Исследование плоского напряженного состояния

Исследование плоского напряженного состояния

Задача 1. Анализ плоского напряженного состояния

Стальной кубик находится под действием сил, создающих плоское деформированное состояние.

Общие данные: Е = 2 ·10⁵ МПа, σ_z = 0.

Вариант 78: σ_x = 160 МПа, σ_у = 70 МПа, τ_y = τ_х = 80 МПа, μ = 0,29.

Найти:

1.  Вычертить схему элемента.

2.      Определить главные напряжения и направление главных площадок.

.        Вычислить величину наибольших касательных напряжений.

.        Вычислить относительные линейные деформации.

.        Вычислить относительное изменение объема.

.        Определить удельную потенциальную энергию деформации.

Решение:

Рис. 1. Нормальные и касательные напряжения по граням кубика:

а - направления напряжений для исследуемого напряженного состояния;

б - положительные направления напряжений

Прежде всего, установим знаки нормальных и касательных напряжений, показанных на рис. 1, а. Положительные направления нормальных напряжений σ_x, σ_y и касательных напряжений τ_x = τ_y показаны на рис. 1, б. Нормальные растягивающие напряжения принято брать со знаком плюс, а сжимающие - со знаком минус. Следовательно, σ_x = 160 МПа и σ_y = -70 МПа, τ_y = τ_х = 80 МПа.

Определение главных напряжений. Определяем наибольшее и наименьшее главные напряжения.

Наибольшее σ₁:

наименьшее из главных напряжений σ₃:

Определение направления главных площадок. Угол наклона нормали главной площадки к оси X определяется по формуле

Знак касательных напряжений и угла α можно не устанавливать, если пользоваться следующим правилом для определения ориентации главных площадок.

Главные площадки, на которых действует наибольшее из главных напряжений σ_1, получаются поворотом на угол α тех из исходных площадок, на которых действует большее (по алгебраической величине) из исходных напряжений σ_x, σ_y. В нашем примере такими исходными площадками будут площадки, где действует нормальное напряжение σ_х, так как σ_х > σ_у.

Направление поворота указывает стрелка касательного напряжения на исходной площадке (рис. 2). Вторая пара главных площадок перпендикулярна найденным.

Определение максимальных касательных напряжений:

Эти напряжения действуют на площадках, наклоненных под углом 45° к главным, и направлены в сторону σ₁ (см. рис. 2).

Рис. 2. Расположение главных площадок

сила напряженный состояние деформация

Определение относительных деформаций ε_x, ε_y, ε_z:

Обратите внимание на то, что при σ_z = 0 ε_z ≠ 0 , т.е. при отсутствии напряжения по оси Z деформация в этом направлении имеет место.

Определение относительного изменения объема θ:

Определение удельной потенциальной энергии деформаций. Потенциальная энергия изменения объема U_об:

Потенциальная энергия изменения формы U_ф:

Полная энергия U:

U = U_об + U_ф = 2,83·10^-3 +89,65·10^-3 = 92,48·10^-3 МПа (Н/мм²).