Исследование методов резервирования систем
Московский
государственный технический университет им. Н.Э.Баумана
КУРСОВАЯ
РАБОТА
"Исследование
методов резервирования систем"
по разделу
"Модели
и методы оценки надежности автоматизированных систем"
курса
"Надёжность
и достоверность"
Москва, 2010
Содержание
ЗАДАНИЕ
.
НЕВОССТАНАВЛИВАЕМАЯ РЕЗЕРВИРОВАННАЯ СИСТЕМА С ЦЕЛОЙ КРАТНОСТЬЮ
.1
Система с нагруженным резервом
.1.1
Расчетно-логическая схема системы
.1.2
Граф состояний системы
.1.3
Расчет основных характеристик системы.
.1.4
Выводы.
.2
Система с частично нагруженным резервом
.2.1
Расчетно-логическая схема системы
.2.2
Граф состояний системы.
.2.3
Расчет основных характеристик системы
.2.4
Выводы.
.3
Система с ненагруженным резервом
.3.1
Расчетно-логическая схема системы
.3.2
Граф состояний системы.
.3.3
Расчет основных характеристик системы
.3.4
Выводы.
.4
Сравнение характеристик невосстанавливаемых резервированных систем с целой
кратностью
.
Восстанавливаемая резервируемая система с ДРОБНОЙ кратностью при ограниченном
ремонте
.1
Система с нагруженным резервом
.1.1
Расчетно-логическая схема
.1.2
Граф состояний системы
.1.3
Расчет основных характеристик системы
.1.4
Выводы
.2
Система с частично нагруженным резервом
.2.1
Расчетно-логическая схема
.2.2
Граф состояний системы
.2.3
Расчет основных характеристик системы
.2.4
Выводы
.3
Система с ненагруженным резервом
.3.1
Расчетно-логическая схема
.3.2
Граф состояний системы
.3.3
Расчет основных характеристик системы
.3.4
Выводы
.4
Сравнение характеристик восстанавливаемых резервированных систем с дробной
кратностью при ограниченном ремонте
Список
литературы
ЗАДАНИЕ
Для заданных расчетно-логических схем систем:
1. Получить
методами интегральных, дифференциальных уравнений и методом графов (не менее
чем двумя методами) для указанных в задании типов систем общие соотношения и
расчетные формулы для критериев надежности систем: вероятности безотказной
работы P(t), среднего времени безотказной работы mt, коэффициента готовности
Кг, наработки на отказ 
, среднего времени восстановления 
, вероятности успешного использования системы R(t) =
Кг*P(t).
. Рассчитать
для указанных в задании параметров по полученным соотношениям критерии
надежности систем.
. Исследовать влияние
на надежность систем:) интенсивности отказов - P(
), mt(), Кг(), 
, R();) интенсивности отказов при облегченном режиме
работы системы - P(
), mt(), Кг(), 
, R();) интенсивности восстановления - P(
), mt(), Кг(), R();) числа
резервных блоков для различных типов резерва - Pг,т,х(s), mt г,т,х (s), Кгг,т,х
(s), mtBг,т,х, Rг,т,х (s).
4. Провести сравнение по вероятности безотказной работы, среднему
времени безотказной работы, коэффициенту готовности
a) резервированной
и нерезервированной систем - Pр,нр, mt р,нр, Кгр,нр, р,нр;) различных типов резерва - Pг,т,х, mt
г,т,х, Кгг,т,х, г,т,х;) восстанавливаемых и
невосстанавливаемых систем - Pв,нв, mt в,нв, Кгв,нв, в,нв.
Типы систем:
. Невосстанавливаемая резервированная система с целой кратностью:) с
нагруженным резервом;) с ненагруженным резервом;) с частично
нагруженным резервом.
. Восстанавливаемая резервированная система с дробной кратностью
при ограниченном ремонте:) с нагруженным резервом;) с ненагруженным
резервом.
Исходные данные (для схем 2 а,б,в, 8 а,б,в):
|
t [ч]
|
 [1/ч] [1/ч] [1/ч]WS
|
|
|
|
|
|
1800
|
5*10-2
|
10
|
4*10-3
|
4
|
3
|
1. НЕВОССТАНАВЛИВАЕМАЯ РЕЗЕРВИРОВАННАЯ СИСТЕМА С ЦЕЛОЙ КРАТНОСТЬЮ
1.1 Система с нагруженным резервом
.1.1 Расчетно-логическая схема системы
Считается,
что для работы системы достаточно наличие хотя бы одного работающего элемента.
1.1.2 Граф состояний системы
В
качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов. Граф
состояний системы имеет вид:
Рабочими
для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является
состояние 3.
1.1.3 Расчет основных характеристик системы
Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний
системы, имеет вид:
Нормировочное
условие: 
Начальные
условия для системы дифференциальных уравнений:
P0(0)=1
P1(0)=0
P2(0)=0
P3(0)=0
При
расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого
преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:
Из
этой системы получим Рi(t):
После
применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:
Вероятность
безотказной работы системы
Функцию
вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного
состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:
Для
заданных значений t = 1800 ч и = 5*10-2
1/ч 
.
Среднее
время безотказной работы
Среднее
время безотказной работы рассчитывается по формуле:
Для
заданного значения λ = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы mt =
2.292ч.
1.1.4 Выводы
1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по
экспоненциальному закону с течением времени.
. При увеличении интенсивности отказов λ
вероятность безотказной
работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.
. При увеличении интенсивности отказов λ
время безотказной работы
уменьшается.
4. Для
заданных значений интенсивности отказов = 0.8
1/ч и времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы .
. Для
заданного значения = 0.8 1/ч среднее время безотказной работы mt
составляет 2.292 ч, что меньше заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью лишь
0.117 к заданному времени система будет находиться в работоспособном состоянии.
1.2 Система с частично нагруженным резервом
1.2.1 Расчетно-логическая схема системы
Считается,
что для работы системы необходим один работающий элемента. При выходе из строя
рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в теплом
резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.
1.2.2 Граф состояний системы
Рабочими
для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является
состояние 3.
1.2.3 Расчет основных характеристик системы
Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний
системы, имеет вид:
Нормировочное
условие:
Начальные
условия для системы дифференциальных уравнений:
P0(0)=1
P1(0)=0
P2(0)=0
P3(0)=0
При
расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого
преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:
Из
этой системы получим Рi(t):
После
применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:
Вероятность
безотказной работы системы
Функцию
вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного
состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:
сист
= P0(t)+P1(t)+P2(t) = 1-P3(t)
Для
заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч
и 0 = 0.4 1/ч Pсист = 0.184.
Зависимость
вероятности безотказной работы P(t) от времени работы для разных значений интенсивности
отказа резервных элементов λ0
представлена на графике:
Среднее
время безотказной работы
Среднее
время безотказной работы рассчитывается по формуле:
Для
заданного значения λ=0.8 1/ч и λ0=0.4 1/ч среднее время безотказной работы mt = 2.708ч.
1.2.4 Выводы
1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по
экспоненциальному закону с течением времени.
. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной
работы уменьшается.
. При увеличении интенсивности отказов нагруженных элементов l вероятность безотказной работы
системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.
. При увеличении интенсивности отказов частично нагруженных
элементов l0 вероятность
безотказной работы системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.
. При увеличении интенсивности отказов нагруженных элементов l среднее время безотказной работы
уменьшается.
. При увеличении интенсивности отказов частично нагруженных
элементов l0 среднее время
безотказной работы уменьшается.
. Для заданных значений интенсивностей отказов λ
= 0.8 1/ч, λ0
= 0.4 1/ч и времени t =
4 ч вероятность безотказной работы системы Pсист = 0.184.
. Для заданных значений интенсивностей отказов λ
= 0.8 1/ч и
λ0 = 0.4 1/ч
среднее время безотказной работы mt составляет 2.708 ч, что ниже заданного t =
4 ч. Т.о. с вероятностью 0.184 к заданному времени система будет находится в
работоспособном состоянии.
