Понятие бесконечности в науке и искусстве
Реферат по КСЕ
Понятие бесконечности
в науке и искусстве
Содержание
Введение
1.К истории понятия бесконечности
2.Понятие бесконечности в науке
3.Понятие бесконечности в искусстве
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Бесконечность есть одна
из фундаментальных категорий человеческой мысли. Тема бесконечности не является
прерогативой ни одной специальной области культуры: бесконечное как символ, как
проблема, как таинство присутствует и в искусстве, и в науке, и в философии, и
в богословии. Отношение к бесконечности в разных культурах разное.
Понятием бесконечности
охвачены многие классы объектов, явлений, категорий. Собственно бесконечностью
(беспредельностью) может характеризоваться любое представление, но
безграничность описывает пространственные формы, а вечность – временные. Здесь
же следует упомянуть и о бесконечной делимости, то есть о неограниченности
приближения к нулевому объекту, пустому множеству, исчезновению проявления.
Актуальность исследования проблемы понятия бесконечности в науке и искусстве
обусловлено необходимостью разработки теоретических путей для решения следующей
проблемы.
С одной стороны понятие
бесконечного принадлежит к числу тех категорий, которые играют определяющую роль,
как в философии, так и в науке, подобно таким понятиям, как число, пространство,
время, движение, непрерывное и неделимое и др. Изменение в трактовке этого
понятия, смысл которого связан с культурно-историческим контекстом той или иной
эпохи, влечет за собой перемены в характере научного мышления, в принципах
научных программ и научных теорий.
Бесконечность по сути
своей выходит за границы человеческого опыта, накопленного в виде конечного
множества фактов за конечное время. Она не может быть постигнута с
метафизической точки зрения, или на пути излишнего доверия к приему идеализации.
С другой стороны понятие бесконечности имеет вполне определенный смысл только в
математике. В геометрии понятие бесконечности нуждается в определении; еще
более - в физике. Этих определений не существует, не было даже попыток дать
определения, которые заслуживали бы внимания.
Бесконечность не может
быть полностью воспринята человеческим интеллектом на любом его уровне развития
в связи с одним из свойств бесконечности – неопределенностью нескончаемости.
Хотя бесконечность включает существование человеческого интеллекта полностью
воспринимаемого бесконечность.
Цель данной работы -
рассмотреть понятие бесконечности в науке и искусстве.
Для достижения
поставленной цели нужно выполнить следующие задачи:
-изучить историю
понятия бесконечности;
-рассмотреть понятие
бесконечности в науке и в искусстве.
1.
К
истории понятия бесконечности
Понятие бесконечности,
значение которого в современной системе познания столь невообразимо велико,
зародилось в глубочайшей древности и при становлении прошло весьма сложный
путь. Достаточно упомянуть хотя бы начальный страх перед бесконечностью,
выразившийся в создании идеи «больше этого числа нет числа». Впервые это
понятие обсуждается в школе элеатов: элеец Зенон вводит понятие актуально
бесконечного и пытается показать, что допущение актуально бесконечного ведет к
апориям — парадоксам, противоречиям. Кратко смысл зеноновых парадоксов передает
Аристотель: «Есть четыре рассуждения Зенона о движении, доставляющие большие
затруднения тем, которые хотят их разрешить. Первое, о несуществовании движения
на том основании, что перемещающееся тело должно сначала дойти до середины, чем
до конца... Второе, так называемый Ахиллес. Оно заключается в том, что
существо, более медленное в беге, никогда не будет настигнуто самым быстрым,
ибо преследующему необходимо раньше прийти в место, откуда уже двинулось
убегающее, так что более медленное всегда имеет некоторое преимущество...
Третье... заключается в том, что летящая стрела стоит неподвижно: оно вытекает
из предположения, что время слагается из отдельных «теперь»... Четвертое
рассуждение относится к двум разным массам, движущимся с равной скоростью, одни
— с конца ристалища, другие — от середины, в результате чего, по его мнению,
получается, что половина времени равна его двойному количеству» (Физика, VI,
9).
Апории «Дихотомия» и
«Ахиллес» предполагают допущение бесконечной делимости пространства, которое в
силу этого, согласно Зенону, не может быть пройдено до конца ни в какое
конечное время, тогда как «Стрела» и «Стадий» построены на том, что время и
пространство состоят из бесконечного множества неделимых моментов времени и
точек пространства.
Чтобы создать науку о
движении — физику, Аристотель должен доказать возможность мыслить движение без
противоречия. Для этого он вводит принцип непрерывности. Непрерывность — это
определенный тип связи элементов системы, отличный от других форм связи —
последовательности и смежности. Следование по порядку — условие смежности, а
смежность — предпосылка непрерывности. Если предметы соприкасаются, но при этом
сохраняют каждый свои края, то мы имеем дело со смежностью; если же граница
двух предметов оказывается общей, то налицо — непрерывность.
Непрерывное, по
Аристотелю, — это то, что делится на части, всегда делимые. А это значит, что
непрерывное не может быть составлено из неделимых.
Таким путем Аристотель
разрешает те трудности, которые возникают при допущении, что пространство и
время состоят из бесконечного множества «неделимых», и получает возможность
мыслить движение как непрерывный процесс, а не как сумму «продвинутостей».
Непрерывность является условием возможности движения и условием его мыслимости.
Принцип непрерывности
Аристотеля по своему содержанию в сущности совпадает с аксиомой отношения
Евдокса — одним из фундаментальных положений греческой математики, которое
называют также аксиомой Архимеда. Ее формулирует Евклид в четвертом определении
V книги «Начал»: «Говорят, что величины имеют отношение между собой, если они,
взятые кратно, могут превзойти друг друга»[1].
Вот как Аристотель
разъясняет принцип отношения Евдокса, показывая, что этот принцип устраняет
зенонов парадокс «Дихотомия»: «Если, взявши от конечной величины определенную
часть, снова взять ее в той же пропорции, т. е. не ту же самую величину,
которая взята от целого, то конечную величину нельзя пройти до конца; если же
настолько увеличивать пропорцию, чтобы брать всегда одну и ту же величину, то
пройти можно, так как конечную величину всегда можно исчерпать любой
определенной величиной» (Физика, III, 6). Вероятно, теория отношений Евдокса
родилась как способ установить отношения также и между несоизмеримыми
величинами. Пока не была обнаружена несоизмеримость, отношения могли выражаться
целыми числами: для определения отношения двух величин меньшую брали столько
раз, сколько необходимо, чтобы она сравнялась с большей. Принцип отношения
имеет применение и в греческой астрономии, тоже не признающей актуально
бесконечного. Вот характерное рассуждение Архимеда: «Аристарх Самосский выпустил
в свет книгу о некоторых гипотезах, из которых следует, что мир гораздо больше,
чем понимают обычно. Действительно, он предполагает, что неподвижные звезды и
Солнце находятся в покое, а Земля обращается вокруг Солнца по окружности круга,
расположенной посредине между Солнцем и неподвижными звездами, а сфера
неподвижных звезд имеет тот же центр, что и у Солнца, и так велика, что круг,
по которому, как он предположил, обращается Земля, так же относится к
расстоянию неподвижных звезд, как центр сферы к ее поверхности. Но хорошо
известно, что это невозможно: так как центр не имеет никакой величины, то
нельзя предполагать, чтобы он имел какое-нибудь отношение к поверхности сферы.
Надо поэтому думать, что Аристарх подразумевал следующее: поскольку мы подразумеваем,
что Земля является как бы центром мира, то Земля к тому, что мы назвали миром,
будет иметь то же отношение, какое сфера, по которой, как думает Аристарх,
обращается Земля, имеет к сфере неподвижных звезд». [2]
Архимед не допускает
отношения между какой-либо величиной и тем, что величины не имеет (т. е. на
нашем языке — нулем), а значит, не допускает бесконечности. Интересно, что хотя
в эпоху Архимеда наука оперировала очень большими величинами.
Наиболее понятный
пример потенциально бесконечного — беспредельно возрастающий числовой ряд, ряд
натуральных чисел, который, сколько бы мы его ни увеличивали, остается конечной
величиной.
Потенциально
бесконечное всегда имеет дело с конечностью и есть беспредельное движение по
конечному. Это получает осмысление и в греческой философии, которая определяет
бесконечное как возможное, а не действительное, материю, а не форму,
становление, а не бытие. Не допуская актуальной бесконечности, Аристотель
определяет бесконечное как то, вне чего всегда что-то есть. А может ли
существовать нечто такое, вне чего больше ничего нет? И если да, то как его
назвать? «Там, где вне ничего нет, — говорит Аристотель, — это законченное и
целое: это то, у которого ничто не отсутствует, например, целое представляет
собой человек или ящик... Целое и законченное или совершенно одно и то же, или
сродственны по природе; законченным не может быть ничто, не имеющее конца,
конец же — граница» (Физика, Ш, 6).
Бесконечное — это
материя, т. е. всего лишь возможность, в ее античном понимании — нечто вполне
неопределенное, не имеющее в себе связи, лишенное всякой структуры. Целое же —
это материя оформленная, и «конец», «граница», структурирующая его и делающая
актуально сущим, действительным, т. е. бытием, — это форма. У всякого живого
существа, являющегося целым, формой является его душа.
Аристотель мыслит
вполне в духе греческой философии, которая со времен пифагорейцев и элеатов
противопоставляла беспредельному предел, границу. У пифагорейцев пределу соответствует
единое, свет, хорошее; беспредельному, бесконечному — многое, тьма, дурное и
т.д. У элеатов беспредельное вообще сведено к небытию, ибо бытие тождественно
единому как началу предела и формы. У Платона беспредельное — это темное,
текучее, изменчивое, неопределенное начало — материя. В сущности, бесконечное у
большинства греческих мыслителей отождествляется с древним, идущим от античной
мифологии хаосом, которому противостоит космос — оформленное и упорядоченное
целое, причастное пределу. Не случайно же космос у греков конечен.
Средневековая наука
опиралась на теории, созданные еще в античности: геометрию Евклида,
астрономическую систему Птолемея и физику Аристотеля. Характерной особенностью
античной науки было стремление строить теорию, не прибегая к понятию актуальной
бесконечности. Это понятие, парадоксальность которого была вскрыта еще Зеноном
(V в. до н.э.), не работает ни в
физике Аристотеля, ни в математике Евклида или Архимеда, ни в астрономии
Птолемея. Аристотель, как в физике, так и в космологии допускает только
потенциальную бесконечность (бесконечную делимость) величин, т.е. их
непрерывность, но не допускает актуальной бесконечности ("бесконечно
большого тела"). Космос в представлении как Аристотеля и Евдокса, так и
Птолемея, - очень большое, но конечное тело. В эпоху Возрождения характерен
острый интерес к понятию бесконечности. Оно не только не вызывает к себе
недоверия, но, напротив, становится предметом специального исследования у
ученых и философов.[3] Николай
Кузанский рассматривает понятие бесконечности как теолог: бесконечным, согласно
его учению, является Бог. Но уже у него мы видим попытку ввести понятие
бесконечности также и в математику в виде учения о максимуме и минимуме.
Позднее, у Джордано Бруно, понятие бесконечности становится центральным в
космологии: всем известно учение Бруно о бесконечности Вселенной и бесконечном
множестве миров в ней.
2.Понятие бесконечности
в науке
Бесконечность —
концепция, используемая в математике, философии и естественных науках.
Бесконечность какого-то понятия или атрибута некоторого объекта означает
невозможность указать для него границы или количественную меру. Точное значение
этого термина несколько различается в зависимости от области применения —
математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь. Прежде всего,
следует отметить, что в математике нет единого определения понятия
«бесконечность», хотя оно лежит в основе математики. В процессе развития
математики сформировались следующие подходы к этому понятию: арифметическая и
геометрическая, потенциальная и актуальная бесконечности.[4]
Когда говорят, что некоторая величина потенциально бесконечна, то имеется в
виду, что она может быть неограниченно увеличена. Альтернативой является
понятие актуальной бесконечности, которая означает, что рассматривается (как
реально существующая) величина, не имеющая конечной меры. Пример: второй
постулат Евклида утверждает не бесконечность длины прямой линии, а всего лишь
то, что «прямую можно непрерывно продолжать». