Статистические задачи
ЗАДАЧА 1
По исходным данным
вычислить основные аналитические показатели рядов динамики (по цепной и
базисной схемам):
а)
средний уровень
ряда динамики;
б)
абсолютный
прирост;
в)
темп роста;
г)
темп прироста;
д)
абсолютное
значение 1% прироста;
е)
средний темп
роста и средний темп прироста.
Средний уровень
интервального ряда определим по формуле:
где Yi – значение грузооборота;
n – число значений в динамическом
ряду.
Абсолютный прирост
относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:
ΔYi=Yi-Y0
Абсолютный прирост
грузооборота относительно предшествующего года определим по формуле:
ΔYi=Yi-Yi-1
Темп роста относительно
базисного уровня грузооборота определим по формуле:
Темп роста грузооборота
относительно предшествующего года определим по формуле:
Темп прироста
относительно базисного уровня грузооборота определим по формуле:
Темп прироста грузооборота
относительно предшествующего года определим по формуле:
Средний темп роста
грузооборота определим по формуле:
Средний темп прироста
грузооборота определим по формуле:
Абсолютное значение
одного процента прироста определим по формуле:
Результаты расчёта
аналитических показателей ряда динамики представим в таблице 1.1
Таблица 1 – Основные
аналитические показатели ряда динамики
Показатель
|
Схема счета
|
Периоды
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
Уровень ряда
|
|
1199
|
1253
|
1573
|
1385
|
1276
|
1385
|
1266
|
1358
|
Средний уровень ряда
|
|
1336,875
|
|
|
|
|
|
|
|
Абсолютный прирост
|
Базисная
|
100
|
54,0
|
374,0
|
186,0
|
77,0
|
186
|
67
|
159
|
Цепная
|
100
|
54,0
|
320,0
|
-188,0
|
-109,0
|
109,0
|
-119,0
|
92,0
|
Темп роста
|
Базисная
|
100
|
104,5
|
131,2
|
115,5
|
106,4
|
115,5
|
105,6
|
113,3
|
Цепная
|
100
|
104,5
|
125,5
|
88,0
|
92,1
|
108,5
|
91,4
|
107,3
|
Темп прироста
|
Базисная
|
100
|
4,5
|
31,2
|
15,5
|
6,4
|
15,5
|
5,6
|
13,3
|
Цепная
|
100
|
4,5
|
25,5
|
-12,0
|
-7,9
|
8,5
|
-8,6
|
7,3
|
Абсолютное значение 1% прироста
|
|
|
11,99
|
12,53
|
15,73
|
13,85
|
12,76
|
13,85
|
12,66
|
Средний темп роста
|
|
101,79
|
|
|
|
|
|
|
|
Средний темп прироста
|
|
1,79
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведем сглаживание
данных за три года при помощи двенадцатимесячной скользящей средней,
централизованной на седьмой месяц. Рассчитаем коэффициент сезонности по данным
трех лет, и построим график сезонной волны.
Сглаживание рядов
динамики производится с помощью простых средних, скользящей средней, методами
аналитического выравнивания. Скользящие средние рассчитываются по формулам:
;
и
т.д. - нецентрализованная
-
централизованная
Коэффициент сезонности
определяется как отношение уровней ряда к их среднему уровню по формуле:
Средний коэффициент
сезонности за рассматриваемый период находим по формуле:
где n – количество рассчитанных
коэффициентов сезонности по одноименным месяцам.
Расчет скользящей средней
и коэффициента сезонности приведем в таблице 1.2.
Простроим график сезонной
волны по средним коэффициентам сезонности. График приведен на рисунке 1.
