Решение задач по эконометрике
СОДЕРЖАНИЕ
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Список
использованной литературы
Задание 1
Имеются данные за 12 месяцев года по району города
о рынке вторичного жилья (y – стоимость квартиры
(тыс. у.е.), x – размер общей площади (м2)).
Данные приведены в табл. 1.4.
Таблица 1
Месяц
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
у
|
22,5
|
25,8
|
20,8
|
15,2
|
25,8
|
19,4
|
18,2
|
21,0
|
16,4
|
23,5
|
18,8
|
17,5
|
х
|
29,0
|
36,2
|
28,9
|
32,4
|
49,7
|
38,1
|
30,0
|
32,6
|
27,5
|
39,0
|
27,5
|
31,2
|
Задание:
1.
Рассчитайте параметры уравнений регрессий
и .
2.
Оцените тесноту связи с показателем корреляции и детерминации.
3.
Рассчитайте средний коэффициент эластичности и дайте сравнительную
оценку силы связи фактора с результатом.
4.
Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации и оцените качество модели.
5.
С помощью F-статистики Фишера (при ) оцените надежность уравнения
регрессии.
6.
Рассчитайте прогнозное значение ,
если прогнозное значение фактора увеличится на 5% от его среднего значения.
Определите доверительный интервал прогноза для .
7.
Расчеты должны быть подробны, как показано в примере 1, и сопровождены
пояснениями.
Решение
Составим таблицу расчетов 2.
Все расчеты в таблице велись по формулам
.
Таблица 2
|
х
|
х2
|
у
|
ху
|
у2
|
|
|
|
|
|
|
|
А(%)
|
29,0
|
841,0
|
22,5
|
652,5
|
506,3
|
2,1
|
-4,5
|
4,38
|
20,33
|
18,93
|
3,57
|
12,75
|
15,871
|
36,2
|
1310,4
|
25,8
|
934,0
|
665,6
|
5,4
|
2,7
|
29,07
|
7,25
|
21,28
|
4,52
|
20,40
|
17,506
|
28,9
|
835,2
|
20,8
|
601,1
|
432,6
|
0,4
|
-4,6
|
0,15
|
21,24
|
18,90
|
1,90
|
3,62
|
9,152
|
32,4
|
1049,8
|
15,2
|
492,5
|
231,0
|
-5,2
|
-1,1
|
27,13
|
1,23
|
20,04
|
-4,84
|
23,43
|
31,847
|
49,7
|
2470,1
|
25,8
|
1282,3
|
665,6
|
5,4
|
16,2
|
29,07
|
262,17
|
25,70
|
0,10
|
0,01
|
0,396
|
38,1
|
1451,6
|
19,4
|
739,1
|
376,4
|
-1,0
|
4,6
|
1,02
|
21,08
|
21,90
|
-2,50
|
6,27
|
12,911
|
30,0
|
900,0
|
18,2
|
546,0
|
331,2
|
-2,2
|
-3,5
|
4,88
|
12,31
|
19,26
|
-1,06
|
1,12
|
5,802
|
32,6
|
1062,8
|
21,0
|
684,6
|
441,0
|
0,6
|
-0,9
|
0,35
|
0,83
|
20,11
|
0,89
|
0,80
|
4,256
|
27,5
|
756,3
|
16,4
|
451,0
|
269,0
|
-4,0
|
-6,0
|
16,07
|
36,10
|
18,44
|
-2,04
|
4,16
|
12,430
|
39,0
|
1521,0
|
23,5
|
916,5
|
552,3
|
3,1
|
5,5
|
9,56
|
30,16
|
22,20
|
1,30
|
1,69
|
5,536
|
27,5
|
756,3
|
18,8
|
517,0
|
353,4
|
-1,6
|
-6,0
|
2,59
|
36,10
|
18,44
|
0,36
|
0,13
|
1,923
|
31,2
|
973,4
|
17,5
|
546,0
|
306,3
|
-2,9
|
-2,3
|
8,46
|
5,33
|
19,65
|
-2,15
|
4,62
|
12,277
|
|
402,1
|
13927,8
|
244,9
|
8362,6
|
5130,7
|
0,0
|
0,0
|
132,7
|
454,1
|
-
|
-
|
79,0
|
129,9
|
Среднее
значение
|
33,5
|
1160,7
|
20,4
|
696,9
|
427,6
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
6,6
|
10,8
|
|
6,43
|
-
|
3,47
|
-
|
-
|
|
|
|
|
41,28
|
-
|
12,06
|
-
|
-
|
|
|
|
Тогда
,
и линейное уравнение регрессии примет вид: .
Рассчитаем
коэффициент корреляции:
.
Связь между признаком и
фактором заметная.
Коэффициент детерминации
– квадрат коэффициента или индекса корреляции.
R2 = 0,6062
= 0,367
Средний коэффициент эластичности позволяет проверить, имеют ли
экономический смысл коэффициенты модели регрессии.
Для оценки качества модели определяется средняя
ошибка аппроксимации:
,
допустимые значения которой 8 - 10 %.
Вычислим значение -критерия
Фишера.
,
где
– число параметров
уравнения регрессии (число коэффициентов при объясняющей переменной );
– объем
совокупности.
.
По таблице распределения Фишера находим
.
Так как , то гипотеза о статистической незначимости параметра
уравнения регрессии отклоняется.
Так как , то можно сказать,
что 36,7% результата объясняется вариацией объясняющей переменной.
Выберем в качестве модели уравнения регрессии , предварительно линеаризовав модель.
Введем обозначения: . Получим линейную модель регрессии
.
Рассчитаем коэффициенты модели, поместив все
промежуточные расчеты в табл. 3.
Таблица 3
|
|
|
y
|
yU
|
y2
|
|
|
|
|
|
|
|
А(%)
|
5,385
|
29,0
|
22,5
|
121,17
|
506,25
|
1,640
|
-0,452
|
2,69
|
0,20
|
13,74
|
8,76
|
76,7
|
38,92
|
6,017
|
36,2
|
25,8
|
155,23
|
665,64
|
4,940
|
0,180
|
24,40
|
0,03
|
14,01
|
11,79
|
139,0
|
45,70
|
5,376
|
28,9
|
20,8
|
111,82
|
432,64
|
-0,060
|
-0,461
|
0,004
|
0,21
|
13,74
|
7,06
|
49,9
|
33,95
|
32,4
|
15,2
|
86,52
|
231,04
|
-5,660
|
-0,145
|
32,04
|
0,02
|
13,87
|
1,33
|
1,8
|
8,72
|
7,050
|
49,7
|
25,8
|
181,89
|
665,64
|
4,940
|
1,213
|
24,40
|
1,47
|
14,42
|
11,38
|
129,5
|
44,11
|
6,173
|
38,1
|
19,4
|
119,75
|
376,36
|
-1,460
|
0,336
|
2,13
|
0,11
|
14,07
|
5,33
|
28,4
|
27,45
|
5,477
|
30,0
|
18,2
|
99,69
|
331,24
|
-2,660
|
-0,360
|
7,08
|
0,13
|
13,78
|
4,42
|
19,5
|
24,27
|
5,710
|
32,6
|
21,0
|
119,90
|
441
|
0,140
|
-0,127
|
0,02
|
0,02
|
13,88
|
7,12
|
50,7
|
33,89
|
5,244
|
27,5
|
16,4
|
86,00
|
268,96
|
-4,460
|
-0,593
|
19,89
|
0,35
|
13,68
|
2,72
|
7,4
|
16,58
|
6,245
|
39,0
|
23,5
|
146,76
|
552,25
|
2,640
|
0,408
|
6,97
|
0,17
|
14,10
|
9,40
|
88,3
|
39,98
|
|
58,368
|
343,4
|
208,600
|
1228,71
|
4471,02
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
313,567
|
Среднее
значение
|
5,837
|
34,34
|
20,860
|
122,871
|
447,10
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
31,357
|
|
0,549
|
-
|
3,646
|
-
|
-
|
-
|
-
|
|
|
0,302
|
-
|
13,292
|
-
|
-
|
-
|
-
|
|
Рассчитаем параметры уравнения:
,
,
.
Коэффициент корреляции
.
Коэффициент детерминации
,
следовательно, только 9,3% результата объясняется
вариацией объясняющей переменной .
,
,
следовательно, гипотеза о
статистической незначимости уравнения регрессии принимается. По всем расчетам
линейная модель надежнее, и последующие расчеты мы сделаем для нее.
Оценим значимость каждого параметра уравнения регрессии
.
Используем для этого t-распределение
(Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической
незначимости параметров, т.е.
.
.
Определим ошибки .
,
,
,
,
,
.
Полученные оценки модели и ее параметров позволяют
использовать ее для прогноза.
Рассчитаем
.
Тогда
.
Средняя ошибка прогноза
,
где
,
.
Строим доверительный интервал с заданной
доверительной вероятностью :
,
,
.
Найденный интервальный прогноз достаточно надежен
(доверительная вероятность ) и достаточно
точен, т.к. .
Оценим значимость каждого параметра уравнения
регрессии
.
Используем для этого t-распределение
(Стьюдента). Выдвигаем гипотезу о статистической
незначимости параметров, т.е.
.
.
Определим ошибки .
,
,
, ,
, .
Следовательно, и не случайно отличаются от нуля, а
сформировались под влиянием систематически действующей производной.
1.
, следовательно, качество модели не
очень хорошее.
2.
Полученные оценки модели и ее параметров позволяют использовать ее для
прогноза.
Рассчитаем .
Тогда .
3.
Средняя ошибка прогноза
,
где
,
.
Строим доверительный интервал с заданной
доверительной вероятностью :
,
,
.
Найденный интервальный прогноз достаточно надежен
(доверительная вероятность ) и достаточно
точен, т.к. .
Задание 2
Имеются данные о деятельности крупнейших компаний
в течение двенадцати месяцев 199Х года. Данные приведены в табл. 4.
Известны – чистый доход (у), оборот
капитала (х1), использованный капитал (х2)
в млрд у.е.
Таблица 4
у
|
х1
|
х2
|
1,5
|
5,9
|
5,9
|
5,5
|
53,1
|
27,1
|
2,4
|
18,8
|
11,2
|
3,0
|
35,3
|
16,4
|
4,2
|
71,9
|
32,5
|
2,7
|
93,6
|
25,4
|
1,6
|
10,0
|
6,4
|
2,4
|
31,5
|
12,5
|
3,3
|
36,7
|
14,3
|
1,8
|
13,8
|
6,5
|
2,4
|
64,8
|
22,7
|
1,6
|
30,4
|
15,8
|
Задание:
1. Рассчитайте параметры линейного уравнения множественной
регрессии.
2. Дайте оценку силы связи факторов с результатом
с помощью средних коэффициентов эластичности.
3. Оцените статистическую зависимость параметров и
уравнения регрессии в целом с помощью соответственно критериев Стьюдента и Фишера
(α=0,01).
4. Рассчитайте среднюю ошибку аппроксимации.
Сделайте вывод.
5. Составьте матрицы парных и частных
коэффициентов корреляции и укажите информативные факторы.
6. Оцените полученные результаты, выводы оформите
в аналитической записке.
Решение
Результаты расчетов
приведены в табл. 5.
Таблица 5
|
y
|
x1
|
x2
|
yx1
|
yx2
|
x1x2
|
x12
|
x22
|
y2
|
|
1,5
|
5,9
|
5,9
|
8,85
|
8,85
|
34,81
|
34,81
|
34,81
|
2,25
|
|
5,5
|
53,1
|
27,1
|
292,05
|
149,05
|
1439,01
|
2819,61
|
734,41
|
30,25
|
|
2,4
|
18,8
|
11,2
|
45,12
|
26,88
|
210,56
|
353,44
|
125,44
|
5,76
|
|
3
|
35,3
|
16,4
|
105,90
|
49,20
|
578,92
|
1246,09
|
268,96
|
9
|
|
4,2
|
71,9
|
32,5
|
301,98
|
136,50
|
2336,75
|
5169,61
|
1056,25
|
17,64
|
|
2,7
|
93,6
|
25,4
|
252,72
|
68,58
|
2377,44
|
8760,96
|
645,16
|
7,29
|
|
1,6
|
10
|
6,4
|
16,00
|
10,24
|
64,00
|
100,00
|
40,96
|
2,56
|
|
2,4
|
31,5
|
12,5
|
75,60
|
30,00
|
393,75
|
992,25
|
156,25
|
5,76
|
|
3,3
|
36,7
|
14,3
|
121,11
|
47,19
|
524,81
|
1346,89
|
204,49
|
10,89
|
|
1,8
|
13,8
|
6,5
|
24,84
|
11,70
|
89,70
|
190,44
|
42,25
|
3,24
|
64,8
|
22,7
|
155,52
|
54,48
|
1470,96
|
4199,04
|
515,29
|
5,76
|
|
1,6
|
30,4
|
15,8
|
48,64
|
25,28
|
480,32
|
924,16
|
249,64
|
2,56
|
|
32,4
|
465,8
|
196,7
|
1448,33
|
617,95
|
10001,03
|
26137,30
|
4073,91
|
102,96
|
Средн.
|
2,7
|
38,8
|
16,4
|
120,69
|
51,50
|
833,42
|
-
|
-
|
65,80
|
|
1,2
|
27,1
|
8,8
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
|
1,4
|
732,4
|
77,2
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
Рассматриваем уравнение
вида:
.
Параметры уравнения
можно найти из решения системы уравнений:
Или, перейдя к уравнению
в стандартизированном масштабе:
,
где
– стандартизированные переменные,
–
стандартизированные коэффициенты:
Коэффициенты определяются из системы уравнений:
, ;
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
.
Стандартизированная
форма уравнения регрессии имеет вид:
.
Естественная форма
уравнения регрессии имеет вид:
.
Для выяснения
относительной силы влияния факторов на результативный признак рассчитываются
средние коэффициенты эластичности:
,
,
.
Следовательно, при увеличении
оборота капитала (x1) на 1% чистый
доход (y) уменьшается на 0,14% от своего среднего уровня. При
повышении использованного капитала на 1% чистый доход повышается на 0,73% от
своего среднего уровня.
Линейные коэффициенты
частной корреляции для уравнения определяются следующим образом:
,
.
Линейный коэффициент
множественной корреляции рассчитывается по формуле
.
Коэффициент
множественной детерминации .
,
где
-
объем выборки,
-
число факторов модели.
В нашем случае
.
Так как , то и
потому уравнение незначимо.
Выясним статистическую
значимость каждого фактора в уравнении множественной регрессии.
Для этого рассчитаем
частные -статистики.
.
Так как , то и
следует вывод о нецелесообразности включения в модель фактора после фактора .
.
Так как , то следует вывод о нецелесообразности
включения в модель фактора после фактора .
Результаты расчетов
позволяют сделать вывод :
1)
о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в
уравнение регрессии;
2)
о незначимости фактора и нецелесообразности включения его в
уравнение регрессии.
Задание 3
1.
Используя необходимое и достаточное условие идентификации, определить,
идентифицировано ли каждое уравнение модели.
2.
Определите тип модели.
3.
Определите метод оценки параметров модели.
4.
Опишите последовательность действий при использовании указанного метода.
5.
Результаты оформите в виде пояснительной записки.
Модель
денежного и товарного рынков:
Rt = a1+b12Yt+b14Mt+e1,
Yt = a2+b21Rt+
b23It+ b25Gt+e2,
It = a3+b31Rt+e3,
где
R – процентные
ставки;
Y – реальный ВВП;
M – денежная масса;
I – внутренние
инвестиции;
G – реальные
государственные расходы.
Решение
1.
Модель имеет три эндогенные (RtYtIt) и две экзогенные переменные (MtGt).
Проверим
необходимое условие идентификации:
1-е
уравнение: D=1, H=2, D+1=H - уравнение идентифицировано.
2-е
уравнение: D=1, H=1, D+1=2
- уравнение сверхидентифицировано.
3-е
уравнение: D=1, H=2, D+1=H - уравнение идентифицировано.
Следовательно,
необходимое условие идентифицируемости выполнено.
