Расчет характеристик сигналов и канала связи

Расчет характеристик сигналов и канала связи

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Омский государственный университет путей сообщения (ОмГУПС)

Кафедра «Системы передачи информации »

Расчет характеристик сигналов и канала связи

Расчетно-пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине «Теория передачи сигналов»

Омск 2008

Содержание

Реферат

Введение

. Характеристики сигналов

.1 Временные функции сигналов

.2 Частотные характеристики сигналов

.3 Энергия сигналов

.4 Граничные частоты спектров сигналов

. Расчет технических характеристик АЦП

.1 Дискретизация сигнала

.2 Определение разрядности кода

. Характеристики сигнала ИКМ

.1 Определение кодовой последовательности

.2 Построение функции автокорреляции

.3 Спектр сигнала ИКМ

. Характеристики модулированного сигнала

.1 Общие сведения о модуляции

.2 Расчет модулированного сигнала

.3 Спектр модулированного сигнала

. Расчет информационных характеристик канала

. Расчет вероятности ошибки оптимального демодулятора

Заключение

Библиографический список

Реферат

сигнал спектр преобразователь демодулятор

Пояснительная записка содержит 26 страницы, 16 рисунков, 2 таблицы, использовано 5 источников.

Канал связи, сигнал, модуляция, дискретизация, спектр, ширина спектра, разрядность кода, импульс, энергия, вероятность.

В курсовой работе «Расчет характеристик сигналов и каналов связи» рассматриваются методы и примеры расчета характеристик сигналов и каналов связи. Курсовая работа содержит основные сведения о характеристиках и параметрах сигналов и каналов связи, примеры и методы их расчета, графики различных характеристик сигналов. Рассмотрены принципы преобразования сигналов в цифровую форму и требования к аналогово-цифровому преобразователю (АЦП). Приведены рекомендации для облегчения вычислений при помощи вычислительной среды Mathsoft MathCAD.

Введение

На современном этапе развития перед железнодорожным транспортом стоят задачи по увеличению пропускной и провозной способности, грузовых и пассажирских перевозок, уменьшению времени оборотов вагонов и повышению производительности труда. Эти задачи решаются по двум основным направлениям: техническим перевооружением транспортных средств и совершенствованием системы управления перевозочным процессом.

Значительную роль в деле совершенствования системы управления эксплуатационной работой железнодорожного транспорта играет развитие всех видов связи, а также внедрение и поэтапное развитие комплексной автоматизированной системы управления железнодорожным транспортом (АСУЖТ). Комплекс технических средств АСУЖТ включает в себя вычислительные центры Министерства путей сообщения, управлений дорог и отделений, связанные в единое целое сетью передачи данных.

Управление территориально разобщенными объектами на всех уровнях осуществляется передачей сообщений разнообразными электрическими сигналами с широким использованием систем передачи информации, то есть систем связи, работающих по проводным и радиоканалам. А также по волоконно-оптическим линиям связи.

Совершенствование управления в условиях интенсификации производственных процессов ведет к росту общего объема информации, передаваемой по каналам связи между управляющими органами и управляемыми объектами.

Передача информации на железнодорожном транспорте ведется в условиях воздействия сильных и разнообразных помех. Поэтому системы связи должны обладать высокой помехоустойчивостью, что связано с безопасностью движения. К системам связи предъявляют также требования высокой эффективности при относительной простоте технической реализации и эксплуатации.

Проблема эффективности системы передачи информации состоит в том, чтобы передать наибольшее или заданное количество информации (сообщений) наиболее экономически выгодным образом (с точки зрения затрат энергии и полосы частот) в заданное время. Перечисленные проблемы тесно связанны между собой.

1. Характеристики сигналов

.1 Временные функции сигналов

Временная функция первого сигнала.

Временная зависимость первого сигнала (в задании - №2) имеет следующий аналитический вид:

, (1.1)

где В

с

Общий вид представлен на рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 - Временная зависимость первого сигнала

Временная функция второго сигнала.

