Теорема Гульдина и ее применение

Теорема Гульдина и ее применение

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Челябинский государственный педагогический университет»

(ГОУ ВПО «ЧГПУ»)

Кафедра математического анализа

Курсовая работа

на тему:

Теорема Гульдина и ее применение

Челябинск

Содержание

Введение

I.Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой

II. Первая теорема Гульдина

III. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры

IV.Вторая теорема Гульдина

Заключение

Литература

Введение

В курсе «Высшей математики» тема «Теорема Гульдина и ее применение» не рассматривается, хотя имеет большое значение для математического анализа, а также физики, техники и механики, так как возникает необходимость применения неопределенного интеграла.

Использование интеграла вместо обыкновенной суммы весьма существенно. Сумма давала бы лишь приближенное выражение, ибо на ней отразились бы погрешности отдельных равенств; предельный же переход, с помощью которого из суммы получается интеграл, уничтожает погрешность и приводит к совершенно точному результату.

Теорему Гульдина применяют для нахождения статических моментов и центров тяжести не только кривой, но и плоской фигуры, - что немаловажно для выше перечисленных наук.

Важность данной темы можно показать, перечислив только задачи, решаемые с помощью теоремы:

. Найти статический момент обвода эллипса x2/a2 + у2/b2 = 1 относительно оси x (предполагая а > b).

. Если рассматриваемая дуга симметрична относительно некоторой прямой, то центр тяжести дуги необходимо лежит на этой прямой.

. В тех случаях, когда наперед ясно положение центра тяжести, теоремой Гульдина можно воспользоваться для определения площади поверхности вращения. Пусть, например, требуется определить величину поверхности кольца (тора), т.е. тела образованного вращением круга около оси, не пересекающей его.

. Найти статические моменты Мх, Му и координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболой у2 =2рх, осью х и ординатой, соответствующей абсциссе х.

.Если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести фигуры необходимо лежит на этой оси.

В нашей работе эти задачи будут решены.

Данная курсовая работа основана на материале учебного пособия для высших учебных заведений «Курс дифференциального и интегрального исчисления II том». Этот том посвящен теории интеграла от функции одной вещественной переменной и теории рядов. Исключительно подробное, полное и снабженное многочисленными примерами изложение включает такие классические разделы анализа, как неопределенный интеграл и методы его вычисления, определенный интеграл Римана, несобственный интеграл, числовые и функциональные ряды, интегралы, зависящие от параметра, и др.

Являясь одним из лучших систематических учебников по интегральному исчислению и, одновременно, уникальной коллекцией конкретных фактов, данная книга будет полезна как учащимся, так и преподавателям.

I. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой

Как известно, статический момент М материальной точки массы m относительно некоторой оси равен произведению массы m на расстояние d точки от оси. В случае системы n материальных точек с массами ml, m2, ... , mn, лежащих в одной плоскости с осью, соответственно, на расстояниях d1, d2, .,. , dn от оси, статический момент выразится суммой

.

L...                                                1 1.

При этом расстояния точек, лежащих по одну сторону от оси, берутся со знаком плюс, а расстояния точек по другую сторону - со знаком минус.

Если же массы не сосредоточены в отдельных точках, но расположены сплошным образом, заполняя линию или плоскую фигуру, то тогда для выражения статического момента вместо суммы потребуется интеграл.

Остановимся на определении статического момента М относительно оси х масс, расположенных вдоль некоторой плоской кривой АВ (рис. 1). При этом мы предположим кривую однородной, так что ее линейная плотность ρ (т.е. масса, приходящаяся на единицу длины) будет постоянной; для простоты допустим даже, что ρ=1 (в противном случае придется полученный результат лишь умножить на ρ). При этих предположениях масса любой дуги нашей кривой измеряется просто ее длиной, и понятие статического момента приобретает чисто геометрический характер. Заметим вообще, что когда говорят о статическом моменте (или центре тяжести) кривой - без упоминания о распределении вдоль по ней масс, - то всегда имеют в виду статический момент (центр тяжести), определенный именно при указанных предположениях.

Выделим теперь какой-нибудь элемент ds кривой (масса которого также выражается числом ds). Приняв этот элемент приближенно за материальную точку, лежащую на расстоянии y от оси, для его статистического момента получим выражение

=y·ds.

