Прогноз заработной платы

Прогноз заработной платы

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Воронежский филиал

(МИИТ)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по «Эконометрике»

Воронеж

-

Задание № 1

Вариант № 1

По данным таблицы 1.1 требуется:

1. Для характеристики зависимости  рассчитать параметры следующих функций:

а)      линейной;

б)      степенной;

в)      показательной;

г)       равносторонней гиперболы.

. Оценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.

Таблица 1.1

Решение:

а)      В соответствии с методом наименьших квадратов уравнение линейной регрессии имеет вид:

,

где

 - параметры уравнения парной линейной регрессии.

При этом

 -

эмпирический корреляционный момент случайных величин

среднее квадратическое отклонение случайной величины ,

 дисперсия случайной величины ,

выборочное среднее значение случайной величины ,

выборочное среднее значение случайной величины ,

- выборочное среднее значение случайной величины ,

 - выборочное среднее значение случайной величины ,

 - объем выборки.

В нашем случае . Вычислим все необходимые суммы. Результаты расчетов представим в виде таблицы:

Таблица 1.2

Получаем:

Тогда

Параметры линейного регрессионного уравнения:

Следовательно, уравнение линейной регрессии  имеет вид:  

Значит с увеличением  на 1  уменьшается в среднем на 1,691.

Таким образом, с увеличением среднедневной заработной платы работающего на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах) снижается в среднем на 1,691 %.

Найдем линейный коэффициент парной корреляции , являющийся мерой тесноты связи между переменными  и . Для этого воспользуемся формулой:

где

Итак,   

Значит линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции характеризует зависимость  от  и меняется от -1 до 1.

По коэффициенту корреляции можно сделать вывод, что линейная связь между  и  обратная (так как ) и весьма сильная, так как

Коэффициент детерминации  позволяет сделать вывод о том, что линейное уравнение  вполне адекватно описывает зависимость между  и  (вариация  на 99,7 % объясняется влиянием показателя ).

Точность модели характеризуется величиной отклонения расчетных значений от фактических. Средняя относительная ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических, определяется по формуле:

где

n - объем выборки,

 значение регрессионной функции.

Составим расчетную таблицу:

Таблица 1.3

В нашем случае

Таким образом, в среднем расчетные значения линейной модели

 отклоняются от фактических на 0,59 %.

Проверим значимость  с доверительной вероятностью  (то есть на уровне значимости ) с помощью  критерия Фишера.

Наблюдаемое (фактическое) значение  критерия Фишера определяется как

Критическое значение  критерия Фишера определяется как

 по таблице критических точек  распределения Фишера - Снедекора, где

 число степеней свободы большей дисперсии,

 число степеней свободы меньшей дисперсии

( число факторных переменных, определяющих модель).

При  гипотеза об отсутствии линейной связи (то есть о том, что ) отклоняется, и соответственно коэффициент парной корреляции  является значимым.

При  гипотеза об отсутствии связи линейной верна, и соответственно коэффициент парной корреляции  является незначимым.

В нашем случае

Оказалось, что , следовательно, гипотеза об отсутствии линейной связи неверна, и соответственно коэффициент парной корреляции

 является значимым.

Таким образом, найденное линейное уравнение  в целом довольно точно описывает зависимость между среднедневной заработной платой работающего и долей расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах).

б)      Найдем уравнение степенной регрессии:

Прологарифмируем обе части уравнения  

После замены переменных    получим линейную модель , то есть .

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры уравнения линейной регрессии  определим по формулам:

Вычислим все необходимые суммы. Результаты расчетов представим в виде таблицы:

Таблица 1.4

Получаем:

Тогда

Параметры линейного регрессионного уравнения :

Соответственно параметры степенного регрессионного уравнения

Следовательно, уравнение степенной регрессии имеет вид:

Найдем коэффициент нелинейной парной корреляции (индекс корреляции)  являющийся мерой тесноты связи между переменными  и . Для этого воспользуемся формулой:

где

 значение регрессионной функции в точке

Таблица 1.5

Следовательно, индекс корреляции для степенной модели :

По индексу корреляции можно сделать вывод, что степенная связь между  и  весьма сильная, так как

Коэффициент детерминации  позволяет сделать вывод о том, что степенное уравнение  вполне адекватно описывает зависимость между  и  (вариация  на 99,4 % объясняется влиянием показателя ).