Рисунок 1 – График
сезонной волны
Таблица 2 – Расчет
коэффициента сезонности
Год
|
Месяц
|
Уровень ряда
|
Скользящая средняя
|
Коэффициент сезонности
|
Средний коэффициент сезонности
|
нецентрированная
|
центрированная
|
1994
|
1
|
21,1
|
|
|
|
|
2
|
22,8
|
|
|
|
|
3
|
23,9
|
|
|
|
|
4
|
23,8
|
|
|
|
|
5
|
24,5
|
|
|
|
|
6
|
24,6
|
23,550
|
|
|
|
7
|
25,9
|
23,492
|
23,521
|
104,016
|
|
8
|
25,7
|
23,617
|
23,554
|
103,213
|
|
9
|
24,2
|
23,783
|
23,700
|
97,189
|
|
10
|
25,5
|
23,942
|
23,863
|
102,410
|
|
11
|
22,3
|
24,067
|
24,004
|
89,558
|
|
12
|
18,3
|
24,217
|
24,142
|
73,494
|
|
1995
|
1
|
20,4
|
24,308
|
24,263
|
81,928
|
81,53
|
2
|
24,3
|
24,408
|
24,358
|
97,590
|
97,39
|
3
|
25,9
|
24,500
|
24,454
|
104,016
|
107,23
|
4
|
25,7
|
24,592
|
24,546
|
103,213
|
107,03
|
5
|
26
|
24,608
|
24,600
|
104,418
|
107,83
|
6
|
26,4
|
24,750
|
24,679
|
106,024
|
110,84
|
7
|
27
|
24,733
|
24,742
|
108,434
|
106,22
|
8
|
26,9
|
24,725
|
24,729
|
108,032
|
105,62
|
9
|
25,3
|
24,858
|
24,792
|
101,606
|
99,40
|
10
|
26,6
|
25,017
|
24,938
|
106,827
|
104,62
|
11
|
22,5
|
25,158
|
25,088
|
90,361
|
89,96
|
12
|
20
|
25,358
|
25,258
|
80,321
|
76,91
|
1996
|
1
|
20,2
|
25,517
|
25,438
|
81,124
|
|
2
|
24,2
|
25,942
|
25,729
|
97,189
|
|
3
|
27,5
|
26,325
|
26,133
|
110,442
|
|
4
|
27,6
|
26,367
|
26,346
|
110,843
|
|
5
|
27,7
|
26,467
|
26,417
|
111,245
|
|
6
|
28,8
|
26,400
|
26,433
|
115,663
|
|
7
|
28,9
|
|
|
|
|
8
|
32
|
|
|
|
|
9
|
29,9
|
|
|
|
|
10
|
27,1
|
|
|
|
|
11
|
23,7
|
|
|
|
|
12
|
19,2
|
|
|
|
|
Итого:
|
896,4
|
|
|
|
|
Средняя:
|
24,90
|
|
|
|
|
Из графика видно, что
коэффициент сезонности в начале года увеличивается, а в конце - уменьшается. Наибольшее
отклонение наблюдается в начале года 2-ой и 10 -ой месяц.
ЗАДАЧА 2
Произвести аналитическое
выравнивание рядов динамики по данным задачи 1 о размерах грузооборота по родам
грузов:
а)
при равномерном
развитии y = a0 + a1t ;
б)
при развитии с
переменным ускорением (замедлением) yt = a0 + a1t + a2t2 + a3t3 ;
в)
при изучении
сезонных колебаний по данным об отправлении грузов yt = a0 + (ak cosRt +
bk sinRt) .
Результаты расчётов
представить в виде таблиц и графиков.
