Составление дифференциальных уравнений в САУ
Саратовский
Государственный Технический Университет
Балаковский
Институт Техники, Технологии и Управления
Кафедра ВМиМ
Специальность
УИТ
Лабораторная
работа №1
по
дисциплине: Математические основы теории систем
Составление
дифференциальных уравнений в САУ
Выполнила
студент гр.УИТ 3-в
Проверила
Соколова Татьяна Викторовна
Балаково
2008
Пусть задана некоторая гидравлическая система:
P1 - давление на
входе системы;
Q1 - расход жидкости
на входе системы;
R1 - удельное
гидравлическое сопротивление системы;
P2 - давление
жидкости подаваемой на объект управления;
Q2 - расход жидкости
на выходе системы;
R2 - регулируемое
гидравлическое сопротивление системы;
Cпр - жесткость
пружины;
yп - перемещение
поршня.
Входной величиной является сопротивление R2,
а выходной - yп.
Задание
Записать уравнение системы виде
входа-выхода, т.е. получить зависимость: 
,
задачу решить в символьном виде.
Решение
дифференциальное
уравнение
Работа системы записывается с помощью следующих
уравнений:
1) 
;
) 
;
) 
;
) 
;
) 
,
где m - масса
поршня;
Fn - сила
действующая на пружину;
P0 -
начальное давление жидкости.
В данной системе уравнений
переменными являются yп, P2, Q1, Q2, Q3. Запишем
параметры Q1, Q2, Q3 через
установившееся состояние Q10, Q20 и Q30 и
отклонение этих величин от установившегося значения через ΔQ1, ΔQ2, ΔQ3, т.е.
Q1 = Q10 + ΔQ1;
Q2 = Q20 + ΔQ2;
1) Рассмотрим уравнение:.
С учетом системы уравнений (1) запишем, что:
Q10
+ ΔQ1 = Q20
+ ΔQ2 + Q30
+ ΔQ3
отбросив установившийся режим получим:
ΔQ1
= ΔQ2
+ ΔQ3
2) Рассмотрим уравнение: .
Разложим это уравнение в ряд Тейлора:
где 
- совокупность членов ряда порядка
производной выше первого.
Запишем переменную Р2 через
установившееся состояние Р20 и отклонение от этого состояния ΔР2:
Р2 = Р20 + ΔР2
получим параметр:
Q1 = f(P2)
Предположим, что ΔР2 = 0,
тогда:
;
;
;
) Рассмотрим уравнение: .
Чтобы разложить это уравнение в ряд Тейлора
запишем параметры P2 и R2
через установившееся значение и отклонение от этих значений.
Р2 = Р20 + ΔР2;
В установившемся состоянии: ΔP2
= 0 и ΔR2
= 0.
;
;
;
) Рассмотрим уравнение: .
Нам дано, что . Выразим Q3, получим 
.
Так как , то 
.
Нам также известно, что 
и
.
С учетом всего этого запишем:
Запишем yп через
установившееся состояние и отклонение от этого значения: 
.
В выражении (2) раскроем скобки:
.
Если мы запишем, что в
установившемся состоянии Δyп = 0, то
(3)
) Рассмотрим уравнение: .
Сделаем замену: и 
.
Запишем наше уравнение с учетом
введенных обозначений:
.
.
Выразим ΔР2:
.
Подставим ΔР2 в
уравнение (3):
Раскрываем скобки:
