Практическое применение статистических методов
Задача № 1
Имеются следующие данные 25 предприятий
легкой промышленности по величине балансовой прибыли и объему произведенной
продукции:
Таблица 1.1
№ предприятия
|
Объем произведенной продукции, млн. руб.
|
Валовая прибыль, млн.
руб.
|
1
|
653
|
45
|
2
|
305
|
11
|
3
|
508
|
33
|
4
|
482
|
27
|
5
|
766
|
55
|
6
|
800
|
64
|
7
|
343
|
14
|
8
|
545
|
37
|
9
|
603
|
41
|
10
|
798
|
59
|
11
|
474
|
28
|
12
|
642
|
43
|
13
|
402
|
23
|
14
|
552
|
35
|
15
|
732
|
54
|
16
|
412
|
26
|
17
|
798
|
58
|
18
|
501
|
30
|
19
|
602
|
41
|
20
|
558
|
36
|
21
|
308
|
12
|
22
|
700
|
50
|
23
|
496
|
29
|
24
|
577
|
38
|
25
|
688
|
49
|
С целью изучения зависимости между объемом
произведенной продукции и валовой прибылью произведите группировку предприятий
по объему произведенной продукции (факторный признак), образовав пять групп
предприятий с равными интервалами.
По каждой группе и совокупности
предприятий подсчитайте:
1)
число предприятий;
2)
объем произведенной продукции –
всего и в среднем на одно предприятие;
3)
валовую прибыль – всего и в
среднем на одно предприятие.
Результаты представьте в виде групповой
таблицы. Сделайте краткие выводы.
Решение:
1. Произведем группировку предприятий по
объему произведенной продукции (факторный признак), образовав пять групп
предприятий с равными интервалами.
1)
Определим размах
вариации: R = Xmax- Xmin =
800-305 = 495
2)
Длина интервала:
Группировку произведем в
таблице 1.2.
Таблица 1.2
№ п/п
|
Группы
|
№ банка
|
Объем произведенной продукции, млн. руб.
|
Валовая прибыль, млн. руб.
|
|
средний
|
|
средняя
|
1
|
305-404
|
2
|
305
|
339,5
|
11
|
15
|
21
|
308
|
12
|
7
|
343
|
14
|
13
|
402
|
23
|
Итого:
|
4
|
1358
|
60
|
2
|
405-503
|
16
|
412
|
473,0
|
26
|
28
|
11
|
474
|
28
|
4
|
482
|
27
|
23
|
496
|
29
|
18
|
501
|
30
|
Итого:
|
5
|
2365
|
140
|
3
|
504-602
|
3
|
508
|
557,0
|
33
|
36,667
|
8
|
545
|
37
|
14
|
552
|
35
|
20
|
558
|
36
|
24
|
577
|
38
|
19
|
602
|
41
|
Итого:
|
6
|
3342
|
220
|
4
|
603-701
|
9
|
603
|
657,2
|
41
|
45,6
|
12
|
642
|
43
|
1
|
653
|
45
|
25
|
688
|
49
|
22
|
700
|
50
|
Итого:
|
5
|
3286
|
228
|
5
|
702-800
|
15
|
732
|
778,8
|
54
|
58
|
5
|
766
|
55
|
10
|
798
|
59
|
17
|
798
|
58
|
6
|
800
|
64
|
Итого:
|
5
|
3894
|
290
|
|
Всего:
|
25
|
14245
|
938
|
Выводы:
Разбив на 5 групп по
объему произведенной продукции банки получили, что:
1.
Самая
многочисленная группа 3, с количеством входящих в неё шести банков, самая
малочисленная – 1, в неё входит 4 банка.
2.
По объему
произведенной продукции в общем и среднем, валовой прибыли и средней валовой
прибыли на одно предприятие лидирует пятая группа, а первая – наименее
эффективна.
Данные показывают, что
при увеличении объема произведенной продукции валовая прибыль увеличивается.