1.3 Система с ненагруженным резервом
1.3.1 Расчетно-логическая схема системы
Считается,
что для работы системы необходим один работающий элемента. При выходе из строя
рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в холодном
резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.
1.3.2 Граф состояний системы
Рабочими
для системы являются состояния с 0 по 2, состоянием отказа системы является
состояние 3.
1.3.3 Расчет основных характеристик системы
Система дифференциальных уравнений, соответствующая графу состояний
системы, имеет вид:
Нормировочное
условие:
Начальные
условия для системы дифференциальных уравнений:
P0(0)=1
P1(0)=0
P2(0)=0
P3(0)=0
При
расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого
преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:
Из
этой системы получим Рi(t):
После
применения обратного преобразования Лапласа система примет вид:
Вероятность
безотказной работы системы
Функцию
вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу наличия одного
состояния отказа и нормировочного условия, можно записать следующим образом:
сист
= P0(t)+P1(t)+P2(t) = 1-P3(t)
Для
заданных значений t = 4 ч и = 0.8 1/ч
Pсист = 0.380.
Зависимость
вероятности безотказной работы P(t) от времени работы для разных значений интенсивности
отказа элементов λ
представлена на графике:
Среднее
время безотказной работы
Среднее
время безотказной работы рассчитывается по формуле:
Для
заданного значения λ=0.8 1/ч и λ0=0.4 1/ч среднее время безотказной работы mt = 3.750ч.
Зависимость
среднего времени безотказной работы mt от интенсивности отказов
элементов λ
приведена на графике:
1.3.4 Выводы
1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по
экспоненциальному закону с течением времени.
2. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной
работы уменьшается.
. При увеличении интенсивности отказов элементов l вероятность безотказной работы
системы за один и тот же промежуток времени уменьшается.
. Для заданных значений интенсивности отказов
λ = 0.8 1/ч и
времени t = 4 ч вероятность безотказной работы системы Pсист = 0.380.
. Для заданного значения интенсивности отказов
λ = 0.8 1/ч среднее
время безотказной работы mt составляет 3.750 ч, что ниже заданного t = 4 ч.
Т.о. с вероятностью 0.380 к заданному времени система будет находится в
работоспособном состоянии.
1.4 Сравнение характеристик невосстанавливаемых резервированных
систем с целой кратностью
Сопоставление систем удобно провести с помощью сравнительных графиков.
Зависимость вероятностей безотказной работы от времени работы для разных
типов систем представлена на графике:
Точные характеристики надежности систем для заданных значений t = 4 ч,
λ = 0.8 1/ч, λ0 = 0.4 1/ч приведены в таблице:
|
Невосстанавливаемая
резервированная система с целой кратностью
|
|
с нагруженным резервом
|
с частично нагруженным
резервом
|
с ненагруженным резервом.
|
|
Вероятность безотказной
работы системы P(t)
|
0.117
|
0.184
|
0.380
|
|
Среднее время безотказной
работы системы mt, ч
|
2.292
|
2.708
|
3.750
|
Выводы
Лучшими показателями надежности из рассмотренных систем с целой кратностью
обладает система с ненагруженным резервом. Для заданных условий система с
частично нагруженным резервом по показателям надежности превосходит систему с
нагруженным резервом. Также необходимо отметить, что при интенсивности отказов
резервных элементов λ меньше интенсивности отказов резервных элементов λ0 = 0.4 1/ч система с нагруженным
резервом превосходит систему с частично нагруженным резервом по показателям
надежности.
2. Восстанавливаемая резервируемая система с целой кратностью при
ограниченном ремонте
2.1 Система с нагруженным резервом
система нагруженный резерв кратность
2.1.1 Расчетно-логическая схема
Считается,
что для работы системы необходимо пять работающих элемента. При выходе из строя
рабочего элемента системы и при наличии элемента, находящегося в горячем
резерве, этот элемент переводится в рабочее состояние.
.1.2 Граф состояний системы
В качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов.
Будем считать, что в системе имеется только одно восстанавливающее устройство.
Тогда граф состояний системы примет вид:
Рабочими
для системы являются состояния с 0 по 3, состоянием отказа системы является
состояние 4.