Проверим
достаточное условие:
В
первом уравнении нет переменных It, Gt
Строим
матрицу:
|
It
|
Gt
|
2
ур.
|
b23
|
b23
|
3
ур.
|
0
|
0
|
det M = det , rank M =2.
Во втором уравнении нет переменных Mt
det M ¹ 0
В третьем уравнении нет переменных Yt, Mt, Gt
Строим
матрицу:
det M /
Следовательно, достаточное условие
идентифицируемости выполнено.
Система точно идентифицируема.
2. Найдем структурные коэффициенты модели.
Для этого:
Запишем систему в матричной форме, перенеся все
эндогенные переменные в левые части системы:
Rt-b12Yt=a1+b12Mt
Yt-b21Rt-b23It=a2+b25Gt
It-b31Rt=a3
откуда
, и
, , , .
Решаем систему относительно : .
Найдем
, где –
алгебраические дополнения соответствующих элементов
матрицы , –
минор, т.е. определитель, полученный из матрицы вычеркиванием
i-й строки и j-го столбца.
,
,
,
.
Поэтому
В данном случае эти коэффициенты можно найти
значительно проще. Находим из второго уравнения
приведенной системы и подставим его в первое уравнение этой системы. Тогда
первое уравнение системы примет вид: , откуда , . Из третьего уравнения системы находим и подставляем во второе уравнение
системы, получим: , решая его совместно с
уравнением и, исключая ,
получим . Сравнивая это уравнение со вторым
уравнением системы получим . Выражая из второго уравнения, и подставляя в
третье системы (3.2), получим . Сравнивая это
уравнение с третьим уравнением системы, получим .
Задание 4
Имеются данные за
пятнадцать дней по количеству пациентов клиники, прошедших через
соответствующие отделения в течение дня. Данные приведены в табл. 6.
Таблица 6
День
|
Глазное отделение
|
1
|
30
|
2
|
22
|
3
|
19
|
4
|
28
|
5
|
24
|
6
|
18
|
7
|
35
|
8
|
29
|
9
|
40
|
10
|
34
|
11
|
31
|
12
|
29
|
13
|
35
|
14
|
23
|
15
|
27
|
Требуется:
1. Определить коэффициенты автокорреляции уровней
ряда первого и второго порядка.
2. Обосновать выбор уравнения тренда и определите
его параметры.
3. Сделать выводы.
4. Результаты оформить в виде пояснительной
записки.
Решение
Определим коэффициент корреляции между рядами и .
Ррасчеты приведены в таблице 7:
|
год
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
30
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
2
|
22
|
30
|
-
|
-6,14
|
1,64
|
37,73
|
2,70
|
-
|
-
|
-
|
-
|
10,09
|
-
|
3
|
19
|
22
|
30
|
-9,14
|
-6,36
|
83,59
|
40,41
|
-9,36
|
1,23
|
87,56
|
1,51
|
58,12
|
11,52
|
4
|
28
|
19
|
22
|
-0,14
|
-9,36
|
0,02
|
87,56
|
-0,36
|
-6,77
|
0,13
|
45,82
|
1,34
|
2,42
|
5
|
24
|
28
|
19
|
-4,14
|
-0,36
|
17,16
|
0,13
|
-4,36
|
-9,77
|
18,98
|
95,44
|
1,48
|
42,57
|
6
|
18
|
24
|
28
|
-10,14
|
-4,36
|
102,88
|
18,98
|
-10,36
|
-0,77
|
107,27
|
0,59
|
44,19
|
7,97
|
7
|
35
|
18
|
24
|
6,86
|
-10,36
|
47,02
|
107,27
|
6,64
|
-4,77
|
44,13
|
22,75
|
71,02
|
31,68
|
8
|
29
|
35
|
18
|
0,86
|
6,64
|
0,73
|
44,13
|
0,64
|
-10,77
|
0,41
|
115,98
