Группировочные (факторные) и результативные признаки. Размах и коэффициент вариации

Задание 1

Сгруппируйте 30 совхозов по факторному признаку, образовав 5 – 6 групп с равными интервалами. Сделайте выводы относительно наличия (или отсутствия) связи между группировочным (факторным) и результативным признаком.

Решение

Группировка является основой научной сводки и обработки статистических данных. Группировочный (факторный) признак в нашем примере – среднегодовая стоимость основных фондов сельскохозяйственного назначения, млн. руб., результативный признак – выручка от реализации всей продукции совхоза, млн. руб.

Исходные данные представлены в табл. 1.

Таблица 1 - Основные показатели работы совхозов

Количество групп принимаем = 5 групп.

Необходимо определить интервалы группировки и их величины.

Величина интервала определяется по формуле:

i = , (1)

где х_max – максимальное значение группировочного признака;

x_min – минимальное значение группировочного признака;

n – число намечаемых групп.

Величина интервала составит:

i =  млн. руб.

После расчета шага интервала распределим все предприятия в рабочей таблице (табл. 2). После построим аналитическую таблицу (табл. 3).

Таблица 2 - Рабочая таблица

Таблица 3 - Аналитическая таблица

Изучив данные 30-ти совхозов о среднегодовой стоимости основных фондов и величине выручки от реализации всей продукции совхоза, можно сказать, что между этими показателями существует зависимость и она прямая, так как с ростом среднегодовой стоимости основных фондов растет величина выручки от реализации всей продукции совхоза.

Задание 2

Используя, данные задачи 1, рассчитайте:

1. По факторному признаку – размах вариации и коэффициент вариации;

2. По результативному признаку – коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Решение

Размах вариации (или размах колебаний) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака в изучаемой совокупности:

R = х_max – x_min (2)

R = 11,0 – 3,3 = 7,7 млн. руб.

Относительным показателем уровня вариации признака является коэффициент вариации. Он представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака и выражается обычно в процентах:

 (3)

где δ – среднее квадратическое отклонение;

– средняя величина.

Если коэффициент вариации больше 33%, то совокупность неоднородна и ее средняя нетипична.

Для расчета показателей вариации составим вспомогательную таблицу (табл. 4).

Таблица 4 - Вспомогательная таблица

Среднюю величину среднегодовой стоимости основных фондов определим по формуле средней арифметической взвешенной:

, (4)

где х – варианта или значение признака;

f – частота повторения индивидуального значения признака (его вес).

Средняя величина составит:

 млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение показывает на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности и определяется в зависимости от характера исходных данных.

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

 (5)

Среднее квадратическое отклонение составит:

 млн. руб.

Коэффициент вариации составит:

Таким образом, коэффициент вариации меньше 33%. Следовательно, рассмотренная совокупность однородна.

Коэффициент детерминации и корреляционное отношение рассчитываются на основании проведенной группировки в задаче 1 по результативному признаку (величине выручки от реализации всей продукции совхоза).

Коэффициент детерминации определяется по следующей формуле:

, (6)

где - межгрупповая дисперсия;

- общая дисперсия.

Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки:

, (7)

Величина общей дисперсии  характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности.

 (8)

где ─ среднее значение результативного признака в группе;

 f_i ─ объем группы (число совхозов в группе);

 ─ среднее значение результативного признака для всей совокупности.

Оценить тесноту связи можно по величине эмпирического корреляционного отношения, используя формулу

 (9)

Эмпирическое корреляционное отношение изменяется ,  – при отсутствии связи,  – при функциональной зависимости.

Средняя величина выручки от реализации всей продукции совхоза составит:

 млн. руб.

Составим вспомогательную таблицу 5.

Таблица 5 - Вспомогательная таблица

Межгрупповая дисперсия составит:

Общая дисперсия составит:

Коэффициент детерминации составит:

 или 10,53%

Коэффициент детерминации показывает, что выручка от реализации продукции совхозов на 10,53% зависит от среднегодовой стоимости основных фондов и на 89,47% от других факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение составит:

Корреляционное отношение показывает, что связь между среднегодовой стоимостью основных фондов и величиной выручки от реализации продукции совхозов не тесная.

