Обработка результатов двух групп многократных измерений
Обработка результатов
двух групп многократных измерений
Введение
Метрологическим назначением большинства средств измерений
(далее СИ) является использование их для получения результатов измерений при
научных исследованиях, в производственных и технологических процессах и в целом
в народном хозяйстве. К метрологическим характеристикам СИ будем относить такие
характеристики, которые позволяют судить о пригодности СИ для использования в
заданном диапазоне с известной точностью (погрешностью).
Основные метрологические характеристики СИ в целях
установления единого подхода регламентируются ГОСТ 8.009-72 «Нормируемые
метрологические характеристики средств измерения». Для любого СИ
устанавливается диапазон измерения, определяемый как область значений
измеряемой величины, для которой нормированы допускаемые погрешности СИ.
К важнейшим метрологическим характеристикам относят:
· Погрешности СИ. Выделяют основные и
дополнительные погрешности СИ;
· Вариация, нормируемая в виде предельных
допускаемых значений изменения показаний (выходного сигнала) СИ при неизменном
значении входного сигнала;
· Характеристики метрологической
стабильности (надежности), определяемой пределом допускаемых значений
интенсивности выходов систематической погрешности за установленные пределы и
т.д., которые не одинаковы для разных видов СИ.
Так как в данной работе осуществляется анализ метрологических
характеристик электрического преобразователя, то приведем краткое обобщенное
описание измерительных преобразователей. Согласно ГОСТ 16263-70 измерительным
преобразователем называется средство измерений, служащее «для выработки
сигнала измерительной информации в форме, удобной для передачи, дальнейшего
преобразования, обработки и (или) хранения, но не поддающейся непосредственному
восприятию наблюдателем».
Преобразуемая величина называется входной, а результат
преобразования - выходной величиной. Соотношение между ними задается функцией
преобразования (статической характеристикой). Если в результате
преобразования физическая природа величины не изменяется, а функция
преобразования является линейной, то преобразователь называется масштабным
или усилителем (усилители напряжения, измерительные микроскопы,
электронные усилители). Слово «усилитель» обычно употребляется с определением,
которое приписывается ему в зависимости от рода преобразуемой величины
(усилитель напряжения, гидравлический усилитель) или от вида единичных
преобразований, происходящих в нем (ламповый усилитель, струйный усилитель). В
тех случаях, когда в преобразователе входная величина превращается в другую по
физической природе величину, он получает название по видам этих величин
(электромеханический, пневмоемкостный и так далее).
Хотя измерительные преобразователи являются конструктивно
обособленными элементами, самостоятельного значения для проведения измерений в
вес мерам и измерительным приборам они подчас не имеют. Чаще всего они являются
лишь составными частями более или менее сложных измерительных комплексов и
систем автоматического контроля, управления и регулирования.
По месту, занимаемому в приборе, преобразователи
подразделяются на:
· первичные, к которым подводится непосредственно измеряемая
физическая величина;
· передающие, на выходе которых
образуются величины, удобные для их регистрации и передачи на расстояние;
· промежуточные, занимающие в
измерительной цепи место после первичных.
Цель данной работы заключается в анализе метрологических
характеристик электрического преобразователя.
Функциональная схема измерительной
установки показана на рисунке 1.
Рисунок 1. Функциональная схема
измерительной установки
Обозначения на
функциональной схеме:
Г - генератор;
ИП - измерительный преобразователь;
В1, В2 - вольтметры;
Н - магазин сопротивлений
(нагрузка).
Основным методом уменьшения влияния случайных погрешностей
является проведение многократных измерений и дальнейшая статистическая
обработка полученных результатов.
Методика статистической обработки зависит от статистических
свойств случайных погрешностей, например, вида их распределения. В большинстве
случаев используют модель нормального распределения случайных погрешностей, что
дает возможность использовать в обработке результатов хорошо теоретически
обоснованные теоретические методы. Наиболее эффективным методом уменьшения
влияния на результат измерения нормально распределенных погрешностей является
усреднение результата.
Но если при данных измерениях закон распределения случайных
погрешностей неизвестен, то необходимо провести исследование на предмет
установления формы распределения. Чаще всего строят гистограмму и по ее форме
пытаются определить вид распределения погрешностей.
Для идентификации экспериментального и теоретического
распределения используют соответствующие критерии (индикаторы соответствия).
Выделяют параметрические и интегральные критерии.
Параметрические отличаются тем, что идентичность
устанавливается по выбранным числовым значениям (параметрам); интегральные -
учитывают идентичность нескольких параметров одновременно.
К параметрическим относят:
- критерий асимметрии;
эксцесса;
d - критерий.
К интегральным относят:
- критерий Пирсона (Х2);
- критерий Колмогорова (
-критерий).
Как правило, в силу наибольшей распространенности первоначальная
идентификация проводится для нормального распределения, то есть определяется,
соответствует ли экспериментальное распределение нормальному.
1. Обработка результатов измерений
1.1 Нахождение среднего арифметического значения
(САЗ) выходного напряжения в каждой точке входного сигнала для обеих таблиц,
дисперсии, среднеквадратического отклонения (СКО), а также выполнение
проверки на промахи
Находим среднеарифметическое значение выходного напряжения в
каждой точке входного сигнала для обеих таблиц, так как среднеарифметическое
значение является более близким к математическому ожиданию, дисперсию
(дисперсия случайной погрешности равна дисперсии результатов наблюдения и
является характеристикой их рассеиваний относительно математического ожидания),
среднеквадратическое отклонение (корень из дисперсии).
САЗ, СКО и
дисперсию рассчитываем по формулам (1.1.1 - 1.1.3):
(1.1.1)
(1.1.2)
(1.1.3)
где n - количество измерений в каждой точке;
vi - отклонение от среднего значения в каждой точке входного
напряжения;- количество измеренных значений в каждой точке.
Полученные результаты вычислений
САЗ, СКО и дисперсии для первой таблицы измерений представим в виде таблицы
1.1.1.
Таблица 1.1.1 - Нахождение Uср, СКО и дисперсии для
измеренных значений 1 группы
|
Uвх, В
|
0
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
0,7
|
0,8
|
0,9
|
1
|
|
САЗ
|
0,0674
|
0,1161
|
0,1644
|
0,2135
|
0,2607
|
0,3102
|
0,3542
|
0,4009
|
0,4521
|
0,4992
|
0,5362
|
|
СКО
|
0,0043767
|
0,00976900
|
0,0059292
|
0,00334166
|
0,00884496
|
0,00502881
|
0,004315
|
0,005607
|
0,00595259
|
0,006107
|
0,002440
|
|
D
|
0,0000192
|
0,00009543
|
0,0000352
|
0,00001117
|
0,00007823
|
0,00002529
|
0,000019
|
0,000031
|
0,00003543
|
0,000037
|
0,000006
|
Для проверки на промахи воспользуемся критерием «3σ», запишем отклонения от среднего значения для первого ряда измерений
(таблица 1.1.2)
Случайные отклонения для первого
ряда
Таблица 1.1.2 - Случайные отклонения для результатов первой
группы измерений
|
0,00260
|
0,02090
|
-0,00140
|
0,00450
|
-0,00470
|
0,00680
|
0,00080
|
-0,00690
|
0,00490
|
0,00680
|
-0,00020
|
|
0,00460
|
0,00390
|
0,01260
|
-0,00550
|
-0,01570
|
0,00380
|
-0,00520
|
-0,00690
|
-0,00810
|
-0,00320
|
-0,00020
|
|
0,00460
|
-0,00010
|
-0,00240
|
0,00150
|
-0,00070
|
0,00780
|
-0,00320
|
0,00510
|
-0,00710
|
0,00080
|
0,00080
|
|
-0,00440
|
-0,00210
|
-0,00640
|
-0,00250
|
0,01230
|
-0,00320
|
-0,00020
|
-0,00090
|
0,00290
|
-0,00420
|
0,00080
|
|
-0,00440
|
0,00590
|
-0,00440
|
-0,00150
|
0,00030
|
-0,00320
|
0,00280
|
0,00510
|
-0,00810
|
0,00780
|
-0,00420
|
|
-0,00540
|
0,00390
|
-0,00040
|
-0,00050
|
-0,01070
|
-0,00820
|
0,00780
|
-0,00190
|
-0,00310
|
-0,00420
|
-0,00420
|
|
-0,00540
|
-0,00010
|
-0,00340
|
-0,00350
|
0,00630
|
0,00080
|
0,00580
|
0,00510
|
0,00290
|
-0,00120
|
0,00280
|
|
0,00160
|
-0,00910
|
-0,00140
|
0,00050
|
0,00130
|
-0,00420
|
-0,00220
|
0,00410
|
0,00490
|
-0,00820
|
0,00280
|
|
0,00160
|
-0,01210
|
0,00860
|
0,00250
|
0,01130
|
-0,00020
|
-0,00420
|
0,00510
|
0,00390
|
0,00980
|
0,00080
|
|
0,00460
|
-0,01110
|
-0,00140
|
0,00450
|
0,00030
|
-0,00020
|
-0,00220
|
-0,00790
|
0,00690
|
-0,00420
|
0,00080
|
Если условие |Vimax|<3S выполняется, значит
промахов нет.
|
0,01313
|
0,02931
|
0,01779
|
0,01002
|
0,02653
|
0,01509
|
0,01295
|
0,01682
|
0,01786
|
0,01832
|
0,00732
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
Следовательно, в первой группе промахов нет.
Полученные результаты вычислений
САЗ, СКО и дисперсии для второй таблицы измерений представим в виде таблицы
1.1.3.
