Исследование статистических зависимостей для контактных систем типа W UMa
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................3
§1 Классификация тесных двойных
систем.............................................
§2 Алгоритм ZET.........................................................................................
§3 Применение метода ZET……………………………………………..
ВЫВОДЫ.......................................................................................................
ПРИЛОЖЕНИЕ.............................................................................................
ЛИТЕРАТУРА...............................................................................................
ВВЕДЕНИЕ.
Изучение фотометрических и абсолютных элементов
тесных двойных систем, находящихся на разных стадиях эволюции,
представляет большой интерес с точки зрения статистического исследования
этих систем, изучения строения Галактики, а также теории происхождения и
эволюции одиночных и двойных звезд. Одной из важных характеристик тесных
двойных систем является отношение масс мене массивной компоненты к более
массивной q=m2/m1 . Отношение масс позволяет уточнить эволюционный тип звезды,
определить форму внутренней критической поверхности (т.н. полости Роша), а
также положение первой точки Лагранжа. Для контактных систем, исследуемых в
данной работе, у которых обе компоненты близки друг к другу и практически
наполняют пределы полости Роша, отношение масс q, кроме всего прочего,
определяет конфигурацию всей системы (зависящую от большой полуоси A,
отношения масс q, угла наклона i).
Однако, отношение масс q известны точно для очень
малого числа систем, имеющих данные спектроскопических наблюдений.
Фотометрические же данные, полученные, как правило, с помощью метода синтеза
кривых блеска, не являются надежными, так как этот метод позволяет получить
точное решение лишь для симметричных кривых блеска. Так, например, у
контактных систем, исследуемых в данной работе, вследствие близости
компонент друг к другу, кривые блеска сильно искажены газовыми потоками,
пятнами и околозвездными газовыми оболочками.
Для статистических исследований представляет
значительный интерес хотя бы приближенная оценка относительных и абсолютных
параметров тех затменных систем, для которых элементы спектроскопической орбиты
неизвестны и прямое вычисление их абсолютных характеристик не представляется
возможным.
М.А. Свечников и Э.Ф. Кузнецова в [2] для такой
приближенной оценки использовали статистические соотношения (масса - радиус,
масса - спектр, масса - светимость и др.) для компонент различных типов, а
также ряд других статистических зависимостей. Из-за того, что использованные
для определения элементов статистические зависимости носят приближенный
характер, следует ожидать, что для многих систем найденные в [2]
приближенные элементы окажутся неточными и даже ошибочными. Это обусловливает
необходимость теоретических подходов к оценке параметров затменных переменных
звезд. В изученной статье [1] отношение масс компонент q и спектральный класс
главной компоненты Sp1 для звезд типа W UMa определяется с помощью
статистического метода ZET, разработанного в Международной лаборатории
интеллектуальных систем (Новосибирск) Н.Г. Загоруйко. Метод ZET применялся для восстановления глубины
вторичных минимумов звездных систем типа РГП (ошибка прогноза составила
5-8%), спектров звезд этого типа, спектров класса главной компоненты контактных
систем типа KW и отношения масс.
Точность восстановления доходила до 10% и только для q этот результат был завышен. Была составлена таблица, в которую включены q, полученные разными авторами, для
некоторых отдельных систем значения q имеют очень большие расхождения. Поэтому цель данной работы улучшить
качества восстановления q методом ZET.
§1. Классификация тесных
двойных систем.
В 1967-69 гг. М.А.Свечниковым была
разработана классификация тесных двойных систем, сочетающая достоинства
классификации Копала(1955), учитывающей геометрические свойства этих систем
(размеры компонент по отношению к размерам соответствующих внутренних
критических поверхностей (ВКП) Роша) и классификации Крата(1944, 1962 гг.),
основанной на физических характеристиках компонентов, входящих в данную
систему. Эта классификация удобна при статистических исследованиях тесных
двойных звезд, и, будучи проведена по геометрическим и физическим
характеристикам компонентов затменных систем (отношению размеров компонентов
к размерам соответствующих ВКП, спектральным классам и классам светимости компонентов),
оказывается в то же время связанной с эволюционными стадиями затменных
систем, определяемыми их возрастом, начальными массами компонентов и начальными
параметрами орбиты системы.
Как было показано в работе М.А.Свечникова
(1969), подавляющее большинство изученных затменных переменных звезд (т.е. тех
систем, для которых определены фотометрические и спектроскопические
элементы) принадлежит к одному из следующих основных типов:
1. Разделенные системы главной последовательности
(РГП), где оба компонента системы являются звездами главной
последовательности, не заполняющими соответствующие ВКП, обычно не
приближающиеся к ним ближе по размерам чем ¾
2. Полу разделенные системы (ПР), где более
массивный компонент является звездой главной последовательности, обычно
далекой от своего предела Роша, а менее массивный спутник является
субгигантом, обладающим избытком светимости и радиуса и близким по размерам к
соответствующей ВКП.
3. Разделенные системы с субгигантом (РС), у
которых, в отличии от ПР-систем, спутник-субгигант, несмотря на большой
избыток радиуса, не заполняет свою ВКП, а имеет размеры, значительно
меньшие, чем последняя.
4. "Контактные" системы, в которых
компоненты близки по своим размерам к соответствующим ВКП (хотя и не
обязательно в точности их заполняют). Эти системы подразделяются на два
разных подтипа:
а) Контактные системы типа W UMa (KW), имеющие, в
большинстве случаев, спектры главных компонентов более поздние, чем F0.
Главные (более массивные) компоненты у этих систем не уклоняются значительно
от зависимостей масса-светимость и масса-радиус для звезд главной
последовательности в то время, как спутники обладают значительным избытком
светимости (подобно субгигантам в ПР и РС-системах), но не обладают избытком
радиуса (вследствие чего они располагаются на диаграмме спектр-светимость левее
главной начальной последовательности, примерно параллельно ей);
б) Контактные системы ранних спектральных классов
(КР) (F0 и более ранние), где оба компонента, близкие по размерам к своим
ВКП, тем не менее, в большинстве случаев не уклоняются значительно от
зависимостей масса-светимость и масса-радиус для звезд главной
последовательности.
5. Системы, имеющие хотя бы один компонент,
являющийся либо сверхгигантом, либо гигантом позднего спектрального класса
(С-Г). Такие системы сравнительно многочисленны среди изученных затменных
переменных вследствие их высокой светимости и необычных физических
характеристик, но в действительности они, по-видимому, должны составлять лишь
небольшую долю от общего числа тесных двойных систем.
6. Системы, у которых, по крайней мере, один
компонент лежит ниже главной последовательности и является горячим субкарликом
или белым карликом (С-К). Сюда же были отнесены и системы, один из
компонентов, которых является нейтронной звездой или "черной
дырой", а также системы с WR-компонентами.
Подобная классификация была выполнена ранее
М.А.Свечниковым (1969) для 197 затменных систем с известными абсолютными
элементами. Она могла быть более или менее уверенно проведена также для
затменных переменных с известными фотометрическими элементами, у которых
можно каким-либо образом оценить и отношение масс компонентов q=m2/m1 и тем
самым определить относительные размеры соответствующих ВКП. Так, из
примерно 500 затменных систем с известными фотометрическими элементами,
имеющихся в карточном каталоге М.А.Свечникова, надежную классификацию можно
было провести для 367 систем. В остальных случаях при отнесении системы к тому
или иному типу имеется некоторая степень неуверенности, обычно из-за
отсутствия или ненадежности имеющихся данных о величине q.
§2 Алгоритм
ZET.
Алгоритм ZET предназначен для
прогнозирования и редактирования (проверки) значений в таблицах
"объект-свойство". В таких таблицах строки соответствуют
рассматриваемым объектам, а столбцы есть значения характеристик, описывающих
эти объекты. Таким образом, на пересечение строки с номером "i" и
столбца с номером "j", будет находиться значение j-ой характеристики
для i-го объекта. Клетку таблицы, расположенную на пересечение i-ой строки и
j-го столбца, обозначим символом Aij. Пусть значения Aij неизвестно. Можно
достаточно уверенно предсказать это значение, если использовать имеющиеся в
таблице закономерности. В реальных таблицах многие столбцы связаны друг с
другом. Есть в таблицах и строки, похожие друг на друга по значениям своих
характеристик. В алгоритме ZET выявляются такие связи, и на их основе
выполняется предсказание искомого значения. Предсказание осуществляется на
основе принципа локальной линейности. Это одна из основных идей, позволившая
построить эффективный метод и получать хорошие результаты. Она заключается в
том, что предсказание выполняется не на всей информации, имеющейся в таблице, а
только на той ее части, которая наиболее тесно связана со строкой и
столбцом, в которых этот пробел находится. Другими словами, в алгоритме
ZET, в отличии от многих других алгоритмов заполнение пробелов, реализуется
"локальный" подход к предсказанию каждого пропущенного значения. Для
вычисления этого значения строится своя "предсказывающая подматрица",
содержащая только имеющую отношение к делу информацию. В подматрицу
отбираются в порядке убывания сходства строки, т.е. строки, самые похожие на
строку, содержащую интересующий нас пробел, а затем для выбранных строк
отбираются также в порядке убывания сходства столбцы "самые
похожие" на столбец, содержащий этот пробел.
Предсказание элемента Aij по k-му столбцу
Aij(k) делается на основание гипотезы о линейной зависимости между столбцами,
при этом сначала вычисляются коэффициенты линейной регрессии Вjk и Сjk
,и по ним находится элемент Aij(k):
Aij(k)=Bjk*Aik+Cjk.
После того, как будут сделаны предсказания Аij(k)
по всем р столбцам, не имеющим пропуска в i-ой строке, вычисляется
средневзвешенная величина элемента:
Aij(стб)=(
Aij(k)*Qkj)/(Qkj)
Вклад каждого столбца (строки) в результат
предсказания зависит от их "компетентности" Q, являющейся
функцией двух аргументов: "близости" между j-м и k-м столбцами (i-ой
и l-ой строками) и "взаимной заполненность" этих столбцов (строк).
"Близость" представляет собой степенную функцию модуля коэффициента
линейной корреляции (Rkj)а (или (Ril)а). "Взаимная заполненность"
k-го и j-го столбцов (Lkj) равна числу непустых пар элементов этих столбцов Alk
и Alj для всех l от 1 до m. Отсюда:
Qil=(Ril)a*Lil
Qkj=(Rkj)a*Lkj
.
Выбор показателя степени а осуществляется следующим образом, при каждом из
последовательных значений а (из некоторого заданного диапазона
amin<a<amax) выполняется предсказание всех известных элементов k-го
столбца матрицы A(i,j). При каждом a вычисляется расхождение между
фактическими и предсказанными значениями. Для предсказания Aij выбирается то
из значений a, при котором была получена лучшая средняя точность dj
предсказания этих известных значений. Легко увидеть, что, чем больше (Rkj)a,
тем с большим весом будут учитываться сведения от самых "похожих"
столбцов и тем сильнее будут подавляться подсказки от менее
"похожих".
Аналогичная процедура построения формулы и
оценки точности вычисления всех элементов i-ой строки выполняется для проверки
возможности предсказания Aij как элемента строки.
Aij(стр)=(
*Qil)/(
)
Данные в матрице A(i,j) предварительно нормированы
так, чтобы элементы каждого столбца изменялись в пределах от 0 до 1. После
получения оценок предсказания по строкам и столбцам сравнивается точность, с
которой удалось предсказать известные элементы i-ой строки di и j-го столбца
dj. Окончательно для предсказания выбирается либо Aij(стб), либо
Aij(стр), в зависимости от того, где точность d оказалась выше. Эта
точность рассматривается в качестве ожидаемой ошибки предсказания Aij.
Итак, в алгоритме ZET можно выделить основные
этапы:
1. Проводится нормировка столбцов таблицы исходных
данных по дисперсиям.
2. Выбирается пробел Aij, находящийся на
пересечение i-ой строки и j-го столбца.
rев=[
]1/2
,
где Xj, Yj - соответственно значения j-го
свойства объектов X и Y. Использование такой меры сходства и обуславливает
применимость алгоритма к таблицам данных, представленных в сильных шкалах, для
которых операции, использованные в формуле, являются допустимыми
преобразованиями. По расстоянию rев выбирается заданное число
объектов-аналогов, а для них- свойств-аналогов.
4. В матрице, состоящей из отобранных строк,
столбцы нормируются к интервалу [0,1] и выбирается заданное количество
столбцов, наиболее сильно связанных с j-м.
5. По исходной таблице формируется
"предсказывающая" подматрица, составленная из элементов, находящихся
на пересечении i-ой и ближайшей к ней строк с j-м и ближайших к нему
столбцами.
6. Столбцы полученной подматрицы нормируются к
интервалу [0,1].
7. Из уравнений линейной регрессии для k-го
элемента Aij вычисляются "подсказки" Aij от строк и (или) столбцов
"предсказывающей" подматрицы.
8. Находится коэффициент а, определяющий степень
учета взаимного сходства столбцов (строк) подматрицы при вычислении
итогового значения прогнозируемого элемента Aij.
9. Процедура 2-8 повторяется для каждого пробела.
10. Значения, вычисленные в режимах заполнения в
зависимости от входных условий, заносятся в таблицу сразу же после вычисления
каждого из них или только после окончания прогнозирования значений для всех
пробелов таблицы.
11. Пункты 1-10 повторяются. Количество
повторений задается во входных условиях.
Когда сформирована группа объектов-аналогов и
найдены в этой группе наиболее информативные свойства для интересующего нас
объекта, т.е. сформирована "предсказывающая" подматрица, алгоритм
переходит к этапу построения формулы для прогнозирования.
Иначе говоря, алгоритм ZET можно разбить на
две части:
1. Выбор из исходной таблицы наиболее связанной с
интересующим нас объектом Aij информации-построения
"предсказывающей" подматрицы.
2. Определения параметров формулы для возможно
лучшего предсказания значения рассматриваемого элемента Aij с одновременной
оценкой ожидаемой точности прогноза.
В алгоритме ZET, как было отмечено выше,
предусмотрен "персональный" подход к прогнозированию каждого
интересующего нас элемента таблицы. Для каждого элемента Aij подбирается своя
предсказывающая подматрица, в которой содержатся только строки, наиболее
похожие на i-ую и столбцы, наиболее связанные с j-м и по этой
"персональной" информации подбирается персональная формула для
прогнозирования элемента Aij. Для того, чтобы при определении сходства
объектов (строк) "вклад" каждого показателя (свойства) не зависел
от единиц измерения и был сопоставим с вкладами других показателей, производится
нормировка каждого столбца относительно его дисперсии. Если есть
необходимость учесть неравнозначность вкладов свойств в меру сходства, т.е.
если из каких-либо соображений известны значимости, "веса" свойств,
то их можно учесть, умножив отнормированные данные на эти веса.
Если пробелов в данных много, вряд ли можно
надеяться заполнить их все сразу с хорошей точностью. Поэтому организуется
многоступенчатая процедура заполнения. Она состоит в том, чтобы на первом
этапе заполнить при минимальном размере подматриц наиболее надежные элементы,
т.е. те, которые удается предсказать с заданной точностью. Затем поставить
эти значения в таблицу и, уже считая их известными, вновь обратиться к
программе с теми же условиями на требуемую точность и размер подматриц.
Добавленная в таблицу информация может дать возможность предсказать еще ряд
значений.
Процесс повторяется при одних и тех же
условиях до тех пор, пока не прекратится предсказание новых элементов. Тогда
можно повторять цикл заполнения.
§ 3 Применение метода ZET для восстановления физических
параметров контактных систем.
Для того, чтобы
правильно спрогнозировать неизвестные элементы, необходимо решить ряд
существенных вопросов:
1. Какие характеристики звезд могут
быть наиболее информативны с точки зрения предсказания отношения масс q;
2. Можно ли ожидать достаточно хороших
результатов;
3. Если да, то как организовать
решение, чтобы заполнить больше пробелов с приемлемой точностью;
4. Можно ли
доподлинно проверить "качество" вычисленных значений.
Для решения первой проблемы -
отбора наиболее информативных для предсказания q характеристик звезд было
выполнено редактирование всех известных значений первого столбца, содержащего
отношение масс q контрольной таблицы размерностью 15х14, куда вошли 15 систем
типа W UMa и 14 их параметров из [3] (известных абсолютно точно), на
предсказывающих подматрицах 6х6, 5х5, 4х4. Объектами в данной таблице были
контактные системы типа W UMa, а в качестве свойств были взяты следующие
параметры: отношение масс компонент q, спектральный класс главной компоненты
Sp1, масса главной компоненты m1, абсолютная болометрическая величина более
массивной компоненты M1bol, большая полуось орбиты в долях радиуса Солнца A,
угол наклона орбиты i, период затменной системы P, средний радиус главной
компоненты в долях большой полуоси орбиты r1, средний радиус второстепенной
компоненты в долях большой полуоси орбиты r2, относительный блеск более
массивной компоненты L1, отношение поверхностных яркостей более массивной
компоненты к менее массивной J1/J2, радиус главной компоненты в долях радиуса
Солнца R1, радиус второстепенной компоненты в долях радиуса Солнца R2,
абсолютная болометрическая величина менее массивной компоненты M2bol.
По результатам редактирования была
составлена таблица, где показано участие отдельных параметров в
предсказании отношения масс компонентов q. Из таблицы видно, что параметры P,
r1, L1, J1/J2, R1 и M2bol плохо (т.е. редко) участвуют в предсказании и
вклад их достаточно мал, поэтому их можно отбросить. Так как параметры r2 и
R2 связаны с q эмпирическими формулами: r~rкрит(q) и lg(m)=-0.153+1.56*lg(R),
то их также представляется целесообразным отбросить. Таким образом, остается
таблица 15х6, в которую входят 15 объектов и 6 параметров: q, Sp1, M1bol, m1,
A, i. На этой таблице было выполнено редактирование первого столбца,
содержащего отношение масс q и второго столбца, содержащего спектральные
классы главных компонент Sp1. Получены средние ошибки редактирования
соответственно d=13.555% и d=6.6791%. Поскольку средние ошибки редактирования
малы, то можно сделать вывод, что отобранные параметры позволяют с достаточно
высокой степенью точности восстановить неизвестные значения q.
Далее, из [2] были взяты 295 систем
типа KW, для которых выписаны указанные выше 6 параметров, и составлена
рабочая таблица 295х6 , где на месте предсказываемых элементов стоят пробелы.
В качестве известных значений q были взяты значения из [3 - 16]. Всего
получилось 72 известных значения q, опираясь на которые программа будет
предсказывать остальные значения.
Для оценки целесообразности
применения метода ZET при прогнозировании недостающих значений q на рабочей
таблице 295х6 было выполнено редактирование 1-го столбца при предсказывающей
подматрице 5х5. Средняя ошибка редактирования d=11.837%. Таким образом,
осталось 70 известных значений q при 225 неизвестных. Как видно из результатов
редактирования значения q могут быть восстановлены по имеющимся в таблице
данным с достаточно высокой степенью точности.
Для дополнительной проверки
эффективности метода было проведено сравнение 72 известных значений отношений
масс со значениями, вычисленными методом ZET. В процессе вычисления
использовался режим редактирования, так как предполагалось, что наблюденные
данные 72 звезд получены с достаточной степенью надежности. Было выполнено
редактирование 72 известных элементов на предсказывающих подматрицах 4х4, 5х5,
6х6 и составлена промежуточная таблица полученных ZET-методом q и
соответствующих ошибок редактирования. Получив данные редактирования, мы
перешли непосредственно к предсказанию неизвестных значений q. Предсказание
велось при границах изменения от 4 до 6 ближайших строк и столбцов при
формирования предсказывающих подматриц, т. е. для каждого предсказываемого
значения программа перебирает все варианты предсказывающих подматриц от 4 до
6 (4х4, 4х5, и т.д. до 6х6) и выбирает значение с наименьшей ожидаемой
ошибкой прогнозирования. Было установлено, что режим ZM1 занижает ошибку
предсказания примерно в два раза. Для этого мы сравнили прогнозируемую и
фактическую ошибки (~8% и ~18% соответственно). Аналогично установили, что
режим ZM3 несколько завышает ошибку предсказания (~20% и ~22%). В режиме ZM3
ожидаемое отклонение (min, при различных a, средняя величина отклонения
предсказанного значения от истинного всех элементов строки (столбца),
связанных с прогнозируемым элементом) не является реальной ошибкой
предсказания, исходя из этого мы предложили свой метод определения ошибки,
разделив ожидаемое отклонение на предсказанное значение и умножив на
100%. Как показало редактирование, режим ZM1 производит более точное
предсказание, чем режим ZM3 (хотя значения предсказаний довольно близки:
фактическая ошибка в ZM1 ~17%, в ZM3 ~20%), поэтому предсказание велось
параллельно в режимах ZM1 и ZM3 для контроля над ошибкой.
Получили следующие результаты
прогнозирования: из 225 восстановленных систем типа W UMa 218 получены с ошибкой ~5%, 7~10%. По сравнению с данными наблюдения реальная ошибка превышает
полученную методом в 3 раза. Следовательно, метод занижает ошибку прогноза.
Часть полученных значений q приблизительно совпадает, а для некоторых имеются
существенные отличия. Это связано: 1) с недостатком наблюдательных данных; 2)
с ненадежностью исходных данных; 3) с неполнотой выборки; 4) с некорректностью
подсчета ошибки данным методом.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Svirskaya E.M., Shmelev A.Yu.
“Astronomical and astrophysical transactions”
2. Свечников М.А., Кузнецова Э.Ф. “Каталог
приближенных фотометрических и абсолютных элементов затменных переменных
звезд”, Свердловск, Изд-во Уральского Университета, 1990.
3. Свечников М.А. ”Каталог
орбитальных элементов, масс и светимостей
тесных двойных звезд”,
Иркутск, Изд-во Иркутского Университета , 1986
.
4.
Загоруйко Н.Г. “Эмпирическое
предсказание”, Новосибирск , Изд-во Наука, 1979.
Загоруйко Н.Г., Елкина В.Н., Лбов Г.С.,
“Алгоритмы обнаружения эмпирических закономерностей”, Новосибирск,
Изд-во Наука, 1985.