Следовательно, между исследуемыми признаками существует прямая корреляционная
зависимость.
Имеются следующие данные по двум заводам,
вырабатывающим однородную продукцию:
Таблица 2.1
Номер завода
|
Январь
|
Февраль
|
затраты времени на единицу продукции, час
|
изготовлено продукции, шт
|
затраты времени на
|
единицу продукции, час
|
всю продукцию, час
|
1
|
2
|
160
|
1,8
|
420
|
2
|
2,8
|
180
|
2,4
|
440
|
Вычислите средние затраты времени на
изготовление единицы продукции по двум заводам в январе и феврале. Укажите виды
средних величин, используемых в решении задач.
Решение:
Для января статистические данные
представлены количеством выпущенной продукции и затратами времени на выпуск
единицы продукции, поэтому средние затраты времени на изготовление единицы
продукции определяем по формуле средней арифметической взвешенной:
= ,
где х - затраты времени на единицу
продукции, час.
f - изготовлено продукции, шт.
= час.
Для февраля статистические данные
представлены затратами времени на весь выпуск продукции и затратами времени на
выпуск единицы продукции, поэтому средние затраты времени на изготовление
единицы продукции определяем по формуле средней гармонической взвешенной:
= ,
где w – объем признака, равный
произведению вариант на частоты: w = x f.
=
На заводе №1 в январе затраты времени на
единицу продукции были снижены с 2 до 1,8 часа. На заводе №2 в 1993 г. затраты
времени на единицу продукции были снижены с 2,8 до 2,4 часа.
В среднем по двум заводам затраты времени
снизились с 2,424 до 2,0,64 часа, что практически обусловлено снижением эффективности
производства на заводах.
В целях изучения стажа рабочих одного из
цехов завода проведена 10%-ная механическая выборка, в результате которой
получено следующее распределение рабочих по стажу работы:
Таблица 3.1
Стаж рабочих, лет
|
Число рабочих, чел
|
До 5
От 5 до 10
От 10 до 15
От 15 до 20
От 20 до 25
Свыше 25
|
5
10
35
25
15
10
|
Итого
|
100
|
На основании этих данных вычислите:
1.
Средний стаж рабочих цеха.
2.
Средний квадрат отклонений
(дисперсию) и среднее квадратическое отклонение.
3.
Коэффициент вариации.
4.
С вероятностью 0,997 предельную
ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж
рабочих цеха.
5.
С вероятностью 0,997 предельную
ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы
от 10 до 20 лет.
Сделайте выводы.
Решение:
Для вычисления средней величины в каждой
группе определяем серединное значение (середину интервала), после чего
определяем средний стаж рабочих цеха по формуле средней арифметической взвешенной.
В закрытом интервале серединное значение
определяем как полусумму верхней и нижней границ, открытые интервалы приравниваются
к рядом стоящим. Кроме того, для расчёта дисперсии последовательно определяем
отклонение каждой группы от средней, квадрат отклонения и произведение квадрата
отклонения на число работников в группе. Расчёт производим в таблице 3.2.
Таблица 3.2
Расчет среднего квадратического отклонения
Стаж рабочих, лет
|
Число рабочих, чел. f
|
х
|
xf
|
|
()2
|
()2 f
|
До 5
|
5
|
2,5
|
12,5
|
-13,25
|
175,563
|
877,813
|
5-10
|
10
|
7,5
|
75
|
-8,25
|
68,0625
|
680,625
|
10-15
|
35
|
12,5
|
437,5
|
-3,25
|
10,5625
|
369,688
|
15-20
|
25
|
17,5
|
437,5
|
1,75
|
3,0625
|
76,5625
|
20-25
|
15
|
22,5
|
337,5
|
6,75
|
45,5625
|
683,438
|
св. 25
|
10
|
27,5
|
275
|
11,75
|
138,063
|
1380,63
|
Итого:
|
100
|
-
|
1575
|
-
|
-
|
4068,75
|
1.
