Модель парной регрессии
Содержание
ТЕМА 1.
Выборка и генеральная совокупность
Задача 1
ТЕМА 2. Модель
парной регрессии
Задача 12
ТЕМА 3.
Модель множественной регрессии
Задача 13
ТЕМА 4.
Нестационарные временные ряды
Задача 23
ТЕМА
1. Выборка и генеральная совокупность
Задача
1
1. Найдите среднее число государственных вузов в России, если
данные их статистического учета с 1994 по 2000г таковы
Год
|
1994
|
1995
|
1996
|
1997
|
1998
|
1999
|
2000
|
Число
государственных вузов
|
548
|
553
|
569
|
573
|
578
|
582
|
584
|
2.
Найдите вариацию числа государственных вузов в России за 1994 2000гг
Решение
Определим
выборочное среднее государственных вузов в России, по зависимости учитывая, что
n=7.
Найдем
вариацию числа государственных вузов в России за 1994-2000г по формуле:
Таким
образом, среднее число государственных вузов в России составляет 570
шт, а вариация 169.
ТЕМА
2. Модель парной регрессии
Задача
12
1.
Предварительно вычисленная ковариация двух рядов составляет -4.32, а вариация
ряда занятых в экономике равна 7,24. Средние выборочные равняются 68,5 и 5,87
соответственно. Оцените параметры линейного уравнения парной регрессии .
Решение
Оценим
параметры линейного уравнения парной регрессии
Зная
выборочные ковариацию и вариацию, вычислим параметр b по формуле (4)
а
параметр a по зависимости
На
основании полученных данных уравнение парной регрессии примет вид
Определим
объясненную сумму квадратов отклонений ESS по формуле (8)
ТЕМА
3. Модель множественной регрессии
Задача
13
1.
В таблице
представлены ряды данных по продовольственным ресурсам (производству и импорту ) и личному потреблению картофеля y (млн. тонн) за 9 лет
Год
|
1990
|
1991
|
1992
|
1993
|
1994
|
1995
|
1996
|
1997
|
1998
|
|
30.8
|
34.3
|
38.3
|
37.7
|
33.8
|
39.9
|
38.7
|
37
|
|
1.1
|
1.2
|
0.4
|
0.2
|
0.1
|
0.1
|
0.1
|
0.2
|
0.33
|
y
|
15.7
|
16.7
|
17.5
|
18.8
|
18
|
18.3
|
18.5
|
19.1
|
18
|
Рассчитать
вариации и попарные ковариации для этих рядов.
2.
По данным таблицы
построить уравнение регрессии, приняв личное потребление картофеля за зависимую
переменную, а производство и импорт - за объясняющие. Рассчитать коэффициенты при
объясняющих переменных.
3.
Для регрессии,
описывающей линейную зависимость потребления картофеля от производства и импорта , определить свободный коэффициент a.
4.
Рассчитать
значения личного потребления y картофеля,
используя полученное в задаче уравнение регрессии.
5.
Рассчитать общую,
объясненную и необъясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее
регрессии для личного потребления y картофеля.
6.
Используя
полученные в предыдущем пункте TSS и ESS, рассчитать коэффициент детерминации
для регрессии по картофелю.
Решение
Определим
выборочные средние , и по формуле (1) при числе наблюдений: n=9
млн. т
млн. т
млн. т
Рассчитаем
вариации и попарные ковариации для этих рядов. Вариации для рядов объясняющих
переменных и можно вычислить по
зависимостям (11)
А вариацию
зависимой переменной y по
зависимости (12)
Попарные
ковариации для этих рядов определяются по (13) как
По
данным таблицы построим уравнение регрессии
,
Приняв
личное потребление фруктов за зависимую переменную, а производство и импорт - за объясняющие, предварительно
рассчитав коэффициенты при объясняющих переменных.
Расчет
коэффициентов и производим по зависимостям
(15) и (16)
Для
регрессии, описывающей линейную зависимость потребления фруктов от производства
и импорта , определить свободный коэффициент
a.
Свободный
коэффициент уравнения
регрессии вычисляется как
млн. т
Рассчитаем
значения личного потребления y
фруктов, используя полученное в задаче уравнение регрессии.
Расчет
значений по зависимости
сведен
в табл.2.