2.1.3 Расчет основных характеристик системы
Для определения вероятности безотказной работы системы составим систему
дифференциальных уравнений, соответствующую графу состояний, запретив переход
из отказового состояния 4 предотказовое состояние 3.
Нормировочное
условие: 
Начальные
условия для системы дифференциальных уравнений:
P0(0)=1
P1(0)=0
P2(0)=0
P3(0)=0
P4(0)=0
При
расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого
преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:
Система
дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:
Отсюда
имеем:
Таким образом:
Вероятность безотказной работы системы
Для определения вероятности безотказной работы необходимо применить к
системе обратное преобразование Лапласа и подставить заданные значения для
интенсивности отказов λ, интенсивности восстановления μ
и времени работы t.
После обратного преобразования Лапласа система примет вид:
Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу
наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать
следующим образом:
сист = P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)= 1-P4(t)
Для
заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч
и μ
= 0.05 1/ч Pсист = 8.46065·10-6.
Зависимость
вероятности безотказной работы P(t) от времени работы системы представлена на графике:
Из
полученного графика видно, что с увеличением времени работы системы вероятность
нахождения системы в рабочем состоянии падает.
Увеличение
интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности безотказной работы
системы.
Среднее
время безотказной работы
Среднее
время безотказной работы рассчитывается по формуле:
Для
заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч
и μ
= 0.05 1/ч среднее время безотказной
работы mt = 0,799ч.
Зависимость
среднего времени безотказной работы mt от интенсивности отказов
элементов λ
для μ = 0.05 приведена в таблице:
|
λ
|
mt
|
|
0.6
|
1.068
|
|
0.8
|
0.799
|
|
1.0
|
0.638
|
Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности восстановления элементов μ
для λ
= 0.8 приведена в
таблице:
|
μ
|
mt
|
|
0.0005
|
0.793
|
|
0.05
|
0.799
|
|
5
|
1.939
|
Коэффициент готовности
Нахождение коэффициента готовности Кг системы можно осуществить двумя
способами - путем составления дифференциальных уравнений на основании графа
состояния системы и методом Половко.
Нахождение Кг методом дифференциальных уравнений
Для графа состояний рассматриваемой системы система дифференциальных
уравнений имеет вид:
Нормировочное
условие:
Начальные
условия для системы дифференциальных уравнений:
P0(0)=1
P1(0)=0
P2(0)=0
P3(0)=0
P4(0)=0
Если
предположить, что потоки стационарны, то есть 
и , = const, то можно получить следующую систему:
Тогда, исключая, например, четвертую строку как линейно зависимую от трех
первых и пятой, можно получить следующую систему уравнений:
Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:
Отсюда
имеем:
Решением системы будет:
Для
заданных значений = 0.8 1/ч и = 0.05
1/ч коэффициент готовности Кг принимает следующее значение:
Кг
= P0 + P1 + P2 + P3 = 1 - Р4 = 0.01247
Нахождение Кг методом Половко
Кг = P0 + P1 + P2 + P3 = 1 - Р4 = 0.01247
Значения Кг, полученный методом Половко, совпадает с предыдущим
расчетным, что подтверждает правильность его нахождения.
Зависимость коэффициента готовности системы Кг от интенсивности отказов l приведена на графике:
Средняя наработка на отказ
Для заданных значений m = 0.05 1/ч и Кг = 0.01247 среднее время наработки на отказ принимает
следующее значение:
Среднее
время восстановления системы
Для
заданного значения интенсивности восстановления m = 0.05 
Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности
восстановления приведена на графике:
Вероятность успешного использования системы(t)=Кг*Pсист
Для заданных значений Кг = 0.01247 и Рсист = 8.46065·10-6 R(t) =
0.10550·10-6.
Зависимость вероятности успешного использования системы от времени
представлена на графике:
2.1.4 Выводы
1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по
экспоненциальному закону с течением времени.
. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной
работы уменьшается.
3. Вероятность безотказной работы системы Pсист увеличивается с
уменьшением интенсивности отказов элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
4. Для
заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч вероятность безотказной работы системы Pсист =
8.46065·10-6.
. Среднее
время безотказной работы системы mt увеличивается с уменьшением интенсивности
отказов элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
. Для
заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч среднее время безотказной работы mt составляет
0.799 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 8.46065·10-6 к
заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.
. Коэффициент
готовности системы Кг увеличивается с уменьшением интенсивности отказов
элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
. Для
заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч коэффициент готовности системы Кг = 0.01247.
. Средняя
наработка системы на отказ увеличивается
с уменьшением интенсивности отказов элементов l и
увеличением интенсивности восстановления элементов m.
. Для
заданных значений m = 0.05 1/ч и Кг = 0.01247 среднее время наработки на
отказ 
.
. Среднее
время восстановления системы уменьшается
с уменьшением интенсивности отказов элементов l и
увеличением интенсивности восстановления элементов m.
. Для
заданного значения интенсивности восстановления m = 0.05
среднее время восстановления системы 
.
. Вероятность
успешного использования системы R(t) увеличивается с уменьшением интенсивности отказов
элементов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
. Для
заданных значений Кг = 0.01247 и Рсист = 8.46065·10-6 вероятность успешного
использования системы R(t) = 0.10550·10-6.
2.2 Система с частично нагруженным резервом
.2.1 Расчетно-логическая схема
2.2.2 Граф состояний системы
В качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов.
Будем считать, что в системе имеется только одно восстанавливающее устройство.
Тогда граф состояний системы примет вид:
Рабочими
для системы являются состояния с 0 по 3, состоянием отказа системы является
состояние 4.
.2.3 Расчет основных характеристик системы
Для определения вероятности безотказной работы системы составим систему
дифференциальных уравнений, соответствующую графу состояний, запретив переход
из отказового состояния 4 предотказовое состояние 3.
Нормировочное
условие:
Начальные
условия для системы дифференциальных уравнений:
P0(0)=1
P1(0)=0
P2(0)=0
P3(0)=0
P4(0)=0
При
расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого
преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:
Система
дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:
Отсюда
имеем:
Таким образом:
Вероятность безотказной работы системы
Для определения вероятности безотказной работы необходимо применить к
системе обратное преобразование Лапласа и подставить заданные значения для
интенсивности отказов нагруженных элементов λ, интенсивности отказов резервных
элементов λ0, интенсивности восстановления μ и времени работы t.
После обратного преобразования Лапласа система примет вид:
Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу
наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать
следующим образом:
сист = P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)= 1-P4(t)
Для заданных значений t = 4 ч, l = 0.8 1/ч, l0 = 0.4 1/ч и μ = 0.05 1/ч Pсист = 0.26429·10-6.
Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени
работы системы представлена на графике:
Из полученного графика видно, что с увеличением времени работы системы
вероятность нахождения системы в рабочем состоянии падает.
Увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности
безотказной работы системы.
Увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности
безотказной работы системы.
Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени
работы системы t для различных
значений интенсивности восстановления элементов μ представлена на графиках:
Среднее время безотказной работы
Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:
Для
заданных значений t = 4 ч, = 0.8
1/ч, l0 = 0.4 1/ч и μ = 0.05 1/ч среднее время безотказной работы mt = 0.885 ч.
Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности отказов нагруженных элементов λ
для λ0
= 0.4, μ = 0.05
приведена в таблице:
|
λ
|
mt
|
|
0.6
|
1.141
|
|
0.8
|
0.885
|
|
1.0
|
0.724
|
Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности отказов резервных элементов λ0
для λ
= 0.8, μ = 0.05 приведена
в таблице:
|
λ0
|
mt
|
|
0.2
|
0.941
|
|
0.4
|
0.885
|
|
0.6
|
0.839
|
Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности восстановления элементов μ
для λ
= 0.8, λ = 0.4
приведена в таблице:
|
μ
|
mt
|
|
0.0005
|
0.878
|
|
0.05
|
0.885
|
|
5
|
2.407
|
Коэффициент готовности
Нахождение коэффициента готовности Кг системы можно осуществить двумя
способами - путем составления дифференциальных уравнений на основании графа
состояния системы и методом Половко.
Нахождение Кг методом дифференциальных уравнений
Для графа состояний рассматриваемой системы система дифференциальных
уравнений имеет вид:
Нормировочное
условие:
Начальные
условия для системы дифференциальных уравнений:
P0(0)=1
P1(0)=0
P2(0)=0
P3(0)=0
P4(0)=0
Если
предположить, что потоки стационарны, то есть и , = const, то можно получить следующую систему:
Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:
Отсюда
имеем:
Решением системы будет:
Для
заданных значений = 0.8 1/ч, λ0 = 0.4 1/ч и = 0.05
1/ч коэффициент готовности Кг принимает следующее значение:
Кг
= P0 + P1 + P2 + P3 = 1 - Р4 = 0.01249
Нахождение Кг методом Половко
Кг = P0 + P1 + P2 + P3 = 1 - Р4 = 0.01249
Значения Кг, полученный методом Половко, совпадает с предыдущим расчетным,
что подтверждает правильность его нахождения.
Зависимость коэффициента готовности системы Кг от интенсивности отказов
основных элементов l
приведена на графике:
Средняя наработка на отказ
Для заданных значений m = 0.05 1/ч и Кг = 0.01249 среднее время наработки на отказ принимает
следующее значение:
Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности отказов
представлена на графике:
Среднее время восстановления системы
Для
заданного значения интенсивности восстановления m = 0.05
Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности
восстановления приведена на графике:
Вероятность успешного использования системы
(t)=Кг*Pсист
Для заданных значений Кг = 0.01249 и Рсист = 0.26429·10-6 R(t) =
0.10564·10-6.
Зависимость вероятности успешного использования системы от времени
представлена на графике:
2.2.4 Выводы
1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по
экспоненциальному закону с течением времени.
. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной
работы уменьшается.
3. Вероятность безотказной работы системы Pсист увеличивается с
уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов l, l0 и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
4. Для
заданных значений = 0.8 1/ч, l0 = 0.4 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч вероятность безотказной работы системы Pсист =
0.26429·10-6.
. Среднее
время безотказной работы системы mt увеличивается с уменьшением интенсивности
отказов основных и резервных элементов l, l0 и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
. Для
заданных значений = 0.8 1/ч, l0 = 0.4 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч среднее время безотказной работы mt составляет
0.885 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 0.26429·10-6 к
заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.
. Коэффициент
готовности системы Кг увеличивается с уменьшением интенсивности отказов
основных и резервных элементов l, l0 и
увеличением интенсивности восстановления элементов m.
. Для
заданных значений = 0.8 1/ч, l0 = 0.4 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч коэффициент готовности системы Кг = 0.01249.
. Средняя
наработка системы на отказ увеличивается
с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов l, l0 и увеличением интенсивности восстановления элементов
m.
. Для
заданных значений m = 0.05 1/ч и Кг = 0.01249 среднее время наработки на
отказ 
.
. Среднее
время восстановления системы уменьшается
с уменьшением интенсивности отказов основных и резервных элементов l, l0 и увеличением интенсивности восстановления элементов
m.
. Для
заданного значения интенсивности восстановления m = 0.05
среднее время восстановления системы .
. Вероятность
успешного использования системы R(t) увеличивается с уменьшением интенсивности отказов
основных и резервных элементов l, l0 и
увеличением интенсивности восстановления элементов m.
. Для
заданных значений Кг = 0.01249 и Рсист = 0.26429·10-6 вероятность успешного
использования системы R(t) = 0.10564·10-6.
2.3 Система с ненагруженным резервом
.3.1 Расчетно-логическая схема
2.3.2 Граф состояний системы
В качестве состояния системы выберем количество неисправных элементов.
Будем считать, что в системе имеется только одно восстанавливающее устройство.
Тогда граф состояний системы примет вид:
Рабочими
для системы являются состояния с 0 по 3, состоянием отказа системы является
состояние 4.