Определим средний
стаж рабочих цеха:
= = = 15,75 лет.
2.
Определим среднее
квадратическое отклонение:
σ = = 6,379 лет.
Дисперсия признака σ2 = = 40,688 лет.
3.
Определим коэффициент
вариации
V = %
Так как выборка механическая, то ошибка выборочного наблюдения
определяется по формуле:
Δх = t
При =3μ и p = w3μ степень вероятности
повышается до 0,997.
Таким образом:
t = 3
σ2= 40,688 -
дисперсия признака;
n = 15,75 - средний стаж рабочих цеха;
- это 10%-ная механическая выборка.
Δх = t
Доверительные интервалы для средней будут равны:
– Δх + Δх .
=15,75 лет.4,574 года. или 15,75-4,5715,75+4,57
С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний стаж
рабочих цеха находится в пределах от 11,18 дней до 20,32 дней.
5.
Определим с вероятностью 0,997
предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со
стажем работы от 10 до 20 лет.
Средняя ошибки для выборочной доли при бесповторном способе
отбора рассчитывается по формуле:
Δw = t .
При =3μ и p = w3μ степень вероятности
повышается до 0,997.
Таким образом:
t = 3;
n = 100 - численность рабочих цеха;
- это 10%-ная механическая выборка;
Определим w - удельный вес числа рабочих со
стажем работы от 10 до 20 лет.
25+35=0,6 или 60%,
100
т.е. доля рабочих со
стажем работы от 10 до 20 лет – 60%.
Δw = t или 13,9%.
Доверительные интервалы для доли будут
равны:
p = w Δw .
p = 60% 13,9%, тогда 60% – 13,9% p 60% + 13,9%.
Доля числа рабочих со стажем работы от 10
до 20 лет будет находиться в пределах от 46,1 до 73,9% при вероятности 0,997.
Задача № 4
Численность населения России характеризуется
следующими данными:
Таблица 4.1
Годы
|
На начало года, тыс. чел
|
1997
2002
2003
2004
2005
2006
2007
|
148041
148306
147976
147502
147105
146388
145500
|
Для анализа численности населения России
за 2002-2007 гг. определите:
1.
Абсолютные приросты, темпы роста и
темпы прироста по годам и к 2002 году.
Полученные показатели представьте в
таблице.
2.
Среднегодовую численность
населения России.
3.
Среднегодовой темп роста и
прироста численности населения России за 2002-2007 гг. и за 1997-2002 гг.
Постройте график динамики численности
населения России.
Сделайте выводы.
Решение:
1.
Определим абсолютные приросты,
темпы роста и темпы прироста по годам и к 2002 году. Полученные показатели
представим в таблице 4.2.
Таблица 4.2
Абсолютные приросты, темпы роста и темпы
прироста
Годы
|
На начало года, тыс. чел
уi
|
Абс. приросты, млн.тонн
|
Темпы роста
|
Темпы прироста, %
|
цепные
|
базисные (к 2002г)
|
цепные
|
базисные (к 2002г)
|
цепные
|
базисные (к 2002г)
|
yц = уi – yi-1
|
yб =
уi – y2002
|
k =
|
k
=
|
Δkц =
kц % – 100
|
Δkб =
k % – 100
|
1997
|
148041
|
265
|
-265
|
1,002
|
0,998
|
0,2%
|
-0,2%
|
2002
|
148306
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
2003
|
147976
|
-330
|
-330
|
0,998
|
0,998
|
-0,2%
|
-0,2%
|
2004
|
147502
|
-474
|
-804
|
0,997
|
0,995
|
-0,3%
|
-0,5%
|
2005
|
147105
|
-397
|
-1201
|
0,997
|
0,992
|
-0,3%
|
-0,8%
|
2006
|
146388
|
-717
|
-1918
|
0,995
|
0,987
|
-0,5%
|
-1,3%
|
2007
|
145500
|
-888
|
-2806
|
0,994
|
0,981
|
-0,6%
|
-1,9%
|
2. Определим среднегодовую численность
населения России за 2002-2007 гг.:
За 2002-2007 гг. мы имеем интервальный ряд
динамики с равными интервалами. Поэтому среднегодовую численность населения
исчислим по формуле средней арифметической простой:
====
147129,5тыс.чел.
где у – уровни ряда
n
– число уровней ряда.
3. Среднегодовой темп роста и прироста
численности населения России за 2002-2007 гг.
Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле средней
геометрической из цепных коэффициентов роста:
==,
где n
– число цепных темпов роста;
за 2002-2007 гг.: ===0,996 или 99,6%.
Среднегодовой темп роста численности населения России за
2002-2007 гг. равен 99,6 %.
Среднегодовой темп прироста за 2002-2007 гг. исчисляется
следующим образом:
Δ = % – 100%=99,6–100=0,4%.
Таким образом, численность населения России за период 2002-2007
гг. уменьшалось за год в среднем на 0,4%.
Выводы: численность населения России по данным таблицы 4.1. в 2002 году
повысилась по сравнению с 1997 годом на 265 тыс.чел. или на 0,2%. Затем вплоть
до 2007 года снижалось в среднем на 0,4% за год.
Задача № 5
Имеются следующие данные о стоимости
имущества предприятия (млн. руб.):
Таблица 5.1
|
01.01.
|
01.02.
|
01.03.
|
01.04.
|
01.05.
|
01.06.
|
01.07.
|
Стоимость имущества, млн. руб.
|
62
|
68
|
65
|
68
|
70
|
75
|
78
|
Определите среднегодовую стоимость
имущества:
1)
за I квартал;
2)
за II квартал;
3)
за полугодие в целом.
Решение:
Среднегодовая стоимость имущества рассчитывается по формуле
средней арифметической простой:
За I
квартал: = = 66 млн. руб.
За II
квартал: = = 72,667 млн. руб.
За полугодие в целом: = = 69,333 млн. руб.
Задача № 6
Динамика средних цен и объема продажи на
колхозных рынках города характеризуется следующими данными:
Таблица 6.1
Наименование товара
|
Продано товаров за период, тыс. кг
|
Средняя цена за 1 кг за период, руб.
|
базисный
|
отчетный
|
базисный
|
отчетный
|
Колхозный рынок № 1:
Картофель
Свежая капуста
|
6,0
2,5
|
6,2
2,4
|
8,0
15,0
|
8,5
19,0
|
Колхозный рынок №2:
Картофель
|
12,0
|
12,8
|
7,5
|
8,0
|
На основании имеющихся данных вычислите:
1.
Для колхозного рынка № 1 (по двум
видам товаров вместе):
а) общий индекс товарооборота в
фактических ценах;
б) общий индекс цен;
в) общий индекс физического объема
товарооборота.
Определите в отчетном периоде прирост
товарооборота в абсолютной сумме и разложите по факторам (за счет изменения цен
и объема продаж товаров).
Покажите взаимосвязь начисленных индексов.
2.
Для двух колхозных рынков вместе
(по картофелю):
а) индекс цен переменного состава;
б) индекс цен постоянного состава;
в) индекс влияния изменения структуры
объема продажи картофеля на динамику средней цены.
Решение:
1. Для колхозного рынка № 1 определим индивидуальные индексы:
По товару Картофель: ip = = = 1,033 или 103,3%,
iq = =
= 1,063 или 106,3%,
По товару Свежая капуста: ip = =
= 0,960 или 96%,
iq = =
= 1,267 или 126,7%.
