Теория вероятностей
Задача 1
В первой урне содержится 10 шаров, из них 8
белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу извлекли
по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найти
вероятность того, что взят белый шар.
Решение:
Введем обозначения событий: 
- событие,
состоящее в том, что шар, извлеченный из 
-ой урны оказался белым (
). Тогда 
- событие,
состоящее в том, что шар, извлеченный из -ой урны оказался не белым. Так как
в 1-ой урне из 10 шаров 8 белые, то 
(из 10 исходов появлению события 
благоприятствуют
8), а 
. Аналогично
рассуждая, имеем: 
и 
.
Обозначим: 
- событие,
состоящее в том, что после извлечения по одному шару из каждой урны, среди них
не оказалось ни одного белого шара, 
- событие, состоящее в том, что
после извлечения по одному шару из каждой урны, среди них оказался один белый
шара, 
- событие,
состоящее в том, что после извлечения по одному шару из каждой урны, среди них
не оказалось два белых шара.
произойдет тогда и только тогда,
когда произойдут события 
и 
.
Следовательно, 
=(так как
события независимы)= =
.
произойдет тогда и только тогда,
когда произойдут события и , либо и 
.
Следовательно, 
=(так как
события несовместны)=
=(так как
события независимы)= =
.
произойдет тогда и только тогда,
когда произойдут события и . Следовательно,
=(так как
события независимы)= =
.
Обозначим: 
- событие,
состоящее в том, что после извлечения из двух (уже извлеченных по одному из каждой
урны) шаров, вынутый шар оказался белым. Очевидно, 
События 
(i=1,2,3)
образуют полную группу попарно несовместных событий, и по формуле полной
вероятности имеем:
- вероятность извлечь белый шар из
двух извлеченных по одному из каждой урны шаров.
Задача 2
Случайная величина 
задана
функцией распределения
Найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины , а также вероятность того, что в
результате испытания примет
значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее 3; в) не меньшее 3; г) не меньшее 5.
Решение:
Плотность распределения 
случайной
величины найдем из
условия 
. Тогда:
Математическое ожидание найдем по
формуле:
.
Дисперсию найдем по формуле:
.
Далее
a) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Задача 3
Построить гистограмму распределения
случайной величины по данному
распределению выборки.
|
Границы интервалов
|
0-0,6
|
0,6-1
|
1-1,4
|
1,4-1,8
|
1,8-2,2
|
2,2-2,6
|
2,6-3
|
3-3,4
|
3,4-3,8
|
|
Частоты
|
9
|
12
|
18
|
16
|
15
|
12
|
8
|
6
|
4
|
Определить математическое ожидание и
дисперсию случайной величины .
Решение:
. Обозначим 
- середины
интервалов (
). Имеем
;
;
;
; 
;
;
; 
; 
.
Математическое ожидание:
Дисперсия:
.
Среднее квадратическое отклонение: 
.
Найдем относительные частоты: 
. Имеем:
; 
; 
;
; 
; 
;
;
; 
.
Для построения гистограммы
относительных частот составим таблицу:
|
Границы
интервалов
|
0-0,6
|
0,6-1
|
1-1,4
|
1,8-2,2
|
2,2-2,6
|
2,6-3
|
3-3,4
|
3,4-3,8
|
|
Частоты
|
9
|
12
|
18
|
16
|
15
|
12
|
8
|
6
|
4
|
|
Относительные
частоты
( )0,090,120,180,160,150,120,080,060,04
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
 0,150,30,450,40,3750,30,20,150,1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
математическое
ожидание дисперсия квадратическое отклонение
Гистограмма относительных частот:
Задача 4
По условию задачи 3 по критерию
согласия хи-квадрат при уровне значимости 
проверить гипотезу о том, что
случайная величина имеет
распределение Релея. Неизвестный параметр распределения Релея оценить по
начальному выборочному моменту второго порядка (Прилож. 4).
Решение:
Распределение Релея задается плотностью:
Функция распределения имеет вид:
В качестве оценки параметра 
рассмотрим
начальный выборочный момент второго порядка. Известно, что математическое
ожидание распределения Релея с параметром равно 
, дисперсия
равна 
. Тогда
и 
- оценка параметра распределения
Релея на основании начального выборочного момента второго порядка. Рассмотрим
значения 
, где 
- границы
интервалов, а
-
функция распределения Релея с
параметром 
.
Составим таблицу:
|
   
|
|
|
|
|
|
|
 0
|
|
|
|
|
|
|
0,6
|
0,0903
|
0,0903
|
9,03
|
9
|
0,0001
|
|
1
|
0,2312
|
0,1409
|
14,09
|
12
|
0,3092
|
|
1,4
|
0,4026
|
0,1715
|
17,15
|
18
|
0,0423
|
|
1,8
|
0,5733
|
0,1707
|
17,07
|
16
|
0,0668
|
|
2,2
|
0,7198
|
0,1465
|
14,65
|
15
|
0,0084
|
|
2,6
|
0,8309
|
0,1110
|
11,10
|
12
|
0,0723
|
0,9061
|
0,0753
|
7,53
|
8
|
0,0297
|
|
3,4
|
0,9521
|
0,0460
|
4,60
|
6
|
0,4279
|
|
 10,04794,7940,1299
|
|
|
|
|
|
|
Итого
|
1,09
|
Значение 
находим по
методичке А.М. Карлова - Приложение 1 (стр.46-48), с учетом того, что F(-x) =1 - F(x).
При уровне значимости α=0,05 и
к=9-1-1=7 степенях свободы по таблице критических точек распределения χ2 находим
критическое значение: χ2крит(0,05;7)=14,07
(См. Приложение 2 методички А.М.Карлова (стр. 49)).=> χ2набл=1,09 < χ2крит , и
гипотеза о распределении генеральной совокупности по закону распределения Релея
в соответствии с критерием χ2 (Пирсона) при уровне значимости α=0,05
принимается.
Число степеней свободы k находят из
равенства k=s-r-1 , где s - число
групп (частичных интервалов) выборки (в нашем случае s=9);r - число
параметров предполагаемого распределения, которые оценены по данным выборки (в
нашем случае сравниваем с распределением Релея и по выборке оценивали один
параметр - ). То есть k=9-1-1=7.
Таким образом, можно считать, что
генеральная совокупность, выборка из которой приведена в №3, распределена по
закону распределения Релея с параметром .
Литература
1. Вентцель Е.С. Теория
вероятностей., М, Высшая школа, 1998.
2. Гмурман В.Е. Теория
вероятностей и математическая статистика., М, Высшая школа, 1998.
. Гмурман В.Е. Руководство к
решению задач по теории вероятностей и математической статистике., М, Высшая
школа, 1997.
. Карлов А.М. Теория
вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие., Калининград, БИЭФ,
1998.