- характерная масса - = 1кг.
- характерный радиус - = 0.1м.
с - коэффициент жесткости - с = 4000
Н/м.
- коэффициент сопротивления = 100 Н
сек/м.
- амплитуда возмущающей силы = 50 Н.
р - частота возмущающей силы р =
рад/c.
- массы тел механической системы.
- радиусы ступеней блока 3.
- радиус подшипника 2.
- радиус инерции блока 3.
Часть 1. ПРИМЕНЕНИЕ ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ
МЕХАНИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ
.1 Постановка второй основной задачи динамики
системы
Расчетная схема представлена на рис. 2.
рис.2
На рис.2 обозначено:
- силы тяжести,
- нормальная реакция опорной
плоскости,
- сила сцепления,
- упругая реакция пружины,
- реакции подшипника 2,
- сила вязкого сопротивления,
- возмущающая сила.
Рассматриваемая механическая система
имеет одну степень свободы (нити нерастяжимые, качение блока 2 происходит без
скольжения). Будем определять её положение с помощью координаты S . Начало
отсчета координаты совместим с положением статического равновесия центра масс
груза 1.
Для построения дифференциального
уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии
механической системы в форме:
, (1.1)
где Т - кинетическая энергия
системы,
- сумма мощностей внешних сил,
- сумма мощностей внутренних сил.
Теорема (1.1) формулируется так:
"Производная по времени от кинетической энергии механической системы равна
алгебраической сумме мощностей внутренних и внешних сил, действующих на точки механической
системы".
Вычислим кинетическую энергию
системы как сумму кинетических энергий тел 1-3:
. (1.2)
Груз 1 совершает поступательное
движение. Его кинетическая энергия равна:
. (1.3)
Подшипник 2 совершает вращательное
движение вокруг неподвижной оси. Его кинетическая энергия равна:
где 
- момент инерции подшипника
относительно центральной оси,
- угловая скорость подшипника.
Блок 3 совершает плоскопараллельное
движение, поэтому его кинетическая энергия определяется по теореме Кенига:
, (1.5)
где 
- скорость центра масс блока 3,
- момент инерции блока 3
относительно центральной оси ,
- угловая скорость блока 3.
Тогда кинетическая энергия всего
механизма будет равна:
. (1.6)
Выразим 
через
скорость груза 1. Положив 
, получим:
; 
; 
; 
. (1.7)
Подставляя (1.3), (1.4), (1.5) в
(1.6) с учетом (1.7), получаем:
(1.8)
или
, (1.9)
где
. (1.10)
Величину 
будем
называть приведенной массой.
Найдём производную от кинетической
энергии по времени:
. (1.11)
Теперь вычислим правую часть уравнения
(1.1) - сумму мощностей внешних и внутренних сил.
Мощность силы равна скалярному
произведению вектора силы на скорость точки её приложения:
. (1.12)
Рассматриваемая нами механическая
система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемы и
скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей
всех внутренних сил будет равняться нулю:
. (1.13)
Будут равняться нулю и мощности некоторых
внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из
расчетной схемы:
.
Найдем мощности остальных внешних
сил:
(1.14)
Тогда сумма мощностей внешних сил
будет равна:
. (1.15)
С учетом кинематических соотношений
(1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:
(1.16)
или
, (1.17)
где
. (1.18)
Величину 
будем называть
приведенной силой.
Преобразуем выражение (1.18).
Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение
пружины f равно сумме
статического 
и
динамического 
удлинений:
,
причем из выражения (1.7) для следует,
что 
.
Тогда упругая сила будет равна:
. (1.19)
Сила вязкого сопротивления 
.
Приведенную силу с учетом последних формул для 
и 
запишем в виде:
,
раскрывая скобки получим:
, (1.20)
В состоянии покоя приведенная сила
равна нулю. Полагая (1.20) 
, 
и 
, получаем условие равновесия
системы:
, (1.21)
Из уравнения (1.21) определяется
статическое удлинение пружины:
. (1.22)
Учитывая (1.22) и (1.20), получаем
окончательное выражение для приведенной силы:
. (1.23)
Подставим выражения для производной
от кинетической энергии (1.11) и сумму мощностей всех сил (1.17) с учетом
(1.23) в уравнение (1.1). Тогда, получаем дифференциальное уравнение движения
системы:
. (1.24)
Запишем последнее уравнение в виде:
, (1.25)
где введены коэффициенты, имеющие
определенный физический смысл:
- циклическая частота свободных
колебаний,
- показатель степени затухания
колебаний.
Запишем начальные условия движения:
. (1.26)
Выражения (1.25) и (1.26) совместно
представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.
.2 Определение закона движения
системы
Проинтегрируем дифференциальное уравнение
(1.25). Пусть возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:
, (2.1)
где - амплитуда возмущающей силы,
p -
циклическая частота возмущения.
Общее решение S
неоднородного дифференциального уравнения (1.25) складывается из общего решения
однородного 
и частного
решения 
неоднородного:
. Однородное
дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному (1.25) ,
имеет вид:
Решение этого уравнения ищем в виде
функции:
, (2.3)
где 
и
- постоянные величины.
Подставляя (2.3) в (2.2), получаем:
.
Так как мы ищем нетривиальное
решение, то 
.