Временная зависимость второго сигнала (в задании - №8) имеет следующий аналитический вид:

, (1.2)

где В

с

Общий вид представлен на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 - Временная зависимость второго сигнала

Временная функция третьего сигнала.

Временная зависимость третьего сигнала (в задании - №3) имеет следующий аналитический вид:

, (1.3)

где В

1/с

Общий вид сигнала представлен на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 - Временная зависимость третьего сигнала

.2 Частотные характеристики сигналов

Спектр сигнала (его частотный состав) является важнейшей характеристикой сигнала. Он определяет требования к узлам аппаратуры связи - помехозащищенность, возможность уплотнения.

Спектральная плотность - это характеристика сигнала в частотной области, определяемая прямым преобразованием Фурье:

, (1.4)

где  - временная функция сигнала;

 - круговая частота

Одним из важнейших достоинств введенного интегрального преобразования Фурье является то, что решение любой практической задачи может быть перенесено с помощью спектральной плотности из временной области в частотную, и лишь на заключительном этапе расчетов результат вновь переводится во временную область с помощью обратного интегрального преобразования:

, (1.5)

Однако в данном курсовом проекте обратное преобразование не используется, задача ограничивается только поиском и анализом спектров сигналов. Для этого рассмотрено несколько свойств спектральной плотности.

Свойство вещественной и мнимой частей спектра состоит в том, что при четной функции  мнимая часть , а при нечетной - . Это следует непосредственно из интегральных форм.

Свойство линейности выражается в том, что если имеется несколько сигналов и у каждого из них имеется спектральная плотность , то спектральная плотность суммы сигналов равна сумме их спектральных плотностей.

Смещение сигнала во времени. Если предположить, что для сигнала  спектр  известен. Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий с задержкой на . Его спектр будет равен:

, (1.6)

Частотные характеристики первого сигнала.

Спектральная плотность первого сигнала имеет следующий аналитический вид:

, (1.7)

Модуль спектральной плотности первого сигнала находится из текущего аналитического вида спектральной плотности (1.7). График модуля спектральной плотности изображен на рисунке 1.4.

Рисунок 1.4 - Модуль спектральной плотности первого сигнала

Фаза спектральной плотности первого сигнала находится из аналитического вида спектральной плотности. Однако, из формулы спектральной плотности (1.7) следует, что  на всей полосе частот, ввиду отсутствия мнимой составляющей.

Частотные характеристики второго сигнала.

Спектральная плотность второго сигнала имеет следующий аналитический вид:

, (1.8)

Модуль спектральной плотности второго сигнала находится из текущего аналитического вида спектральной плотности (1.8). График модуля спектральной плотности изображен на рисунке 1.5.

Рисунок 1.5 - Модуль спектральной плотности второго сигнала

Фаза спектральной плотности второго сигнала находится из текущего аналитического вида спектральной плотности. График фазы спектральной плотности изображен на рисунке 1.6.

Рисунок 1.6 - Фаза спектральной плотности второго сигнала

Частотные характеристики третьего сигнала.

Спектральная плотность третьего сигнала имеет следующий аналитический вид:

, (1.9)

Модуль спектральной плотности третьего сигнала находится из текущего аналитического вида спектральной плотности (1.9). График модуля спектральной плотности изображен на рисунке 1.7.

Рисунок 1.7 - Модуль спектральной плотности третьего сигнала

Фаза спектральной плотности третьего сигнала находится из текущего аналитического вида спектральной плотности. Однако, из формулы спектральной плотности (1.9) следует, что  на всей полосе частот, ввиду отсутствия мнимой составляющей.

1.3 Энергия сигнала

Общие сведения.

Показатели энергии и мощности сигналов - важнейшие характеристики, определяющие коэффициент полезного действия передатчика и качество работы приемника системы связи. Поскольку существует два вида представления сигналов - временное и спектральное, то данные показатели могут быть вычислены двумя способами.