|
5,69
|
6,92
|
9
|
40
|
29
|
35
|
11,86
|
0,64
|
140,59
|
0,41
|
11,64
|
6,23
|
135,56
|
38,82
|
7,62
|
72,54
|
10
|
40
|
29
|
5,86
|
11,64
|
34,31
|
135,56
|
5,64
|
0,23
|
31,84
|
0,05
|
68,19
|
1,30
|
11
|
31
|
34
|
40
|
2,86
|
5,64
|
8,16
|
31,84
|
2,64
|
11,23
|
6,98
|
126,13
|
16,12
|
29,68
|
12
|
29
|
31
|
34
|
0,86
|
2,64
|
0,73
|
6,98
|
0,64
|
5,23
|
0,41
|
27,36
|
2,27
|
3,36
|
13
|
35
|
29
|
31
|
6,86
|
0,64
|
47,02
|
0,41
|
6,64
|
2,23
|
44,13
|
4,98
|
4,41
|
14,82
|
14
|
23
|
35
|
29
|
-5,14
|
6,64
|
26,45
|
44,13
|
-5,36
|
0,23
|
28,70
|
0,05
|
34,16
|
1,24
|
15
|
27
|
23
|
35
|
-1,14
|
-5,36
|
1,31
|
28,70
|
-1,36
|
6,23
|
1,84
|
38,82
|
6,12
|
8,46
|
|
120
|
-
|
-
|
-
|
0,00
|
0,00
|
547,71
|
549,21
|
3,36
|
0,00
|
507,94
|
518,31
|
330,84
|
234,47
|
Средн.
|
8
|
28,14
28,36
|
28,36
|
28,77
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результат говорит о заметной зависимости между
показателями и наличии во временном ряде линейной тенденции.
Определим коэффициент автокорреляции второго
порядка:
,
Результат подтверждает наличие линейной тенденции.
Выбираем линейное уравнение тренда: .
Параметры определим, используя МНК. Результаты
расчетов приведены в табл. 8.
Таблица 8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
30
|
1
|
900
|
30
|
-7,00
|
49
|
|
|
|
2
|
22
|
4
|
484
|
44
|
-6,00
|
36
|
|
|
|
3
|
19
|
9
|
361
|
57
|
-5,00
|
25
|
|
|
|
4
|
28
|
16
|
784
|
112
|
-4,00
|
16
|
|
|
|
5
|
24
|
25
|
576
|
120
|
-3,00
|
9
|
|
|
|
6
|
18
|
36
|
324
|
108
|
-2,00
|
4
|
|
|
|
7
|
35
|
49
|
1225
|
245
|
-1,00
|
1
|
|
|
|
8
|
29
|
64
|
841
|
232
|
0,00
|
0
|
|
|
|
9
|
40
|
81
|
1600
|
360
|
1,00
|
1
|
|
|
|
10
|
34
|
100
|
1156
|
340
|
2,00
|
4
|
|
|
|
11
|
31
|
121
|
961
|
341
|
3,00
|
9
|
|
|
|
12
|
29
|
144
|
841
|
348
|
4,00
|
16
|
|
|
|
13
|
35
|
169
|
1225
|
455
|
5,00
|
25
|
|
|
|
14
|
23
|
196
|
529
|
322
|
6,00
|
36
|
|
|
|
15
|
27
|
225
|
729
|
405
|
7,00
|
49
|
|
|
|
|
120
|
424
|
1240
|
12536
|
3519
|
0
|
280
|
|
|
|
Средн.
|
8,00
|
28,27
|
82,67
|
835,73
|
234,6
|
-
|
-
|
|
|
|
.
Уравнение тренда примет вид: , коэффициент корреляции
.
Расчетное значение критерия Фишера равно ,
,
уравнение статистически значимо и прогноз имеет
смысл.
Список
использованной литературы
1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и
основы эконометрики. – М.: ЮНИТИ, 1998.
2. Катышев П.К., Пересецкий А.А. Сборник задач к
начальному курсу эконометрики. – М.: Дело, 1999.
3. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А.
Эконометрика: начальный курс. – М.: Дело, 2000.
4. Практикум по эконометрике. Под ред. И.И. Елисеевой.
– М.: Финансы и статистика, 2001.
5. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решения. –
М.: ЮНИТИ, 1997.
6. Эконометрика. Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы
и статистика, 2001.