Использование эвристических и экономико-математических методов при решении задач управления
Министерство
образования и науки Украины
Севастопольский
национальный технический университет
Факультет
Экономики и менеджмента
Кафедра
Финансов и кредита
МОДУЛЬ № 2
на тему: Использование эвристических и экономико-математических
методов при решении задач управления
по дисциплине «Экономический анализ»
СОДЕРЖАНИЕ
1 Вводная часть
2 Расчетная часть
2.1 Решение методом
экспертных оценок
2.2 Решение симплекс
методом
3 Аналитическая записка
1 ВВОДНАЯ ЧАСТЬ
Целью данной работы является
изучение возможностей эвристических и экономико-математических методов для
принятия управленческих решений.
В данной работе были поставлены
задачи, решение которых было найдено путем использования такого эвристического
метода, как метода экспертных оценок, а также используя линейное
прогнозирование (симплекс-метод). В первой части работы необходимо найти с
помощью экспертных оценок типы сыров, которые пользуются наибольшим спросом.
Именно данные метод представляет собой обобщение оценок экспертов, а
особенностью метода является последовательность, индивидуальность опроса
экспертов. Такая методика исключает непосредственный контакт экспертов между
собой и, следовательно, групповое влияние, возникающее при совместной работе и
состоящее в приспособлению к мнению большинства.
Во второй части работы (2ая и 3я
задача) определить структуру комплекса оборудования и получения максимальной
выгоды при наличии ограниченных исходных данных. Преимущество данного метода
перед другими устанавливают, во-первых, с помощью критерия оптимальности F. Для промышленных и с\х предприятий
оптимальным считается план, обеспечивающий выпуск заданного объема продукции
при минимальных затратах, а также получение максимальной прибыли при
ограниченном объеме ресурсов. В данном случае имеется предприятие, совокупность
нового оборудовании и получение максимальной прибыли, которая должна покрыть
расходы на покупку оборудования.
Объектом анализа является дальнейшее
развитие деятельности предприятия по производству сыров, которое находится в
данный момент в состоянии кризиса, а также оптимизация производственных
процессов.
В работе была использована методика,
предложенная в конспекте лекций по экономическому анализу. Расчеты были
произведены с помощью программы Microsoft Exсel.
Условие задачи: сырзавод производит
8 типов сыров. На протяжении нескольких последних лет, данное предприятие несет
убытки и находится в состоянии кризиса. С целью выхода из кризиса, установлена
политика выбора таких типов сыров, которые пользуются наибольшим спросом.
Данные сыры будут производится, а производство сыров, которые пользуются в
меньшей степени спросом, необходимо прекратить. Остатки готовой продукции
сыров, которые пользуются наименьшим спросом, необходимо распродать в
кратчайшие сроки.
Для осуществления поставленной цели
было принято решение произвести дегустацию сыров покупателями в магазинах. По
итогам дегустации был выбран 1 тип сыра, однако в связи с необходимостью выбора
ещё 2 видов сыров, был произведен отбор из 7 типов сыров путем экспертных
оценок. Таким образом, в 8 магазинах (8 экспертов) был произведен опрос после
дегустации и были получены соответствующие оценки спроса на данные сыры. Ранги,
присвоенные этим сырам, приведены ниже в таблице. Оценивание происходит по
9-бальной системе, где 9 баллов присваивается типу сыра, который пользуется
наибольшим спросом, а 1 балл - наименьшим.
Таблица 1. Данные о мнениях (выставленных рангах) экспертов
Эксперты
|
Варианты типов сыров
|
|
«Дружба»
|
«Весё-лый»
|
«Лазурный»
|
«Майский»
|
«Неженка»
|
«Пупырчатый»
|
«Традици-онный»
|
1
|
1
|
2
|
1
|
2
|
2
|
9
|
6
|
2
|
2
|
4
|
2
|
3
|
2
|
7
|
5
|
3
|
1
|
5
|
1
|
4
|
2
|
9
|
4
|
4
|
2
|
4
|
2
|
3
|
3
|
8
|
6
|
5
|
3
|
3
|
1
|
4
|
4
|
9
|
6
|
1
|
5
|
3
|
4
|
4
|
7
|
5
|
7
|
3
|
4
|
4
|
2
|
2
|
6
|
4
|
8
|
1
|
3
|
1
|
3
|
4
|
9
|
5
|
После определения типов сыров,
которые пользуются наименьшим спросом, предприятие решает на часть вырученных
денежных средств от продажи остатков данных типов сыров закупить новое
оборудование для улучшения и облегчения производства. Новое оборудование
предполагается закупить в течение месяца, путем постепенного их приобретения.