Полная энергия одиночного сигнала вычисляется через временную функцию сигнала по формуле:

, (1.10)

Неполная энергия, необходимая для вычисления граничных частот, определяется как процент от полной, в данной работе процент составляет . Получается, что:

, (1.11)

Спектральное представление сигнала позволяет определить эти же энергетические характеристики по спектрам сигнала при помощи равенства Парсеваля для непериодических функций:

, (1.12)

Знак «» в выражениях (1.10) и (1.12) означает, что в создании энергии и мощности сигнала участвует бесконечный спектр частот. Если знак «» заменить в формуле (1.12) на конечную величину , то по полученной формуле определяется только часть мощности и энергии сигнала. Этим способом пользуются при ограничении спектров сигналов.

Энергия первого сигнала.

Вычисление полной энергии первого сигнала производится при подстановке аналитического вида  из параграфа 1.1.1 в формулу (1.10):

, (Дж)

Вычисление неполной энергии первого сигнала производится при подстановке полной энергии сигнала в формулу (1.11):

, (Дж)

Вычисление энергии первого сигнала через равенство Парсеваля производится при подстановке аналитического вида  из параграфа 1.1.1 в формулу (1.12):

, (Дж)

Графики зависимости энергии первого сигнала от частоты приведены соответственно на рисунке 1.8.

Энергия второго сигнала.

Вычисление полной энергии второго сигнала производится при подстановке аналитического вида  из параграфа 1.1.1 в формулу (1.10):

 Дж

Вычисление неполной энергии второго сигнала производится при подстановке полной энергии сигнала в формулу (1.11):

 (Дж)

Рисунок 1.8 - Зависимость энергии первого сигнала от частоты

Вычисление энергии второго сигнала через равенство Парсеваля производится при подстановке аналитического вида  из параграфа 1.1.1 в формулу (1.12):

Графики зависимости энергии второго сигнала от частоты приведены соответственно на рисунке 1.9.

Рисунок 1.9 - Зависимость энергии второго сигнала от частоты

Энергия третьего сигнала.

Вычисление полной энергии третьего сигнала производится при подстановке аналитического вида  из параграфа 1.1.1 в формулу (1.10):

Вычисление неполной энергии третьего сигнала производится при подстановке полной энергии сигнала в формулу (1.11):

 Дж

 Дж

Графики зависимости энергии третьего сигнала от частоты приведены соответственно на рисунке 1.10.

Рисунок 1.10 - Зависимость энергии третьего сигнала от частоты

.4 Граничные частоты спектров сигналов

Граничная частота спектра первого сигнала.

По графику, изображенному на рисунке 1.8, определяется граничная частота спектра, как пересечение графиков неполной энергии и энергии, вычисленной через равенство Парсеваля.  с^-1

Граничная частота спектра второго сигнала.

По графику, изображенному на рисунке 1.9, определяется граничная частота как пересечение графиков неполной энергии и энергии, вычисленной через равенство Парсеваля.  с^-1

Граничная частота спектра третьего сигнала.

По графику, изображенному на рисунке 1.10, определяется граничная частота как пересечение графиков неполной энергии и энергии, вычисленной через равенство Парсеваля.  с^-1

Так как для дальнейших расчетов курсового проекта требуется только один сигнал из рассмотренных выше, то делается выбор в пользу сигнала с наименьшей граничной частотой. То есть, во всех следующих расчетах будет фигурировать первый сигнал (№2 по заданию).

2. Расчет технических характеристик АЦП

.1 Дискретизация сигнала

Интервал дискретизации  заданного сигнала по времени определяется на основе теоремы Котельникова по неравенству:

, (2.1)

где  - верхнее значение частоты спектра сигнала, определяемое в соответствии с разделом 1.

 Гц

с

 Гц

Для дискретизации примем  .

Для того, чтобы на графике было отражено хотя бы четыре выборки, возьмём с.

График дискретизированного по времени и по уровням сигнала изображен на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 - Дискретизированный во времени и по уровню сигнал

.2 Определение разрядности кода

Разрядность кодов определяется исходя из динамического диапазона квантуемых по уровню импульсных отсчетов. При этом в качестве верхней границы динамического диапазона  принимается напряжение самого большого по амплитуде отсчёта. Нижняя граница диапазона

, (2.2)

где  - коэффициент для расчета нижней границы динамического диапазона

 В

Для самого малого по амплитуде импульсного отсчёта  задаётся соотношение мгновенной мощности сигнала и мощности шума квантования:

, (2.3)

где  - мощность шумов квантования при равномерной шкале квантования. Получаем:

, (2.4)

где  - отношение мгновенной мощности сигнала к шуму квантования

 Вт

Известно, что:

, (2.5)

где  - число уровней квантования

 (значение округлено до целого)

Известно, что при использовании двоичного кодирования число кодовых комбинаций, равное числу уровней квантования, определяется выражением:

, (2.6)

где  - разрядность кодовых комбинаций

Следовательно, из формулы (2.6) выражается:

, (2.7)

Соответственно,

Значение разрядности кодовых комбинаций округлено до целых в сторону большего. Длительность элементарного кодового импульса  определяется исходя из интервала дискретизации  и разрядности кода  по выражению:

, (2.8)

 с

Выбор микросхемы производится по рассчитанному значению разрядности кодовых комбинаций. Так как разрядность  равна 6, то по таблице, приведенной в методических указаниях, выбирается микросхема:

Серия: К1107ПВ1

Тип логики: ТТЛ

Уровень логического «0»: В

Уровень логического «1»: В

Рабочая частота: до 6,5МГц

3. Характеристики сигнала ИКМ

.1 Определение кодовой последовательности

Для вычисления функции автокорреляции понадобятся 4 значения выборки дискретизированного сигнала, которые получены путем выбора значений напряжения и деления их на значение , полученное по формуле (2.5). Полученные результаты округлены до целого.

;

;

;

;

Затем полученные значения выборки переводятся из десятичной в двоичную систему исчисления:

;

;

;

;

После этого из полученных последовательностей складывается кодовая последовательность, которая будет использоваться для построения функции автокорреляции. Она примет вид:

Построение функции автокорреляции начнем с построения вектора , который будет представлять собой кодовую последовательность, полученную в параграфе 3.1. Затем, при сдвиге вектора  на один разряд последовательно 8 раз, получается 8 векторов . Вектора  и  наглядно отражены при помощи таблицы 3.1.

Таблица 3.1 - Вектора  и

Затем находятся корреляции между вектором  и каждым из векторов . При этом получается 8 значений корреляции, из которых составляется вектор . Из значений длительности импульса сигнала получен вектор  путем умножения времени  на номер строки, начиная с 0. Вектора  и  сведены в таблицу 3.2. Полученный результат есть табличный способ представления функции автокорреляции.

Таблица 3.2 - Табличный способ представления функции автокорреляции

При помощи встроенных функций вычислительной среды MathCAD можно получить также и графическое представление функции автокорреляции. Для этого сначала нужно составить вектор вторых производных для приближения к кубическому полиному при помощи векторов  и  взятых из таблицы 3.2.

, (3.1)

Затем составляется функция, аппроксимирующая автокорреляционную функцию кубическим сплайн-полиномом:

, (3.2)

Полученный график аппроксимирующего полинома изображен на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 - АКФ, представленная в виде полиномиальной аппроксимации

.3 Спектр сигнала ИКМ

Расчет энергетического спектра кодового сигнала осуществляется с помощью интегрального преобразования Винера-Хинчена:

, (3.3)

Полученный график энергетического спектра кодового сигнала изображен на рисунке 3.2.

Рисунок 3.2 - Энергетический спектр кодового сигнала

4. Характеристики модулированного сигнала

.1 Общие сведения о модуляции

Для передачи полезной информации в технике связи обычно используются модулированные сигналы. Они позволяют решить задачи уплотнения линий связи, электромагнитной совместимости, помехоустойчивости систем. Процесс модуляции является нелинейной операцией и приводит к преобразованию спектра сигнала. При гармоническом сигнале-переносчике это преобразование заключается в том, что спектр полезного сигнала переносится в область несущей частоты в виде двух боковых полос. Если переносчик - импульсная последовательность, то такие боковые полосы расположены в окрестностях каждой гармоники переносчика. Значит, продукты модуляция зависят от полезного сигнала и вида сигнала-переносчика.

