Синтез фильтрующих цепей

Синтез фильтрующих цепей

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Курсовая работа

по дисциплине

Основы теории цепей

г. Новосибирск 2011 г.

1. Основные сведения из теории фильтрующих цепей

Электрические фильтры - это линейные четырехполюсники, обладающие избирательными свойствами: они предназначены для выделения из состава сложного электрического колебания частотных составляющих определенного спектра частот, лежащего в полосе пропускания (ПП), и подавления тех составляющих, частоты которых лежат за пределами ПП, т. е. в полосе непропускания (ПН) или полосе задерживания (ПЗ). Между этими полосами находится переходная область. Для ФНЧ полоса пропускания лежит диапазоне частот , а непропускания - в диапазоне для ПФ полоса пропускания  располагается между полосами непропускания

Требования к электрическим характеристикам фильтров задаются в виде допустимых пределов изменения этих характеристик. Так ослабление в ПП не должно превышать максимально допустимого ослабления , а в ПН не должно быть ниже значения A_min .Требования к другим характеристикам фильтров здесь не рассматриваются.

Синтез (расчет) фильтров состоит из двух этапов: этапа аппроксимации и этапа реализации. На первом этапе по заданным A_min и А_mаx в ПП и ПН формируется передаточная функция фильтра, т. е. математическое описание цепи, которая удовлетворяет указанным выше требованиям. На втором этапе создают схему цепи и определяют значения ее элементов по полученной передаточной функции. Оба этапа хорошо разработаны применительно к синтезу ФНЧ. Что касается синтеза других типов фильтров: полосовых, заграждающих (режекторных), фильтров верхних частот, - то возможны различные варианты расчета. Один из них основан на том, что требования к заданному фильтру пересчитываются в требования к его НЧ-прототипу на основании принципа преобразования частоты. Рассчитывается НЧ-прототип по методике синтеза ФНЧ. Затем полученная схема НЧ-прототипа преобразуется в схему заданного фильтра, но только в случае пассивных фильтров [1÷3]. В случае активных фильтров этап реализации осуществляется другим методом.

2. Синтез пассивных полосовых фильтров

Этап аппроксимации. Задано: частоты f_п1 и f_п2 границы ПП и частота f_з2 - граница ПН справа; ослабление A_min и А_mах =ΔА Используя понятие центральной частоты или средней геометрической частоты ПП и ПН.

, (2.1)

находим значение f_з1 - граничной частоты ПН слева. Требования к характеристикам ПФ пересчитываются в требования к его НЧ-прототипу:

 (2.2)

при тех же значениях A_min и А_mах (рис. 2.1, а). Зная требования к ослаблению ФНЧ можно пересчитать их в требования к АЧХ ФНЧ или, как это принято в теории фильтров, в требования к квадрату АЧХ  . Для унификации расчетов вместо угловой частоты ω вводят понятие нормированной частоты , где ω_н - нормирующая частота. Обычно в качествеω_н выбирают граничную частоту ПП ФНЧ. Тогда

 (2.3)

При синтезе ФНЧ используются универсальные соотношения [1]:

; (2.4)

; (2.5)

где - функция фильтрации;  - коэффициент неравномерности ослабления в ПП. Если в качестве  используются полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди последних наиболее широкое применение нашли фильтры Баттерворта и Чебышева.

У фильтров Баттерворта

от,

где m - порядок фильтра. Характеристика , т. е. квадрата коэффициента передачи для таких фильтров разного порядка m приведена на рис. 2.3, а (кривая 1 _ характеристика идеального ФНЧ, кривая 2 для m= 6, кривая 3 m=2), Ω=1 все кривые проходят через точку, зависящую от 𝜀. Из анализа рисунка видно, что 𝜀 действительно определяет неравномерность коэффициента передачи ФНЧ в ПП. Если в (2.4) положить, а  то после преобразований получим передаточную функцию фильтра в виде

 (2.6)

где  У фильтров Чебышева функция фильтрации  для области нормированных частот . Характеристика квадрата коэффициента передачи при разных m (кривая 1 - характеристика идеального ФНЧ, кривая 2 для m= 4, кривая 3 для m= 2). Анализ кривых показывает, что полином Чебышева в интервале  принимает экстремальные значения(min или mах) m+ 1 раз. Или по иному: порядок фильтра нижних частот Чебышева по кривой , или по любой другой частотной характеристике фильтра, определяется удвоенным количеством периодов колебаний в ПП, рассчитанном на уровне полосы пропускания.

