Робастная стабилизация бокового движения судна на воздушной подушке
Робастная
стабилизация бокового движения судна на воздушной подушке
Введение
Обеспечение безопасности движения судов является
важнейшей задачей судовождения и остается актуальной в настоящее время. Данная
задача обладает особой остротой для скоростных судов, в том числе и для судов
на воздушной подушке (СВП), которые в силу особенности своей динамики имеют
малый запас устойчивости.
Непосредственной причиной потери устойчивости
движения СВП оказывается явление «зарывания» - затягивание гибкого ограждения
(ГО) внутрь воздушной подушки [1, 2]. Зарывание СВП может иметь два
последствия: нарушение устойчивости с последующим восстановлением и
опрокидывание судна. Основная причина опрокидывания СВП на тихой воде -
приложение к судну чрезмерного кренящего и дифферентующего на нос моментов,
вызванных контактом ГО с водой.
Опыт исследований показывает, что возможность
опрокидывания возникает при больших углах, что влечет за собой затягивание ГО
под корпус с последующим подломом [1, 2]. На практике такое явление
сопровождается резким замедлением скорости хода СВП со значительным ростом
дифферента на нос, а также увеличением крена вплоть до опрокидывания. При
движении СВП с большей скоростью подлом ГО может наступить и при меньших углах
дрейфа, т.е. с увеличением скорости максимальный угол дрейфа уменьшается. В
связи с этим при маневрировании СВП нужно обеспечить как можно меньшее значение
угла дрейфа, для избегания опрокидывания и повышения безопасности движения.
Одним из направлений достижения безопасности
является повышение автоматизации движения. Важным этапом разработки систем и
алгоритмов автоматического управления движением является разработка
математической модели движения судна. В общем случае математическая модель СВП
(как и любого морского судна) представляет собой систему сложных нелинейных
дифференциальных уравнений. Они описывают связь угловых и линейных ускорений,
скоростей и координат судна с силами и моментами сил, создаваемых движителями и
внешней средой [1 - 6].
Движение СВП связано в первую очередь с
созданием сил и моментов, прикладываемых к корпусу судна, при этом масса его
имеет существенное значение для динамики процессов управления движением. В
связи с непредсказуемым характером загрузки судна оценка массы может находиться
в достаточно широких пределах. Это усложняет построение системы управления.
Кроме того, описание гидродинамических сил и моментов сопротивления также в
значительной мере неопределенно. Различные авторы приводят существенно
отличающиеся математические соотношения для описания указанных сил и моментов
[1 - 6]. Также движение судна связано и с влиянием возмущающих воздействий
внешней среды. К ним относятся, главным образом, воздействие со стороны
морского волнения и ветра. Априорная оценка таких факторов невозможна. В связи
с этим при построении системы управления движением судна должны выбираться
такие законы управления, которые смогли бы обеспечить некоторое гарантированное
качество процессов управления, а сама система управления, в первую очередь,
удовлетворяла требованию грубости (робастности), т.е. обладала способностью
функционировать надлежащим образом при наличии неопределенности в управляемом
процессе.
Данная работа посвящена вопросу построения
робастной системы стабилизации бокового движения СВП.
1. Уравнения бокового движения СВП
При описании бокового движения СВП используются
полусвязанная и связанная системы координат (рис. 1). СВП имеет шесть степеней
свободы, однако влияние динамики по дифференту и высоте центра масс на боковое
движение СВП мало. Для анализа бокового движения СВП (при отсутствии течения)
можно использовать следующую систему четырех уравнений [4]:
(1)
где - масса и моменты инерции СВП по
соответствующим осям; - скорость
судна и ее проекции; - угловые
скорости вращения; -
соответственно, углы дрейфа, крена и перекладки аэроруля; - скорость
ветра и угол встречи ветра с корпусом судна; - высота волны 3%-й обеспеченности
и угол волнового склона; , , , - суммарные
силы и моменты, действующие на СВП: гидродинамические, аэродинамические,
импульсные силы и моменты, а также силы и моменты от средств управления
движением (вертикальные аэрорули, горизонтальные аэрорули, ВИШ - винты
изменяемого шага) и силы и моменты от волнового воздействия.
Рисунок 1 - Системы координат при
описании бокового движения СВП
Уравнения движения являются
нелинейными, так как зависимость сил и моментов от скорости хода, углов крена и
дрейфа, угловых скоростей рыскания и крена, угла перекладки руля, скорости и направления
ветра являются нелинейными. При наличии волнения силы и моменты являются
случайными функциями, спектральные плотности энергии которых зависят от высоты
волны, угла встречи с волной и скорости хода СВП.
Для синтеза и анализа регулятора
стабилизации путевого угла можно перейти к более простой модели движения, так
как при работе регулятора стабилизации путевого угла СВП движется вблизи
балансировочного режима.
При переходе к упрощенной модели
движения от нелинейной системы (1) скорость хода считается постоянной. При
выводе уравнений также учитываются соотношения: , . Таким образом, упрощенные
уравнения движения СВП имеют вид [3 - 5]:
(2)
где - случайный процесс, представляет
собой возмущение от бортовой качки. Уравнения (2) можно записать в матричном
виде:
, (3)
где матрицы состояния равны
Модель (3) описывает СВП как объект
с вектором состояний , скалярным
управлением и внешним
возмущением .
