Простейшие системы массового обслуживания
Введение
Теория систем массового обслуживания (СМО) посвящена
разработке методов анализа, проектирования и рациональной организации систем,
относящихся к различным областям деятельности, таким как связь, вычислительная
техника, торговля, транспорт, военное дело. Несмотря на все свое разнообразие,
приведенные системы обладают рядом типичных свойств, что позволяет изучать
такие системы, используя обобщенные математические модели.
Задача анализа СМО заключается в определении ряда показателей
ее эффективности, которые можно разделить на следующие группы:
- показатели, характеризующие систему в
целом: число n
занятых каналов обслуживания, число обслуженных (λb), ожидающих обслуживание
или получивших отказ заявок (λc) в единицу времени и
т.д.;
- вероятностные характеристики: вероятность
того, что заявка будет обслужена (Pобс) или получит отказ в обслуживании (Pотк), что все приборы
свободны (p0) или определенное число их занято(pk), вероятность наличия
очереди и т.д.;
- экономические показатели: стоимость
потерь, связанных с уходом не обслуженной по тем или иным причинам заявки из
системы, экономический эффект, полученный в результате обслуживания заявки, и
т.д. Необходимость в использовании экономических показателей связана с
противоречивостью влияния выбора ряда показателей на свойства системы.
Часть технических показателей (первые две группы)
характеризуют систему с точки зрения потребителей, другая часть - характеризует
систему с точки зрения её эксплуатационных свойств. Выбор показателей,
улучшающих эксплуатационные свойства системы, ухудшает систему с точки зрения
потребителей и наоборот. Использование экономических показателей позволяет
разрешить указанное противоречие и оптимизировать систему с учетом обеих точек
зрения.
В ходе выполнения курсового проекта изучаются три типа
простейших систем массового обслуживания: системы с отказами и два типа
смешанных систем - с ограничениями на время пребывания в очереди и с
ограничениями на длину очереди. Это системы разомкнутого типа, бесконечный
источник заявок в систему не входит. Входной поток заявок, потоки обслуживания
и ожидания этих систем являются простейшими, то есть пуассоновскими
стационарными потоками.
Многоканальная система с отказами.
Система состоит из одного узла обслуживания, содержащего n
каналов (приборов), каждый из которых может обслуживать только одну заявку.
Все каналы обслуживания одинаковой производительности и для
модели системы неразличимы. Если заявка поступила в систему и застала свободным
хотя бы один канал, она мгновенно начинает обслуживаться. Если в момент
поступления заявки в систему все каналы заняты, то заявка покидает систему не
обслуженной.
Смешанные системы
·
Система
с ограничением на длину очереди состоит из накопителя (очереди) и узла
обслуживания. Заявка покидает очередь и уходит из системы, если в накопителе к
моменту ее появления уже находятся m заявок (m - максимально возможное число
мест в очереди). Если заявка поступила в систему и застала свободным хотя бы
один канал обслуживания, она мгновенно начинает обслуживаться. Если в момент
поступления заявки в систему все каналы заняты, то заявка не покидает систему,
а занимает место в очереди. Заявка покидает систему не обслуженной, если к
моменту её поступления заняты все места в очереди. Для каждой системы
определяется дисциплина очереди. Это система правил, определяющих порядок
поступления заявок из очереди в узел обслуживания. Если все заявки и каналы
обслуживания равнозначны, то чаще всего действует правило «кто раньше пришел,
тот раньше обслуживается».
·
Система
с ограничением на длительность пребывания заявки в очереди состоит из
накопителя (очереди) и узла обслуживания. От предыдущей системы она отличается
тем, что заявка, поступившая в накопитель (очередь), может ожидать начала
обслуживания лишь ограниченное время Тож (чаще всего это случайная
величина). Если её время Тож истекло, то заявка покидает очередь и
уходит из системы не обслуженной.
Для каждой из рассмотренных систем приводится список формул
для расчета показателей эффективности.
Сравнение систем проводится на основе сопоставления их
показателей эффективности, характеризующих изучаемые системы, как с точки
зрения потребителей, так и с точки зрения их эксплуатационных свойств.
Показатели, характеризующие систему с точки зрения
потребителей:
· 
- вероятность обслуживания заявки,
· 
- время пребывания заявки в системе.
Показатели, характеризующие систему с точки зрения её
эксплуатационных свойств:
· 
- абсолютная пропускная способность системы (среднее число
обслуженных заявок в единицу времени),
· - относительная пропускная способность системы,
· kз - коэффициент загрузки системы.
Часто мероприятия, осуществляемые для повышения показателей
эффективности одной группы, приводят к ухудшению показателей другой группы.
Чтобы решить указанное противоречие используют экономические показатели,
характеризующие систему одновременно с обеих точек зрения. В рассматриваемой
работе в качестве основного такого показателя принята величина С.- средняя
стоимость обслуживания одной заявки в единицу времени.
Первый
этап. Система с отказами
Система с отказами 
|
  Результирующие показатели
|
|
n 
Cобщ
ед. ст.С
ед. ст.
|
ед. вр.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
3,65
|
2,35
|
3,65
|
0,24
|
2,76
|
2,71
|
0,98
|
0,92
|
0,61
|
1,22
|
|
2
|
3,32
|
2,68
|
3,32
|
0,51
|
2,49
|
2,63
|
1,05
|
0,83
|
0,54
|
1,11
|
|
3
|
3,10
|
2,90
|
3,10
|
0,66
|
2,34
|
2,57
|
1,09
|
0,78
|
0,52
|
1,04
|
|
4
|
3,10
|
2,90
|
3,10
|
0,66
|
2,34
|
1,09
|
0,78
|
0,52
|
1,04
|
|
5
|
3,28
|
2,72
|
3,28
|
0,54
|
2,46
|
2,62
|
1,06
|
0,82
|
0,55
|
1,09
|
|
6
|
3,28
|
2,72
|
3,28
|
0,54
|
2,46
|
2,62
|
1,06
|
0,82
|
0,55
|
1,09
|
|
К вычислению общей стоимости обслуживания
заявок в единицу времени
|
n 
ед. стоим.
ед. стоим.
ед. стоим.
ед. стоим.Cобщ
|
ед. стоим.
|
|
|
|
|
|
|
1
|
1,83
|
0,47
|
0,36
|
0,048
|
2,71
|
|
2
|
1,66
|
0,54
|
0,33
|
0,102
|
2,63
|
|
3
|
1,55
|
0,58
|
0,31
|
0,132
|
2,57
|
|
4
|
1,55
|
0,58
|
0,31
|
0,132
|
2,57
|
|
5
|
1,64
|
0,54
|
0,33
|
0,108
|
2,62
|
|
6
|
1,64
|
0,54
|
0,33
|
0,108
|
2,62
|
· Cобщ - общая (суммарная)
стоимость обслуживания всех заявок в единицу времени.
· 
- среднее число занятых и свободных
каналов, соответственно.
· - среднее число заявок, находящихся в очереди (в накопителе).
· λс - интенсивность потока не обслуженных заявок (среднее число
заявок, получивших отказ в обслуживании, в единицу времени).
· ск - стоимость эксплуатации одного канала.
· спк - стоимость простоя одного канала.
· соч - стоимость эксплуатации одного места в накопителе.
· сотк - стоимость убытков, связанных с уходом заявки из
системы, получившей отказ в обслуживании.
Весовые коэффициенты для всех вариантов задания для системы с
отказами и обоих типов смешанных систем:
ск = 0,5
, спк = 0,2, соч = 0,1
,
сотк = 0,2 ед. стоим.∙ед. врем.
· Ограничения, вводимые для всех вариантов
задания:
- число каналов обслуживания не должно быть больше шести.
- среднее время пребывания заявки в смешанных системах не должно
превышать среднее время пребывания заявки в оптимальной системе с отказами
больше, чем на 25% (рассматриваемое условие совместно с преподавателем может
быть откорректировано).
Требуется определить число 
каналов обслуживания, обеспечивающее в системе с отказами
наименьшее значение параметра C - средней
стоимости обслуживания одной заявки в единицу времени.
В соответствии с вариантом задания определены параметры системы λ
и 
. Задаваясь значениями n (число каналов обслуживания) от единицы до шести, вычисляются
финальные вероятности и в соответствии с ними - показатели эффективности
системы. Результаты вычислений представляются в виде таблиц, формы которых
приведены в прил. 2, и в виде графиков функций С = С(n), = (n), 
, = (n), построенных в масштабе в зависимости от
n. В качестве оптимального числа каналов следует принять такое значение n, при котором принимает наименьшее значение средняя
стоимость С обслуживания одной заявки в единицу времени (с учетом ограничения ). Следовательно, либо точка минимума на графике функции С
= С(n), либо = 6, если С = С(n) - монотонно
убывающая функция.
Запоминаются значения основных показателей эффективности
оптимальной СМО с отказами:
, 
= (), 
= 
(), 
= ().
Вычисляется допустимое для смешенных СМО значение времени
пребывания заявки в системе 
- среднее число заявок в системе с отказами равно среднему числу
обслуживаемых заявок.
смешанный массовый
обслуживание отказ
Второй
этап. Смешанная система
Система с ограничением на время пребывания
в очереди 
Результирующие
(
)
Cобщ
ед. ст.С
ед. ст.
|
ед. вр.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данные системы с отказами
|
|
 3,652,353,650,242,762,710,980,920,611,22
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Данные системы с ограничением на время
пребывания в очереди
|
|
1,33
|
0,98
|
0,02
|
0,04
|
2,28
|
0,72
|
0,95
|
1,32
|
0,24
|
0,98
|
0,34
|
|
2,66
|
0,88
|
0,12
|
2,34
|
0,66
|
1,03
|
1,56
|
0,22
|
0,44
|
1,17
|
|
3,99
|
0,62
|
0,38
|
0,64
|
2,55
|
0,45
|
0,95
|
2,1
|
0,15
|
0,20
|
0,83
|
|
К вычислению общей стоимости обслуживания
заявок в единицу времени
|
ед. стоим.
ед. стоим.
ед. стоим.
ед. стоим.Cобщ
|
ед. стоим.
|
|
|
|
|
|
|
Данные системы с отказами
|
|
 1,830,470,360,0482,71
|
|
|
|
|
|
|
Данные системы с ограничением на время
пребывания в очереди
|
|
1,33
|
0,49
|
0,004
|
0,004
|
0,46
|
0,95
|
|
2,66
|
0,44
|
0,02
|
0,08
|
0,49
|
1,03
|
|
3,99
|
0,31
|
0,07
|
0,06
|
0,51
|
0,95
|
C (1,32) больше, чем 
(0,98) оптимальной СМО с отказами, то следует уменьшить (возможно, что в
несколько раз).
Изучается одна из смешанных систем, соответствующая заданию на
курсовое проектирование. Определяется наименьшее значение С - средней стоимости
обслуживания одной заявки в единицу времени.
На этом этапе решается вопрос о возможности с введением очереди
обеспечить уменьшение значения оптимального для рассматриваемой системы
значения экономического показателя С и улучшить другие показатели эффективности
изучаемой системы.
СМО с ограничением на время пребывания в очереди.
В этом варианте задания на курсовой проект анализируется влияние
на эффективность изучаемой системы - среднего времени пребывания заявки в очереди.
Исходные данные изучаемой системы:
· λ
- интенсивность
входного потока,
· - среднее время обслуживания одной заявки
для рассматриваемого варианта системы.
· n = - число каналов обслуживания
рассматриваемой смешенной системы совпадает с найденным ранее числом каналов
оптимальной системы с отказами.
· Весовые коэффициенты в формуле (1):
ск = 0,5, спк = 0,2, соч = 0,1,
сотк = 0,2 ед. стоим.∙ед. врем.
· - среднее время пребывания заявки в
смешанных системах не должно превышать среднее время пребывания заявки в
оптимальной системе с отказами больше, чем на 25%
Задаваясь рядом значений параметра , вычисляются те же показатели эффективности С, 
, что и для системы с отказами. Полученные
данные оформляются в виде таблицы. Приводятся графики зависимости этих
показателей от величины . Оптимальной считается система, имеющая
наименьший показатель эффективности С. В том случае, когда зависимость C() имеет монотонный характер, наилучшим 
является наименьшее значение показателя C, при котором ещё выполняется условие 
(Рассматриваемое условие совместно с
преподавателем может быть откорректировано).
Сложность заключается в выборе значений параметра . Следует учесть, что для системы с
отказами . Рекомендуется для начала выбрать
значение этого параметра, равным среднему времени обслуживания одной заявки (
). Если вычисленное при этом условии
значение показателя C меньше, чем оптимальной СМО с отказами, то следует увеличить (возможно, что в несколько раз), в противном
случае нужно уменьшить. При этом требуется задать
столько значений , чтобы сформировать график зависимости 
. Финальные вероятности рассчитываются с
точностью до 0,01.
Запоминаются значения основных показателей эффективности
рассматриваемой оптимальной смешанной СМО:
, 
= (
), 
= (), 
= ().
В том случае, когда 
, т.е. средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу
времени смешанной системы меньше соответствующего показателя системы с
отказами, наилучшей следует признать смешанную систему.
В качестве выводов к данному разделу следует привести обоснования
(с цифрами в руках) преимуществ оптимальной смешанной системы по сравнению с
оптимальной системой с отказами.
Желательно отразить следующие моменты:
· насколько уменьшился экономический
показатель эффективности Ссм смешанной системы по сравнению с
аналогичным показателем системы с отказами,
· как изменились показатели, характеризующие смешанную систему с
точки зрения потребителей: (, ).
· насколько улучшились показатели, характеризующие смешанную систему
с точки зрения её эксплуатационных свойств: (
).
, 
, 
, 
, 
(финальные вероятности рассчитываются с точностью до 0,01).
, 
, 
, 
.
, 
, 
, 
.
Изучение
влияния изменения производительности каналов
|
Заданная смешанная система
|
Результирующие показатели
|
ед. вр.
Cобщ
ед. ст.С
ед. ст.
|
ед. вр.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Первонач. Вариант  =____1,333,652,353,650,242,762,710,980,920,611,22
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант а =___0,371,830,461,831,621,381,491,080,461,832,44
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант б =___1,511,81
|
0,46
|
1,81
|
1,64
|
1,36
|
2,1
|
1,54
|
0,45
|
1,81
|
2,41
|
|
|
|
К вычислению общей стоимости обслуживания
заявок в единицу времени
|
ед. врем.
ед. стоим.
ед. стоим.
ед. стоим.
ед. стоим.Cобщ
|
ед. стоим.
|
|
|
|
|
|
|
|
Первонач. вариант
|
1,33
|
1,82
|
0,47
|
0,36
|
0,05
|
2,71
|
|
Вариант а
|
0,37
|
0,55
|
0,07
|
0,18
|
0,32
|
1,49
|
|
Вариант б
|
1,51
|
1,45
|
0,14
|
0,18
|
0,33
|
2,1
|
На этом этапе изучается влияние производительности каналов
обслуживания на эффективность системы, определяемой показателями С,
.
Исходные данные изучаемой системы:
· λ
- интенсивность
входного потока,
· - среднее время обслуживания одной заявки
для рассматриваемого варианта системы.
· n = - число каналов обслуживания
рассматриваемой смешенной системы совпадает с найденным ранее числом каналов
оптимальной системы с отказами.
· 
- признанное оптимальным среднее время
пребывания заявки в очереди в смешанной системе с ограничением на время
пребывания в очереди (допустимая длина очереди 
).
· 
- признанная оптимальной допустимая длина
очереди в смешанной системе с ограничением на длину очереди (время ожидания
заявки в очереди 
).
· Весовые коэффициенты в формуле (1):
ск = 0,5, спк = 0,2, соч = 0,1,
сотк = 0,2 ед. стоим.∙ед. врем.
Производительность канала обслуживания определяется величиной
параметра - средним временем обслуживания одной
заявки. Рассматривается система, признанная оптимальной (чаще всего - смешанная
система). Показатели эффективности этой первоначальной системы сравниваются с
аналогичными показателями двух вариантов этой системы:
,
.
Вариант b) системы с
увеличенной производительностью каналов обслуживания за счет уменьшения в два
раза среднего времени обслуживания и увеличенными затратами, связанными с
эксплуатацией и простоем оборудования
,
Выводы к данному разделу работы должны
содержать сравнение эффективности трех рассмотренных вариантов системы. Выбрать
наилучший вариант, обладающий наименьшей средней стоимостью обслуживания одной
заявки в единицу времени С. Отметить, какие имеет этот вариант системы
преимущества или недостатки с точки зрения других показателей эффективности как
с точки зрения потребителей (
) с точки зрения потребителей: (, ), так и с точки зрения эксплуатационных свойств системы: (
).
Заключение
Итак, проведя анализ полученных результатов, следует сделать
следующие заключения:
В соответствии с вариантом задания определены параметры системы λ
и . Задаваясь значениями n (число каналов обслуживания) от единицы до шести, мы
вычислили финальные вероятности и в соответствии с ними - показатели
эффективности системы. В качестве оптимального числа каналов принимаем такое значение n, при котором принимает наименьшее значение средняя
стоимость С обслуживания одной заявки в единицу времени (с учетом ограничения ). Следовательно, либо точка минимума на графике функции С
= С(n), либо = 6, если С = С(n) - монотонно
убывающая функция. В нашем случае n=1.
В том случае, когда , т.е. средняя стоимость обслуживания одной заявки в единицу
времени смешанной системы меньше соответствующего показателя системы с
отказами, наилучшей следует признать смешанную систему.
Список
литературы
1. Теория
вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. - М.: ИНФРА - М, 2010.
- 287 с. - (Высшее образование).
2. Моделирование
систем: Учебник для студентов высш. Учеб. заведений /[С.И. Дворецкий, Ю.А.
Муромцев, В.А. Погодин, А.Г. Схиртладзе]. - М.: Изд. Центр «Академия», 2009. -
320 с.
. Овчаров
Л.А. Прикладные задачи теории массового обслуживания/ Л.А. Овчаров. М.:
Машиностроение, 1969. - 324 с.
. Новиков
О.А. Прикладные вопросы теории массового обслуживания/ О.А. Новиков, С.Н.
Петухов. М.: Сов. радио, 1969. - 315 с.
. Лифшиц
А.Л. Статистическое моделирование систем массового обслуживания/ А.Л. Лифшиц,
Э.А. Мальц. М.: Сов. радио, 1978. - 248 с.
. Самусевич
Г.А. Основы теории массового обслуживания: учебное пособие / Г.А. Самусевич.
Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2005. - 102 с.