Задание 3

С вероятностью 0,997 определите предельную ошибку выборки и интервал, в котором находится генеральная средняя факторного признака. При этом выборочная совокупность (30 совхозов) составляет 2% от объема генеральной, и была получена механическим способом отбора.

Решение

Предельная ошибка выборки определяется по формуле:

, (10)

где t – коэффициент доверия, t=3 при (Р) 0,997.

σ² – дисперсия факторного признака;

n – объем выборочной совокупности;

N – объем генеральной совокупности;

– удельный вес объема выборочной совокупности в генеральной.

Так как выборочная совокупность составляет 2% от объема генеральной, то объем генеральной совокупности будет равен 1500 совхозов.

Дисперсия среднегодовой стоимости основных фондов составляет 2,64 млн. руб. (см. задачу 2).

Тогда предельная ошибка выборки составит:

Для определения интервальной оценки генеральной средней используется формула:

, (11)

где – среднее значение факторного признака в генеральной совокупности;

– среднее значение факторного признака выборочной совокупности (средняя по 30 совхозам).

Средняя среднегодовая стоимость основных фондов по 30 совхозам составляет 6,79 млн. руб. (см. задачу 2).

6,79 – 0,44≤≤6,79+0,44

6,35≤≤7,23

Таким образом, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что среднегодовая стоимость основных фондов в генеральной совокупности будет находиться в пределах от 6,35 до 7,23 млн. рублей.

Задание 4

Проведите корреляционно–регрессионный анализ по исходным данным задачи 1 (используете линейную модель).

Решение

При линейной связи регрессионная модель описывается функцией вида:

, (12)

где а₀ и а₁ – параметры уравнения регрессии, которые рассчитываются из системы нормальных уравнений.

Найдем параметры а₀ и а₁, решив систему уравнений:

Составим вспомогательную таблицу (табл. 6).

Таблица 6 - Вспомогательная таблица

Уравнение регрессии принимает следующий вид:

Коэффициент регрессии (а₁) имеет положительное значение, значит, между признаками существует прямая корреляционная зависимость. Уравнение показывает, что при снижении среднегодовой стоимости основных фондов величина выручки от реализации продукции в среднем изменяется на 3,62 млн. руб.

Линейный коэффициент корреляции является показателем степени тесноты связи и определяется по формуле:

, (13)

где σ_х – среднеквадратическое отклонение по факторному признаку;

σ_у – среднеквадратическое отклонение по результативному признаку.

 (14)

Значение коэффициента корреляции изменяется от – 1до 1.

При | r | >0,8 считают, что связь между признаками достаточно тесная.

Среднеквадратическое отклонение по результативному признаку составит:

Линейный коэффициент корреляции составит:

Коэффициент линейной корреляции далек от единицы, значит, связь между признаками не достаточно тесная. Положительный знак указывает на прямую зависимость.

Задание 5

Рассчитайте производительность труда одного рабочего в среднем по заводу.

Решение

Средняя величина – обобщающая характеристика изучаемого признака в исследуемой совокупности. Она отражает его типичный уровень в расчете на единицу совокупности в конкретных условиях места и времени.

Так как в исходной информации задачи статистический вес (частота повторения признака) не задан в явной форме, а входит сомножителем в один из заданных показателей, то для расчета производительности труда одного рабочего в среднем по заводу будем использовать формулу средней гармонической взвешенной:

 (15)

Таким образом, производительность труда одного рабочего в среднем по заводу составит:

 тыс. руб.

Задание 6

Задание состоит из двух задач. Для его выполнения изучите тему «Индексы».

Задача 1.

По данным своего варианта рассчитайте:

− индекс товарооборота;

− индекс цен;

− индекс физического объема реализации товара;

− экономию (или перерасход) денежных средств населения в результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Решение

1) Индекс товарооборота определяется по формуле:

 (16)

Товарооборот в отчетном периоде снизился на 7,9% по сравнению с базисным периодом.

2) Индекс цен определяется по формуле:

 (17)

В отчетном периоде по сравнению с базисным цены на три товара в среднем снизились на 34,15 %.