Для нахождения средней относительной ошибки аппроксимации составим расчетную таблицу:

Таблица 1.6

В нашем случае

Таким образом, в среднем расчетные значения степенной модели

 отклоняются от фактических на 0,786 %.

Проверим значимость  с доверительной вероятностью  (то есть на уровне значимости ) с помощью  критерия Фишера.

Наблюдаемое (фактическое) значение  критерия Фишера определяется как:

где  число параметров при переменных ,

 число наблюдений.

Критическое значение  критерия Фишера определяется как

 по таблице критических точек  распределения Фишера - Снедекора, где

 число степеней свободы большей дисперсии,

 число степеней свободы меньшей дисперсии,

 число параметров при переменных .

При  гипотеза об отсутствии нелинейной связи (то есть о том, что ) отклоняется, и соответственно индекс корреляции  является значимым.

При  гипотеза об отсутствии нелинейной связи верна, и соответственно индекс корреляции  является незначимым.

В нашем случае

Оказалось, что  следовательно, гипотеза об отсутствии нелинейной связи неверна, и соответственно индекс корреляции  является значимым.

Таким образом, найденное степенное уравнение  в целом довольно точно описывает зависимость между среднедневной заработной платой работающего и долей расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах.) При этом характеристики степенной модели указывают, что она несколько хуже линейной функции описывает эту зависимость.

в)      Найдем уравнение показательной (экспоненциальной) регрессии:

Прологарифмируем обе части уравнения

После замены ,  получим линейную модель , то есть

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры уравнения линейной регрессии  определим по формулам:

Вычислим все необходимые суммы. Результаты расчетов представим в виде таблицы:

Таблица 1.7

Получаем:

Тогда

Параметры линейного регрессионного уравнения

Соответственно параметры показательного регрессионного уравнения

Следовательно, уравнение показательной регрессии имеет вид:

, то есть

Найдем коэффициент нелинейной парной корреляции (индекс корреляции)  являющийся мерой тесноты связи между переменными  и . Для этого воспользуемся формулой:

где  значение регрессионной функции в точке  

Таблица 1.8

Следовательно, индекс корреляции для показательной модели

По индексу корреляции можно сделать вывод, что показательная связь между  и  весьма сильная, так как

Коэффициент детерминации  позволяет сделать вывод о том, что показательное уравнение  вполне адекватно описывает зависимость между  и  (вариация  на 99,6 % объясняется влиянием показателя ).

Для нахождения средней относительной ошибки аппроксимации составим расчетную таблицу:

Таблица 1.9

В нашем случае

Таким образом, в среднем расчетные значения показательной модели  отклоняются от фактических на 0,56 %.

Проверим значимость  с доверительной вероятностью  (то есть на уровне значимости ) с помощью  критерия Фишера.

В нашем случае

Оказалось, что , следовательно, гипотеза об отсутствии нелинейной связи неверна, и соответственно индекс корреляции  является значимым.

Таким образом, найденное показательное уравнение  в целом довольно точно описывает зависимость между среднедневной заработной платой работающего и долей расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах). При этом характеристики показательной модели указывают, что она с примерно той же точностью, что и линейная функция описывает эту зависимость.

г)      Найдем уравнение гиперболической регрессии:

После замены  получим линейную модель

В соответствии с методом наименьших квадратов параметры уравнения линейной регрессии  определим по формулам:

Вычислим все необходимые суммы. Результаты расчетов представим в виде таблицы:

Таблица 1.10

Получаем:

Тогда

Параметры линейного регрессионного уравнения

Соответственно параметры гиперболического регрессионного уравнения

Следовательно, параметры гиперболической регрессии имеет вид:

Найдем коэффициент нелинейной парной корреляции (индекс корреляции) , являющийся мерой тесноты связи между переменными  и  Для этого воспользуемся формулой:

где  значение регрессионной функции в точке

Таблица 1.11

Следовательно, индекс корреляции для гиперболической модели

По индексу корреляции можно сделать вывод, что гиперболическая связь между  и  весьма сильная, так как

Коэффициент детерминации  позволяет сделать вывод о том, что гиперболическое уравнение  вполне адекватно описывает зависимость между  и  (вариация  на 92,34 % объясняется влиянием показателя ).