. Синтез системы робастной стабилизации путевого
угла СВП
Система стабилизации бокового движения СВП
относится к классу многомерных систем, при синтезе которых обычно используется
аппарат оптимального управления [5 - 8]. Однако присутствие неопределенности,
обусловленной невозможностью точно определить параметры модели управляемого
процесса, существенно препятствует применению этого математического аппарата, в
том смысле, что при изменении параметров исходной модели уже нельзя будет
гарантировать качество процесса управления.
В таких случаях используют методы
теории робастного управления, основанные на параметрическом описания
неопределенности в виде интервального или аффинного семейства полиномов
(матриц). Один из способов описания неопределенности основан на сингулярно возмущенном
представлении, т.е. с помощью малого параметра перед производными в нормальной
форме Коши [9]. В рассматриваемом случае необходимо предусмотреть наличие
неточности в определении расчетных параметров модели (3), т.е. в коэффициентах . Модель (3)
с учетом неопределенности можно переписать так (здесь сделана перестановка 4-го
столбца и 4-ой строки матрицы , чтобы структурировать информацию
нужным образом):
, (4)
где матрицы состояния равны
В (4) - параметр, выступает в роли
неопределенности, - вектор
состояния.
Задача заключается в выборе такого
стабилизирующего управления , независящего от параметра , что при
всех система (4)
будет устойчива. При этом синтезированная система будет обладать тем большими
робастными свойствами, чем больше будет критическое значение параметра
неопределенности . Обратную
величину принято
называть жесткостью, она характеризует негрубость системы [9].
Робастную стабилизацию СВП реализуем
с помощью обратной связи по состоянию, т.е. управление будем искать в виде . Подставляя
это выражение в (4), получаем матрицу замкнутой системы
для которой необходимые и
достаточные условия устойчивости (гурвицевости) для всех согласно
[9] имеют вид:
, (6)
где - собственные числа матрицы , -
собственные числа матрицы ,
движение судно воздушный
подушка
Соответствующая оценка жесткости
определяется выражением [9]
, (7)
где через , обозначены
собственные значения матрицы :
Задачу повышения робастности можно
сформулировать как задачу минимизации оценки (7) при ограничении (6).
Выбор регулятора, удовлетворяющего
условиям (6) удобно реализовать на основе процедуры композиционного синтеза
стационарного субоптимального регулятора [10]
(8)
где матрица коэффициентов находится
из решения задачи на минимум критерия
(9)
на движениях так называемой
«быстрой» системы
(10)
а матрица определяется
из решения задачи минимизации критерия
(11)
на движениях «медленной» системы
(12)
Решая задачу (9), (10), находим
матрицу :
где удовлетворяет алгебраическому
уравнению Риккати
Матрица вычисляется
из решения задачи (11), (12):
где - положительно-определенное решение
уравнения
Матрицы и можно
просто вычислить, используя средства пакета инженерных программ MATLAB, а
именно функцию care [11]. Задачи (9), (10) и (11), (12) не зависят друг от
друга и могут решаться параллельно, причем размерность этих задач меньше
размерности исходной задачи, что позволяет существенно снизить требования к
бортовому компьютеру.
Композиционный стационарный
регулятор (8) обеспечивает выполнение условия (6) и наделяет систему свойством
робастности по параметру неопределенности . При этом он (регулятор) сочетает в
себе свойства субоптимальности в смысле минимизации критериев (9) и (11).
Следует добавить, что выбором коэффициентов штрафа можно
изменять качество стабилизации бокового движения СВП.
. Система имитационного
моделирования бокового движения СВП
Для моделирования синтезированной
системы стабилизации используются средства пакета инженерных прикладных
программ MATLAB, а именно Control System toolbox и Guide User Interface [11], с
помощью которых была разработана программа имитационного моделирования движения
СВП (вид главного окна программы показан на рисунке 2).
Панель управления программы содержит
следующие управляющие элементы:
· «Ввод параметров СВП» - панель (рис.3),
предназначенная для ввода коэффициентов линеаризованной модели (2) бокового
движения СВП, параметров балансировочного режима, параметров динамики рулевого
привода и размаха неопределенности в виде значения параметра ;
· «Ввод параметров регулятора» - панель (рис. 4),
предназначенная для ввода параметров управления. Здесь предусмотрено два
варианта управления - «Робастный регулятор» - реализует робастный
субоптимальный регулятор (9) и «ПИД-регулятор» - для реализует стандартный
ПИД-регулятор с указанными параметрами по углу рыскания;
· «Моделирование» - моделирование системы с
заданными параметрами;
· «Выход» - завершение работы программы.
Панель результатов представляет
собой графическое окно (рис.2) с выплывающим контекстным меню, предназначенным
для выбора параметров движения, осциллограммы которых необходимо построить.
