Определение показателей производительности труда и себестоимости единицы продукции

Определение показателей производительности труда и себестоимости единицы продукции

Практическая работа №1

1. Определите объект наблюдения, единицу наблюдения и единицу совокупности:

а) в отчетности по вводу объектов строительства, основных фондов и мощностей;

б) в отчетности по переписи поголовья скота на единоличных подворьях.

Решение:

Объект наблюдения – совокупность социально-правовых явлений и процессов, которые подлежат исследованию, или точные границы, в пределах которых будут регистрироваться статистические сведения.

Единица совокупности – это первичный элемент объекта статистического наблюдения, являющийся носителем признаков, подлежащих регистрации и основой ведущегося при обследовании счета.

Численность единиц совокупности характеризует объем и распространенность изучаемого явления.

Единица наблюдения – это та первичная ячейка, от которой должны быть получены необходимые статические сведения.

а) В отчетности по вводу объектов строительства, основных фондов и мощностей объектом наблюдения будут основные фонды, объекты строительства, станки и другие мощности. Единицей совокупности будут здания, сооружения, станки и другие основные фонды. Единицей наблюдения будут предприятия – хозяева единиц совокупности.

б) В отчетности по переписи поголовья скота на единоличных подворьях объектом наблюдения будет скот на единоличных подворьях. Единицей совокупности будут коровы, свиньи, бараны, козы и другой скот. Единицей наблюдения будут единоличные подворья – хозяева единиц совокупности.

Практическая работа №2

Имеются отчетные данные о работе 36 заводов отрасли за год (табл.2.1).

Таблица 2.1

№ завода	Произведено продукции, тыс. т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.
1	900	810	6525
2	187	160	1712
3	416	400	3502
4	1105	860	7868
5	211	190	2835
6	1066	820	5632
7	610	510	3730
8	875	700	7645
9	1126	870	7779
10	136	150	1943
11	412	400	3912
12	794	610	5881
13	418	430	3805
14	275	290	3413
15	460	360	4111
16	1130	860	7755
17	718	650	5782
18	220	270	2815
19	559	510	3725
20	710	580	5680
21	331	380	2947
22	928	780	7993
23	318	330	3402
24	1270	980	7985
25	696	600	3680
26	1169	890	6335
27	968	790	8027
28	170	160	2406
29	566	520	5069
30	471	460	3703
31	460	470	4209
32	337	380	3530
33	448	450	4650
34	385	400	3198
35	251	290	2925
36	815	620	5902

1. На основе данных табл. 2.1:

а) вычислить показатели производительности труда и себестоимости единицы продукции (1 тонны);

б) произвести группировку предприятий по производительности труда, разделив их на 6 групп с равными интервалами. Составить таблицы по группам предприятий и сводную таблицу группировки. В сводной таблице каждую группу охарактеризовать:

- числом предприятий;

- суммарной численностью работников, общими объемами производства и суммарными затратами;

в) построить структурную таблицу, где показать структуру числа предприятий по числу, суммарным затратам, объемам производства и численности рабочих;

г) построить аналитическую таблицу, где показать взаимосвязь показателей;

д) по данным распределения предприятий построить график ряда распределения, вычислить среднее значение группировочного признака и его коэффициент вариации, указать моду и медиану ряда распределения.

Решение:

Производительность труда (ω) равна отношению произведенного объема продукции (Q) к среднесписочному числу работников (Т)

ω = Q / T

Себестоимость единицы продукции (С) равна отношению общей суммы затрат на производство (Z) к среднесписочному числу работников (Т)

С = Z / T

Рассчитаем производительность и себестоимость одной тонны продукции для каждого завода в отдельности, результаты приведем в таблице 2.2

Найдем также суммарные показатели произведенного объема продукции (SQ), общих затрат на производство (SZ) и численности работников (SТ).

Показатели производительности труда и себестоимости единицы продукции в целом по всем заводам рассчитываются как отношение суммарных показателей.

 = SQ / ST ; = SZ / ST

Приведем суммарные показатели в таблице 2.2.