Для нахождения средней относительной ошибки аппроксимации составим расчетную таблицу:

Таблица 1.12

В нашем случае

Таким образом, в среднем расчетные значения гиперболической модели  отклоняются от фактических на 2,63 %.

Проверим значимость  с доверительной вероятностью  (то есть на уровне значимости ) с помощью  критерия Фишера.

В нашем случае

Оказалось, что , следовательно, гипотеза об отсутствии нелинейной связи неверна, и соответственно индекс корреляции  является значимым.

Таким образом, найденное гиперболическое уравнение  в целом довольно точно описывает зависимость между среднедневной заработной платой работающего и долей расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах). При этом характеристики гиперболической модели указывают, что она несколько хуже линейной функции описывает эту зависимость.

Ответ: а) линейная модель   

б) степенная модель   

в) показательная модель   

г) гиперболическая модель   

все модели довольно точно описывает зависимость между среднедневной заработной платой работающего и долей расходов на покупку продовольственных товаров (в общих расходах); при этом самыми точными являются линейная модель  и показательная модель  

модель аппроксимация прогноз точность

Задание № 2

Вариант № 1

По данным таблицы 2.1 требуется:

1. Построить линейное уравнение парной регрессии  от .

. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

. Выполнить прогноз заработной платы  при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107 % от среднего уровня.

. Оценить точность прогноза, рассчитать ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Таблица 2.1

Решение:

) В соответствии с методом наименьших квадратов уравнение линейной регрессии имеет вид:

где

 параметры уравнения парной линейной регрессии.

При этом

- эмпирический корреляционный момент случайных величин

среднее квадратическое отклонение случайной величины ,

 дисперсия случайной величины ,

выборочное среднее значение случайной величины ,

- выборочное среднее значение случайной величины ,

- выборочное среднее значение случайной величины ,

выборочное среднее значение случайной величины ,

 - объем выборки.

В нашем случае  Вычислим все необходимые суммы. Результаты расчетов представим в виде таблицы:

Таблица 2.2

Получаем:

Тогда

Параметры линейного регрессионного уравнения:

Следовательно, уравнение линейной регрессии  имеет вид: . Значит с увеличением  на 1  увеличивается в среднем на 0,857.

Таким образом, с увеличением среднедушевого прожиточного минимума в день на 1 руб. среднедневная заработная плата увеличивается в среднем на 0,857 руб.

2) Найдем линейный коэффициент парной корреляции , являющийся мерой тесноты связи между переменными  и . Для этого воспользуемся формулой:

где  среднее квадратическое отклонение случайной величины ,

 дисперсия случайной величины ,

выборочное среднее значение случайной величины .

Итак,

Значит линейный коэффициент парной корреляции:

Коэффициент корреляции характеризует зависимость  и  и меняется от -1 до 1.

По коэффициенту корреляции можно сделать вывод, что линейная связь между  и  прямая (так как ) и очень сильная, так как

Коэффициент детерминации  позволяет сделать вывод о том, что линейной уравнение  вполне адекватно описывает зависимость между  и  (вариация  на 73,3 % объясняется влиянием показателя ).

Точность модели характеризуется величиной отклонения расчетных значений от фактических. Средняя относительная ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических, определяется по формуле:

где объем выборки,

 значение регрессионной функции  в точке .

Составим расчетную таблицу:

Таблица 2.3

В нашем случае

Таким образом, в среднем расчетные значения линейной модели

 отклоняются от фактических на 2,1 %.

) Оценим статистическую значимость параметров регрессии и корреляции

Проверим значимость  с доверительной вероятностью  (то есть на уровне значимости ) с помощью  критерия Фишера.

Наблюдаемое (фактическое) значение  критерия Фишера определяется как:

Критическое значение  критерия Фишера определяется как

 по таблице критических точек  распределения Фишера - Снедекора, где

 число степеней свободы большей дисперсии,

 число степеней свободы меньшей дисперсии,

( число факторных переменных, определяющих модель).