Следовательно, должно выполняться условие:
. (2.4)
Уравнение (2.4) называется
характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Это уравнение
имеет два корня:
. (2.5)
В нашем случае 
-
подкоренное выражение (2.5) отрицательно, следовательно корни
комплексно-сопряженные. Общее решение уравнения (2.2) имеет вид:
, (2.6)
где 
- постоянные интегрирования,
. (2.7)
Решение (2.6), используя известные
формулы Эйлера
нетрудно представить в виде:
, (2.8)
где 
постоянные интегрирования.
Определим частное решение
неоднородного дифференциального уравнения
. (2.9)
Частное решение ищем в виде правой
части
. (2.10)
Подставляя (2.10) в (2.9), после
несложных преобразований получаем
Сравнивая коэффициенты при соответствующих
тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических
уравнений для определения постоянных А и В:
Решая эту систему, получаем
следующие выражения для коэффициентов А и В:
(2.11)
Таким образом, решение (2.10)
определено. Складывая (2.8) и (2.10), получаем общее решение неоднородного
уравнения (2.9):
. (2.12)
Константы 
и 
определяются
из начальных условий (1.26). Для этого найдем производную по времени от (2.12):
. (2.13)
Подчинив (2.12) и (2.13) начальным
условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант:
(при t=0).
Решая эту систему, получаем:
(2.14)
Подставляя (2.14) в (2.12), получаем
закон движения механизма:
(2.15)
.3 Определение реакций внешних и
внутренних связей
Для решения этой задачи расчленяем механизм на
отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис.3).
рис.3
Определение реакций связей проведем с помощью
теоремы об изменении количества движения:
, (3.1)
и теоремы об изменении кинетического
момента относительно центра масс:
, (3.2)
В соответствии с расчетными схемами
(рис.3) записываем уравнения (3.1) и (3.2) в проекциях на оси координат:
тело 1: 
(3.3)
тело 2: 
на ось 
: 
, (3.4)
на ось 
: 
, (3.5)
(3.6)
тело 3: 
на ось 
: 
, (3.7)
на ось 
: 
, (3.8)
(3.9)
С учетом кинематических соотношений (1.7)
систему уравнений (3.3) - (3.9) преобразуем к виду:
(3.10)
Уравнения (3.10) составляют систему
алгебраических уравнений относительно функций:
Решая эту систему, получаем и
дифференциальное уравнение системы, и выражения для определения реакций:
(3.11)
Часть 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНСТАНТ,
РЕАКЦИЙ СВЯЗЕЙ И ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ
2.1 Вычисление
констант
.2 Вычисление значений функций в момент времени t
Для момента времени 
вычислим
значения функций 
и
.3 Вычисление реакций связей
Такая механическая система
неработоспособна, для её оптимизации необходимо изменить параметры, такие как
масса, жесткость пружины и частота возмущающей силы.
Часть 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА
ДАЛАМБЕРА-ЛАГРАНЖА И УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА
.1 Составление дифференциального
уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера-Лагранжа
Общее уравнение динамики системы есть
математическое выражение принципа Даламбера-Лагранжа:
(3.1)
Здесь 
- сумма элементарных работ всех
активных сил на возможном перемещении системы; 
- сумма элементарных работ всех сил
инерции на возможном перемещении системы.
рис.4
Изобразим на рисунке активные силы и
силы инерции (рис.4). Идеальные связи 
не учитываем и не отображаем на
расчетной схеме, поскольку по определению работа их реакций на любом возможном
перемещении системы равна нулю.
Пружина является неидеальной связью.
Введем реакцию этой связи в число активных сил.
Сообщим системе возможное
перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих
элементарных работ:
(3.2)
Вычислим последовательно
элементарные работы активных сил:
Суммируя эти работы получаем:
(3.3)
С учетом кинематических соотношений
(1.7) получим:
где 
,
Окончательно получаем:
(3.4)
Аналогичное выражение для
приведенной силы получено
ранее [см.(1.23)].
Найдем возможную работу сил инерции:
(3.5)
Вычислим последовательно
элементарные работы сил инерции:
, где 
(3.6)
Суммируя эти работы получаем:
(3.7)
где 
Используя кинематические соотношения (1.7),
можно записать:
(3.8)
Тогда возможную работу сил инерции
можно преобразовать к виду:
(3.9)
(3.10)
где 
(3.11)
Аналогичное выражение для
приведенной массы системы было получено ранее [(1.10)]. Подставляя выражения
(3.4) и (3.10) в общее уравнение динамики (3.1) получаем:
(3.12)
Поделив (3.12) на 
, получим
дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:
(3.13)
где 
(3.14)
Дифференциальное уравнение (3.13) полностью
совпадает с полученным ранее уравнением (1.25).
.2 Составление
дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа
второго рода
Составим теперь уравнения Лагранжа второго рода.
Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение
движения в обобщенных координатах имеет вид:
(3.15)
где Т - кинетическая энергия
системы;
Q -
обобщенная сила;
S -
обобщенная координата;
- обобщенная скорость.
Выражение для кинетической энергии
системы было найдено ранее:
где 
Учитывая, что 
получаем:
(3.16)
Производные от кинетической энергии
(3.17)
Для определения обобщенной силы Q сообщим
системе возможное перемещение 
(рис.4) и вычислим сумму
элементарных работ всех активных сил на возможных перемещениях точек их
приложения [cм. (3.4)]:
(3.18)
С другой стороны для системы с одной
степенью свободы
(3.19)
Сравнивая формулы (3.18) и (3.19)
получим:
(3.20)
(3.21)
Полученное уравнение (3.21)
совпадает с уравнениями (1.25) и (3.13).