Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля

Вычисление радиальных функций Матье-Ханкеля

Вычисление радиальных функций матье-ханкеля

Н.И. Волвенко, V курс, Институт математики и компьютерных наук ДВГУ, Т.В. Пак - научный руководитель, доцент, к.ф.-м.н., и.о. зав. кафедрой КТ

Функции Матье, в отличие от широко известных специальных функций, таких как полиномы Лежандра, функции Бесселя и Неймана, изучены ещё недостаточно полно. Почти все используемые методы расчёта связаны с разложением в ряды по более простым цилиндрическим и т.п. функциям. Недостаток таких методов в том, что они достаточно громоздки и имеют ограниченную применимость.

Функции Матье возникают при разделении переменных в уравнении Гельмгольца:

, (1)

где - некоторая вещественная положительная константа и - оператор Лапласа.

Эллиптические координаты , допускающие разделение переменных связаны с декартовыми: , .

Полагая  в методе разделения переменных, получаем уравнения:

, ,

где  - константа разделения. Эти уравнения являются вариантами уравнений Матье.

Дифференциальное уравнения Матье имеет вид

, (2)

где обычно переменная  имеет вещественное значение, а  - заданный вещественный ненулевой параметр.

Собственные значения  и граничные условия

 (3)

соответствуют чётным функциям Матье , а собственные значения  и граничные условия

 (4)

нечётным функциям Матье

В силу свойств симметрии уравнение (2) имеет 4 типа периодических решений, называемых функциями Матье 1-ого рода: чётную π-периодическую, чётную 2π-периодическую, нечётную 2π-периодическую, нечётную π-периодическую функции, которые чаще всего обозначаются таким образом: , , , .

Собственные значения , отвечающие функциям , , , , обозначаются через , , , .

Модифицированное уравнение Матье

 (5)

получается из уравнения Матье (2) подстановкой . В зависимости от того, будет в (5) или , это уравнение имеет либо решение , либо решение , которые являются соответственно чётной и нечётной функциями от ξ.

Функции, являющиеся решениями уравнения (5), называются радиальными функциями Матье (РФМ).

Различают РФМ 1, 2, 3 и 4 рода: , , , .

Вычисление функций Матье I рода

Радиальные функции Матье первого рода являются решениями ОДУ второго порядка

,  (6)

удовлетворяющие в нуле условию

, если  (7)

, если

И на бесконечности условию

~,  (8)

где - задано, а  () - собственные значения задачи (2), (3), (4),

Параметр  используются для различия случаев использования чётного или нечётного номера собственного значения для π и 2π периодических собственных функций:

Введём замену переменных:

 (9)

 (10)

Здесь  - "масштабирующая" функция, положительная на , удовлетворяющая условию  при , её выбор находится в нашем распоряжении.

Подставляя (9), (10) в исходное уравнение (6) задачи для  и :

 (11)

 (12)

где  и .

Для совместного решения задач Коши для  и  используется следующий приём. Функцию ищем в точках . На каждом из отрезков  вспомогательные функции  находятся, как решение задач Коши

 (13)

где .

Поскольку для любых решений  и , уравнений (12) и (13) справедливо соотношение , получаем рекуррентные формулы «назад» для вычисления , ,

, , (14)

причём .

Итак, краткий алгоритм решения задачи (6)-(8) состоит в следующем:

.        Решаются совместно задачи Коши (11), (12) запоминая в точках разбиения отрезка  величины , , ;

.        Полагая , по формуле (14) вычисляем , ;

.        По формуле (10) вычисляем функции , ;

.        Из (9) и (10) получаем выражение для производной функции

.

, где .

Вычисление функций Матье III рода

Волновая радиальная функция Матье-Ханкеля третьего рода является решением обыкновенного дифференциального уравнения второго ворядка на полубесконечном интервале:

, . (15)

Условие на бесконечности

~, . (16)

Для уравнения (15) условие (16) эквивалентно условию:

,

и при достаточно больших  линейному соотношению:

, .

 (17)

Решение задачи (17) существует, единственно и при достаточно больших  представимо асимптотическим рядом .

Рассмотрим алгоритм нахождения функций . Для их вычисления нужно перенести граничное условие

,

где , справа налево от точки  до точки .

Воспользуемся вариантом ортогональной дифференциальной прогонки.

По всему отрезку  переносим соотношение

,

потребовав выполнение условия для всех , , где  и  удовлетворяют системе дифференциальных уравнений 1-ого порядка

.

,

где .

Функции Матье 2-ого рода вычисляются по формуле:

.

функция матье дифференциальное уравнение

Описанные алгоритмы вычисления радиальных функций эллиптического цилиндра опробованы в широком диапазоне изменения параметров. Точность результатов определяется точностью используемого метода Рунге-Кутта для решения соответствующих задач Коши.

Литература

1.  Абрамов А.А., Дышко А.Л., Пак Т.В. и др. Численные методы решения задач на собственные значения для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями. - Третья конференция по дифференциальным уравнениям и приложениям. - Тезисы докладов. Руссе, Болгария, 1985. - с.4.

2.      Миллер У. мл. Симметрия и разделение переменных / Пер. с англ. - М.: Мир, 1981. - 342 с.

.        Справочник по специальным функциям с формулами, графиками таблицами. / Под редакцией М. Абрамовица, И. Стигана. - М. - 1979. - 832 с.:ил.