Таблица 1.1.3 - Нахождение Uср, СКО и дисперсии
для измеренных значений 2 группы
|
Uвх, В
|
0
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
0,7
|
0,8
|
0,9
|
1
|
|
САЗ
|
0,0673
|
0,123
|
0,2157
|
0,2616
|
0,3144
|
0,3544
|
0,4014
|
0,4516
|
0,4989
|
0,5366
|
|
СКО
|
0,00444847
|
0,0082327
|
0,0047621
|
0,0029833
|
0,0078486
|
0,00313404
|
0,0036878
|
0,004599
|
0,003717
|
0,0033483
|
0,00108
|
|
D
|
0,00001979
|
0,0000678
|
0,0000227
|
0,0000089
|
0,0000616
|
0,00000982
|
0,0000136
|
0,0000212
|
0,000014
|
0,0000112
|
0,000001
|
Для проверки на промахи воспользуемся критерием «3σ», запишем отклонения от среднего значения для второго ряда
измерений (таблица 1.1.4)
Таблица 1.1.4. Случайные отклонения для результатов второй
группы измерений
|
0,00270
|
-0,00300
|
0,00130
|
-0,00070
|
-0,00560
|
-0,00040
|
-0,00240
|
-0,00640
|
-0,00060
|
0,00210
|
-0,00060
|
|
0,00370
|
-0,00300
|
0,01030
|
-0,00570
|
-0,01660
|
0,00360
|
-0,00540
|
-0,00740
|
-0,00160
|
-0,00090
|
-0,00060
|
|
0,00470
|
-0,00500
|
-0,00470
|
-0,00070
|
-0,00760
|
0,00360
|
-0,00340
|
0,00060
|
-0,00660
|
0,00110
|
0,00040
|
|
-0,00530
|
0,01500
|
-0,00570
|
0,00330
|
0,00640
|
0,00260
|
-0,00140
|
-0,00140
|
0,00140
|
-0,00190
|
0,00040
|
|
-0,00430
|
0,00500
|
0,00030
|
0,00430
|
-0,00060
|
-0,00040
|
0,00160
|
0,00160
|
-0,00260
|
0,00310
|
-0,00160
|
|
-0,00530
|
0,01100
|
-0,00170
|
0,00130
|
0,00240
|
-0,00240
|
0,00360
|
-0,00240
|
-0,00260
|
0,00110
|
-0,00160
|
|
-0,00530
|
-0,00900
|
-0,00270
|
-0,00170
|
0,00640
|
-0,00340
|
0,00560
|
0,00560
|
0,00040
|
0,00310
|
0,00140
|
|
0,00270
|
-0,00500
|
-0,00070
|
0,00030
|
0,00140
|
0,00360
|
-0,00040
|
0,00560
|
0,00640
|
-0,00790
|
0,00140
|
|
0,00170
|
-0,00900
|
0,00530
|
-0,00270
|
0,00540
|
-0,00240
|
0,00460
|
0,00460
|
0,00440
|
0,00210
|
0,00040
|
|
0,00470
|
0,00300
|
-0,00170
|
0,00230
|
0,00840
|
-0,00440
|
-0,00240
|
-0,00040
|
0,00140
|
-0,00190
|
0,00040
|
Если условие |Vi|<3S выполняется, значит промахов нет.
|
0,01335
|
0,0247
|
0,01429
|
0,00895
|
0,02355
|
0,0094
|
0,01106
|
0,0138
|
0,01115
|
0,01004
|
0,00322
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
нет
|
Следовательно, во второй группе промахов нет
1.2 Построение экспериментальной СХП для обеих
групп измерений
Строим экспериментальную статическую характеристику
преобразователя (СХП) для обеих таблиц по средним значениям. СХП устанавливает
связь между входным и выходным сигналами измерения в установившемся режиме
работы.
Рис. 1.2.1 Экспериментальная СХП для двух групп измерений
.3 Определение погрешности гистерезиса
Для повышения достоверности получаемых оценок погрешности сличения
показаний вольтметра измерения проводят многократно при плавном увеличении
выходного сигнала от начального значения до конечного и последующего его
уменьшения от верхнего (конечного) до начального обрабатывая группу результатов
измерения отдельно для возрастающих и убывающих значений входного сигнала,
можно получить оценку гистерезиса статической характеристики преобразования
средства измерения. Половина наибольшего значения гистерезиса является
характеристикой вариации выходного сигнала измерительного преобразователя или
вариации показаний измерительного прибора.
Все вычисления будем проводить для обеих таблиц:
а) найдем средние значения результатов наблюдения в каждой
точке диапазона при возрастании и убывании измеряемого напряжения по ниже
приведенным формулам (1.3.1) - (1.3.2) и полученные результаты сведем в таблицы
1.3.1 (первая таблица данных) и 1.3.2 (вторая таблица данных):
(1.3.1)
(1.3.2)
Таблица 1.3.1 - Полученные данные для первого ряда
Средние значения Vвi при возрастании V0, В
|
0,0672
|
0,1190
|
0,1638
|
0,2142
|
0,2632
|
0,3126
|
0,3546
|
0,4036
|
0,4514
|
0,5040
|
0,5362
|
Средние значения Vуi при убывании V0, В
|
0,06760,11320,16500,21280,25820,30780,35380,39820,45280,49440,5362
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 1.3.2 - Полученные данные для второго ряда
Средние значения Vвi при возрастании V0, В
|
0,06720,11880,16360,21540,26120,31380,35560,40260,45060,50120,5366
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Средние значения Vуi при убывании V0, В
|
0,0674
|
0,1272
|
0,1638
|
0,216
|
0,262
|
0,315
|
0,3532
|
0,4002
|
0,4526
|
0,4966
|
0,5366
|
б) найдем погрешность гистерезиса по формуле (1.3.3), и
результаты сведем в таблицы 1.3.3 - 1.3.4:
(1.3.3)
Таблица 1.3.3. Средние значения возрастания и убывания 1-ой
таблицы
|
-0,0004
|
0,0058
|
-0,0012
|
0,0014
|
0,005
|
0,0048
|
0,0008
|
0,0054
|
-0,0014
|
0,0096
|
0
|
Таблица 1.3.4. Средние значения возрастания и убывания 2-ой
таблицы
|
-0,0002
|
-0,0084
|
-0,0002
|
-0,0006
|
-0,0008
|
-0,0012
|
0,0024
|
0,0024
|
-0,002
|
00046
|
0
|
На рисунке 1.3.1 и 1.3.2 показаны графики погрешности
гистерезиса.
Рис. 1.3.1 СХП прямого и обратного хода 1-ой группы измерений
Рис. 1.3.2 СХП прямого и обратного хода 2-ой группы измерений
Учитывая полученные результаты для первой и второй таблицы,
можем сделать вывод об отсутствии гистерезиса.