Таблица 2.2

№ п/п		Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.		Среднесписочное число работников, чел.		Производительность труда, т./чел.		Себестоимость единицы продукции,
1		900	810		6525		137,9		900,00
2		187	160		1712		109,2		855,61
3		416	400		3502		118,8		961,54
4		1105	860		7868		140,4		778,28
5		211	190		2835		74,4		900,47
6		1066	820		5632		189,3		769,23
	7	610	510	3730		163,5		836,07
	8	875	700	7645		114,5		800,00
	9	1126	870	7779		144,7		772,65
	10	136	150	1943		70,0		1102,94
	11	412	400	3912		105,3		970,87
	12	794	610	5881		135,0		768,26
	13	418	430	3805		109,9		1028,71
	14	275	290	3413		80,6		1054,55
	15	460	360	4111		111,9		782,61
	16	1130	860	7755		145,7		761,06
	17	718	650	5782		124,2		905,29
	18	220	270	2815		78,2		1227,27
	19	559	510	3725		150,1		912,34
	20	710	580	5680		125,0		816,90
	21	331	380	2947		112,3		1148,04
	22	928	780	7993		116,1		840,52
	23	318	330	3402		93,5		1037,74
	24	1270	980	7985		159,0		771,65
	25	696	600	3680		189,1		862,07
	26	1169	890	6335		184,5		761,33
	27	968	790	8027		120,6		816,12
	28	160	2406		70,7		941,18
	29	566	520	5069		111,7		918,73
	30	471	460	3703		127,2		976,65
	31	460	470	4209		109,3		1021,74
	32	337	380	3530		95,5		1127,60
	33	448	450	4650		96,3		1004,46
	34	385	400	3198		120,4		1038,96
	35	251	290	2925		85,8		1155,38
	36	815	620	5902		138,1		760,74
	Итого:	21911	18930	172011		127,4		863,95

При группировке с равными интервалами для расчета длины одного интервала применяется формула:

,

где h – длина одного интервала;

x_max – максимальное значение группировочного признака;

x_min – минимальное значение группировочного признака;

Найдем длину интервала:

 т / чел.

Найдем, в какую группу попадает каждый завод и составим таблицы по группам:

Таблица 2.3 Данные заводов 1-ой группы

№ п/п	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Производительность труда, т./чел.	Себестоимость единицы продукции, руб.
5	211	190	2835	74,4	900,47
10	136	150	1943	70	1102,94
14	275	290	3413	80,6	1054,55
18	220	270	2815	78,2	1227,27
28	170	160	2406	70,7	941,18
35	251	290	2925	85,8	1155,38
Итого:	1263	1350	16337	77,3	1068,88

Таблица 2.4 Данные заводов 2-ой группы

№ п/п	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Производительность труда, т./чел.	Себестоимость единицы продукции, руб.
2	187	160	1712	109,2	855,61
11	412	400	3912	105,3	970,87
23	318	330	3402	93,5	1037,74
31	460	470	4209	109,3	1021,74
32	337	380	3530	95,5	1127,6
33	448	450	4650	96,3	1004,46
Итого:	2162	2190	21415	101,0	1012,95

Таблица 2.5 Данные заводов 3-ей группы

№ п/п	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Производительность труда, т./чел.	Себестоимость единицы продукции, руб.
3	416	400	3502	118,8	961,54
8	875	700	7645	114,5	800
13	418	430	3805	109,9	1028,71
15	460	360	4111	111,9	782,61
17	718	650	5782	124,2	905,29
20	710	580	5680	125	816,9
21	331	380	2947	112,3	1148,04
22	928	780	7993	116,1	840,52
27	968	790	8027	120,6	816,12
29	566	520	5069	111,7	918,73
30	471	460	3703	127,2	976,65
34	385	400	3198	120,4	1038,96
Итого:	7246	6450	61462	117,9	890,15

Таблица 2.6 Данные заводов 4-ой группы

№ п/п	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Производительность труда, т./чел.	Себестоимость единицы продукции, руб.
1	900	810	6525	137,9	900
4	1105	860	7868	140,4	778,28
9	1126	870	7779	144,7	772,65
12	794	610	5881	135	768,26
16	1130	860	7755	145,7	761,06
36	815	620	5902	138,1	760,74
Итого:	5870	4630	41710	140,7	788,76

Таблица 2.7 Данные заводов 5-ой группы

№ п/п	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Производительность труда, т./чел.	Себестоимость единицы продукции, руб.
7	610	510	3730	163,5	836,07
19	559	510	3725	150,1	912,34
24	1270	980	7985	159,0	771,65
Итого:	2439	2000	15440	158,0	820,01

Таблица 2.8 Данные заводов 6-ой группы

№ п/п	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.	Производительность труда, т./чел.	Себестоимость единицы продукции, руб.
6	1066	820	5632	189,3	769,23
25	696	600	3680	189,1	862,07
26	1169	6335	184,5	761,33
Итого:	2931	2310	15647	187,3	788,13