.3.3 Расчет основных характеристик системы
Для определения вероятности безотказной работы системы составим систему дифференциальных
уравнений, соответствующую графу состояний, запретив переход из отказового
состояния 4 предотказовое состояние 3.
Нормировочное
условие:
Начальные
условия для системы дифференциальных уравнений:
P0(0)=1
P1(0)=0
P2(0)=0
P3(0)=0
P4(0)=0
При
расчете методом дифференциальных уравнений, после применения прямого
преобразования Лапласа при начальных условиях система примет вид:
Система
дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:
Отсюда
имеем:
Таким образом:
Вероятность безотказной работы системы
Для определения вероятности безотказной работы необходимо применить к
системе обратное преобразование Лапласа и подставить заданные значения для
интенсивности отказов нагруженных элементов λ, интенсивности восстановления μ
и времени работы t.
После обратного преобразования Лапласа система примет вид:
Функцию вероятности нахождения системы в рабочем состоянии, в силу
наличия одного состояния отказа и нормировочного условия, можно записать
следующим образом:
сист = P0(t)+P1(t)+P2(t)+P3(t)= 1-P4(t)
Для заданных значений t = 4 ч, l = 0.8 1/ч и μ = 0.05 1/ч Pсист = 14.53451·10-6.
Зависимость вероятности безотказной работы P(t) от времени
работы системы представлена на графике:
Из полученного графика видно, что с увеличением времени работы системы
вероятность нахождения системы в рабочем состоянии падает.
Увеличение интенсивности отказов влечет за собой уменьшение вероятности
безотказной работы системы.
Среднее время безотказной работы
Среднее время безотказной работы рассчитывается по формуле:
Для
заданных значений t = 4 ч, = 0.8 1/ч
и μ
= 0.05 1/ч среднее время безотказной
работы mt = 1.009 ч.
Зависимость
среднего времени безотказной работы mt от интенсивности отказов
элементов λ
для μ = 0.05 приведена в таблице:
|
λ
|
mt
|
|
0.6
|
1.350
|
|
0.8
|
1.009
|
|
1.0
|
0.806
|
Зависимость среднего времени безотказной работы mt от интенсивности восстановления элементов μ
для λ
= 0.8 приведена в
таблице:
|
μ
|
mt
|
|
0.0005
|
1.000
|
|
0.05
|
1.009
|
|
5
|
3.207
|
Коэффициент готовности
Нахождение коэффициента готовности Кг системы можно осуществить двумя
способами - путем составления дифференциальных уравнений на основании графа
состояния системы и методом Половко.
Нахождение Кг методом дифференциальных уравнений
Для графа состояний рассматриваемой системы система дифференциальных
уравнений имеет вид:
Нормировочное
условие:
Начальные
условия для системы дифференциальных уравнений:
P0(0)=1
P1(0)=0
P2(0)=0
P3(0)=0
P4(0)=0
Если
предположить, что потоки стационарны, то есть и , = const, то можно получить следующую систему:
Тогда,
исключая, например, четвертую строку как линейно зависимую от трех первых и
пятой, можно получить следующую систему уравнений:
Система дифференциальных уравнений в матричном виде будет иметь вид:
Отсюда
имеем:
Решением системы будет:
Для
заданных значений = 0.8 1/ч и m = 0.05 1/ч
коэффициент готовности Кг принимает следующее значение:
Кг
= P0 + P1 + P2 + P3 = 1 - Р4 = 0.02469
Нахождение Кг методом Половко
Кг = P0 + P1 + P2 + P3 = 1 - Р4 = 0.02469
Значения Кг, полученный методом Половко, совпадает с предыдущим
расчетным, что подтверждает правильность его нахождения.
Зависимость коэффициента готовности системы Кг от интенсивности отказов
основных элементов l
приведена на графике:
Зависимость коэффициента готовности системы Кг от интенсивности
восстановления m
приведена на графике:
Средняя наработка на отказ
Для заданных значений m = 0.05 1/ч и Кг = 0.02469 среднее время наработки на отказ принимает
следующее значение:
Зависимость среднего времени наработки на отказ от интенсивности отказов
представлена на графике:
Зависимость времени наработки на отказ от интенсивности восстановления
представлена на графике:
Среднее время восстановления системы
Для
заданного значения интенсивности восстановления m = 0.05
Зависимость среднего времени восстановления системы от интенсивности
восстановления приведена на графике:
Вероятность успешного использования системы
(t)=Кг*Pсист
Для заданных значений Кг = 0.02469 и Рсист = 14.53451·10-6 R(t) =
3.34185·10-6.