Таблица 6.2
Индивидуальные индексы для товаров
колхозного рынка №1
Индивидуальные индексы
|
Продано товаров за период, тыс. кг
|
Средняя цена за 1 кг за период, руб.
|
Картофель
|
1,033
|
1,063
|
Свежая капуста
|
0,960
|
1,267
|
Таким образом:
–
цены на картофель
выросли в отчетном году на 6,3%;
–
объем продаж по
картофелю увеличился на 3,3%.
–
цены на свежую
капусту выросли в отчетном периоде на 26,7%;
–
свежей капусты
было продано в отчетном периоде по сравнению с базисным на 4% меньше.
а) Чтобы определить изменение товарооборота в фактических
ценах в абсолютной сумме, необходимо рассчитать агрегатный индекс товарооборота
в фактических ценах:
Ipq = =
= = 1,150 или 115,0%.
Разность между числителем и знаменателем индекса
товарооборота в фактических ценах дает прирост (или снижение) товарооборота в
абсолютной сумме:
Δpq = –= 98,3-85,5 = 12,8 (тыс. руб.).
Товарооборот в фактических ценах вырос в отчетном периоде по
сравнению с базисным периодом на 15% или на 12,8 тыс.руб.
б) Перейдем к расчету агрегатного индекса цен. В качестве
веса введем в индекс неизменное количество товаров отчетного периода (по
формуле Пааше). Формула агрегатного индекса цен будет выглядеть следующим
образом:
Ip = =
= = 1,148 или 114,8%.
Разность между числителем и знаменателем индекса цен дает
прирост (снижение) товарооборота за счет изменения цен:
Δpq(p) = –= 98,3-85,6 =12,7 (тыс. руб.).
Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде
составил 12,7 тыс. рублей за счет увеличения цен на 14,8%.
в) Чтобы рассчитать агрегатный индекс физического объема
товарооборота, который будет характеризовать изменение объема продажи товаров,
примем в качестве веса неизменные цены базисного периода и определим стоимость
каждого товара:
Iq = = = = 1,001 или 100,1%,
Разность между числителем и знаменателем индекса физического
объема товарооборота дает прирост (или снижение) товарооборота в неизменных
ценах:
Δpq(q) = –= 85,6-85,5 = 0,1 (тыс. руб.).
Прирост товарооборота в абсолютной сумме в отчетном периоде
за счет увеличения количества проданного товара на 0,1% составил 0,1 тыс. руб.
Связь между изменениями объема товарооборота, количеством
продажи товаров и уровнем их цен выражается в системе взаимосвязанных индексов:
= или = Ipq ,
тогда в нашем примере:
1,148*1,001=1,150
Произведение двух индексов () дает нам показатель динамики товарооборота в фактических
ценах (Ipq), то есть за счет роста цен на 14,8%
(в абсолютной сумме – 12,7 тыс.руб.) и увеличения объема продаж на 0,1% (в
абсолютной сумме – 100 руб.), товарооборот увеличился в отчетном году на 15% (в
абсолютной сумме – 12,8 тыс.руб.).
2. а) Индекс цен переменного состава определим по следующей
формуле:
==:
или =:==1,0648 или 106,48%.
Средняя цена единицы продукции по двум заводам возросла на 6,48%.
б) Индекс постоянного состава определим по агрегатному
индексу цен:
Ip = =
= = 1,0652 или 106,52%.
Это означает, что в среднем по двум заводам цена единицы
повысилась на 6,52%.
в) Индекс структурных сдвигов определим по формуле:
Iстр = :
или Iстр = :==0,9995 или 99,95%
Средняя цена единицы по двум заводам снизилась на 0,05% за
счет изменения удельного веса на отдельном заводе в общем выпуске продукции.
Покажем взаимосвязь трех исчисленных индексов:
= или 1,0652 = .
Общий вывод: Если бы происшедшие изменения цен продукции не
сопровождались перераспределениями в ее выпуске, то средняя себестоимость
продукции по двум заводам выросла бы на 6,48%.
Изменение структуры выпуска продукции в общем объеме вызвало
снижение цен на 0,05%. Одновременное воздействие двух факторов увеличило
среднюю цену продукции по двум заводам на 6,52%.