Таблица 2.9 Сводная таблица группировки

№ группы	Группы заводов по производительности труда (интервалы), т/чел.			Число заводов	Произведено продукции, тыс.т.	Общая сумма затрат, млн.руб.	Среднесписочное число работников, чел.
1	70	-	89,9	6	1263	1350	16337
2	89,9	-	109,8	6	2162	2190	21415
3	109,8	-	129,7	12	7246	6450	61462
4	129,7	-	149,6	6	5870	4630	41710
5	149,6	-	169,5	3	2439	2000	15440
6	169,5	-	189,4	3	2931	2310	15647
Итого				36	21911	18930	172011

Наибольшие объемы произведенной продукции, общую сумму затрат и суммарную численность работников имеет группа заводов №3.

Определим структуру объема производства, общей суммы затрат и численности работающих по группам. Результаты расчета представим в таблице.

Таблица 2.10 Структурная таблица.

№	Группы заводов по производительности труда			Число заводов		Произведено продукции		Общая сумма затрат		Среднесписочное число работников
				шт.	% к итогу	тыс.т.	% к итогу	млн. руб.	% к итогу	чел.	% к итогу
1	70	-	89,9	6	16,7	1263	5,8	1350	7,1	16337	9,5
2	89,9	-	109,8	6	16,7	2162	9,9	2190	11,6	21415	12,4
3	109,8	-	129,7	12	33,3	7246	33,1	6450	34,1	61462	35,7
4	129,7	-	149,6	6	16,7	5870	26,8	4630	24,5	41710	24,2
5	149,6	-	169,5	3	8,3	2439	11,1	2000	10,6	15440	9,0
6	169,5	-	189,4	3	8,3	2931	13,4	2310	12,2	15647	9,1
Итого				36	100,0	21911	100,0	18930	100,0	172011	100,0

В аналитическую таблицу сведем средние показатели по численности работников, общей сумме затрат и выпуску продукции, а также показатели производительности труда и средней стоимости тонны продукции.

Таблица 2.11 Аналитическая таблица

№ группы	Группы заводов по производительности труда			Средний объем производства продукции, т	Общая сумма затрат в среднем на один завод,.	Средняя численность работников,	Производительность труда, т / чел.	Средняя стоимость единицы продукции,
1	70	-	89,9	210,50	225,00	2722,83	77,3	1068,88
2	89,9	-	109,8	360,33	365,00	3569,17	101,0	1012,95
3	109,8	-	129,7	603,83	537,50	5121,83	117,9	890,15
4	129,7	-	149,6	978,33	771,67	6951,67	140,7	788,76
5	149,6	-	169,5	813,00	666,67	5146,67	158,0	820,01
6	169,5	-	189,4	977,00	770,00	5215,67	187,3	788,13
Итого				608,64	525,83	4778,08	127,4	863,95

По аналитической таблице видим, что с ростом средней производительности труда возрастают средний объем производства и общие затраты. Это говорит о наличии прямой связи между показателями. Средняя себестоимость единицы продукции имеет обратную связь со средней производительностью труда.

Графиком интервального распределения является гистограмма. Построим график распределения предприятий:

Рис. 2.1 Гистограмма распределения заводов по производительности труда.

Найдем среднее значение признака по формуле для интервального ряда:

 ,

где – среднее значение признака;

x_i – значение признака на интервале (середина интервала);

m_i – частота повторения признака на интервале

Составим вспомогательную таблицу:

Таблица 2.12 Расчетная таблица для расчета среднего

№ группы	Группы заводов по производительности труда (интервалы) т/чел.			Число заводов, ni	Середина интервала, xi	ni * xi
1	70	-	89,9	6	79,95	479,7
2	89,9	-	109,8	6	99,85	599,1
3	109,8	-	129,7	12	119,75	1437
4	129,7	-	149,6	6	139,65	837,9
5	149,6	-	169,5	3	159,55	478,65
6	169,5	-	189,4	3	179,45	538,35
Итого				36		4370,7

 = 4370,7 / 36 = 121,41 т / чел.

Найдем дисперсию признака по формуле:

 ,

где  – дисперсия признака.

