Лінійна модель виробництва
ЛІНІЙНА
МОДЕЛЬ ВИРОБНИЦТВА
1.
Лінійні моделі виробництва та лінійне програмування
Будь-яке
національне господарство розвивається в складній мережі міжгалузевих
взаємозв'язків, які зрозуміти шляхом простого математичного апарату неможливо.
Наприклад, попит на автомобілі впливає не тільки на автомобільну промисловість,
але непрямо і на металургію – виробника базової сировини для виготовлення
автомобілів, і на галузі, пов'язані з виробництвом шин, і інших комплектуючих
частин, а також на галузі, які виготовляють радіоелектронне устаткування та ін.
Прості розрахунки показують, що «лобовий» підхід та арифметика не допоможуть
при спробі кількісного аналізу прямого й непрямого ефекту поширення таких
впливів.
Метод
міжгалузевого аналізу, розроблений американським економістом російського походження Василем
Леонтьєвим, дозволяє дати послідовні та чисельно впевнені відповіді на
запитання, пов'язані з міжгалузевими взаємодіями й їх впливами на основні
макроекономічні показники.
Розглянемо
діяльність найнижчої ланки макроекономіки (виробничої одиниці – заводу, цеху).
Потрібно скласти план виробництва, який забезпечує максимальний ступень
виконання завдання. Щодо даної виробничої одиниці відомі її технічні
можливості, а також кількість сировинних ресурсів, які можна використати.
Нехай кількість
всіх видів ресурсів позначимо їх . Це можуть бути метал, електроенергія,
різні види поставок з інших підприємств. Припустимо, що на виробництві можуть
випускатися типів товарів .
Технологією
виробництва товарів
назвемо набір чисел , що
показують, яка кількість ресурсів необхідні для
випуску однієї одиниці товару . Так виробництво
товарів можна подати як конвеєр, протягом якого
подаються ресурси в кількості а в кінці конвеєра
виходить готова одиниця продукту .
Отже, можна
скласти технологічну матрицю, яка повністю описує технологічні можливості
виробництва. Позначаємо її через
.
Нехай задані
кількості ресурсів ,, які можуть бути використані у
виробництві, тоді – вектор ресурсів. Назвемо планом
виробництва вектор , що показує, яка кількість
товарів буде вироблена.
Вважатимемо
технологію виробництва лінійною, тобто припустимо, що всі витрати ресурсів
зростають прямо пропорційно обсягу випуску. Припустимо, що витрати під час
випуску одиниць продукту описуються вектором , причому одночасне функціонування
декількох технологічних процесів приводить до сумарних витрат.
Отже, витрати
ресурсів, необхідні для виконання плану виробництва ,
описуються вектором, координати якого мають такий вигляд:
або в матричній
формі вектором . Умова обмеженості ресурсів
записується у вигляді . Отже, при заданому векторі
ресурсів розглянутою виробничою одиницею може бути будь-який випущений набір
товарів , який задовольняє обмеженням , . Як
правило, такий вектор не єдиний. У зв'язку з цим з'являється можливість вибору
найкращого в деякому розумінні плану.
Розглянемо
можливі постановки оптимізаційної задачі. Нехай задані ціни на продукти виробництва . Потрібно визначити план виробництва,
що максимізує вартість продукції. Формальний запис цієї задачі такий:
, , .(1)
Така постановка
задачі відповідає принципу планування за валом. Випадок, коли планування
випуску проводиться за номенклатурою товарів, можна змоделювати інакше. Нехай
заданий вектор , що визначає один комплект
випуску. Потрібно випустити як можна більше таких комплектів. Нехай означає кількість комплектів, що
випускають. Розглянемо задачу
, , , .(2)
Тут нерівність означає, що вектор містить не менше повних комплектів продукції, що випускається.
Моделі (1), (2),
хоча й відбивають певні риси реального виробництва, є, значно ідеалізованими.
Так, відсутнє таке важливе для виробництва поняття, як час. Вважається, що всі
необхідні ресурси , доступні.
Отже, такі моделі абстраговані від динаміки виробництва й не враховують цілий
ряд інших показників, які є неодмінним атрибутом реального виробництва.
Незважаючи на
розходження змістовних результатів ілюстративні лінійні моделі (1), (2) мають
багато спільного, а саме є стандартними задачами лінійного програмування.
Основними обчислювальними схемами розв’язування задач лінійного програмування є симплекс-метод і його
модифікації.
2.
Статична схема міжгалузевого балансу. Модель Леонтьєва
Основою багатьох
лінійних методів виробництва є схема міжгалузевого балансу. Нехай весь
виробничий сектор народного господарства розбитий на чистих
галузей, тобто продукція кожної з цих галузей передбачається однорідною. Кожна
галузь випускає продукт тільки одного типу, і різні галузі випускають різні
продукти. В процесі виробництва свого виду продукту кожна галузь потребує
продукцію інших галузей. Чиста галузь є економічною абстракцією , що не
обов'язково існує реально. Подібна ідеалізація виправдана тим, що вона дозволяє
провести аналіз технологічної структури виробництва та розподілу.
Припустимо тепер,
що в деякий момент часу, наприклад, у році , за
підсумковими даними складений балансовий звіт по народному господарству за
фіксований період часу за формою, наведеною в табл. 1.
Таблиця 1
Галузі
|
1
|
2
|
…
|
|
|
Продукти
|
1
|
|
|
…
|
|
|
2
|
|
|
…
|
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
|
|
|
…
|
|
|
Валовий випуск
|
|
|
…
|
|
|
Кінцеве споживання
|
|
|
…
|
|
|
Величини вказують обсяг продукту з номером , витрачений галуззю в процесі виробництва за звітний
період. Числа , дорівнюють
обсягу продукції (валовому випуску) -ї галузі за той
самий період, а значення – обсягу
продукції -ї галузі, що був спожитий у
невиробничій сфері. Числа , показують розподіл -го продукту на виробничі потреби всіх
інших галузей. Балансовий характер табл. 1 виражається в тому, що мають виконуватися
співвідношення
, .(3)
Отже, валова
продукція визначається як сума кінцевої й проміжної продукції.
Одиниці виміру
всіх зазначених величин можуть бути натуральними або вартісними, залежно від
чого розрізняють натуральний і вартісний міжгалузевий баланс.
Якщо всі елементи
-го стовпця таблиці 1 розділити на , то число розумітимемо
як обсяг продукції -ї галузі, необхідний для виробництва
однієї одиниці продукту -ї галузі. Числа , характеризують
технологію -ї галузі у звітний період і звуться
коефіцієнтами прямих витрат -ї галузі. Під розумітимемо частку продукції -ї галузі, витрачену на невиробниче
споживання. Основним елементом схеми міжгалузевого балансу є квадратна матриця , яку називають матрицею коефіцієнтів прямих
витрат.
Під час
виробництва набору продукції витрати продукції -ї галузі складуть у цьому випадку
величину
.(4)
Переходячи до
матричних позначень, стверджуємо, що вектор виробничих витрат дорівнює . Якщо –
вектор кінцевих споживань, тоді валова продукція -ї
галузі дорівнює
, (5)
або в матричній
формі
. (6)
Систему рівнянь
(6) називають моделлю міжгалузевого балансу або моделлю Леонтьєва. Дана модель
пов'язує обсяги валових випусків з обсягами кінцевої продукції й може бути
використана для розрахунку цих величин. Наприклад, якщо відомий набір можливих
при даних ресурсах випусків , то система (6)
дозволить розрахувати набір відповідних значень .
Якщо спочатку відомий бажаний набір кінцевої продукції, то за допомогою моделі
(6) можна визначити необхідні для його забезпечення обсяги валового випуску по
галузі, тобто
(7)
при заданій
матриці .
3.
Розв’язок моделі Леонтьєва
За економічними
міркуваннями всі коефіцієнти матриці невід’ємні: , . У
цьому випадку говорять, що матриця невід’ємна й записують . Невід’ємні компоненти заданого вектора
або .
Розв’язок, який має бути знайдений, за
змістом також повинний мати тільки невід’ємні компоненти, тобто потрібне виконання нерівностей або .
Можливість одержання невід’ємного
розв’язку визначається
властивостями матриці .
Матриця називається продуктивною, якщо існують
два вектори і ,
такі, що .
Продуктивність
матриці означає, що виробнича система здатна
забезпечити деякий позитивний кінцевий випуск за всіма продуктами.
Розглянемо умови
продуктивності матриці :
1) послідовні
головні мінори матриці позитивні, тобто для кожного виконана нерівність
;
2) матриця невід’ємно зворотна, це означає , що
існує зворотна матриця й всі її елементи невід’ємні:
3) матричний ряд збігається, причому
.
4) максимальне
власне число .
Повернемося до
системи рівнянь (7). За заданим вектором потрібно
знайти вектор , для якого . Перепишемо систему (7) у вигляді , де –
одинична матриця. Якщо матриця продуктивна, то
відповідно до умови 2) матриця існує й невід’ємна. Тому розв’язок системи рівнянь
(7) існує, єдиний і має вигляд . Через те, що й , .
Особливістю
матриці в моделі Леонтьєва є те, що всі
елементи її невід’ємні. Такі матриці володіють рядом властивостей. Розглянемо
їх в наступному підрозділі.
4.
Властивості невід’ємних матриць
Нехай – квадратна матриця розміром з невід’ємними елементами , ; підмножина
множини натуральних чисел . Говорять, що ізольовано
(щодо даної матриці ), якщо в матриці при , .
Мовою моделі
Леонтьєва ізольованість множини означає, що галузі з
номерами під час свого функціонування не
використовують товари, вироблені галузями з номерами з множин . Інакше кажучи, частина економіки, що
утвориться галузями з множини , може існувати
незалежно від інших галузей. Якщо перенумерувати індекси так, щоб , , що
відповідає одночасній перестановці рядків і стовпців матриці , то матриця матиме
вигляд
,(8)
де й –
квадратні підматриці розмірів і відповідно, – .
Матриця називається нерозкладною, якщо в
множині немає ізольованих підмножин, крім самої
і порожньої множини.
Інакше кажучи,
матриця нерозкладна, якщо одночасною перестановкою
рядків і стовпців її не можна привести до вигляду (8).
Нерозкладність
матриці в моделі Леонтьєва означає, що кожна
галузь використовує хоча й побічно, продукцію всіх галузей.
Розглянемо деякі
властивості нерозкладних матриць:
1. Нерозкладна
матриця не має нульових рядків і стовпців; якщо -й рядок
матриці нульовий, то множина ізольована.
2. Якщо – нерозкладна й то
.
Теорема
Фробеніуса-Перрона: нерозкладна матриця має
таке власне число , що й модулі всіх інших
власних чисел матриці не перевищують ; числу відповідає
з точністю до скалярного множника власний вектор , всі
координати якого ненульові й одного знака, тобто можна вважати .
4. Лема: нехай – нерозкладна матриця, , , , крім того, у вектора є нульові координати та , тоді у вектора знайдеться
додатна координата , причому .
5. Лема: якщо
матриця нерозкладна, ,
, то з нерівності випливає, що ,
.
5.
Зв'язок між коефіцієнтами прямих і повних витрат
Нехай
розглядається матриця коефіцієнтів прямих витрат у натуральному або вартісному
виразі .
Для виробництва
одиниці продукції -ї галузі необхідно затратити
набір продуктів , що описується -м стовпцем матриці . Але для виробництва цього набору необхідно безпосередньо затратити набір
продуктів, який ми позначимо через .
Елементи вектора
витрат називаються коефіцієнтами непрямих витрат
першого порядку відповідних продуктів на виробництво одиниць -го продукту .
Матриця , складена зі стовпців , ,
називається матрицею непрямих витрат першого порядку й визначається відповідно
до формули
.
Непрямими
витратами другого порядку називають прямі витрати, необхідні для забезпечення непрямих
витрат першого порядку, тобто , або в матричній
формі
де – матриця коефіцієнтів непрямих витрат
другого порядку.
Продовжуючи за
аналогією, назвемо непрямими витратами порядку прямі
витрати на забезпечення непрямих витрат порядку .
Очевидно, що матрицю коефіцієнтів непрямих витрат -го
порядку одержимо, помноживши на
. (9)
Визначимо тепер повні
витрати як суму прямих і непрямих витрат усіх порядків. Відповідно до цього
матриця , складена з коефіцієнтів повних витрат,
утвориться як сума
(10)
або з огляду на
те, що , маємо
(11)
Коефіцієнти
прямих і повних матеріальних витрат мають важливе значення для характеристики
структури техніко-економічних зв'язків і для аналізу ефективності виробництва з
боку витрат упредметненої праці. Суттєва відмінність коефіцієнтів повних витрат
від коефіцієнтів прямих витрат полягає в тому, що вони є не галузевими, а
народногосподарськими показниками й формуються з урахуванням технологічних
зв'язків між галузями.
З'ясуємо такий
момент. Чи не виявляться будь-які з коефіцієнтів повних витрат нескінченно
великими?
Розглянемо
матрицю
.
Очевидно, що
елементи матриці скінченні разом з елементами
матриці тільки в тому випадку, якщо скінченна
сума ряду . Крім того, відповідно до умови (3)
його збіжність є умовою, еквівалентною продуктивності матриці , причому .
Отже, у випадку продуктивності матриці й
тільки в цьому випадку матриця повних витрат скінченна,
її визначають відповідно до формули
.
Для великих
значень важко обчислити зворотну матрицю. В
цьому випадку матрицю , як і матрицю , можна обчислити приблизно,
користуючись методом ітерацій. На першій ітерації , на
другій ітерації , на третій , на -й
ітерації . Часткова сума відрізняється
від часткової суми на величину . Через те що ряд збігається, при .
Тому за скінченну кількість кроків можна досягти заданої точності обчислень.
Коефіцієнти матриці
мають таку економічну інтерпретацію: якщо
випуск кінцевого -го продукту потрібно
збільшити на одиницю, то валовий випуск -го
продукту має бути збільшений на .
6.
Коефіцієнти трудових витрат. Баланс трудових ресурсів
Модель Леонтьєва, як відзначалося раніше, відображає
лише потенційні можливості, закладені в технології виробничого сектора. У даній
моделі передбачається, що процес виробництва відбувається миттєво – всі
проміжні продукти вважаються виробленими до того моменту, коли в них
з'являється потреба, тобто кожна галузь здатна зробити будь-який обсяг своєї
продукції за умови, що їй буде забезпечена сировина в необхідній кількості.
Насправді, це не так, оскільки виробничі можливості будь-якої галузі обмежені
наявним обсягом основних фондів трудових ресурсів.
Розглянемо
проблему розподілу трудових ресурсів, яку можна дослідити за допомогою моделі
Леонтьєва.
Зіставимо кожній -ї галузі число ,
що виражає необхідні витрати трудових ресурсів при одиничній інтенсивності
даного технологічного процесу.
Нехай – вектор прямих витрат праці й – матриця прямих матеріальних витрат.
На виробництво одиниці продукту виду необхідно безпосередньо
затратити набір продуктів і працю в кількості
. Однак на виробництво даного набору
продуктів у свою чергу необхідно затратити одиниць
праці. Ця величина називається непрямими витратами праці першого порядку на
одиницю -го продукту й позначається через .
Вектор непрямих
витрат праці першого порядку визначається таким виразом: .
Міркуючи
аналогічно тому, як це робилося під час побудови коефіцієнтів непрямих
матеріальних витрат, дійдемо висновку, що вектор непрямих
витрат праці порядку визначається таким
співвідношенням:
або
.
Повні витрати
праці є сумою прямих і непрямих витрат праці
.
або
.
Якщо матриця продуктивна, то суму в дужках можна
замінити на й, отже, – матриця
повних витрат праці.
Зменшення повних
витрат праці на одиницю продукції є узагальнюючим показником збільшення
продуктивності праці, ефективності виробництва. Розрахунок коефіцієнтів повних
витрат праці важливий для ціноутворення на етапі встановлення об'єктивної
основи ціни – вартості. Для обчислення коефіцієнтів повних витрат праці
використовують ітераційну процедуру
,
що дозволяє з
заданою точністю визначити дані коефіцієнти.