При  гипотеза об отсутствии линейной связи (то есть о том, что ) отклоняется, и соответственно коэффициент парной корреляции  является значимым.

При  гипотеза об отсутствии связи линейной верна, и соответственно коэффициент парной корреляции  является незначимым.

В нашем случае

Оказалось, что , следовательно, гипотеза об отсутствии линейной связи неверна, и соответственно коэффициент парной корреляции

 является значимым.

Таким образом, найденное линейное уравнение  в целом довольно точно описывает зависимость между среднедневной заработной платой и среднедушевым прожиточным минимумом в день.

Значимость параметра  линейного уравнения парной регрессии  проверим с помощью критерия Стьюдента.

Наблюдаемое (фактическое) значение  критерия Стьюдента определяется как:

где число фактических наблюдений (в нашем случае );

 значение регрессионной функции  в точке .

Критическое значение  критерия Стьюдента определяется как

 по таблице критических точек распределения Стьюдента.

При  гипотеза о равенстве нулю параметра  линейного уравнения парной регрессии  отклоняется, и соответственно параметр  является значимым.

При  параметр  линейного уравнения парной регрессии  является незначимым, его можно считать равным нулю.

Вычислим

и

для чего составим расчетную таблицу:

Таблица 2.4

Таким образом,

В нашем случае

Оказалось, что , следовательно, гипотеза о равенстве нулю параметра  линейного уравнения парной регрессии  отклоняется, и соответственно параметр  является значимым.

Значимость параметра  линейного уравнения парной регрессии  также проверим с помощью критерия Стьюдента.

Наблюдаемое (фактическое) значение  критерия Стьюдента определяется как:

где число фактических наблюдений (в нашем случае );

 значение регрессионной функции  в точке .

Критическое значение  критерия Стьюдента определяется как

 по таблице критических точек распределения Стьюдента.

При  гипотеза о равенстве нулю параметра  линейного уравнения парной регрессии  отклоняется, и соответственно параметр  является значимым.

При  параметр  линейного уравнения парной регрессии  является незначимым, его можно считать равным нулю.

Ранее было найдено

В нашем случае

Оказалось, что , следовательно, параметр  линейного уравнения парной регрессии  является незначимым.

4) Выполним прогноз заработной платы  при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума , составляющем 107 % от среднего уровня, то есть при

Прогнозное значение заработной платы определим по регрессионному уравнению , подставив в него прогнозное значение среднедушевого прожиточного минимума:

) Оценим точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Определим доверительный интервал прогноза для уровня значимости

Средняя квадратическая ошибка прогноза находится по формуле:

где планируемая (прогнозируемая) величина среднедушевого прожиточного минимума (в нашем случае );

 дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных;

 число фактических наблюдений (в нашем случае );

 число нормальных уравнений, связывающих независимые наблюдения случайной величины (в нашем случае );

 значение регрессионной функции в точке , то есть значение заработной платы, рассчитанное по регрессионному уравнению

.

В нашем случае

Значит средняя квадратическая ошибка прогноза

Предельная ошибка прогноза определяется по формуле:

,

где критическое значение  критерия Стьюдента, определяется как  по таблице критических точек распределения Стьюдента;

 средняя квадратическая ошибка прогноза.

Следовательно, в нашем случае предельная ошибка прогноза

Значит, доверительный интервал прогноза:

Таким образом, с вероятностью  можно утверждать, что если среднедушевой прожиточный минимум составит  руб. (107 % от среднего уровня), то среднедневная заработная плата будет заключена в пределах от 136,915 (руб.) до 159,507 (руб.).

Ответ:1)

)  

)  является значимым; параметр  является незначимым, а параметр  является значимым;

)

) с вероятностью  ,

Список использованной литературы

. Елисеева И.И., Курышева С.В., Горденко Н.М. и др. Эконометрика/Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Изд-во «Финансы и статистика», 2001.

. Доугерти К. Введение в эконометрику. - М.: Изд-во Финансы и статистика, 1999.

. Магнус Я.Р., Катышев П. К., Пересецкий А.А. Эконометрика: Начальный курс. - М.: Изд-во «Дело», 1998.