Составим вспомогательную таблицу:

Таблица 2.13 Расчетная таблица для расчета дисперсии

№ группы	Группы заводов по производительности труда (интервалы) т/чел.			Число заводов, ni	Середина интервала, xi	(хi – )	(хi – )2	ni * (хi – )2
1	70	-	89,9	6	79,95	– 41,46	1718,932	10313,59
2	89,9	-	109,8	6	99,85	– 21,56	464,8336	2789,002
3	109,8	-	129,7	12	119,75	– 1,66	2,7556	33,0672
4	129,7	-	149,6	6	139,65	18,24	332,6976	1996,186
5	149,6	-	169,5	159,55	38,14	1454,66	4363,979
6	169,5	-	189,4	3	179,45	58,04	3368,642	10105,92
Итого				36				29601,75

 = 29601,75 / 36 = 822,27 (т / чел.)²

Среднее квадратичное отношение  т / чел.

Коэффициент вариации .

Коэффициент вариации меньше 33% значит выборка однородная.

Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака, для группировки мода находиться по формуле :

гдех₀ – начальное значение модального интервала;

f_Mo , f_Mo-1 , f_Mo+1 – частота появления признака соответственно в интервале модальном, предшествующем модальному и следующим за модальным;

h – длина интервала.

 т / чел.

Найдем медиану выборки по формуле для интервального ряда :

гдех₀ – начальное значение медианного интервала;

f’_Mе-1 – накопленная частота в интервале предшествующем медианному

f_Mе – частота появления признака в медианном интервале;

h – длина интервала.

Найдем медиану выборки

 т / чел.

Практическая работа №3

1. Имеются следующие данные о структуре и динамике производства на заводе стройдеталей в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Условные обозначения видов продукции	Удельный вес видов продукции (%) в прошлом году	Темпы роста объемов производства, %
А	15,8	102,6
Б	10,2	110,2
В	25,0	108,7
Г	40,9	105,0
Д	8,1	118,0
Общий объем производства	100,0	106,6

Определите структуру производства в плановом году.

2. Фактическое и требуемое распределение рабочих по тарифным разрядам представлено в табл. 3.2

Таблица 3.2

Тарифный разряд	1	2	3	4	5	6	Итого
Фактическая численность, чел.	10	15	25	40	17	8	115
Требуемая структура, %	2	8	25	30	25	10	100

Постройте график ряда распределения фактически работающих 115 рабочих и сравните его с требуемой по составу работ структурой квалификаций.

Как называется этот график ряда распределения?

3. Совокупность состоит из 2 частей. Известно, что одна часть составляет от другой 50%. Рассчитайте структуру совокупности.

Решение:

1) Определим средневзвешенный по элементам структуры индекс роста продукции.

В этом случае весами будут выступать удельные веса видов продукции (выраженные в долях):

I = S(i * d_пр / 100)

Тогда удельный вес одной группы продукции можно найти как отношение произведения индивидуального индекса и удельного веса к средневзвешенному индексу:

d_пл = (i * d_пр) / I

Найдем удельные веса продукции в плановом году. Результаты расчетов представим в таблице 3.3

Таблица 3.3 Расчет структуры продукции в плановом периоде

Условные обозначения видов продукции	Удельный вес видов продукции (%) в прошлом году (dпр)	Темпы роста объемов производства, % (i)	i * dпр / 100	Удельный вес видов продукции (%) в плановом году (dпл)
А	15,8	102,6	16,21	15,13
Б	10,2	110,2	11,24	10,49
В	25	108,7	27,18	25,37
Г	40,9	105	42,95	40,09
Д	8,1	118	9,56	8,92
Общий объем производства	100	106,6	107,14	100

2) Найдем удельный вес i-го тарифного разряда (d_i) как отношение численности рабочих данного разряда (n_i) к общей численности рабочих (Sn):

d_i = n_i / Sn * 100%

Например, для перового разряда:

d₁ = 10 / 115 * 100 = 8,7 %

Рассчитаем фактическую структуру распределения рабочих по тарифным разрядам.

Таблица 3.4

Тарифный разряд	1	2	3	4	5	6	Итого
Фактическая численность, чел.	10	15	25	40	17	8	115
Фактическая структура, %	8,7	13,04	21,74	34,78	14,78	6,96	100
Требуемая структура, %	2	8	25	30	25	10	100

Построенный график называется сравнительной диаграммой.

По диаграмме видим, что фактическая структура рабочих перераспределена в сторону низких разрядов по сравнению с требуемой структурой. На лицо нехватка высококвалифицированных кадров.

3) Совокупность состоит из 2 частей. Известно, что одна часть составляет от другой 50%. Рассчитайте структуру совокупности.