3) Индекс физического объема реализации товаров определяется по формуле:

 (18)

Количество проданного товара было в отчетном периоде больше, чем в базисном периоде на 40,09 % .

4) экономия (или перерасход) денежных средств населения в результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным составит:

∑(р₁ – р₀)*q₁ = (0,260-0,255)*450,0+(0,250-0,220)*200,0+(0,200-0,350)*2050,0 = -299,25 руб.

В результате изменения цен в отчетном периоде по сравнению с базисным наблюдался перерасход денежных средств населения в размере 299,25 рублей.

Задача 2.

По данным своего варианта рассчитайте индексы цен переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов. Объясните, почему различаются индексы переменного и постоянного состава.

Решение

Индекс цен переменного состава определяется по формуле:

 (19)

 (↑ 12,49%)

Индекс цен постоянного состава определяется по формуле:

 (20)

 (↑ 8,05%)

Индекс цен структурных сдвигов определяется по формуле:

 (21)

 (↑ 4,12%)

Индекс переменного состава – это отношение двух взвешенных средних с меняющимися (переменными) весами, показывающее изменение индексируемой величины. Переменные весы – это количество реализованной продукции базисного и отчетного периода. А индекс постоянного состава – это отношение взвешенных средних с одними и теми же весами. Постоянные весы – это количество реализованной продукции отчетного периода.

Задание 7

По приведенным рядам динамики рассчитайте:

− абсолютные приросты (цепные);

− цепные темпы роста и прироста;

− средний абсолютный прирост;

− средний темп роста и прироста;

− абсолютное значение одного процента прироста.

Таблица 7 - Динамика производства нефти в России

Решение

1) Абсолютный прирост цепной определяется по формуле:

∆_ц =Y_i – Y_i-1, (22)

где ∆_ц − абсолютный прирост цепной;

Y_i − уровень сравниваемого периода;

Y_i-1− уровень непосредственно предшествующего периода.

∆_i ¹⁹⁸⁶ = 519,7 – 490,8 = 28,9 млн. т

∆_i ¹⁹⁸⁷ = 545,8 – 519,7 = 26,1 млн. т

∆_i ¹⁹⁸⁸ = 571,5 – 545,8 = 25,7 млн. т

Абсолютные приросты цепные за остальные годы рассчитаны в таблице 8.

Цепной темп роста (Т_р) определяется по формуле:

Т_рц =*100 (23)

Цепные темпы роста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.

Цепной темп прироста (Т_пр) определяется по формуле:

Т_пр = Т_р – 100% (24)

Т_пр¹⁹⁸⁶ = 105,89 – 100 = 5,89%

Т_пр¹⁹⁸⁷ = 105,89 – 100 = 5,89%

Т_пр¹⁹⁸⁸ = 105,89 – 100 = 5,89%

Цепные темпы прироста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.

Средний уровень ряда динамики определяется по формуле:

, (25)

где n – число уровней ряда динамики.

Средний абсолютный прирост определяется по формуле:

, (26)

где У_n – последний уровень ряда динамики;

У₁ – первый уровень ряда динамики;

∆_ц – цепные абсолютные приросты.

Средний темп роста определяется по формуле:

 (27)

где К_рц¹, К_рц², К_рц^n-1 – цепные коэффициенты роста.

или 101,53%

Средний темп прироста определяется по формуле:

 (28)

Абсолютное значение одного процента прироста определяется по формуле:

, (29)

А¹⁹⁸⁶ = 0,01*490,8 = 4,91

А¹⁹⁸⁷ = 0,01*519,7 = 5,20

А¹⁹⁸⁸ = 0,01*545,8 = 5,46

Абсолютные значения одного процента прироста за остальные годы рассчитаны в таблице 8.

Таблица 8 - Показатели динамики

Список литературы

1. Гусаров В.М. Теория статистики. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 448 с.

2. Едронова Н.Н. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 648 с.

3. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 368 с.

4. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. – М.: ИНФРА-М. 2000. – 414 с.

5. Теория статистики / Под редакцией Громыко Г.Л. – М.: ИНФРА-М, 2002. – 576 с.