Граница полосы пропускания по частоте - это Ω=1; уровень полосы пропускания - это 1/(1+. Передаточная функция фильтра Чебышева описывается тем же выражением, но коэффициент

Анализ кривых показывает, что: - чем выше порядок фильтра, тем выше его избирательность за счет уменьшения переходной области; - при одинаковом порядке т избирательность фильтров Чебышева выше избирательности фильтров Баттерворта; - у фильтров Чебышева ФЧХ в полосе пропускания имеет нелинейный характер за счет волнового характера изменения  в ПП. Итак, этап аппроксимации при синтезе ПФ заканчивается получением функции Н(р) для НЧ-прототипа. Этап реализации. Если фильтр со стороны зажимов 1-1' рассматривать как двухполюсник, образованный реактивным четырехполюсником и нагрузкой R_и; то, можно оперировать понятием входного сопротивления Z_BХ.1(р) двухполюсника со стороны зажимов 1-1':

, (2.7)

где  - коэффициент отражения, характеризующий несогласованность между сопротивлениями R_r и Z_Bx.1 (P), Если известно Z_вx.1(P), то двухполюсник можно реализовать, например, методом Дарлингтона [1, 2]. Один из возможных вариантов реализации схемы названным методом сводится к следующему. Осуществляют нормирование Z_Bx.1 по сопротивлению, выбирая в качестве нормирующего, сопротивление R_r, а коэффициент отражения записывают через табулированный полином

Тогда (2.7) записывают как

, (2.8)

Например, для фильтров Чебышева третьего порядка сам полином Чебышева равен:

 (2.9)

а полином h(p) будет:

. (2.10)

Подставляя h(р)из (2.10) и v(р) из (2.6) в (2.8), записывают Z_BX.1 (p)в виде цепной дроби и по ней составляют схему двухполюсника, т. е. LC-фильтра нижних частот, нагруженного на сопротивление R_и. Элементы этой схемы представлены величинами, нормированными по частоте и по сопротивлению. Поэтому следующей операцией pacчeтa является операция денормирования значения элементов НЧ-прототипа. После этого, используя формулы преобразования частоты, переходят от схемы НЧ-прототипа к схеме полосового фильтра. Элементы схемы ПФ, очевидно, будут иметь сразу реальные значения. 

Синтез активных полосовых фильтров

АRС-фильтры представляют собой комбинацию пассивной RС-цепи и активного элемент. В качестве последнего чаще всего используются операционные усилители часто с двумя входами - инвертирующим и неинвертируюшим. В схемах АRС-филыров обязательно имеется обратная связь. Известно (1;2),что передаточная функция любой активной цепи с обратной связью записывается как

,

где Н_ус(р) и Н_ас(р) передаточные функции цепи прямого усиления и цепи обратной связи соответственно. Знаменатель Н(р) - это полином, например второй степени. Корни его, т, е. полюсы Н(р) могут быть в том числе и комплексно-сопряженными. Последнее означает, что АRС-цепь эквивалентна пассивной LС-цепи, а т. к. LС-цепь обладает избирательными свойствами, то и АRС-цепь тоже может обладать избирательными свойствами, т, е. является фильтром. Синтез АRС-фильтров, как и пассивных LС-фильтров, состоит из двух этапов: этапа аппроксимации и этапа реализации. Этап аппроксимации в обоих случаях одинаков. Этап реализации для АRС-фильтров - отличается от LС-реализаuии.