Предполагается, что:
- первый комплекс оборудования
включает в себя: прессы сырные вертикальные - 1000 грн, кассеты для прессования
полутвердых сыров - 500 грн., ванна сыродельная - 3000 грн;
- второй комплекс оборудования:
прессы сырные вертикальные - 1500 грн, кассеты для прессования полутвердых
сыров - 400 грн, ванна сыродельная - 4000 грн.
Исходя из распределения ресурсов,
полученных от продажи остатков готовой продукции, на покупку прессов сырных
вертикальных предприятие может направить 22000 т грн., на кассеты для
прессования полутвердых сыров - 9000 грн,
на сыродельные ванны - 56000 грн. Необходимо
определить структуру оптимального комплекса оборудования и максимальную
прибыль.
Таблица 2 - Исходные данные для симплекс-метода
|
Количество единиц, содержащихся в 1 наборе техники
|
Покупка, грн.
|
|
1 пакет
|
2 пакет
|
|
Прессы сырные вертикальные
|
1
|
1,5
|
22000
|
Кассеты для прессования полутвердых сыров
|
0,5
|
0,4
|
9000
|
Ванна сыродельная
|
3
|
4
|
56000
|
2 РАСЧЕТНАЯ ЧАСТЬ
2.1 Решение методом экспертных оценок
Решение: был произведен отбор из 7
типов сыров путем экспертных оценок. Таким образом, в 8 магазинах (8 экспертов)
после дегустации были получены соответствующие оценки спроса на данные сыры.
Ранги, присвоенные этим сырам, приведены выше в условии задачи. Ниже опишем
матрицу рангов ответов экспертов по 7 типам сыров в таблице. Оценивание
происходит по 9бальной системе, где 9 баллов присваивается типу сыра, который
пользуется наибольшим спросом, а 1 - наименьшим. Типы сыров, оцененные низшими,
присваивается ранг 1, следующему 2, далее 3 и 4 и т.д. Если же эксперт поставил
одинаковые баллы нескольким различным моделям, то это означает, что он
присваивает им одинаковые ранги. Ответы экспертов сводятся в матрицу рангов,
которая представлена в таблице 3.
Таблица 3 - Матрица рангов ответов экспертов по 7 подразделениям
Типы сыров
|
|
|
|
Эксперты
|
|
|
|
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
«Дружба»
|
1
|
2
|
2
|
3
|
1
|
3
|
1
|
«Весёлый»
|
2
|
4
|
5
|
4
|
3
|
5
|
4
|
3
|
«Лазурный»
|
1
|
2
|
1
|
2
|
1
|
3
|
4
|
1
|
«Майский»
|
2
|
3
|
4
|
3
|
4
|
4
|
2
|
3
|
«Неженка»
|
2
|
2
|
2
|
3
|
4
|
4
|
2
|
4
|
«Пупырчатый»
|
9
|
7
|
9
|
8
|
9
|
7
|
6
|
9
|
«Традиционный»
|
6
|
5
|
4
|
6
|
6
|
5
|
4
|
5
|
Таблица 4 - Матрица переранжировки рангов
Типы сыров
|
Эксперты
|
|
|
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
7
|
8
|
|
|
|
1
|
1,5
|
2
|
1,5
|
1,5
|
2,5
|
1
|
3
|
1,5
|
14,5
|
-17,5
|
306,25
|
2
|
4
|
5
|
6
|
5
|
2,5
|
5,5
|
5
|
3,5
|
36,5
|
4,5
|
20,25
|
3
|
1,5
|
2
|
1,5
|
1,5
|
1
|
2
|
5
|
1,5
|
16
|
-16
|
256
|
4
|
4
|
4
|
4,5
|
3,5
|
4,5
|
3,5
|
1,5
|
3,5
|
29
|
-3
|
9
|
5
|
4
|
2
|
3
|
3,5
|
4,5
|
3,5
|
1,5
|
5
|
27
|
-5
|
25
|
6
|
6
|
7
|
7
|
7
|
7
|
7
|
7
|
55
|
23
|
529
|
7
|
7
|
6
|
4,5
|
6
|
6
|
5,5
|
5
|
6
|
46
|
14
|
196
|
Сумма
|
28
|
28
|
28
|
28
|
28
|
28
|
28
|
28
|
224
|
0
|
1341,5
|
Произведем переранжировку рангов и
оформим в таблицу 4 (см. выше). Также в данной таблице рассчитаем среднее
значение Хi по формуле
которое будет равно Хi=224/7=32; найдем значение
Формула коэффициента конкордации
имеет вид:
Где t - число связанных рангов в каждом
отдельно взятом столбце матрицы рангов,
W: 0,79 0,7. В данном случае согласованность считается хорошей.