Суммируя эти элементарные статические моменты, причем за независимую переменную возьмем дугу s, отсчитываемую от точки А, мы получим

. (1)

Аналогично выражается и момент относительно оси y

. (2)

Конечно, здесь предполагается, что y (или х) выражено через s. Практически в этих формулах s выражают через ту переменную (t, х или θ), которая играет роль независимой в аналитическом представлении кривой.

Статические моменты Мх и Мy кривой позволяют легко установить положение ее центра тяжести С( ξ, η). Точка С обладает тем свойством, что если в ней сосредоточить всю "массу" S кривой (выражаемую тем же числом, что и длина), то момент этой массы относительно любой оси совпадает с моментом кривой относительно этой оси; в частности, если рассмотреть моменты кривой относительно осей координат, то найдем

, ,

откуда

, . (3)

Из формулы для ординаты η центра тяжести мы получаем замечательное геометрическое следствие. В самом деле, имеем

, откуда ;

но правая часть этого равенства есть площадь Р поверхности, полученной от вращения кривой АВ, в левой же части равенства 2πη обозначает длину окружности, описанной центром тяжести кривой при вращении ее около оси х, а S есть длина нашей кривой. Таким образом, приходим к теореме Гульдина.

II. Первая теорема Гульдина

Первая теорема Гульдина:

Величина поверхности, полученной от вращения кривой около некоторой не пересекающей ее оси, равна длине дуги этой кривой, умноженной на длину окружности, описанной центром тяжести С кривой (рис. 1)

Р = S·2πη

Эта теорема позволяет установить координату η центра тяжести кривой, если известны ее длина S и площадь Р описанной ею поверхности вращения.

Рассмотрим следующие примеры:

). Найти статический момент обвода эллипса x2/a2 + у2/b2 = 1 относительно оси x (предполагая а > b).

Для верхнего (или нижнего) полуэллипса этот момент только отсутствием множителя 2π отличается от величины соответствующей поверхности вращения. Поэтому

статический центр тяжесть гульдин

). Если рассматриваемая дуга симметрична относительно некоторой прямой, то центр тяжести дуги необходимо лежит на этой прямой.

Для доказательства примем ось симметрии за ось у, а точку ее пересечения с кривой - за начальную точку для отсчета дуг. Тогда функция х = Ф(s) окажется нечетной функцией от s и, если на этот раз длину всей кривой обозначить через 2S, будем иметь

=0,

откуда и ξ = 0.

3). Пользуясь первой теоремой Гульдина, определить положение центра тяжести дуги  (рис. 2) круга радиуса r.

Так как эта дуга симметрична относительно радиуса ОМ, проходящего через ее середину М, то ее центр тяжести С лежит на этом радиусе, и для полного определения положения центра тяжести необходимо лишь найти его расстояние η от центра О. Выбираем оси, как указано на рисунке, и обозначим длину дуги через s, а ее хорды АВ (=А⁄В⁄) - через d. От вращения рассматриваемой дуги вокруг оси х получается шаравой пояс, площадь поверхности Р которого равна 2πrd.

Рис.2

По теореме Гульдина, та же поверхность равна 2πηs, так что Sη = rd и

η = rd/s.

В частности, для полуокружности d = 2r, s = πr и η = 2r/π = 0,637r.

). В тех случаях, когда наперед ясно положение центра тяжести, теоремой Гульдина можно воспользоваться для определения площади поверхности вращения. Пусть, например, требуется определить величину поверхности кольца (тора), т.е. тела образованного вращением круга около оси, не пересекающей его (рис. 3).

Рис.3

Так как очевидно, что центр тяжести окружности совпадает с ее центром, то (при обозначении рисунка) имеем P=2πr·2πd=4π2rd.

III. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры

Рассмотрим плоскую фигуру АА⁄В⁄В (рис. 4), ограниченную сверху кривой АВ, которая задана явным уравнением y = f(x). Предположим, что вдоль по этой фигуре равномерно распределены массы, так что поверхностная плотность их ρ (т.е. масса, приходящаяся на единицу площади) постоянна. Без существенного умаления общности можно тогда принять, что ρ = 1, т.е., что масса любой части нашей фигуры измеряется ее площадью. Это всегда и подразумевается, если говорят просто о статических моментах (или о центре тяжести) плоской фигуры.

Рис.4

Желая определить статические моменты Мх, Му этой фигуры относительно осей координат, мы выделим, как обычно, какой-нибудь элемент нашей фигуры в виде бесконечно узкой вертикальной полоски (рис. 4). Приняв эту полоску приближенно за прямоугольник, мы видим, что масса ее (выражаемая тем же числом, что и площадь) будет ydx. Для определения соответствующих элементарных моментов dМx, dМy предположим всю массу полоски сосредоточенной в ее центре тяжести (т.е. в центре прямоугольника), что, как известно, не изменяет величины статических моментов. Полученная материальная точка отстоит от оси х на расстоянии 0,5у, от оси y - на расстоянии (х + 0,5dx); последнее выражение можно заменить просто через х, ибо отброшенная величина 0,5dx, умноженная на массу ydx, дала бы бесконечно малую высшего порядка. Итак, имеем

, .

Просуммировав эти элементарные моменты, придем к результатам

, , (4)

причем под у разумеется функция f(x), фигурирующая в уравнении кривой АВ.

Как в случае кривой, по этим статическим моментам рассматриваемой фигуры относительно осей координат легко определить теперь и координаты ξ, η центра тяжести фигуры. Если через Р обозначить площадь (а следовательно, и массу) фигуры, то по основному свойству центра тяжести

, ,

откуда

,  (5)

И в данном случае мы получаем важное геометрическое следствие из формулы для ординаты η центра тяжести. В самом деле, из этой формулы имеем

.

Правая часть этого равенства выражает объем V тела, полученного от вращения плоской фигуры АА/ВВ/ около оси х, левая же часть выражает произведение площади этой фигуры Р на 2πη − длину окружности, описанной центром тяжести фигуры. Отсюда вторая теорема Гульдина.

IV.Вторая теорема Гульдина

Вторая теорема Гульдина:

Объем тела вращения плоской фигуры около не пересекающей ее оси равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжести фигуры:

V=Ρ·2πη.

Заметим, что формулы (4), (5) распространяются на случай фигуры, ограниченной кривыми и снизу и сверху (криволинейная трапеция). Например, для этого случая

, ; (4а)

отсюда ясно уже, как преобразуются формулы (5). Если вспомнить формулы

,

то легко усмотреть, что теорема Гульдина справедлива также и для этого случая.

Рассмотрим следующие примеры:

. Найти статические моменты Мх, Му и координаты центра тяжести фигуры, ограниченной параболой у2 = 2рх, осью х и ординатой, соответствующей абсциссе х.

Так как, то по формулам (4)

, .

С другой стороны, площадь , т.е.

.

В таком случае по формулам (5)

 , .

Пользуясь значениями ξ и η, легко найти - по теореме Гульдина - объем тела вращения рассматриваемой фигуры вокруг осей координат или вокруг конечной координаты. Например, если остановиться на последнем случае, так как расстояние центра тяжести от оси вращения есть 2х/5, то искомый объем будет

.

. Если фигура имеет ось симметрии, то центр тяжести фигуры необходимо лежит на этой оси.

Докажем это для случая фигуры, ограниченной снизу и сверху кривыми y1 = f1(x) и y2 = f2(x). Если взять ось симметрии за ось y,то обе функции y1 и y2 окажутся четными; промежуток же изменения x в этом случае будет иметь вид [-а, а]. Тогда, по второй из формул (4а) ( Пусть f непрерывна в симметричном промежутке [-а; а] (а>0). Тогда в случае четной функции

, а в случае нечетной . В обоих случаях интеграл представляется в виде суммы интегралов и к первому из них применяется подстановка x= -t).

.

Подобно первой теореме Гульдина и вторая теорема также может быть использована в том случае, когда положение центра тяжести ясно, для определения объема соответствующего тела вращения. Например, для тора (3) получается объем V= 2π2r2d.

Заключение

Целью курсовой работы „Теорема Гульдина и ее применение” было получение новых знаний для решения задач на нахождение статических моментов и центра тяжести кривой, а так же на нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры.

В работе представлен целый ряд задач, решаемых с помощью теоремы Гульдина, что и явилось практическим применением знаний на практике. Кроме того, в процессе подготовки материала для курсовой работы, укрепили ранее полученные знания.

Удачное использование задач (примеров) способствовало более успешному усвоению учебного материала и быстрому формированию умений и навыков, развитию абстрактного, логического мышления.

Литература

1.       Г.М. Фихтенгольц Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. Глава 10. Издательство „Наука” Главная редакция физико - математической литературы. Москва 1969.

2.       Г.М. Фихтенгольц Основы математического анализа: учебник для механ. - матем. и физ. - матем. Фак. гос. ун-ов и для физ. - матем. фак. пед. ин-в. - М.: Гостехиздат, 1955-т. 1-440с.