1. Способ отсчета времени
от условного начала, когда ∑t=0, дает возможность определить параметры математической функции по
формулам:
Результаты вычислений
приведем в таблице 3:
Таблица 3 – Вычисление
параметров функции y=a0+a1t и y=a0+a1t+a2t2+a3t3
Год
|
t
|
y
|
t²
|
ty
|
t4
|
t6
|
t²y
|
t³y
|
Yti*
|
Yt
|
(Yti*-y)²
|
(Yt-y)²
|
1
|
-4
|
1199
|
16
|
256
|
4096
|
-4796
|
19184
|
-76736
|
1324,2
|
1175,2
|
15677,13
|
566,75
|
2
|
-3
|
1253
|
81
|
729
|
-3759
|
11277
|
-33831
|
1327,4
|
1354,3
|
5531,64
|
10254,93
|
3
|
-2
|
1573
|
4
|
16
|
64
|
-3146
|
6292
|
-12584
|
1330,5
|
1432,5
|
58786,04
|
19730,33
|
4
|
-1
|
1385
|
1
|
1
|
1
|
-1385
|
1385
|
-1385
|
1333,7
|
1438,1
|
2630,84
|
2817,52
|
5
|
1
|
1276
|
1
|
1
|
1
|
1276
|
1276
|
1276
|
1340,0
|
1343,3
|
4101,34
|
4532,35
|
6
|
2
|
1385
|
4
|
16
|
64
|
2770
|
5540
|
11080
|
1343,2
|
1299,2
|
1746,54
|
7364,77
|
7
|
3
|
1266
|
9
|
81
|
729
|
3798
|
11394
|
34182
|
1346,4
|
1294,6
|
6460,14
|
820,27
|
8
|
4
|
1358
|
16
|
256
|
4096
|
5432
|
21728
|
86912
|
1349,5
|
1357,8
|
71,54
|
0,05
|
итого
|
0
|
10695
|
60
|
708
|
9780
|
190
|
78076
|
8914
|
10695,0
|
10695,0
|
95005,21
|
46086,98
|
Тогда:
Уравнение при равномерном
развитии:
y = 1336,88 - 3,17 ∙ t
2. Для вычисления
параметров функции y=a0+a1t+a2t2+a3t3
:
Тогда:
Уравнение при развитии с
переменным ускорением (замедлением):
yt= 1398,98 - 52,06 t - 8,28 t2 + 4,68 t3;
3. По рассмотренным
моделям определим теоретические уровни тренда. Фактические и теоретические
уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 2.
Рисунок 2 – График
фактических и теоретических уровней ряда
Рассчитаем стандартизированную
ошибку аппроксимации –
4. При изучении сезонных
колебаний по данным об отправлении грузов необходимо
рассчитать параметры:
Результаты расчётов
сведём в таблицу 4
Таблица 4 – Выравнивание
ряда динамики y=a0+(aкcosRt+ bкsinRt), 1998 год
Месяц
|
ti
|
yi
|
cos ti
|
sin ti
|
yi∙cos ti
|
yi∙sin ti
|
yti
|
1
|
0
|
21,10
|
1
|
0
|
21,1
|
0
|
21,21
|
2
|
(1:6)π
|
22,80
|
0,86616
|
0,5
|
19,748
|
11,4
|
21,66
|
3
|
(1:3) π
|
23,90
|
0,5
|
0,866
|
11,95
|
20,6974
|
22,62
|
4
|
(1:2) π
|
23,80
|
0
|
1
|
0
|
23,8
|
23,82
|
5
|
(2:3) π
|
24,50
|
-0,5
|
0,866
|
-12,25
|
21,217
|
24,96
|
6
|
(5:6) π
|
24,60
|
-0,866
|
0,5
|
-21,3
|
12,3
|
25,71
|
7
|
π
|
25,90
|
-1
|
0
|
-25,9
|
0
|
25,89
|
8
|
(7:6) π
|
25,70
|
-0,866
|
-0,5
|
-22,26
|
-12,85
|
25,44
|
9
|
(4:3) π
|
24,20
|
-0,5
|
-0,866
|
-12,1
|
-20,9572
|
24,48
|
10
|
(3:2) π
|
25,50
|
0
|
-1
|
0
|
-25,5
|
23,28
|
11
|
(5:3) π
|
22,30
|
0,5
|
-0,866
|
11,15
|
-19,3118
|
22,14
|
12
|
(11:6) π
|
18,30
|
0,866
|
-0,5
|
15,848
|
-9,15
|
21,39
|
|
-
|
282,6
|
|
|
-14,01
|
1,6454
|
282,60
|
Фактические и
теоретические уровни ряда нанесём на график, представленный на рисунке 3.
Рисунок 3 – График
фактических и теоретических уровней ряда выравнивания
Фактические и
теоретические уровни ряда близки по значению, а кривая ряда (рисунок 3) похожа
на гармоническую функцию.
Поэтому функцию можно использовать для выравнивания
ряда динамики.
ЗАДАЧА 3
По данным таблицы
определить:
1) выполнение норм
удельного расхода топлива по отделениям и дороге в целом;
2) сводный индекс расхода
топлива на дороге;
3) изменение среднего
удельного расхода топлива на дороге за счет изменения удельного расхода топлива
на 10000 т/км брутто на отделениях и за счет изменения структуры грузооборота
по отделениям, а также за счет того и другого фактора одновременно;
4) абсолютный размер
экономии (перерасхода) топлива за счет изменения грузооборота на отделениях, за
счет изменения удельного расхода топлива на отделениях.
Таблица 10 – Грузооборот
и удельный расход топлива по отделениям железной дороги
Отделение
|
Удельный расход топлива, кг/10000 т·км брутто.
|
Грузооборот брутто, млн. т·км
|
Выполнение норм удельного расхода топлива, %
|
Расход топлива, тонн
|
Норма
|
Факти-чески
|
Норма
|
Факти-чески
|
% выпол-нения
|
План
|
Факт
|
Отчетного по удельному расходу базисного
|
1
|
50
|
47
|
200
|
113
|
56,5
|
94,0
|
10000
|
5311
|
5650
|
2
|
55
|
57
|
320
|
102
|
31,9
|
103,6
|
17600
|
5814
|
5610
|
3
|
48
|
45
|
400
|
101
|
25,3
|
93,8
|
19200
|
4545
|
4848
|
|
|
|
920
|
316
|
113,6
|
|
46800
|
15670
|
16108
|
1) выполнение норм удельного расхода топлива по
отделениям и дороги в целом
Iи=∑и1q1 / ∑и0q1
=15670 / 16108 = 0,973
2) Сводный индекс расхода топлива
Iиq=∑и1q1 / ∑и0q0
=15670 / 46800 = 0,335
3) Индекс удельного расхода топлива переменного состава
Iи = ∑и1q1/∑q1 : ∑и0q0/∑q0 = ∑и1q1/∑и0q1= 15670/316 : 46800/920
= 0,975
Индекс удельного расхода топлива постоянного состава
Iи=∑и1q1/∑q1 : ∑и0q1/∑q1= ∑и1q1/∑и0q1 = 15670 / 16108 = 0,973
Индекс структурных сдвигов
Iстр= ∑и0q1/∑q1
: ∑и0q0/∑q0
= 16108/316 : 46800/920 = 1,002
4) Экономия топлива за счет изменения удельного расхода
Δиq=∑и1q1-∑и0q1=
15670 - 16108 = -438 кг за счет изменения грузооборота
Δиqq=∑и0q1-∑и0q0=
16108 - 46800 = -30692 кг
ЗАДАЧА 4
№ 1. Для изучения
производительности труда токарей на машиностроительном заводе было проведено
10%-ное выборочное обследование 100 рабочих методом случайного бесповторного
отбора. В результате обследования получены данные о часовой выработке рабочих:
Часовая выработка, шт.
|
18-20
|
20-22
|
22-24
|
24-26
|
26-28
|
28-30
|
Число рабочих
|
2
|
8
|
24
|
50
|
12
|
4
|
С вероятностью 0,997
определите пределы, в которых находится среднее время обработки одной детали
токарями завода.
Рассчитаем среднюю ошибку
выборки по формуле:
Дисперсия
где хi - часовая выработка
- средняя часовая выработка по всем рабочим
выборки;
fi - сумма всех частот
Часовая выработка, шт.
|
18-20
|
20-22
|
22-24
|
24-26
|
26-28
|
28-30
|
|
Число рабочих
|
2
|
8
|
24
|
50
|
12
|
4
|
100
|
|
40
|
176
|
576
|
1300
|
120
|
2500
|
(xi - )2
|
-10
|
-24
|
-24
|
50
|
36
|
20
|
48
|
∆х = ± t · μx ∆х = ± 3 · 0,66 = 2 шт.
Ответ: с вероятностью 0,997
можно утверждать, что доля лиц, которая одобрит составит 54% - 66%.
Литература
1.
Быченко О.Г.
Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 1 с методическими
указаниями. – Гомель: БелГУТ, 2000. – 30 с.
2.
Быченко О.Г.
Общая теория статистики: Задание на контрольную работу № 2 с методическими
указаниями. – Гомель: БелГУТ, 2000. – 31 с.
3.
Общая теория
статистики: Учебник/Т.В. Рябушкин, М.Р. Ефимова, Н.И. Яковлева. – М.: Финансы и
статистика, 1981. – 279 с., ил.