Элементы биомеханики
Элементы
биомеханики
План
1. Деформация и её виды
2. Основные характеристики
деформации. Закон Гука для упругой деформации
. Реологическое моделирование
биотканей
. Механические свойства
биотканей
.1
Механические свойства костной ткани
.2 Механические свойства ткани
кровеносных сосудов
1. Деформация и её виды
деформация биоткань механический
костный сосуд
Деформацией называется изменение взаимного
расположения точек тела, которое сопровождается изменением его форм и размеров,
обусловленное действием внешних сил на тело.
Виды деформации:
1. Упругая - полностью исчезает после
прекращения действия внешних сил.
2. Пластическая (остаточная) - остается
после прекращения действия внешних сил.
. Упруго-пластическая - неполное
исчезновение деформации.
. Вязко-упругая - сочетание вязкого
течения и эластичности.
В свою очередь упругие деформации бывают
следующих видов:
а) деформация растяжения или сжатия происходит
под действием сил, действующих в направлении оси тела:
2. Основные характеристики деформации
Деформация растяжения (сжатия) возникает в теле
при действии силы, направленной вдоль его оси.
где l0
- исходный линейный размер тела.
Δl - удлинение
тела
[l]
- м
Деформация ε
(относительное удлинение) определяется по формуле
ε - безразмерная величина.
Мерой сил, стремящихся вернуть атомы
или ионы в первоначальное положение является механическое напряжение σ. При
деформации растяжения напряжение σ можно определить отношением
внешней силы к площади поперечного сечения тела:
Упругая деформация подчиняется
закону Гука:
где Е - модуль нормальной упругости (модуль Юнга
- это механическое
напряжение, которое возникает в материале при
увеличении
первоначальной длины тела в два раза).
Если живые ткани мало деформируется,
то в них целесообразно определять не модуль Юнга, а коэффициент жесткости. Жесткость
характеризует способность физической среды сопротивляться образованию
деформаций.
Представим экспериментальную кривую
растяжения:
ОА - упругая деформация,
подчиняющася закону Гука. Точка В - это предел упругости т.е. максимальное
напряжение при котором ещё не имеет место деформация, остающаяся в теле после
снятия напряжения. ВД - текучесть (напряжение, начиная с которого деформация
возрастает без увеличения напряжения).
Упругость, свойственную полимерам
называют эластичностью.
Всякий обрзец, подвергнутый сжатию
или растяжению вдоль его оси, деформируется так же и в перпендикулярном
направлении.
Абсолютное
значение отношения поперечной деформации к продольной деформации образца
называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона и
обозначается:
(безразмерная величина)
Для несжимаемых материалов
(вязкотекучие пасты; резины) μ=0,5; для большинства металлов μ≈0,3.
Величина коэффициента Пуассона при
растяжении и сжатии одна и та же. Таким образом, определяя коэффициент Пуассона
можно судить о сжимаемости материала.
3. Реологическое моделирование
биотканей
Реология - это наука о деформациях и
текучести вещества.
Упругие и вязкие свойства тел легко
моделируются.
Представим некоторые реологические
модели.
а) Модель упругого тела - это
упругая пружина.
Напряжение, возникающее в пружине,
определяется законом Гука:
Если упругие свойства материала
одинаковы во всех направлениях, то он называется изотропным, если эти свойства
неодинаковы - анизотропным.
б) Модель вязкой жидкости - это
жидкость, находящаяся в цилиндре с поршнем, неплотно прилегающим к его стенкам
или: - это поршень с отверстиями, который движется в цилиндре с жидкостью.
Для этой модели характерна прямо
пропорциональная зависимость между возникающим напряжением σ и скоростью
деформации
где η -
коэффициент динамической вязкости.
в) Реологическая модель Максвелла
представляет собой последовательно соединенные упругий и вязкий элементы.
Работа отдельных элементов зависит
от скорости нагрузки общего элемента.
Для упругой деформации выполняется
закон Гука:
Откуда
Скорость упругой деформации будет:
(1)
Для вязкой деформации:
(2)
Общая скорость вязко-упругой
деформации равна сумме скоростей упругой и вязкой деформаций.
(3)
Это есть дифференциальное уравнение
модели Максвелла.
Вывод уравнения ползучести биоткани.
Если к модели приложить силу, то пружина мгновенно удлиняется, а поршень
движется с постоянной скоростью. Таким образом, на данный модели реализуется
явление ползучести. Если F=const, то
возникающее напряжение σ=const, т.е. тогда из
уравнения (3) получим:
, отсюда
уравнение ползучести биоткани.
Представим график ползучести:
Вывод уравнения релаксации
напряжения в биотканях.