Зависимость вероятности успешного использования системы от времени
представлена на графике:
2.3.4 Выводы
1. Вероятность безотказной работы системы изменяется по
экспоненциальному закону с течением времени.
. При увеличении времени работы системы вероятность ее безотказной
работы уменьшается.
3. Вероятность безотказной работы системы Pсист увеличивается с
уменьшением интенсивности отказов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
4. Для
заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч вероятность безотказной работы системы Pсист =
14.53451·10-6.
. Среднее
время безотказной работы системы mt увеличивается с уменьшением интенсивности
отказов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
. Для
заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч среднее время безотказной работы mt составляет
1.009 ч, что ниже заданного t = 4 ч. Т.о. с вероятностью 14.53451·10-6 к
заданному времени система будет находится в работоспособном состоянии.
. Коэффициент
готовности системы Кг увеличивается с уменьшением интенсивности отказов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
. Для
заданных значений = 0.8 1/ч, μ = 0.05 1/ч и t = 4 ч коэффициент готовности системы Кг = 0.02469.
. Средняя
наработка системы на отказ увеличивается
с уменьшением интенсивности отказов l и увеличением
интенсивности восстановления элементов m.
. Для
заданных значений m = 0.05 1/ч и Кг = 0.02469 среднее время наработки на
отказ 
.
. Среднее
время восстановления системы уменьшается
с уменьшением интенсивности отказов l и увеличением
интенсивности восстановления элементов m.
. Для
заданного значения интенсивности восстановления m = 0.05
среднее время восстановления системы .
. Вероятность
успешного использования системы R(t) увеличивается с уменьшением интенсивности отказов l и увеличением интенсивности восстановления элементов m.
. Для
заданных значений Кг = 0.02469 и Рсист = 0.00014 вероятность успешного
использования системы R(t) = 3.34185·10-6.
2.4 Сравнение характеристик восстанавливаемых резервированных систем
с дробной кратностью при ограниченном ремонте
Сопоставление систем удобно провести с помощью сравнительной таблицы.
Точные характеристики надежности систем для заданных значений t = 4 ч, λ
= 0.8 1/ч, λ0
= 0.4 1/ч приведены в
таблице:
|
Восстанавливаемая
резервированная система с дробной кратностью при ограниченном ремонте
|
|
с нагруженным резервом
|
с частично нагруженным
резервом
|
с ненагруженным резервом.
|
|
Вероятность безотказной
работы системы P(t)
|
8.46065·10-6
|
0.26429·10-6
|
14.53451·10-6
|
|
Среднее время безотказной
работы системы mt, ч
|
0.799
|
0.885
|
1.009
|
|
Коэффициент готовности
системы Кг
|
0.01247
|
0.01249
|
0.02469
|
|
Средняя наработка на отказ ,ч0.252620.252870.50630
|
|
|
|
|
Среднее время
восстановления системы mtB, ч
|
5
|
5
|
5
|
|
Вероятность успешного
использования системы R(t)
|
0.10550·10-6
|
0.105640·10-6
|
3.34185·10-6
|
Выводы
Лучшими показателями надежности из рассмотренных систем с целой
кратностью обладает система с ненагруженным резервом. Для заданных условий
система с частично нагруженным резервом по показателям надежности превосходит
систему с нагруженным резервом. Однако для системы, все резервные элементы
которой нагружены, меньшее время занимает переключение с отказавшего элемента
на резервный, что при данных расчетах не учитывалось.
Список литературы
1. Кузовлев В.И. Лекции по курсу
“Надёжность и достоверность”, МГТУ им. Н.Э.Баумана, кафедра ИУ5, 10 семестр,
2011 г.