.2 Расчет модулированного сигнала

Первоначально необходимо построить функцию, реализующую кодовую последовательность для девяти временных интервалов длительностью  каждый. Значения напряжения логических «0» и «1» взяты исходя из результатов, полученных в параграфе 3.1.

, (4.1)

где В - значение напряжения логического «0»;

В - значение напряжения логической «1».

Затем записывается функция, реализующая колебания с частотой логической «1» модулированного сигнала:

, (4.2)

где , с^-1 - частота, взятая по заданию к проекту.

Далее записывается функция, реализующая колебания функции единицы, когда это требуется в соответствии с кодовой последовательностью. Ее график изображен на рисунке 4.1.

, (4.3)

Рисунок 4.1 - Кодовая последовательность

Рисунок 4.2 - Амплитудно-модулированный сигнал

.3 Спектр модулированного сигнала

Распространенным видом аналоговой модуляции является амплитудная модуляция (АМ). Под действием полезного сигнала изменяется амплитуда гармонического переносчика. Аналитическая форма записи сигнала АМ следующая:

 (4.4)

где A₀ - амплитуда несущей;- коэффициент глубины модуляции;

j₀ - начальная фаза;

w₀ - частота несущей.

При этом амплитуда сигнала меняется по закону: А₀ + А₀mU(t), и глубина этого изменения зависит от коэффициента глубины модуляции m.

Таким образом, спектр AM

 (4.5)

Итоговый спектр АМ-сигнала состоит из несущей частоты и двух боковых полос, содержащих комбинации .

Амплитуды боковых гармоник рассчитаем по формуле:

 (4.6)

Энергию боковых гармоник рассчитаем по формуле:

 (4.7)

Значения частоты Ω₁ рассчитаем по формуле:

 (4.8)

Графическое представление спектра модулированного сигнала приведено на рисунке 4.3.

Рисунок 4.3 - Спектр модулированного сигнала

. Расчет информационных характеристик канала

Заданный сигнал был представлен отсчетами, идущими с заданным интервалом. Такая выборка содержит полную информацию о передаваемом сигнале и сама представляет источник информации. Выше было определено количество выборок для одного из сигналов.

Таким образом, выборки это алфавит источника информации и вероятности букв этого алфавита равны друг другу. Такой источник имеет ряд информационных характеристик: количество информации в знаке, энтропию, производительность, избыточность. В дальнейшем для курсового проекта будет интересна производительность, которая характеризует скорость работы источника и определяется по следующей формуле:

где  - энтропия алфавита источника;

 - среднее время генерации одного знака алфавита.

Рассматривая принципы и предельные возможности непосредственного согласования дискретного источника сообщений с непрерывным каналом связи, следует напомнить, что в непрерывном канале надо знать плотности распределения случайных процессов сигналов, помех и их же условные плотности распределения. Это понятие вводится при моделировании канала связи и с точки зрения передачи сообщений нет большого противоречия в том, что источник принят дискретным, а канал непрерывен.

Полоса пропускания канала должна быть достаточной для прохождения спектра модулированного сигнала. Величина  была определена в параграфе 4.3.

Предельные возможности согласования дискретного источника с непрерывным каналом определяются теоремой Шеннона, которая аналогично звучит в случае дискретного источника и дискретного канала.

Теорема Шеннона: если дискретные сообщения, выдаваемые дискретным источником с производительностью  можно закодировать так, что при передаче по Гауссову каналу с белым шумом, пропускная способность которого  превышает , то вероятность ошибки  может быть достигнута сколь угодно малой.

При определении пропускной способности канала статистические законы распределения помехи, сигнала, и суммы сигнала и помехи - нормальные законы с соответствующими дисперсиями ,  и .

Пропускная способность гауссова канала равна:

, (5.2)

где  - частота дискретизации;

 - мощность помехи.

