Основы высшей математики
Федеральное
агентство по образованию ГОУ ВПО
Филиал
Уральского государственного экономического университета в г. Березники
Кафедра
математики и естественных наук
Контрольная
работа № 1
по
дисциплине: "Математика"
Выполнил:
Студентка I курса,
группы ЭКПС-091
Лоскутова Ирина
Петровна
Проверил:
к. ф-м. н.,
профессор
Кобзев Виктор
Николаевич
Березники
Задача 1.1 Вычислить определитель 4-го порядка
Решение. Так как элемент 
, то 1-ую
строку нужно умножить на (- 2) и прибавить ко 2-ой строке; 1-ую строку умножаем
на (- 3) и прибавляем к 3-ей строке; 1-ую строку умножаем на (- 4) и прибавляем
к 4-ой строке, получаем матрицу:
Ответ: 
.
Задача 1.2 Решить систему матричным
способом
Решение. В матричной форме система
имеет вид: 
(1), где
; 
; 
.
Найдем определитель матрицы А:
.
Так как 
, то матрица
А невырожденная и обратная матрица 
существует.
Найдем матрицу 
,
транспонированную к А:
.
Найдем алгебраические дополнения к
матрице :
;
;
;
;
;
;
;
.
Из алгебраических дополнений
элементов матрицы составим
присоединенную матрицу 
:
.
Вычислим обратную матрицу :
.
Проверим правильность вычисления
обратной матрицы:
По формуле (1) вычислим:
Ответ: 
Проверка:
Þ
Þ Система решена верно.
Задача 1.3 Решить систему методом
Крамера
Решение. Найдем определитель системы
Так как 
, то по
теореме Крамера система имеет единственное решение.
;
.
математический матрица
невырожденный транспонированный
По формулам Крамера:
;
Ответ: решение системы 
.
Задача 1.4 Найти общее решение
системы, используя метод Гаусса
Решение. Расширенная матрица система
имеет вид:
Так как элемент , то 1-ую
строку прибавляем ко 2-ой строке, 1-ую строку умножаем на (- 2) и прибавляем к
3-ей строке, 1-ую строку умножаем на 4 и прибавляем к 4ой строке, исключим
элемент 
из всех
строк, начиная со второй. Результаты запишем в матрицу:
Так как элемент 
, то,
умножаем 3-ю строку на (- 1) и прибавляем к 4-ой строке, исключим элемент 
из 4-ой
строки. Результаты запишем в матрицу:
Система уравнений примет вид:
,
- связные элементы, 
-
свободная, 
Ответ:
Проверка. Подставим все значения в
первое уравнение системы.
Получим:
Þ система решена верно.
Задача 1.5
Даны векторы
, 
.
Найти: 1) 
, 2) 
, 3) 
, 4) 
, 5) 
.
Решение
, 
.
) 
.
) 
.
) 
.
)
Т.к. 
, то
) 
.
Ответ:
) 
,
) 
,
) 
,
) 
,
) 
.