Предусмотрен вывод курсового угла , град, угла дрейфа , град,
путевого угла , град,
угловой скорости рыскания , град/с,
скорости движения , м/с,
перемещения (циркуляции) , м, угла
перекладки аэроруля , град.
Кроме того в программе предусмотрена возможность визуализации бокового движения
СВП с помощью средств Virtual Reality Toolbox пакета MATLAB. Графическое окно
блока визуализации показано на рисунке 6.
Рисунок 2 - Главное окно программы
моделирования
Рисунок 3 - Панель ввода параметров
модели СВП
Рисунок 4 - Панель ввода параметров
управления
Рисунок 5 - Панель ввода параметров
возмущений
Рисунок 6 - Графическое окно
визуализации движения СВП
. Результаты моделирования системы
стабилизации
Для моделирования синтезированной
робастной системы стабилизации в качестве численных значений коэффициентов
линеаризованной модели бокового движения (4) возьмем данные для СВП массой , кг, длиной
, м, шириной
, м,
площадью подушки , м,
скоростью хода , м/с [3]:
Параметры балансировочного режима
выберем такими:
, , , .
Параметры рулевого тракта:
- зона нечувтсивтельности 0,5 град;
- постоянная времени аэроруля 5 с;
- максимальный угол отклонения
аэроруля 35 град.
Коэффициенты штрафа критериев качества:
Осциллограммы угла рыскания, угла
дрейф, угла кренаа и угла отклонения аэроруля системы с ПИД-регулятором и с
робастным регулятором при номинальных параметрах (т.е. ) показаны
на рисунке 6. Из графиков видно, что за две минуты оба регулятора приводят
курсовой угол СВП в заданное положение ( град), при этом угол дрейфа не достигает
критических значений приводимых к опрокидыванию, угол аэроруля изменяется в
конструктивно допустимых пределах.
Теперь продемонстрируем как
сохраняются робастные свойства системы при уменьшении параметров в 100 раз,
т.е. в программе моделирования выбираем .Такое изменение параметров модели
на практике может соответствовать увеличению массы судна и т.п. Результаты
моделирования системы с робастным регулятором и с ПИД-регулятором (регуляторы
настроены по номинальными параметрам, без учета ) показаны на рисунке 7, откуда
видно, что робастный регулятор по-прежнему обеспечивает стабилизацию курсового
угла (с перерегулированием примерно 16%) и приемлемое значение дрейфа, а вот
ПИД-регулятор уже не дает приемлемое качество стабилизации.
Рисунок 6 - результаты
моделирования.
Рисунок 7 - результаты
моделирования.
Заключение
Робастный подход к задаче построения
системы стабилизации бокового движения СВП позволяет синтезировать закон
управления, обеспечивающий гарантированное качество процесса стабилизации при
изменении параметров движения судна, которое может быть связано со спецификой
функционирования, в частности, полезная загрузка судна может существенно
изменяться и, следовательно, будут изменяться и его параметры (масса, момент
инерции). Показано, что использование классических ПИД-регуляторов в контуре
стабилизации не дает гарантированного результата при наличии неопределенности.
Список использованных источников
1.
Скороходов Д.А. Системы управления движением кораблей с динамическими принципами
поддержания СПб: ГНЦ РФ-ЦНИИ "Электроприбор", 2000. - 282 с.
.
Колызаев Б.А., Косоруков А.И., Литвиненко В.А. Справочник по проектированию
судов с динамическими принципами поддержания. Л.: Судостроение, 1980 - 472 c.
.
Лукомский Ю.А. Навигация и управление движением судов / Ю.А. Лукомский, В.Г.
Пешехонов, Д.А. Скороходов. - СПб.: Элмор, 2002. - 350с.
.
Смирнов С.А. Суда на воздушной подушке скегового типа. Л.: Судостроение, 1983.
216с.
.
Лукомский Ю.А., Корчанов В.М. Управление морскими подвижными объектами. СПб.:
Элмор, 1996. - 320 с.
.
Справочник по теории корабля: В трех томах. Том 3. Управляемость водоизмещающих
судов. Гидродинамика судов с динамическими принципами поддержания / Под
редакцией Войткунского Я.И. - Л.: Судостроение, 1985. - 544с.
.
Васильев А.В. Управляемость судов: учеб. Пособие / А.В. Васильев. - Л.:
Судостроение, 1989. - 328с.
.
Fossen T.I. Guidance and control of ocean vehicles. - NY.: John Wiley &
Sons
.
Кабанов А.А. Мера устойчивости к сингулярным возмущениям и робастные свойства
линейных систем / А.А. Кабанов, С.А. Дубовик // Проблемы управления и
информатики, 2010. - Вып.3 - С. 17 - 28.
.
Kokotovic P.V. A decomposition of near-optimum regulators for systems with slow
and fast modes / P.V. Kokotovic, J.H. Chow // IEEE Trans. on Automatic Control.
- 1976. - Vol. 21. - P. 701 - 706.
.
Кетков Ю.Л. MATLAB 7: программирование, численные методы / Ю.Л. Кетков, А. Ю.
Кетков, М.М. Шульц. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 752 с.