Таблица
2
Год
|
1990
|
1991
|
1992
|
1993
|
1994
|
1995
|
1996
|
1997
|
1998
|
|
16.16
|
16,21
|
18,04
|
18,38
|
18,31
|
18,73
|
18,65
|
18,33
|
-
|
-1,68
|
-1,63
|
0,56
|
0,54
|
0,47
|
0,89
|
0,81
|
0,49
|
-0,16
|
(-)2
|
2,82
|
2,66
|
0,3
|
0,3
|
0,2
|
0,8
|
0,7
|
0,24
|
0,03
|
yi
|
15,7
|
16,7
|
17,5
|
18,8
|
18
|
18,3
|
18,5
|
19,1
|
18
|
(yi - )
|
-2,14
|
-1,14
|
-0,34
|
0,96
|
0,16
|
0,46
|
0,67
|
1,26
|
0,16
|
(yi - )2
|
4,58
|
1,3
|
0,12
|
0,92
|
0,03
|
0,21
|
0,45
|
1,59
|
0,03
|
Рассчитаем
общую и объясненную сумму квадратов отклонений для рассчитанной ранее регрессии
для личного потребления y
фруктов.
Определим
объясненную сумму квадратов отклонений ESS по формуле (8)
с
помощью результатов, приведенных в табл.2. Тогда получим
Общая
сумма квадратов отклонений ТSS
находится по зависимости (9)
с
использованием данных табл.2. Суммируя результаты, приведенные в последней
строке этой таблицы, получим
Используя
полученные в предыдущем пункте величины TSS и ESS,
рассчитаем коэффициент детерминации для регрессии по фруктам в соответствии с (7)
как отношение ESS к TSS
Оценим
теперь коэффициент корреляции для фактических y и прогнозных значений . Фактически, коэффициент детерминации равен квадрату выборочной
корреляции между y и , т.е.
В
соответствии с зависимостью (20) имеем
,
Вывод:
Полученная величина коэффициента корреляции лежит в диапазоне 0,7-0,9, что
указывает на хорошее состояние соответствия уравнения регрессии фактическому
изменению величины у.
ТЕМА
4. Нестационарные временные ряды
Задача
23
По
данным таблицы в задаче 18, где представлены данные по личным потребительским
расходам на газ (млн. долл.) с 1969 по 1983гг. (США), с помощью критерия,
основанного на критерии восходящих и нисходящих серий, проверить гипотезу о
неизменности среднего значения временного ряда.
1.
В таблице
представлены данные по личным потребительским расходам на газ (млн. долл.) с
1969 по 1983гг. (США)
1969
|
1970
|
1971
|
1972
|
1973
|
1974
|
1975
|
1976
|
расходы
|
6200
|
6300
|
6400
|
6600
|
6400
|
6500
|
6600
|
6700
|
Год
|
1977
|
1978
|
1979
|
1980
|
1981
|
1982
|
1983
|
расходы
|
6500
|
6700
|
6600
|
6600
|
6300
|
6400
|
6000
|
Решение
Определяем
число наблюдений n=15. Для
нахождения медианы производим ранжирование временного ряда, т.е. записываем все
значения ряда по порядку от минимального до максимального:
6000,6200,6300,6300,6400,6400,6400,6500,6500,6600,6600,6600,6600,6700,6700.
Поскольку
число наблюдений n нечетное, то вычисляем
медиану по формуле ( )
Теперь
вместо исходного временного ряда, содержащегося в таблице, создаем ряд из
плюсов и минусов согласно правилу:
«+»
если и «-» если . Члены не учитываются
Ряд,
состоящий из плюсов и минусов, имеет вид
«+»,
«+»,«+», «+»,«+»,«+»,«+»,«+»,«+»,«+»,«+»,«+», «+».
Глядя
на полученный ряд из плюсов и минусов, определяем общее число непрерывных серий
из плюсов и из минусов .
В данном случае .
Определяем протяженность самой длинной серии .
Проверяем
выполнение неравенств
Вывод.
Поскольку ни одно из неравенств не выполняется (4<5, а 6>4), то гипотеза
о неизменности среднего значения отвергается с вероятностью ошибки от 0,05 до
0,0975.
Список
литературы
1.
Эконометрика.
Юниты 1,2,3. //Разработка С.Б.Давыдовой. -М.:Современная гуманитарная академия.
-2006.
2.
Магнус Я.Р.,
Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. М.: Дело. 2001.-
400с.
3.
Афанасьев В.Н.,
Юзданцев М.М., Гуляева Т.Н. Эконометрика. Учебник. – М.: Финансы и статистика.,
2006.
4.
Елисеева Н.Н.,
Кудряшова С.В., Костеева Т.В. . Эконометрика. Учебник. М.: Финансы и статистика.,
2005.-576с.
5.
Бородин С.А.
Эконометрика: учебное пособие. – М.: Новое издание, 2001.
6.
Колемаев В.А.
Эконометрика. Учебник. – М.: ИНФРА – М, 2005 -160с.