Колебания линейной системы с одной степенью свободы

Введение

Цель работы

- закрепить знания студентов, получаемые при изучении раздела "Теория колебаний" курса "Механика сплошной среды" и привить навыки самостоятельного исследования колебательных процессов в механических системах.

Содержание задания:

1.       Составить дифференциальное уравнение малых колебаний системы.

2.       Получить решение этого уравнения и, используя заданные начальные условия, определить постоянные интегрирования  и .

.        Определить период установившихся вынужденных колебаний  и добротность системы Д, а для вариантов с малым линейно-вязким сопротивлением (n<k) дополнительно:  - условный период затухающих колебаний,  - логарифмический декремент колебаний,  - постоянную времени затухающих колебаний.

.        Исследовать амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики системы.

.        Оценить процесс перехода от начального возмущенного движения системы к установившимся вынужденным колебаниям, построив графики  и .

В курсовой работе рассматриваются малые колебания механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия. Требуется составить дифференциальное уравнение движения и найти его решение при заданных начальных условиях. Для вынужденных колебаний провести исследование процесса перехода от начального возмущенного движения к установившимся вынужденным колебаниям и построить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики системы.

Механические системы, рассматриваемые в курсовой работе - плоские механизмы, расположенные в вертикальной плоскости и состоящие из твердых тел, нитей, демпферов и упругих элементов.

Линейно-вязкое сопротивление при движении системы возникает в демпфере, сила сопротивления которого  пропорциональна скорости движения поршня ,  - коэффициент сопротивления демпфера; массой демпфера можно пренебречь.

Силы и моменты сил воздействия упругих элементов на тела пропорциональны удлинению пружин или углу закручивания спиральных пружин.

Выполненная курсовая работа оформляется по ГОСТ 7.32-2001 и представляется на защиту комиссии в форме доклада с использованием средств мультимедийной аудитории.

колебание механический равновесие фазочастотный

1. Условие

Рис.1

Сила с моментом  (М0=1 Н·м, p=15 рад/с) действует на однородный сплошной цилиндр 2 массой m2=4кг и радиусом r=0,1м, вращению которого препятствует спиральная пружина 3 со статической деформацией =0,25 рад.

Движению стержня 1 массой m1=2 кг вниз вдоль вертикальной оси препятствует демпфер 4 с коэффициентом сопротивления =67,2.

В момент времени t=0 цилиндру 2 в положении равновесия была сообщена начальная скорость = -0,5 рад/с.

2. Решение

.1 Составление дифференциального уравнения движения

Составим дифференциальное уравнение движения системы, используя уравнения Лагранжа II рода, выбрав в качестве обобщенной координаты q(t) угол поворота  стержня 3 вокруг оси B(z) (рис.2) с положительным направлением отсчета против хода часовой стрелки.

Кинетическая энергия системы:

Т = Т₁ + Т₂ , (1)

 (2)

 (3)

Тогда

 (4)

, где (5)

Обобщенную силу Q представим в виде

 = Q^П + Q^Ф + Q^В (t) . (6)

Из условия равновесия системы

 (7)

Запишем выражение, определяющее изменение потенциальной энергии системы при повороте цилиндра на угол  от положения статического равновесия

 (8)

,  ,  (9)

Диссипативная функция Рэлея

 (10)

Откуда

, . (11)

И, наконец, определим

 (12)

 (13)

Дифференциальное уравнение движения системы с учетом (5), (9), (11) и (13) имеет вид

 (14)

или в канонической форме

, (15)

2.2 Решение и исследование уравнения

,

где

 (16)

 (17)

 (18)

Имеем случай большого линейно-вязкого сопротивления n > k, поэтому общее решение однородного уравнения q_о.о (t) запишем

 (19)

 (20)

Частное решение уравнения

, (21)

 (22)

 (23)

поскольку ε меняется в пределах от 0 до x,

 (24)

 (25)

Найдем постоянные и :

 (26)

 (27)

Отсюда следует,

 (28)

Окончательный вид решения:

Вычислим добротность системы Д и период вынужденных колебаний :

,  (29)

Рис. 2

Для оценки перехода от движения системы, возникшего в начальный момент t=0 в результате начального возмущения (q₀= -0,02,рад/с), к установившимся вынужденным колебаниям построим графики  и q(t) на интервале времени , достаточном для этого перехода:

 (30)

На рис.2 представлены графики  и q(t). Видно, что на выбранном интервале времени при  , а q(t) переходит в установившиеся вынужденные колебания.

2.3 Характеристики системы

Амплитудно-частотная  и фазочастотная  характеристики системы, построенные по значениям, приведенным в табл.1, даны на рис.3 и рис.4.

Таблица 1

Рис. 3 Амплитудно-частотная характеристика

Рис. 4Фазочастотная характеристика

Поскольку, максимальное значение  и соответствует z=0.

Заключение

1.       При выполнении курсовой работы проанализирована колебательная система, составленная из однородного сплошного цилиндра, стержня, спиральной пружины и демпфера.

2.       Составлено дифференциальное уравнение малых колебаний линейной системы с одной степенью свободы, получены его решения. В результате решений определено, что заданная система обладает большим линейно-вязким сопротивлением (). На выбранном интервале времени при  , а  переходит в установившиеся вынужденные колебания.

.        Для систем с большим линейно-вязким сопротивлением движение без вынужденной силы (общее однородное решение) имеет не колебательный, затухающий характер, что представлено на рис. 2, потому что коэффициент затухания n=8,4 рад/с больше круговой частоты собственных колебаний системы k=4,42945 рад/с. В момент начала движения (при  с) величина=-0,02 рад/с.

.        График окончательного решения (величина) представлен также на рис. 2. По графику q(t) можно сказать, что возбужденные колебания системы не будут затухающими, т.е. амплитуда D=0,00769 рад. постоянна как при отсутствии резонанса, так и при резонансе. Линейное сопротивление не влияет на частоту вынужденных колебаний, которая совпадает с частотой возмущающей силы p=15 рад/с.

.        Определены период установившихся вынужденных колебаний  и добротность системы Д= 0,26366.

.        На рис. 3 представлена амплитудно-частотная, а на рис. 4 - фазочастотная характеристики системы. Можно судить о том, что амплитуда вынужденных колебаний стремится к нулю, и не будет превышать величины статического смещения при увеличении частоты возмущающей силы.

.        Фазочастотная характеристика показывает нам то, как система, с начальным фазовым сдвигом =1,65393 рад. будет откликаться на изменение частоты возмущающей силы.

Список литературы

1.       Добронравов В.В., Никитин Н.Н., Дворников А.Л. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1974, 1983, 1989. -575 с.

2.Методические указания по выполнению курсовой работы по теме "Колебания линейной системы с одной степенью свободы" по курсу "Механика сплошной среды" Москва,2008.