Найдем долю более крупной части в общей совокупности:

d₁ = 100 / (100 + 50) * 100% = 66,67 % или 2/3

Найдем долю меньшей части в общей совокупности:

d₂ = 50 / (100 + 50) * 100% = 33,33 % или 1/3

Практическая работа №4

Таблица 4.1

Интервал по зарплате, руб.	Число рабочих в группе, чел.
180-200	10
200-400	30
400-600	50
600-800	60
800-1000	145
1000-1200	110
1200-1400	80
1400-1600	15
Итого:	500

Рассчитайте методом моментов среднюю зарплату рабочих.

Определите модальное значение средней зарплаты.

Найдите медиану ряда распределения.

Решение:

Математическое ожидание распределения находиться как начальный момент первого порядка:

Для интервального ряда в качестве x_i будут выступать середины интервалов.

M_x = (190 * 10 + 300 * 30 + 500 * 50 + 700 * 60 + 900 * 145 + 1100 * 110 + 1300 * 80 + 1500 * 15) / 500 = 455900 / 500 = 911,8 руб.

Мода – это наиболее часто повторяющееся значение признака, для интервального ряда мода находиться по формуле :

гдех₀ – начальное значение модального интервала;

f_Mo , f_Mo-1 , f_Mo+1 – частота появления признака соответственно в интервале модальном, предшествующем модальному и следующим за модальным;

h – длина интервала.

Модальным является интервал с наибольшим числом рабочих (800 – 1000 руб.)

 руб.

Медиана выборки находиться по формуле для интервального ряда :

гдех₀ – начальное значение медианного интервала;

f’_Mе-1 – накопленная частота в интервале предшествующем медианному

f_Mе – частота появления признака в медианном интервале;

h – длина интервала.

Медианным интервалом является интервал в котором накопленная частота превышает половину выборки. Для приведенного в табл. 4.1 ряда такой интервал 800 – 1000 руб.

Найдем медиану выборки

 руб.

Практическая работа №5

В соответствии с макетом по данным табл. 2.1 постройте группировку предприятий по признакам: Х – производительность труда, Y – себестоимость единицы продукции.

Вычислите общую, внутригрупповые и межгрупповую дисперсии фондовооруженности труда; среднюю из внутригрупповых. Проверьте сложением дисперсий правильность Ваших расчетов.

Вычислите коэффициент детерминации.

Сделайте краткие выводы.

Решение:

Разделим выборку на 5 классов. Величины интервалов определим из формул:

 ,  .

 ,  .

Составим корреляционную таблицу

Таблица 5.1

X		Y										Итого
		761	854	854	947	947	1041	1041	1134	1134	1227
70,0	93,9	0		2		1		2		2		7	79,03
93,9	117,7	3		2		4		1		1		11	108,36
117,7	141,6	5		2		3		0		0		10	128,76
141,6	165,4	4		1		0		0		0		5	152,60
165,4	189,3	2		1		0		0		0		3	187,63
Итого		14		8		8		3		3		36	-
		788,24		899,46		1005,08		1095,03		1176,90		-	-

Значения в столбце  и строке  задают последовательность точек, которая иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признака (у) от факторного признака (х) – эмпирическую линию регрессии.

Общая и межгрупповая дисперсии находятся по формулам :

где  - межгрупповая дисперсия;

  - общая дисперсия.

 - групповые средние;

 - общая средняя;

n_i - частота i-ой группы;

y_i – i-й вариант признака;

f_i – частота i-го варианта.

Общая дисперсия показывает вариацию результативного признака под воздействием всех факторов. Межгрупповая дисперсия показывает вариацию результативного признака, обусловленную вариацией группировочного. Средняя из внутригрупповых показывает вариацию результативного признака под воздействием факторов неучтенных при группировке. Средняя из внутригрупповых находиться по формуле средневзвешенной.

Все три вида дисперсий связаны правилом сложения трех дисперсий

 = +

Таблица 5.2 Вспомогательные расчеты для расчета межгрупповой дисперсии

Группа по Х	ni	i	i –	(i – )2	ni · (i – )2
1	7	1059,93	140,83	19834,21	138839,45
2	11	954,44	35,35	1249,32	13742,47
3	10	872,27	-46,82	2192,57	21925,70
4	5	-108,34	11738,61	58693,07
5	3	797,54	-121,56	14775,75	44327,26
Итого	36	919,10			277527,95

 = 277527,95 / 36 = 7709,11

Таблица 5.3 Вспомогательные расчеты для расчета общей дисперсии

Группа по Y	ni	yi	yi –	(yi – )2	ni · (yi – )2
1	14	807,39	-111,7	12478,2	174694,9
2	8	900,70	-18,4	338,6	2708,4
3	8	994,01	74,9	5610,9	44887,4
4	3	1087,31	168,2	28295,3	84885,9
5	3	1180,62	261,5	68391,7	205175,2
Итого	36	919,10			512351,8

 = 512351,8 / 36 = 17820,82

Найдем внутригрупповую дисперсию по первой группе

Таблица 5.4 Расчетная таблица для расчета дисперсии по первой группе

№ п/п	y	y –	(y – )2
1	900,47	-159,46	25428,40
2	1102,94	43,01	1849,61
3	1054,55	-5,38	28,98
4	1227,27	167,34	28001,72
5	1037,74	-22,19	492,52
6	941,18	-118,75	14102,24
7	1155,38	95,45	9110,16
Сумма	7419,53	0	79013,63

 = 79013,63 / 7 = 11287,66

Найдем внутригрупповую дисперсию по второй группе

Таблица 5.5 Расчетная таблица для расчета дисперсии по второй группе

№ п/п	y	y –	(y – )2
1	855,61	-98,83	9768,27
2	800,00	-154,44	23853,12
3	970,87	16,43	269,80
4	1028,71	74,27	5515,36
5	782,61	-171,83	29527,11
6	1148,04	193,60	37479,20
7	840,52	-113,92	12978,80
8	918,73	-35,71	1275,53
9	1021,74	67,30	4528,68
10	1127,60	173,16	29982,81
11	1004,46	50,02	2501,55
Сумма	10498,89	0	157680,22

 = 157680,22 / 11 = 14334,57

Найдем внутригрупповую дисперсию по третьей группе

Таблица 5.6 Расчетная таблица для расчета дисперсии по третьей группе

№ п/п	y	y –	(y – )2
1	900,00	27,73	768,73
2	961,54	89,27	7968,42
3	778,28	-93,99	8834,87
4	768,26	-104,01	10818,91
5	905,29	33,02	1090,06
6	816,90	-55,37	3066,28
7	816,12	-56,15	3153,27
8	976,65	104,38	10894,35
9	1038,96	166,69	27784,22
10	760,74	-111,53	12439,83
Сумма	8722,74	0	86818,95

 = 86818,95 / 10 = 8681,89

Найдем внутригрупповую дисперсию по четвертой группе

Таблица 5.7 Расчетная таблица для расчета дисперсии по четвертой группе

№ п/п	y	y –	(y – )2
1	836,07	25,32	640,90
2	772,65	-38,10	1451,91
3	761,06	-49,69	2469,49
4	912,34	101,59	10319,72
5	771,65	-39,10	1529,12
Сумма	4053,77	0	16411,15

 = 16411,15 / 5 = 3282,23

Найдем внутригрупповую дисперсию по четвертой группе

Таблица 5.8 Расчетная таблица для расчета дисперсии по четвертой группе

№ п/п	y	y –	(y – )2
1	769,23	-28,31	801,64
2	862,07	64,53	4163,69
3	761,33	-36,21	1311,41
Сумма	2392,63	0	6276,74

 = 6276,74 / 3 = 2092,25

Найдем среднюю из внутригрупповых :

= (11287,66 * 7 + 14334,57 * 11 + 8681,89 * 10 + 3282,23 * 5 + 2092,25 * 3) / 36 =346200,68 / 36 = 9616,69

Проверим правило сложения дисперсий

 + =

7709,11 + 9616,69 = 17325,8

 = 17820,82

Т.е. правило сложения дисперсий выполняется.

Эмпирический коэффициент детерминации равен :

= 7709,11 / 17820,82 = 0,433

Т.е. 43,3 % вариации результативного признака объясняется вариацией факторного признака. Связь между показателями средняя.

Практическая работа №6

На основе данных табл. 2.1 и расчетов себестоимости (С) и производительности труда (ω) выполните следующие операции по расчету линии регрессии :

- нанесите на график корреляционного поля данные по 36 заводам;

- сделайте вывод о возможной форме связи между себестоимостью продукции и производительностью труда;

- для выбранной формулы с помощью метода наименьших квадратов рассчитайте величины коэффициентов;

- нанесите на график корреляционного поля полученную теоретическую линию регрессии;

- рассчитайте для данной формы связи необходимые показатели, характеризующие тесноту связи (корреляционное отношение или коэффициент корреляции) между себестоимостью продукции и производительностью труда.

Решение:

Построим корреляционное поле

По графику можно предположить наличие обратной связи между производительностью труда (х) и себестоимостью единицы продукции (у).

Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.

Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b :

По исходным данным рассчитываем Sх , Sу, Sух , Sх² , Sу².

Таблица 6.1

№ п/п	y	x	yx	x2	y2
1	900	137,9	124110,00	19016,41	810000,00
2	855,61	109,2	93432,61	11924,64	732068,47
3	961,54	118,8	114230,95	14113,44	924559,17
4	778,28	140,4	109270,51	19712,16	605719,76
5	900,47	74,4	66994,97	5535,36	810846,22
6	769,23	189,3	145615,24	35834,49	591714,79
7	836,07	163,5	136697,45	26732,25	699013,04
8	800	114,5	91600,00	13110,25	640000,00
9	772,65	144,7	111802,46	20938,09	596988,02
10	1102,94	70	77205,80	4900,00	1216476,64
11	970,87	105,3	11088,09	942588,56
12	768,26	135	103715,10	18225,00	590223,43
13	1028,71	109,9	113055,23	12078,01	1058244,26
14	1054,55	80,6	84996,73	6496,36	1112075,70
15	782,61	111,9	87574,06	12521,61	612478,41
16	761,06	145,7	110886,44	21228,49	579212,32
17	905,29	124,2	112437,02	15425,64	819549,98
18	1227,27	78,2	95972,51	6115,24	1506191,65
19	912,34	150,1	136942,23	22530,01	832364,28
20	816,9	125	102112,50	15625,00	667325,61
21	1148,04	112,3	128924,89	12611,29	1317995,84
22	840,52	116,1	97584,37	13479,21	706473,87
23	1037,74	93,5	97028,69	8742,25	1076904,31
24	771,65	159	122692,35	25281,00	595443,72
25	862,07	189,1	163017,44	35758,81	743164,68
26	761,33	184,5	140465,39	34040,25	579623,37
27	816,12	120,6	98424,07	14544,36	666051,85
28	941,18	70,7	66541,43	4998,49	885819,79
29	918,73	111,7	102622,14	12476,89	844064,81
30	976,65	127,2	124229,88	16179,84	953845,22
31	1021,74	109,3	111676,18	11946,49	1043952,63
32	1127,6	95,5	107685,80	9120,25	1271481,76
33	1004,46	96,3	96729,50	9273,69	1008939,89
34	1038,96	120,4	125090,78	14496,16	1079437,88
35	1155,38	85,8	99131,60	7361,64	1334902,94
36	760,74	138,1	105058,19	19071,61	578725,35
Итого	33087,56	4358,7	3907787,13	562532,77	31034468,27
Среднее	919,10	121,08	108549,6	15625,9	862068,6
Обозначение среднего

Найдем дисперсию переменных:

= 15625,9 – 121,08² = 966,75

= 862068,6 – 919,10² = 17325,8

Найдем параметры a и b уравнения линейной регрессии :

– 2,8

919,10 + 2,8 · 121,08 = 1261,03

Уравнение регрессии :

= 1261,03 – 2,8 · х

С увеличением средней производительности труда на 1 т / чел. себестоимость одной тонны уменьшается на 2,8 руб.

Нанесем линию регрессии на график корреляционного поля.

Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

 – 0,667

Т.к. коэффициент близок к – 0,7, то связь средняя, близкая к сильной, обратная.

Практическая работа №7

Изменение объемов товарооборота и цен в 1985-1990 гг. приведено табл.7.1

Таблица 7.1

Годы	1985	1986	1987	1988	1989	1990
Изменение объемов товарооборота, млн. руб.	700	720	750	780	800	840
Цепной индекс цен	—	1,02	1,03	1,05	1,06	1,08

Рассчитайте:

а) показатели динамики объема товарооборота за эти годы (абсолютные приросты, темпы роста и прироста, их средние величины);

б) постройте график, определите вид функции и проведите операцию аналитического выравнивания. Теоретическую линию регрессии нанесите на график.

Решение:

Рассчитаем показатели динамики по следующим формулам:

Рассчитаем показатели динамики по следующим формулам:

Абсолютный прирост базисный:

D_{i баз} = Y_i – Y₁ ,

где Y₁ – размер показателя в первом году, Y_i – размер показателя в i-ом году. Абсолютный прирост цепной:

D_{i цеп} = Y_i – Y_i-1 ,

где Y_i–1 – размер показателя в предшествующий i-му год.

Темп роста базисный:

Т_{р баз} = (Y_i / Y₁)·100 .

Темп роста цепной:

Т_{р цеп} = (Y_i / Y_i–1)·100 .

Темп прироста базисный:

Т_{пр баз} = Т_{р баз} – 100 .

Темп прироста цепной:

Т_{пр цеп} = Т_{р цеп} – 100 .

Рассчитанные показатели сведем в таблицу 7.2

Таблица 7.2 Показатели динамики объема товарооборота

Квартал	Объемы товарооборота, млн. руб.	Абсолютный прирост		Темп роста, %		Темп прироста, %
		базисный	цепной	базисный	цепной	базисный	цепной
1985	700	0	-	100,0	-	0,0	-
1986	720	20	20	102,9	102,9	2,9	2,9
1987	750	50	30	107,1	104,2	7,1	4,2
1988	780	80	30	111,4	104,0	11,4	4,0
1989	800	100	20	114,3	102,6	14,3	2,6
1990	840	140	40	120,0	105,0	20,0	5,0

Нанесем данные на график динамики :

Рис. 7.1. Исходные данные.

По графику динамики можно предположить линейную зависимость между показателями.

Для определения основной тенденции ряда произведем выравнивание ряда динамики с помощью уравнения прямой:

Y_{i теор} = а₀ + а₁t_i ,

где Y_{i теор} – рассчитанное выровненное значение производства электроэнергии, после подставления в уравнение значения t_i . Для нахождения а₀ и а₁ решим следующую систему.

Для решения системы составим таблицу:

Таблица 7.3

Годы	Объемы товарооборота, млн. руб.	t	Y * t	t2	f(t)
1985	700	-5	-3500	25	695,71
1986	720	-3	-2160	9	723,43
1987	750	-1	-750	1	751,14
1988	780	1	780	1	778,86
1989	800	3	2400	9	806,57
1990	840	5	4200	25	834,29
Итого	4590	0	970	70	4590

а₀ = 4590 / 6 = 765 и а₁ = 970 / 70 = 13,857 .

Таким образом, f(t) = 765 + 13,857·t , для t= –5, –3, …, +3, +5, или f(t) = 668 + 27,714·t , для t = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6. а₁ = 27,714 – показатель силы связи, т.е. за период 6 лет происходило увеличение товарооборота на 27,714 млн. руб. ежегодно. Изобразим исходный и выровненный ряды

Рис. 7.2. Исходный и выровненный ряды

По графику видно, что линейная функция очень точно совпадает с исходными данными.

Имеются следующие данные о продаже картофеля на рынках города за 2 квартала (табл. 8.1).

Таблица 8.1

Рынки	2-й квартал		4-й квартал
	Количество, ц	Модальная цена, руб. за 1 кг	Количество, ц	Модальная цена, руб. за 1 кг
1	120,0	7,0	180,0	8,5
2	140,0	8,0	160,0	8,1
3	140,0	9,0	180,0	8,5

На основе приведенных данных определите:

а) индекс средних цен;

б) индекс цен в постоянной структуре продаж;

в) индекс влияния на среднюю цену структурных изменений (изменения удельного веса рынков) в продаже картофеля;

г) изменение средних цен (в абсолютных величинах) в целом и за счет влияния отдельных факторов.

Решение:

Индексом переменного состава в статистике называют отношение двух средних величин. Найдем индекс переменного состава по следующей формуле:

,

где  – индекс переменного состава;

 – средняя цена картофеля в отчетном периоде;

 – средняя цена картофеля в базисном периоде;

p₁ – цена на картофель в отчетном периоде;

p₀ – цена на картофель в базисном периоде;

q₁ – физический объем проданного картофеля в отчетном периоде;

q₀ – физический объем проданного картофеля в базисном периоде.

.

Индекс цен постоянного состава найдем как общий индекс цен по формуле:

,

где I_p – индекс цен.

Итак,

 .

Индекс влияния структурных сдвигов находится по формуле :

.

Взаимосвязь индексов выражается формулой:

 = I_p · I_{вл.стр.сдв.} .

Изменение средней себестоимости в целом :

Δ = –

Δ = 8,377 – 8,05 = 0,327 руб. за 1 кг

Изменение средней цены под влиянием изменения цены по разным рынкам:

Δ_(Δp) = ·I_p –

Δ_(Δp) = 8,05 * 1,047 – 8,05 = 0,378 руб. за 1 кг

Изменение средней цены под влиянием изменения структуры продаж :

Δ_(стр.) =  – ·I_p

Δ_(стр.) = 8,377 – 8,05 * 1,047 = – 0,051 руб. за 1 кг