2. Объединение результатов измерений
.1 Построение в одних координатах обеих СХП
На рисунке 2.1.1 показаны СХП обеих групп измерений в одних
координатах
Рис. 2.1.1 - Общая СХП
2.2 Проверка на однородность в каждой
контрольной точке
Чтобы выявить, содержат ли средние значения систематические
составляющие погрешности измерения, выполним проверку на однородность по
Т-критерию в каждой точке измерения, все необходимые для этого данные сведем в
таблицу 2.2.1, где такие параметры как СКО среднего значения, Тдоп и Тэксп
вычисляются по следующим формулам (2.2.1) - (2.2.3) соответственно:
(2.2.1)
(2.2.2)
. (2.2.3)
где 
- коэффициент Стьюдента, который
выбирается в зависимости от доверительной вероятности РДов и числа
степеней свободы k. При Тэкспi<Тдопi
максимальное расхождение средних значений признается случайным, а
систематическая составляющая погрешности незначительной и воспроизводимость
результатов - высокой. Если же разность наибольшего и наименьшего средних
значений оказывается больше допустимого, то результаты групп измерений являются
неоднородными и без устранения систематической погрешности объединяться не
могут.
ts1=ts2=2,26
Таблица 2.2.1 - Проверка на однородность
|
Uвх, В
|
0
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
0,7
|
0,8
|
0,9
|
1
|
|
U 1 ср
|
0,0674
|
0,1161
|
0,1644
|
0,2135
|
0,2607
|
0,3102
|
0,3542
|
0,4009
|
0,4521
|
0,4992
|
0,5362
|
|
U 2 ср
|
0,0673
|
0,123
|
0,1637
|
0,2157
|
0,2616
|
0,3144
|
0,3544
|
0,4014
|
0,4516
|
0,4989
|
0,5366
|
|
S1
|
0,004376
|
0,009769
|
0,005929
|
0,003342
|
0,008845
|
0,005029
|
0,004315
|
0,005607
|
0,005953
|
0,00611
|
0,00244
|
|
S2
|
0,004448
|
0,008233
|
0,004762
|
0,002983
|
0,007848
|
0,003134
|
0,003688
|
0,004599
|
0,003718
|
0,00335
|
0,00107
|
|
Tэксп.
|
0,0001
|
0,0069
|
0,0007
|
0,0022
|
0,0009
|
0,0042
|
0,0002
|
0,0005
|
0,0005
|
0,0003
|
0,0004
|
|
Тдоп.
|
0,0105
|
0,0289
|
0,0172
|
0,0101
|
0,0267
|
0,0134
|
0,0128
|
0,0164
|
0,0159
|
0,0157
|
0,0060
|
Можем считать результаты однородными, максимальное
расхождение средних значений - случайным, систематическую составляющую
погрешности - несущественной.
2.3 Проверка на равноточность
Равноточность (равнорассеянность) групп наблюдений
проверяется методами математической статистики, известными как дисперсионный
анализ. Выполним проверку на равноточность результатов измерений по критерию
Фишера (таблица 2.3.1).
Таблица 2.3.1 - Проверка на равноточность
|
Uвх, В
|
0
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
0,7
|
0,8
|
0,9
|
1
|
|
D 1
|
0,000019
|
0,000095
|
0,000035
|
0,000011
|
0,000078
|
0,000025
|
0,000019
|
0,000031
|
0,000035
|
0,000037
|
0,000006
|
|
D 2
|
0,000020
|
0,000068
|
0,000023
|
0,000009
|
0,000062
|
0,000010
|
0,000014
|
0,000021
|
0,000014
|
0,000011
|
0,000001
|
|
Fэксп.
|
1,033063
|
1,408033
|
1,550220
|
1,254682
|
1,270022
|
2,574661
|
1,369281
|
1,485819
|
2,563505
|
3,326065
|
5,153846
|
F допустимое выбирается из таблицы распределения Фишера при
Рдов=0,95 и к1=к2=9. Fэкспериментальное вычисляется по формуле:
(2.3.1)
При Fэксп<FДоп дисперсии признаются равнорассеяными (если они
являются независимыми, однако распределенными случайными величинами), а
результаты - равноточными. По результатам расчета видно, что не во всех точках
диапазона результаты равнорассеяны, следовательно вводим средневзвешенные
коэффициенты, рассчитываемые по формуле:
(2.3.2.)
где С - произвольное число, выбираемое для удобства
вычисления (С=1).
Определяем средневзвешенное значение:
(2.3.3)
Данные расчетов представлены в таблице 2.3.2
Таблица 2.3.2 - Расчет коэффициентов и средневзвешенных
значений
|
P 1
|
0,30066
|
0,19403
|
|
P 2
|
1,00000
|
1,00000
|
|
U ср. вз.
|
0,49897
|
0,53654
|
|
Дисперсия
|
0,000011
|
0,00000106
|
Дисперсии можно считать равнорассеяными, таким образом, все
результаты измерений считаются равноточными и их можно объединить в одну групп
в каждой точке диапазона входных напряжений.
3. Определение закона распределения объединенных
результатов
Для выбора эффективных оценок необходимо знать закон
распределения. Так как нормальное распределение встречается наиболее часто при
измерениях и является типовым для многократных измерений одной и той же
величины, то будем проверять на соответствие именно ему. Большой полнотой
оценивания обладает интегральный критерий, учитывающий бесконечность
нормального распределения - например, критерий согласия Пирсона. Он основан на
сравнении расчетной и экспериментальной гистограмм.
Для получения оценки критерия Пирсона строим две гистограммы:
экспериментальную, на основе исходных измеренных значений, и расчетную, для
того же числа измеренных значений.
Так как результаты измерений - однородные и равноточные,
объединим их в одну группу из 220 значений (таблица 3.1).
Таблица 3.1. Объединенные результаты измерений
|
Uвх, В
|
0
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
0,7
|
0,8
|
0,9
|
1
|
|
Uвых1, В
|
0,07
|
0,137
|
0,163
|
0,218
|
0,256
|
0,317
|
0,355
|
0,394
|
0,457
|
0,506
|
0,536
|
|
Uвых2, В
|
0,072
|
0,12
|
0,177
|
0,208
|
0,245
|
0,314
|
0,349
|
0,394
|
0,444
|
0,496
|
0,536
|
|
Uвых3, В
|
0,072
|
0,116
|
0,162
|
0,215
|
0,26
|
0,318
|
0,351
|
0,406
|
0,445
|
0,5
|
0,537
|
|
Uвых4, В
|
0,063
|
0,114
|
0,158
|
0,211
|
0,273
|
0,307
|
0,354
|
0,4
|
0,455
|
0,495
|
0,537
|
|
Uвых5, В
|
0,063
|
0,122
|
0,16
|
0,212
|
0,261
|
0,307
|
0,357
|
0,406
|
0,444
|
0,507
|
0,532
|
|
Uвых6, В
|
0,062
|
0,12
|
0,164
|
0,213
|
0,25
|
0,302
|
0,362
|
0,399
|
0,449
|
0,495
|
0,532
|
|
Uвых7, В
|
0,062
|
0,116
|
0,161
|
0,21
|
0,267
|
0,311
|
0,36
|
0,406
|
0,455
|
0,498
|
0,539
|
|
Uвых8, В
|
0,069
|
0,107
|
0,163
|
0,214
|
0,262
|
0,306
|
0,352
|
0,405
|
0,457
|
0,491
|
0,539
|
|
Uвых9, В
|
0,069
|
0,104
|
0,173
|
0,216
|
0,272
|
0,31
|
0,35
|
0,406
|
0,456
|
0,509
|
0,537
|
|
Uвых10, В
|
0,072
|
0,105
|
0,163
|
0,218
|
0,261
|
0,31
|
0,352
|
0,393
|
0,459
|
0,495
|
0,537
|
|
Uвых11, В
|
0,07
|
0,12
|
0,165
|
0,215
|
0,256
|
0,314
|
0,352
|
0,395
|
0,451
|
0,501
|
0,536
|
|
Uвых12, В
|
0,071
|
0,12
|
0,174
|
0,21
|
0,245
|
0,318
|
0,349
|
0,394
|
0,45
|
0,498
|
0,536
|
|
Uвых13, В
|
0,072
|
0,118
|
0,159
|
0,215
|
0,254
|
0,318
|
0,351
|
0,402
|
0,445
|
0,5
|
0,537
|
|
Uвых14, В
|
0,062
|
0,138
|
0,158
|
0,219
|
0,268
|
0,317
|
0,353
|
0,4
|
0,453
|
0,497
|
0,537
|
|
Uвых15, В
|
0,063
|
0,128
|
0,164
|
0,22
|
0,314
|
0,356
|
0,403
|
0,449
|
0,502
|
0,535
|
|
Uвых16, В
|
0,062
|
0,134
|
0,162
|
0,217
|
0,264
|
0,312
|
0,358
|
0,399
|
0,449
|
0,5
|
0,535
|
|
Uвых17, В
|
0,062
|
0,114
|
0,161
|
0,214
|
0,268
|
0,311
|
0,36
|
0,407
|
0,452
|
0,502
|
0,538
|
|
Uвых18, В
|
0,07
|
0,118
|
0,163
|
0,216
|
0,263
|
0,318
|
0,354
|
0,407
|
0,458
|
0,491
|
0,538
|
|
Uвых19, В
|
0,069
|
0,114
|
0,169
|
0,213
|
0,267
|
0,312
|
0,359
|
0,406
|
0,456
|
0,501
|
0,537
|
|
Uвых20, В
|
0,072
|
0,126
|
0,162
|
0,218
|
0,27
|
0,31
|
0,352
|
0,401
|
0,453
|
0,497
|
0,537
|
|
ср. зн
|
0,06735
|
0,11955
|
0,16405
|
0,2146
|
0,2612
|
0,3123
|
0,3543
|
0,4012
|
0,4519
|
0,49905
|
0,5364
|
|
погр
|
0,06735
|
0,01955
|
-0,03595
|
-0,0854
|
-0,13885
|
-0,1877
|
-0,2457
|
-0,29885
|
-0,34815
|
-0,40095
|
-0,4636
|
Но оцениваться будут не сами значения, а их остаточные
отклонения, так как сами значения были получены на различных отметках шкалы
входного вольтметра.