Этап реализации. Вначале осуществляют переход от передаточной функции НЧ-прототипа, которая имеет вид (2.6), к передаточной функции полосового фильтра. Один из возможных вариантов такого перехода основан на использовании формулы пересчета полюсов НЧ-прототипа в полюсы ПФ:

 (2.11)

где  ; - полюсы передаточной функции НЧ-прототипа;  - находится по (2.1). Согласно (2.11) одной паре комплексно-сопряженных полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа соответствует две пары комплексно-сопряженных полюсов денормированной передаточной функции полосового фильтра, Одному вещественному полюсу  нормированной Н(р) НЧ-прототипа (2.6) соответствует одна пара комппексно-сопряженных полюсов вида  денормированной Н(р) полосового фильтра. В результате общий порядок ПФ удваивается по сравнению с порядком НЧ-прототипа. Передаточную функцию ПФ удобно представлять произведением сомножителей второго порядка Н₁ (р), Н₂(р), Нз(р) и т. д. Каждый из этих сомножителей реализуется в виде активного RС-звена второго порядка, а полученные звенья соединяются каскадно, образуя полную схему ПФ. Звенья ARСфильтров в общем случае являются типовыми (одинаковыми) для фильтров, имеющих одинаковое расположение полосы пропускания на шкале частот.

Исходные данные

На входе полосового фильтра действуют периодические прямоугольные радиоимпульсы

Длительность импульсов t_и = 40 мкс;

период несущей частоты T_н = 10 мкс;

период следования импульсов T_и = 113 мкс.

Сопротивление генератора импульсов и сопротивление нагрузки R_г = R_н = 600 Ом.

Амплитуда несущей U_mн = 14 В.

Максимальное допустимое ослабление в полосе пропускания фильтра A_max = ΔA = 3 дБ;

полное ослабление на границах полос непрозрачности A_пол = 32 дБ.

фильтрующий цепь частотный радиоимпульс

3. Расчёт амплитудного спектра радиоимпульсов

Рассчитаем частоту несущей:

Частоты нулей огибающей спектра:

Максимальное напряжение огибающей, соответствующее несущей частоте f_н:

Частота следования импульсов:

f_и = 1/T_и = 1/113·10^-6 = 8850 Гц = 8,85 кГц.

Частоты гармоник спектра:

f₁ = f_н +f_и = 100 + 8,85 = 108,85 кГц; f₂ = f_н +2·f_и = 100 + 2·8,85 = 117,7

кГц;

f₃ = f_н +3·f_и = 100 + 3·8,85 = 126,55 кГц; f₄ = f_н +4·f_и = 100 + 4·8,85 =

f₅ = 100 + 5·8,85 = 144,25 кГц;

f_-1 = f_н -f_и = 100 - 8,85 = 91,15 кГц; f_-2 = f_н -2·f_и = 100 - 2·8,85 = 82,3 кГц;

f_-3 = f_н -3·f_и = 100 - 3·8,85 = 73,45 кГц; f_-4 = f_н -4·f_и = 100 - 4·8,85 = 64,6

кГц;

f_-5 = f_н -5·f_и = 100 - 5·8,85 = 55,75 кГц.

Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, строим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот рис. 2

Рис. 2. Амплитудный спектр радиоимпульса.

4. Формирование требований к полосовому фильтру

Учитывая то, что на границах основного лепестка огибающей 75 и 125 кГц спектральных составляющих нет нулю, примем за эффективную часть спектра, которую нужно выделить полосовым фильтром, диапазон частот

f_П1 = f_-2 = 82,3 кГц; f_П2 = f₂ = 117,7 кГц.

Граничную частоту полосы непропускания выбираем равной частоте первой гармоники, находящейся после частоты 125 кГц:

f_з2 = f₃ = 126,55 кГц.

Центральная частота полосы пропускания:

Нижняя граничная частота полосы непропускания:

Максимально допустимое ослабление фильтра:

Рассчитываем амплитуды 2-й и 3-й гармоник.

Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему:

Аппроксимация передаточной функции должна быть выполнена с помощью полинома Чебышева.

5. Формирование передаточной функции НЧ-прототипа

Граничные частоты ПП и ПН НЧ-прототипа:

f_П.НЧ = f_П2 - f_П1 = 117,7 - 82,3 = 35,4 кГц:

f_З.НЧ = f_З2 - f_З1 = 126,55-76,54 = 50,01 кГц.

Значения нормированных частот:

Ω_П = 1; Ω_З = f_З.НЧ / f_П.НЧ = 50,01/35,4 = 1,41.

Коэффициент неравномерности ослабления фильтра в полосе пропускания:

Порядок фильтра Чебышева находится также из рассмотрения (2.5), но при , т. е. ослабление рассматривается в полосе непропускания. А в ПН полином Чебышева , поэтому:

После подстановки в (3.5) исходных данных и вычислений получим m = 2,87. Расчетное значение т необходимо округлить в большую сторону до целого числа. В данном примере принимает m = 3.

Передаточная функция НЧ-прототипа:

ν(p) = (p - p₁) (p - p₂) (p - p₃) = (p - σ₁)·(p² - 2σ₂p + σ₂² + Ω₂²)=

= (p+0,29862)(p²+2·0,14931p+0,14931²+0,903813²)

. Реализация LC-прототипа

Входное сопротивление четырёхполюсника:

где для фильтров Чебышева третьего порядка:

h(p) = p³+0,75p

Проводимость нагруженного четырёхполюсника:

Разложим Y_вх.1(p) в непрерывную дробь. Делим числитель на знаменатель

_2p³+0,59724p²+1,678345p+0,2506 | 0,59724p²+0,178345p+0,2506

p³+0,59724p²+0,839194 3,34874p

,839151p+0,2506 (остаток)

0,59724p²+0,178345p+0,2506 | 0,839151p+0,2506

,59724p²+0,178 356 0,711719p

,2506

Полученной дроби будет соответствовать следующая схема:

Нормированные значения элементов схемы:

R_Г.Н. = R_Н.Н. = 1;

C_1Н = 3,3486; L_2Н = 0,7117; C_3Н = 3,3487.

Значения ёмкостей, индуктивности и сопротивлений:

7. Реализация пассивного полосового фильтра

Между частотами НЧ-прототипа и частотами фильтра ω_пф существует соотношение:

ω₀ = 2πf₀ = 2·3,14·98,42·10³ = 6,184·10⁵ рад/с.

НЧ-прототипу соответствует фильтр, схема которого приведена на рисунке ниже

R_Г = R_Н = 600 Ом.

8. Расчёт полюсов активного RC-фильтра

Δω = 2π(f_П2 - f_П1) = 2·3,14·(117,7-82,3)·10³ = 222424 рад/с;

Δω/2 = 222424/2 = 111212 рад/с;

ω₀² = (6,184·10⁵)² = 3,824·10¹¹ рад²/с²;

Полюсы полосового ARC-фильтра:

p₃ = -4326-j636017; p₄ = -1006+j615915;

₅ = -4326+j636017; p₆ = -1006-j615915;

9. Формирование передаточной функции ARC-фильтра

Передаточная функция ARC-фильтра строится в виде произведения передаточных функций трёх звеньев 2-го порядка:

Коэффициенты в знаменателе:

b_i1 = 2α_i; b_i0 = α_i²+ω_i²;₁₁ = 2·33210 = 66420 ; b₁₀ = (33210)²+(617168)² = 3,819·10¹¹;₂₁ = 2·4326 = 8652 ; b₂₀ = (4326)²+(636017)² = 4,045·10¹¹;₃₁ = 2·1006 = 2012 ; b₃₀ = (1006)²+(615915)² = 3,793·10¹¹.

. Расчёт элементов схемы фильтра

Схема полосового фильтра состоит из трёх однотипных фильтров второго порядка на операционных усилителях. Схема одного звена фильтра:

Передаточная функция звена:

Рассчитываем элементы схемы для каждого звена

Звено 1

Принимаем C₃ = C₄ = 1 нФ = 1·10^-9 Ф.

Звено 2

Принимаем C₃ = C₄ = 1 нФ = 1·10^-9 Ф.

Звено 3

₃ = C₄ = 1 нФ = 1·10^-9 Ф.

11. Расчёт частотных характеристик фильтра

Рассчитываем затухание фильтра A(f). Заменяем в передаточной функции H(p) p на jω, получаем частотную передаточную функцию:

ω = 2πfРассчитаем значения A(f) и построим график функций.

Кривая затухания фильтра в полосе частот

Принципиальная схема фильтра

Использованная литература

1. Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. - М.: Радио и связь, 1998.

. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 1988.

. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и связь, 1986.

. Настоящий курс лекций «Основы теории цепей» 3 семестр. СибГУТИ.

. Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. - М.: Радио и связь, 1983 г.