимся к первому и второму
уравнениям Максвелла, записанным в комплексной форме для синусоидально
изменяющихся во времени Е и Н:
rot H = γ Е + јωε E и rot E = - јωμаН .
В проводящей среде даже при очень
высоких частотах произведение ωεа много меньше проводимости γ. Поэтому с
большой степенью точности слагаемым јωε E в первом
уравнении Максвелла для проводящих сред можно пренебречь. Следует отметить, что
в настоящее время наука не располагает точными данными о числовом значении
электрической проницаемости е для металлов. Имеются лишь сведения, что порядок
е для металлов такой же, как и для большинства диэлектриков (т.е. от нескольких
единиц до нескольких десятков).
Вектор плотности тока δ, записанный
в комплексной форме для синусоидально изменяющихся во времени δ и тока I, удобно
направить в положительном направлении оси z , поэтому δ = z0 δ.
Таким образом, первое и второе
уравнения Максвелла для проводящей среды приобретают вид:
Н = γ Е
= δ
rot Е
= - јωμаН,
или, умножив последнее на γ,
δ = - јωγμаН .
Возьмем ротор от последнего
уравнения:
или, считая процесс течения тока
установившимся, т.е. div δ = 0 и
подставляя δ
= z0δ, перейдем к
скалярному уравнению
,
которое требуется решить в
цилиндрической системе координат. Учитывая вид оператора 
= div grad в этой
системе координат, а также то, что δ от α и от z не зависит
(из соображений симметрии), получим:
или 
Введем обозначение 
, тогда
уравнение примет вид:
или 
Последнее уравнение является частным
случаем уравнения Бесселя относительно аргумента х = qr и функции 
. Его
решение имеет вид:
,
где А и В - постоянные
интегрирования;
- функция Бесселя нулевого порядка
первого рода;
- Функция Бесселя нулевого порядка
второго рода.
Последняя обращается в бесконечность
на оси провода, т.е. при r = 0, хотя из очевидных физических
соображений ясно, что плотность тока должна быть всюду конечна, в том числе и
на оси провода. Поэтому принимаем B = 0.
Следовательно, решение имеет вид:
ток
напряженность провод поле
.
Используя второе уравнение
Максвелла, определим напряженность магнитного поля:
;
Отсюда
где 
- функция Бесселя первого рода
первого порядка.
Определим постоянную интегрирования
А, для чего только что полученное выражение для Н, взятое на поверхности
провода (при r = а)
приравняем к известному выражению для Н из закона полного тока:
Подставим найденное значение А в
полученные выше решения для δ и Н:
; 
.
С помощью этих формул можно
определить комплекс плотности тока δ и комплекс напряженности
поля Н в любой точке сечения провода. Радиус r может
принимать значения от 0 до а. Для точек на оси провода r = 0 ; для
точек на поверхности провода r = а.
Так как J0(0) = 1, то
плотность тока на оси провода:
.
Введем это выражение в формулу
решения: 
. Тогда
плотность тока на поверхности провода: 
. Очевидно, что произведение qr есть
комплексное число:
.
Бесселевы функции от комплексного
аргумента также являются комплексными и могут быть представлены в показательной
форме:
; 
где 
- модуль;
- аргумент функции ;
- модуль;
- аргумент функции 
, которые
определяются по значению 
с помощью
табл. 1 .
Последняя цифра шифра n = 9.
. Определим, во сколько раз ток
проводимости в стали будет больше тока смещения. Положим: ε = 10;
ω
= 100 рад / с. Тогда отношение:
где электрическая постоянная 
Увеличение частоты ω даже на
несколько порядков не существенно скажется на результате, а именно: в
проводнике ток проводимости во много раз больше тока смещения.
. Определим частоту переменного тока
f = 1,38866 ·
92 = 112,481 Гц.
. Рассчитаем параметр
Здесь учтено, что 
, 
и что 
Гн/м;
. Комплексная величина 
;
. Выражение 
=
0,00302·2980,12 = 9
. По табл. 1 методички найдем:
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
; 
.
. Определим плотность тока на оси
провода:
.
8. Определим плотность тока на
поверхности провода:
Вывод: в ходе решения задачи проверили
соотношения между током проводимости в стали и током смещения в данном
проводнике, получили, что ток проводимости в стали будет больше тока смещения в
1,129*1015 раза.
Затем определили частоту переменного
тока f = 112,481
Гц, рассчитали параметр 
комплексная
величина равна , выражение 
определили
плотность тока на оси провода 
и плотность тока на поверхности
провода 
.