группировка средний
прирост дисперсия
Задача № 7
По заводу имеются следующие данные о
выпуске продукции:
Таблица 7.1
Вид продукции
|
Выпуск продукции в I квартале, тыс. руб.
|
Увеличение (+) или уменьшение (-) выпуска продукции во II квартале по сравнению с I
кварталом, %
|
Рельсы трамвайные
|
22300
|
+3,0
|
Чугун литейный
|
15800
|
-2,0
|
Железо листовое
|
10500
|
+1,5
|
1.Определить общий индекс физического
объема продукции.
2.Определить сумму изменения затрат за
счет объема произведенной продукции.
Решение:
1. Определим индивидуальные индексы
физического объема товарооборота в таблице:
Таблица 7.2
Вид продукции
|
Выпуск продукции в I квартале, тыс. руб.
|
Индивидуальный индекс физического объема, т/об
|
Рельсы трамвайные
|
22300
|
1,03
|
Чугун литейный
|
15800
|
0,98
|
Железо листовое
|
10500
|
1,015
|
q = = = = 1,011
Физический объем продукции увеличился на
1,1%.
2. Сумма изменения затрат
равна 49110,5-48600 = 510,5 тыс.руб.
Таким образом за счет
увеличения физического объема продукции на 1,1% сумма затрат увеличилась на
510,5 тыс.руб.
Задача № 8
Для изучения тесноты связи между объемом
произведенной продукции (факторный признак – Х) и балансовой прибылью
(результативный признак – У) по данным задачи № 1 вычислите эмпирическое
корреляционное отношение.
Сделайте выводы.
Решение:
Для расчета межгрупповой
дисперсии строим расчетную таблицу 8.1.
Таблица 8.1
Расчет среднего квадратического отклонения
Группы банков по объему произведенной продукции
|
Число банков
n
|
Сумма прибыли на один банк, млн.руб. У
|
|
()2
|
()2n
|
305-404
|
4
|
15,00
|
-22,520
|
507,150
|
2028,602
|
405-503
|
5
|
28,00
|
-9,520
|
90,630
|
453,152
|
504-602
|
6
|
36,67
|
-0,853
|
0,728
|
4,369
|
5
|
45,60
|
8,080
|
65,286
|
326,432
|
702-800
|
5
|
58,00
|
20,480
|
419,430
|
2097,152
|
Итого:
|
25
|
37,52
|
|
|
4909,707
|
Рассчитаем межгрупповую
дисперсию по формуле
= ==196,388
Для расчета общей
дисперсии возведем все значения «у» (валовую прибыль) в квадрат.
Таблица 8.2
Валовая прибыль, млн.руб.
У
|
Валовая прибыль, млн.руб.
У2
|
Валовая прибыль, млн.руб.
У
|
Валовая прибыль, млн.руб.
У2
|
Валовая прибыль, млн.руб.
У
|
Валовая прибыль, млн.руб.
У2
|
45
|
2025
|
59
|
3481
|
41
|
1681
|
11
|
121
|
28
|
784
|
36
|
1296
|
33
|
1089
|
43
|
1849
|
12
|
144
|
27
|
729
|
23
|
529
|
50
|
2500
|
55
|
3025
|
35
|
1225
|
29
|
841
|
64
|
4096
|
54
|
2916
|
38
|
1444
|
14
|
196
|
26
|
676
|
49
|
2401
|
37
|
1369
|
58
|
3364
|
ИТОГО
|
40362
|
41
|
1681
|
30
|
900
|
|
Рассчитаем общую дисперсию по формуле:
= – = – 37,522 = 206,73
Тогда коэффициент детерминации будет:
η2 == = 0,950.
Он означает, что вариация суммы выданных банком кредитов на
95% объясняется вариацией размера процентной ставки и на 5% – прочими
факторами.