Итак, запишем отклонения (таблица 3.2):
Таблица 3.2. Отклонения объединенных результатов измерений
|
0,00265
|
0,01745
|
-0,00105
|
0,0034
|
-0,0052
|
0,0047
|
0,0007
|
-0,0071
|
0,0052
|
0,0070
|
-0,0004
|
|
0,00465
|
0,00045
|
0,01295
|
-0,0066
|
-0,0162
|
0,0017
|
-0,0053
|
-0,0071
|
-0,0078
|
-0,0031
|
-0,0004
|
|
0,00465
|
-0,00355
|
-0,00205
|
0,0004
|
-0,0012
|
0,0057
|
-0,0033
|
0,0049
|
-0,0068
|
0,0010
|
0,0006
|
|
-0,00435
|
-0,00555
|
-0,00605
|
-0,0036
|
0,0119
|
-0,0053
|
-0,0003
|
-0,0011
|
0,0032
|
-0,0041
|
0,0006
|
|
-0,00435
|
0,00245
|
-0,00405
|
-0,0026
|
-0,0002
|
-0,0053
|
0,0027
|
0,0049
|
-0,0078
|
0,0080
|
-0,0044
|
|
-0,00535
|
0,00045
|
-0,00005
|
-0,0016
|
-0,0112
|
-0,0103
|
0,0077
|
-0,0021
|
-0,0028
|
-0,0041
|
-0,0044
|
|
-0,00535
|
-0,00355
|
-0,00305
|
-0,0046
|
0,0058
|
-0,0013
|
0,0057
|
0,0049
|
0,0032
|
-0,0011
|
0,0026
|
|
0,00165
|
-0,01255
|
-0,00105
|
-0,0006
|
0,0008
|
-0,0063
|
-0,0023
|
0,0039
|
0,0052
|
-0,0081
|
0,0026
|
|
0,00165
|
-0,01555
|
0,00895
|
0,0014
|
0,0109
|
-0,0023
|
-0,0043
|
0,0049
|
0,0042
|
0,0100
|
0,0006
|
|
0,00465
|
-0,01455
|
-0,00105
|
0,0034
|
-0,0002
|
-0,0023
|
-0,0023
|
-0,0081
|
0,0072
|
-0,0041
|
0,0006
|
|
0,00265
|
0,00045
|
0,00095
|
0,0004
|
-0,0052
|
0,0017
|
-0,0023
|
-0,0061
|
-0,0008
|
0,0020
|
-0,0004
|
|
0,00365
|
0,00045
|
0,00995
|
-0,0046
|
-0,0162
|
0,0057
|
-0,0053
|
-0,0071
|
-0,0018
|
-0,0011
|
-0,0004
|
|
0,00465
|
-0,00155
|
-0,00505
|
0,0004
|
-0,0072
|
0,0057
|
-0,0033
|
0,0009
|
-0,0068
|
0,0010
|
0,0006
|
|
-0,00535
|
0,01845
|
-0,00605
|
0,0044
|
0,0068
|
0,0047
|
-0,0013
|
-0,0011
|
0,0012
|
-0,0021
|
0,0006
|
|
-0,00435
|
0,00845
|
-0,00005
|
0,0054
|
-0,0002
|
0,0017
|
0,0017
|
0,0019
|
-0,0028
|
0,0030
|
-0,0014
|
|
-0,00535
|
0,01445
|
-0,00205
|
0,0024
|
0,0028
|
-0,0003
|
0,0037
|
-0,0021
|
-0,0028
|
0,0010
|
-0,0014
|
|
-0,00535
|
-0,00555
|
-0,00305
|
-0,0006
|
0,0068
|
-0,0013
|
0,0057
|
0,0058
|
0,0002
|
0,0030
|
0,0016
|
|
0,00265
|
-0,00155
|
-0,00105
|
0,0014
|
0,0018
|
0,0057
|
-0,0003
|
0,0058
|
0,0062
|
-0,0081
|
0,0016
|
|
0,00165
|
-0,00555
|
0,00495
|
-0,0016
|
0,0058
|
-0,0003
|
0,0047
|
0,0049
|
0,0042
|
0,0020
|
0,0006
|
|
0,00465
|
0,00645
|
-0,00205
|
0,0034
|
0,0088
|
-0,0023
|
-0,0023
|
-0,0001
|
0,0012
|
-0,0021
|
0,0006
|
3.1 Построение экспериментальной гистограммы
После этого строим экспериментальную гистограмму. Для этого
выстраиваем все отклонения в вариационный ряд, то есть рассматриваем полученные
случайные отклонения в порядке возрастания, потом найдем количество интервалов,
на которое необходимо разбить данный ряд. Так как полученный ряд имеет 220
значений, значит L=9. Далее определим СКО полученного ряда:
Рассчитаем шаг интервалов:
Теперь рассчитаем средние значения полученных интервалов, а также
количество значений ряда, которое попало в каждый интервал. Для удобства сведем
результаты в таблицу 3.1.1
Таблица 3.1.1. - Данные экспериментальной гистограммы
|
№ интервала
|
Границы интервала
|
Среднее значение интервалов Vjср
|
Частота nj
|
|
1
|
-0,0162
|
-0,012356
|
-0,014277778
|
5
|
|
2
|
|
-0,008511
|
-0,010433333
|
5
|
|
3
|
|
-0,004667
|
-0,006588889
|
30
|
|
4
|
|
-0,000822
|
-0,002744444
|
56
|
|
5
|
|
0,003022
|
0,0011
|
67
|
|
6
|
|
0,006867
|
0,004944444
|
42
|
|
7
|
0,008788889
|
9
|
|
8
|
|
0,014556
|
0,012633333
|
4
|
|
9
|
|
0,018400
|
0,016477778
|
2
|
где: 
(3.1.1)
3.2 Построение теоретической гистограммы
Найдем среднеарифметическое значение (САЗ) вариационного
ряда:
В.
Следующим шагом будет нахождение нормированных отклонений середины
каждого интервала гистограммы от САЗ, далее определить по таблице нормированной
функции нормального распределения плотность вероятности y(t) для каждого интервала гистограммы, и в конце необходимо вычислить
теоретические частоты Nт
(теоретическое число результатов измерений - количество результатов измерений,
которые должны попасть в каждый интервал, если бы распределение соответствовало
нормальному), соответствующие каждому интервалу.
Для удобства полученные результаты сведем в таблицу 3.2.1
Таблица 3.2.1. - Данные теоретической
гистограммы
|
№ интервала
|
Нормировнные отклонения tj
|
Плотность распределения y(t)
|
Частота njT
|
|
1
|
-2,6914
|
0,0107
|
1,706
|
|
2
|
-1,9667
|
0,0573
|
9,136
|
|
3
|
-1,2420
|
0,1849
|
29,479
|
|
4
|
-0,5173
|
0,3485
|
55,563
|
|
5
|
0,2074
|
0,3902
|
62,211
|
|
6
|
0,9321
|
0,2589
|
41,277
|
|
7
|
1,6568
|
0,1006
|
16,039
|
|
8
|
2,3815
|
0,0235
|
3,747
|
|
9
|
3,1062
|
0,0032
|
0,510
|
Параметры t, y(tj), Nт вычисляются по формулам
(3.2.1) - (3.2.3) соответственно:
; (3.2.1)
; (3.2.2)
(3.2.3)
Построим теоретическую и экспериментальную гистограмму на
одном графике (рис. 3.2).
Рис. 3.2 - Теоретическая и экспериментальная гистограммы
Проверка соответствия экспериментальной и теоретической
гистограмм выполняется с использованием критерия согласия χ2 - Пирсона, обеспечивающего минимальную ошибку принятия гипотезы
по сравнению с другими критериями. Показатель разности частот
экспериментального и теоретического распределений можно вычислить по формуле:
где r - число интервалов гистограммы.
По уровню значимости q (0,02≤q≤0,1) и числу
степеней свободы k=r-3
из таблицы χ2 - распределения находим
границу критической области критерия χq2
Возьмем q=0,02 (к=6), тогда χq2 =16,812.
Итак, можно сделать вывод: так как χq2 >
χЭ2, то это означает что
гипотеза о нормальности распределения принимается.
4. Нахождение теоретической СХП и оценки степени
ее достоверности
Для нахождения теоретической СХП будем использовать метод
наименьших квадратов (МНК). Согласно этому методу оценки Uj выбираются так, чтобы
минимизировать сумму квадратов остаточных погрешностей условных уравнений.
Итак, в таблице 4.1 запишем полученные средние и входные
значения напряжения:
Таблица 4.1 - Средние и входные значения напряжения
|
Параметры
|
U1
|
U2
|
U3
|
U4
|
U5
|
U6
|
U7
|
U8
|
U9
|
U10
|
U11
|
|
Uвх, В
|
0
|
0,1
|
0,2
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
0,6
|
0,7
|
0,8
|
0,9
|
1,0
|
|
Uвых, В
|
0,071
|
0,119
|
0,166
|
0,213
|
0,260
|
0,307
|
0,355
|
0,402
|
0,449
|
0,496
|
0,544
|
Запишем систему условных уравнений в соответствии с
количеством точек измерений по диапазону:
Условные уравнения имеют избыточность, так как число уравнений
превышает число неизвестных. Для получения системы нормальных уравнений, т.е.
такой, для которой число неизвестных равно числу уравнений, пользуются постулатом
Лежандра: решение условных уравнений должно быть таким, чтобы сумма квадратов
невязок была минимальной. Следовательно, нормальные уравнения (НУ) для линейной
аппроксимирующей зависимости имеют вид:
[1 1] a+[1 Uвх] b=[1 Uвых]
[1 Uвх] a+[Uвх Uвх] b=[Uвх Uвых],
где:
[1 1]=1*1+1*1+ … +1*1=11;
[1 Uвх]=1*0+1*0,1+ … +1*1=5,5;
[1*Uвых]=1*0,06735+1*0,11955+ … +1*0,5364=3,38175;
[Uвх*Uвх]=0*0+0,1*0,1+ … +1*1==3,85;
[Uвх*Uвых]=0*0,06735+0,1*0,11955+ … +1*0,5364=2,21017.
Итак, учитывая эти коэффициенты, НУ будут такими:
11*a+5,5*b=3,38175
5,5*a+3,85*b=2,21017
Выполним решение НУ методом определителей:
;
;
.
Таким образом, получаем решение:
а=0,071388636
В
b=0,472086364 В
Тогда расчетное значение напряжения выхода преобразователя
аппроксимируем следующей линейной зависимостью:
Uвых=0,07138864+0,47208636Uвх
Проводим расчет теоретических значений согласно полученному
уравнению:
|
U1=
|
 В
|
|
U2=
|
 В
|
|
U3=
|
 В
|
|
U4=
|
 В
|
|
U5=
|
 В
|
|
U6=
|
 В
|
|
U7=
|
 В
|
|
U8=
|
 В
|
|
U9=
|
 В
|
|
U10=
|
 В
|
|
U11=
|
 В
|
Оценку дисперсий S2 условных уравнений определяем из соотношения:
В2
где vi - невязка в i-той точке диапазона;
n - число точек диапазона;
β =2 - число искомых неизвестных.
Оценки СКО значений коэффициентов a и b будут такими:
,
где: Д - определитель условных уравнений;
Д11, Д22 - алгебраические дополнения
элементов [1 1], [Uвх Uвх], получаемые путем удаления из матрицы определителя Д столбца и
строки, на пересечении которых находится данный элемент.
На рисунке 4.1 изображена теоретическая СХП.
Рис. 4.1 - Теоретическая СХП
5. Определение класса точности измерительного
преобразователя
.1 Нахождение отклонений экспериментальной и
теоретической СХП в каждой точке
Найдем отклонения экспериментальной СХП в каждой точке. Для
удобства введем все необходимые результаты в таблицу 5.1:
Таблица 5.1 - Отклонения теоретической и экспериментальной
СХП
|
Контр. Точки
|
0,000
|
0,100
|
0,200
|
0,300
|
0,400
|
0,500
|
0,600
|
0,700
|
0,800
|
0,900
|
1,000
|
|
U теор, В
|
0,071
|
0,119
|
0,166
|
0,213
|
0,260
|
0,307
|
0,355
|
0,402
|
0,449
|
0,496
|
0,544
|
|
U эксп, В
|
0,0674
|
0,1196
|
0,1641
|
0,2146
|
0,2612
|
0,3123
|
0,3543
|
0,4012
|
0,4519
|
0,4991
|
0,5364
|
|
Δ
|
0,0040
|
-0,0010
|
0,0018
|
-0,0016
|
-0,0009
|
-0,0049
|
0,0003
|
0,0007
|
-0,0028
|
-0,0028
|
0,0071
|
где отклонения вычисляются по формуле:
Δi = U теор.- U эксп. (5.1.1)
5.2 Введение аппроксимирующего полинома и расчет
его коэффициентов
Введем аппроксимирующий полином и рассчитаем его коэффициенты
(будем использовать полином только первого порядка). При нахождении этого
полинома будем снова использовать метод наименьших квадратов.
Теперь запишем систему условных уравнений:
Нормальные уравнения (НУ) для линейной аппроксимирующей
зависимости будут иметь вид:
[1 1] a+[1 Uвх] b=[1 Uвых]
[1 Uвх] a+[Uвх Uвх] b=[Uвх Uвых],
где:
[1 1] = 11;
[1 Uвх] = 5,5;
[1 Δi] = -0,001;
[Uвх Uвх] = 3,85;
[Uвх Δi] = -0,0002.
Итак, НУ будут такими:
11a+5,5b=-0,001
5,5a+3,85b=-0,0002.
Выполним решение НУ метом определителей:
;
;
.
Таким образом, получаем решение:
а= -0,00022727В
b= 0,00027273В
Таким образом, зависимость отклонений экспериментальной и
теоретической СХП от входного значения напряжения аппроксимируется следующей
линейной зависимостью:
Δi=-0,00022727
+0,00027273Uвх.
Расчет значений согласно полученному уравнению:
|
Δ1, В
|
 Δ7, В
|
|
|
|
Δ2, В
|
 Δ8, В
|
|
|
|
Δ3, В
|
 Δ9, В
|
|
|
|
Δ4, В
|
 Δ10, В
|
|
|
|
Δ5, В
|
 Δ11, В
|
|
|
|
Δ6, В
|
|
|
|
Представим зависимость погрешности преобразователя от
значений контрольных точек.
Рис. 5.2.1 - Зависимость разности экспериментальной и
теоретической СХП
Оценку дисперсий S2 условных уравнений определяем из соотношения:
В2
где vi - невязка в i-той точке диапазона;
n - число точек диапазона;
β =2 - число искомых неизвестных;
Оценки СКО значений коэффициентов a и b будут такими:
Исходя из полученных СКО коэффициентов, можем сделать вывод о
необходимости повышения степени полинома, но в рамках данной курсовой работы мы
пользуемся полиномом только первого порядка.
.3 Определение класса точности измерительного преобразователя
По
зависимости от измеряемой величины погрешности бывают:
- аддитивные. Если абсолютная погрешность не зависит
от значения измеряемой величины, то она называется аддитивной (складывается с
измеряемой величиной); Примером аддитивной погрешности может служить смещение
нуля СИТ.
- мультипликативные. Если абсолютная
погрешность прямо пропорционально зависит от значения измеряемой величины, то
она называется мультипликативной (умножается). Характеризует изменение
чувствительности СИТ.
, 
Класс точности средства измерения (СИ) - обобщенный
показатель точности в виде максимальных значений приведенной погрешности с
учетом основной и дополнительной погрешности.
Класс точности прибора определяю по максимальной невязке.
Максимальная невязка составляет 0,0071 В в точке измерения 1,0 В.
Класс точности выбирают из стандартного ряда чисел:
(1; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6)
,
где k = 1, 0, -1, -2.
.
Таким образом класс точности измерительного преобразователя 
1.
, 
, 
.
0,027273%
Существенны и аддитивная и мультипликативная составляющие
погрешности.
,
, 
, 
, 
где 
- верхний предел измерения, а U - точка диапазона.
=0,022727+0,027273=0,05%
=0,022727%
.
Сравнивая погрешности прибора необходимо заметить, что погрешность
нелинейности больше. Оценка нелинейности завышена, но гарантирована, так как появление
большей погрешности для средств измерения маловероятно.
Заключение
измерение погрешность гистерезис преобразователь
В ходе данной работы были обработаны две группы прямых
многократных измерений, проделано три основных этапа:
1) получение результатов измерений;
2) обработка полученных данных эксперимента;
) определение метрологических характеристик
преобразователя.
Условия получения результатов измерений указаны в задании на
курсовую работу.
Обработка данных эксперимента дала следующее: проверка по
Т-критерию показала, что максимальное расхождение средних значений двух таблиц
носит случайный характер, а следовательно случайная составляющая погрешности
является несущественной. Объединение двух таблиц производилось с помощью
введения весовых коэффициентов, так как результаты двух таблиц оказались не
равнорассеяными. Подтвердилась гипотеза о нормальности закона распределения.
Что касается метрологических характеристик преобразователя,
то, во-первых, удалось получить его функцию преобразования Uвых=f(Uвх) данного средства
измерения (аппроксимирующий полином первого порядка).
Класс точности испытуемого вольтметра определила по
максимальной невязке, и он составил 1.
Список литературы
1. Бурдун
Г.Д., Б.Н. Марков. Основы метрологии: учеб. пособ. - М: издательство
стандартов, 1975. - 335 с.
2.
Науменко А.М., Улитенко В.П. Определение погрешностей технических измерений:
учеб. пособ. - Х: «ХАИ», 1992. - 131 с.
.
Науменко А.М., Чебыкина Т.В. Методы обработки результатов экспериментов: метод.
пособ. - Х: «ХАИ», 2003. - 28 с.
4. «Кузнецов В.А. Ялунина Г.В. «Основы метрологии»,
Москва-1998.