Для определения значимости
коэффициента конкордации исчисляется критерий X2 (Пирсона) с числом степеней свободы n-1:
37,97
Значение X2 сравнивается с табличным X2T. Величина X2 должна быть больше X2T.
Так как X2 > X2T при 5%-ном уровне значимости, то нулевую гипотезу случайности
совпадений мнений экспертов следует считать отвергнутой.
Построим гистограмму (рис.1):
Рис.1 - Гистограмма распределения типов сыров по наличию спроса на
них
Из данных рисунка 1 видно, что спрос
на сыр распределяется следующим образом: Х1, Х3, Х5, Х4, Х3, Х7, Х6. Таким образом,
можно сделать вывод о том, что наибольшим спросом пользуется сыр «Традиционный»
и «Пупырчатый».
2 2 Решение симплекс-методом
Итак, в конечном итоге было выбрано
3 типа сыра, которые предприятие будет производить в дальнейшем. После продажи
остатков оставшихся типов сыров, предприятию потребуется направить имеющиеся
деньги на покупку нового оборудования для облегчения и усовершенствования
производства. Напомним, что у нас имеется 2 комплекса оборудования, состоящего
из 3 типов оборудования: прессы сырные вертикальные, кассеты для прессования
полутвердых сыров и сыродельные ванны.
Таблица 5 - Исходные данные для симплекс-метода
|
Количество единиц, содержащихся в 1 наборе техники
|
Покупка, грн.
|
|
1 пакет
|
2 пакет
|
|
Прессы сырные вертикальные
|
1
|
1,5
|
22000
|
Кассеты для прессования полутвердых сыров
|
0,5
|
0,4
|
9000
|
Ванна сыродельная
|
3
|
4
|
56000
|
1)составим экономико-математическую
модель задачи:
2) Составим симплекс-матрицу и
определим разрешающий элемент
|
х1
|
х2
|
Свободный член
|
Y1
|
1
|
1,5
|
22000
|
22000/1=22000
|
Y2
|
0,5
|
0,4
|
9000
|
9000/0,5=18000 - минимальное
|
Y3
|
3
|
4
|
56000
|
56000/3=18666,67
|
F
|
-1
|
-1
|
0
|
|
Поэтапно оптимизируем
симплекс-матрицы:
3) Найдем опорное и оптимальное
решение, которому соответствует симплекс-таблица с неотрицательными значениями
всех свободных членов в строке F. Выберем разрешающий столбец. Для этого в F-cтроке выберем наибольший по модулю
отрицательный элемент столбца свободного члена (мах по модулю отрицательное):
(-С1;
-С2) = -1;
4) Выберем разрешающую строку, найдя
для этого минимальное частное от деления элементов столбца свободных членов на
соответствующем им элементы, и разрешающий столбец:
Q = мин (В1/А12;
В2/А21..) =18000 (В2);
5) Найдем на пересечении
разрешающего столбца и разрешающей строки разрешающий элемент -(А21);
6) Выполним преобразование исходной
симплекс-таблицы с записью результатов в новую таблицу, начиная всегда с
пересчета разрешённого элемента:
А21
=1/А21=1/0,5=2;
7) Произведем пересчет элементов разрешённой
строки: А22=А22/А21=0,4/1,5=0,8;
В2=В2/А21=9000/0,5=18000.
8) Произведем пересчет элементов разрешённого столбца А11= -А11/А21=
-1/0,5=-2
А31=
-А31/А21= -3/0,5=-6
А41=
-А41/А21=-( -1)/0,5=2
9) Произведем пересчет прочих элементов таблицы, внешних свободных членов и элементов F строки, которые вычисляются по правилу прямоугольника: проводится прямоугольник
через элемент, подлежащий пересчету и через разрешённый элемент, и делается
пересчет по формуле:
А12= А12 - А22*А11/А21=1,5-0,4*1/0,5=-7
А32= А32 - А31*А22/А21=4-3*0,4/0,5=1,6
А42= А42 - А22*А41/А21=-1-0,4*(-1)/0,5=-0,2
В1= В1 - В2*А11/А21=22000-9000*1/0,5=4000
В3= В3 - В2*А31/А21=56000-9000*3/0,5=2000
В4= В4 - В2*А41/А21=0-9000*(-1)/0,5=18000
1-е преобразование:
|
У2
|
Х2
|
Свободный член
|
Q
= В/разреш столбец (-Х1)
|
Y1
|
-2
|
0,7
|
4000
|
4000/0,7 =5714,286
|
Х1
|
2
|
0,8
|
18000
|
18000/0,8= 22500
|
У3
|
-6
|
1,6
|
2000
|
2000/1,6 = 1250 - минимальное
|
F
|
2
|
-0,2
|
18000
|
|
Т.к. матрица описывает не
оптимальный план (в F-строке есть отрицательный элемент), то есть возможность увеличить
целевую функцию). Этапы оптимизации такие же, как и в первом преобразовании.
2-е преобразование (последнее):
|
У2
|
У3
|
Свободный член
|
0,625
|
-0,4375
|
3125
|
х1
|
5
|
-0,5
|
17000
|
Х2
|
-3,75
|
0,625
|
1250
|
F
|
1,25
|
8
|
18250
|
Поскольку в строке целевой функции
больше нет отрицательных элементов, можно говорить о том, что план оптимален и
соответствует максимальному значению целевой функции при существующих
ограничениях в ресурсах.
3 АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЗАПИСКА
Таким образом, путем различных
преобразований, используя различные экономико-математические методы, пришли к
следующему выводу. Перед предприятием по производству сыра была поставлена цель
определения типов сыров, которые пользуются наибольшим спросом. Выбор
необходимо было сделать между 8 типами сыров. После выбора «победителя»
дегустации путем экспертных оценок были определены ещё 2 типа сыров, которые
пользуются наивысшим спросом. Такими сырами стали «Традиционный» и
«Пупырчатый». Производство остальных сыров («Дружба», «Весёлый», «Лазурный»,
«Майский» и «Неженка») прекращено.
Также были поставлены задачи по
определению максимальной прибыли при использовании определенного комплекса нового
оборудования, а также структуры покупки нового оборудования, имея данные о
стоимости оборудования, а также об отчислениях на закупку различных комплексов
оборудования по различной цене.
После двух преобразований, используя
симплекс-метод (линейное программирование), была получена оптимальная
(итоговая) симплекс-таблица. По полученным данным можно сделать следующий
вывод, что структура оптимальной закупки нового оборудования будет включать
покупку первого и второго комплекса оборудования. При этом ресурсы, которые
были направлены на покупку вертикальных сырных прессов, кассетов для
прессования полутвердых сыров и сыродельных
ванн расходуются полностью.
|
У2
|
У3
|
Свободный член
|
|
У1
|
0,625
|
-0,4375
|
3125
|
Остаток средств при покупке вертикальных сырных прессов
|
х1
|
5
|
-0,5
|
17000
|
Комплекс оборудования 1
|
Х2
|
-3,75
|
0,625
|
1250
|
Комплекс оборудования 2
|
F
|
1,25
|
8
|
18250
|
|
Остаток средств при покупке
вертикальных сырных прессов составит 1250 грн. Максимально возможная прибыль
будет равна 18250 грн. Следовательно, можно сказать, что предприятию необходимо
в кратчайшие сроки продать остатки продукции, которые в меньшей степени
пользуются спросом, чтобы на вырученные деньги закупить новое оборудование и
повысить качество продукции, ускорить процесс производства, чтобы покрыть
убытки от закупки новых комплексов оборудования.
Все поставленные задачи можно
считать решенными. Правильность их решения была проверена по средствам
программ: Microsoft Exсel и SIMP.EXE.