Мощность помехи определяется по заданной спектральной плотности мощности  (дано в задании на курсовой проект) и полосе частот модулированного сигнала :

, (5.3)

В дальнейшем для курсового проекта будет интересна производительность, которая характеризует скорость работы источника и определяется по следующей формуле:

, (5.4)

где  - энтропия алфавита источника, бит/с;

 - среднее время генерации одного знака алфавита, с.

, бит/с

По этим формулам, пользуясь теоремой Шеннона , надлежит определить , обеспечивающую передачу по каналу.

Мощность сигнала обеспечивающая передачу по каналу:

6. Расчет вероятности ошибки оптимального демодулятора

Вероятность ошибки  зависит от мощности (энергии) сигнала и мощности помех, в данном случае белого шума. Известную роль играет здесь и вид сигнала, который определяет статистическую связь между сигналами в системе. В общем случае:

, (6.1)

гдe  - функция Лапласа;

,(6.2)

где  - аргумент функции Лапласа.

Найдем коэффициент :

 (6.3)

 (6.4)

;

Найдем значение функции Лапласа:

Найдем вероятность ошибки:

Таким образом, мы видим, что вероятность ошибки очень мала, а, следовательно, информация будет передаваться с большой точностью.

Заключение

В данной работе была поставлена цель изучить характеристики сигналов и каналов связи, научиться эффективно рассчитывать эти характеристики, рассмотреть теорию сигналов в целом. Произвести расчеты различных величин, вывести общие закономерности в различных параметрах, описывающих сигналы и каналы связи. Изучить методы цифровой обработки сигналов, затронув при этом теорию помехоустойчивости. Рассмотреть принципы и виды модуляции и демодуляции сигналов, их обработка и закономерности в различных видах модуляций, а также рассчитать и построить графики модулированных сигналов при заданном виде модуляции.

В связи с этим были рассчитаны временные и спектральные характеристики сигналов, построены их графические интерпретации. Определена энергия сигнала, выяснены закономерности при вычислении граничной частоты, при этом применено равенство Парсеваля.

В соответствие с поставленной целью была затронута задача оцифровки сигнала. Для этого были рассчитаны параметры и требования к аналогово-цифровому преобразователю, вычислены основные характеристики и подобрана реально существующая микросхема для реализации проектируемого прибора.

В развитие темы оцифровки была затронута задача по передаче оцифрованного сигнала. При этом работа была направлена на изучение модуляций вообще и подробное рассмотрение одной из них - частотной, как указано в задании к курсовому проекту. Для этого были рассчитаны основные уравнения составляющих модулированного сигнала, проведен спектральный анализ, и построены графики, наглядно отражающие принципы построения частотной модуляции.

В завершении работы была рассчитана вероятность ошибки при передаче информации с применением частотной модуляции при заданной интенсивности белого шума в канале. Данная вероятность получилась в рамках приемлемых значений, что характеризует частотную модуляцию как хорошо защищенный от помех вид модуляции.

Перспективой данной работы может служить использование ее в качестве методического пособия при изучении основных принципов устройства и функционирования современных систем связи, математических обоснований принципов работы систем связи, а также наглядные отображения закономерностей в параметрах систем связи при помощи графиков основных характеристик.

Библиографический список

1. Передача дискретной информации на железнодорожном транспорте. / В.А. Кудряшов, Н.Ф. Семенюта. Москва. Издательская группа ЗАО «Вариант». 1999. 327 с.

. Телекоммуникационные технологи на железнодорожном транспорте. / Под ред. Г.В. Горелова. Москва. УМК МПС. 1999. 576 с.

. Теоретические основы транспортной связи. / М.Я. Каллер., А.Я. Фомин. Москва. Транспорт, 1989.

. Теория передачи сигналов на железнодорожном транспорте. / Г.В. Горелов, А.Ф. Фомин, А.А. Волков, В.К. Котов. Москва. «Транспорт». 1999. 416 с.

. Характеристики сигналов в каналах связи: Методические указания к курсовому проекту по дисциплине «Теория передачи сигналов» / Н.Н. Баженов. Омск. Омский государственный университет путей сообщения. 2002. 48 с.