Если модель Максвелла растянуть и
закрепить, то пружина начнет сокращаться. Со временем будет происходить
релаксация, т.е. уменьшение напряжения. Если ε=const, то тогда
уравнение (3) примет вид:
Решаем дифференциальное уравнение:
где σ0 - начальное
напряжение.
Потенцируем:
Откуда
- уравнение релаксации напряжения
Представим график релаксации
напряжения.
г) Модель Фойгта представляет собой
параллельно соединенные упругий и вязкий элементы. Эта модель характерна для
полимеров.
4. Механические свойства биотканей
Под механическими свойствами
биотканей понимают две разновидности:
Первая (активная) связана с
процессами биологической подвижности: сокращение мышц, рост клеток, движение
хромосом в клетках, их деления и т.д. Эти процессы обусловлены химическими
процессами и энергетически обеспечиваются АТФ. Другая разновидность - пассивные
механические свойства биосистем обусловленные внешними воздействиями.
Биологическая ткань - композиционный
материал, образованный объемным сочетанием химически разнородных элементов и обладающий
реологическими свойствами, отличающимися от свойств отдельных компонентов
биоткани. Основу биотканей составляют коллаген, эластин и связующее вещество.
Механические воздействие на биоткани
вызывают в них деформации и напряжения, появляется механическое движение,
распространяются волны. Физиологическая реакция на эти факторы зависит от
механических свойств биотканей. Знать, как меняются эти реакции и свойства
тканей очень важно для профилактики, защиты организма, для применения
искусственных тканей и органов, а также для понимания их физиологии и
патологии.
В биомеханике все ткани человека
подразделяются по плотности и типу пространственной структуры на твердые
(кость, эмаль и дентин зубов), мягкие (мышцы, эпителий, эндотелий,
соединительная ткань, паренхима), жидкие (кровь, лимфа, ликвор, слюна, сперма).
.1 Механические свойства костной
ткани
Костная ткань - основной материал
опорно-двигательной системы. Прочность костной ткани зависит от химического
состава, общей структуры, системы внутреннего армирования, количества и
прочности компонентов, ориентации основных компонентов по отношению к
продольной оси кости, возраста, плотности, индивидуальных условий роста и.т.д.
Компактная костная ткань
представляет собой среду с пятью структурными уровнями.
Строение компактной костной ткани по
Кнетсу.
№
уровня
|
Состав
уровня
|
1
|
Биополимерная
молекула трипоколлагена и неорагнические кристаллы (гидроксилопатит 3Са3(РО4)2Са(ОН)2)
|
2
|
Микрофибриллы
коллагена (образованы пятью молекулами трипоколлагена)
|
3
|
Волокно
(армирующий компонент) состоит из большого количества микрофибрилл и
связанные с ними микрокристаллы.
|
4
|
Ламеллы
(наименьший самостоятельный конструкционный элемент) - это тонкие изогнутые
пластинки, состоящие из коллагенно-минеральных веществ, объединённых при
помощи вяжущего вещества.
|
5
|
Остеоны
- образуются вокруг кровеносных сосудов, включающихся в объем кости. Состоят
из концентрически расположенных костных ламелл.
|
Плотность костной ткани »2,4
г/см3. Минеральные компоненты кости составляют »70
% массы кости, а белковые »20 %.
С увеличением возраста в костной ткани протекает
ряд изменений. Изменяется химический состав и внутренняя структура, возникает
множество вторичных остеонов, образующих новую внутреннюю конструктивную
систему. При старении биологическая активность уменьшается, меняется степень
минерализации, а также порядок расположения минеральных кристаллов и остенов,
уменьшается количество связующего вещества, некоторая чать ткани исчезает и
появляются поры.
Обновление костной ткани происходит дискретно -
в определенных местах, на ограниченных участках. В течение жизни человека один
и тот же участок кости обновляется неоднократно. К 35 годам процесс
костеобразования замедляется. Костная масса у вегетарианцев больше, т.к. в
растительной пище много солей. Курение и алкоголь уменьшают костную массу.
Недостаточное содержание кальция уменьшает прочность костной ткани, что
приводит к остеопорозу.
Волокна костной ткани деформируются
преимущественно упругим образом, а матрица (остальная часть) - пластически и
разрушаются хрупким образом.
Зависимость напряжения от деформации: s=f(e)
компактной костной ткани имеет следующий вид (эта зависимость аналогична для
твердого тела):
Напряжение σмах
при котором материал разрывается, называется пределом прочности.
Представим предел прочности костной ткани и её
компонентов при сжатии и растяжении:
Вид
ткани
|
Сжатие
|
Растяжение
|
|
Прочность
[МПа]
|
Модуль
Юнга [МПа]
|
Прочность
[МПа]
|
Модуль
Юнга [МПа]
|
Компактная
кость Минеральный компонент Белковый компонент
|
147
44 0,1
|
10200
6400 10
|
22
400 16600 20
|
Анализ таблицы: Минеральный и белковый
компоненты по отдельности слабые, но в сочетании дают высокую прочность,
сравнимую с прочностью металлов. В науке остаётся вопрос: почему имеется
различные свойств на растяжение и сжатие.
Реологическая модель Зингера компактной костной
ткани и средняя кривая ползучести.
Дифференциальное уравнение, описывающее данную
модель имеет вид:
Средняя кривая деформации компактной костной
ткани.
Максимальное растяжение, которое может выдержать
костной материал составляет »0,01% что соответствует
изменению длины кости »1 %.
ОА - мгновенная деформация в продольном
направлении (действует постоянная нагрузка мгновенно растягивается пружина 1)
АВ - ползучесть (вытягивается поршень). Точка В - прекращение нагрузки. ВС -
быстрая деформация (быстрое сжатие пружины 1) СД - обратная ползучесть (пружина
2 втягивает поршень в обратное положение) Точка Д - соответствует остаточной
деформации (модель этого не учитывает).
При деформации костной ткани в ней возникает
пьезоэлектрический эффект. Если вырезать из кости полоску, закрепить её с одной
стороны и подвергнуть деформации изгиба, то на выпуклой стороне появляется
"+" заряд, на вогнутой "-" заряд, т.е. появляется разность
потенциалов.
Есть основания считать, что генерация пьезоэлектричества
имеем место при механических нагрузках костей в организме и возникающие
электрические токи могут стимулировать новообразование или рассасывание костной
ткани.
4.2 Механические свойства ткани кровеносных
сосудов
Прочностные и деформационные свойства стенок
кровеносных сосудов и изменение этих свойств (с возрастом) имеет большое
значение для медицины.
Кровеносные сосуды состоять из трех
концентрических слоёв:
внутренний - интима; средний - средняя
сосудистая оболочка; наружный - внешняя сосудистая оболочка.
Механические свойства кровеносных сосудов
обуславливаются, главным образом, свойствами средней сосудистой оболочки,
состоящий из коллагена, эластина и гладких мышечных волокон. Представим
допускаемые деформации этих элементов:
Элемент
|
Деформация
ε
в
%
|
Модуль
Юнга (МПа)
|
Эластин
Коллаген Мышечное волокно (при сокращении) Кровеносный сосуд
|
200-300
до 10 20 5-50
|
0,1
- 0,6 10 - 100 0,01 - 0,1 0,06 - 0,7
|
Следует отметить, что гладкие мышечные клетки
могут менять свою длину (сокращаться) под действием нервных или химических
стимуляторов. Гладкая мышца осуществляет активное поведение кровеносных
сосудов, так как в результате её сокращения меняется диаметр кровеносного
сосуда и механические свойства сосудистой стенки в целом.
Таким образом, достигается оптимальное
распределение и регулирование кровяного потока.
Содержание трёх основных компонентов сосудистой
ткани меняется для различных мест стенки. Отношение эластина к коллагену в
сосудах ближе к сердцу равно 2:1, но оно убывает с удалением от него и в
бедренной артерии оно равно 1:2. С удалением от сердца увеличивается содержание
гладких мышечных волокон, и уже в артериоллах они становятся основной
составляющей сосудистой ткани.
Установлено, что сосудистая ткань является
практически несжимаемой. Кровеносные сосуды обладают криволинейной ортотропией
(т.е. их механические свойства в радиальном, осевом и кольцевом направлениях
существенно различны).
Механическое поведение сосудов усложняется ещё и
тем, что в организме они находятся под влиянием окружающих тканей, растянуты в
продольном направлении и их деформации в этом направлении ограничены. В сосудах
наблюдаются значительные отклонения механических характеристик для отдельных
индивидов от установленных средних значений.
Напряжение, возникающее при деформации в стенке
кровеносного сосуда определяется уравнением Ламе.
Вывод уравнения Ламе.
Возьмём часть кровеносного сосуда длиной l
и толщиной стенки h.
Представим стенки сосуда вдоль и поперёк:
Две половины цилиндрического сосуда
взаимодействуют между собой по сечениям стенок сосуда. Общая площадь сечения
взаимодействия будет: 2hl,
тогда сила взаимодействия двух половинок:
Эта сила уравновешивается силами
давления крови изнутри:
Таким образом, имеем: , откуда
- уравнение Ламе
Таким образом, напряжение,
возникающее в стенках кровеносных сосудов зависит от величины давления крови,
внутреннего радиуса и от толщины стенок сосуда.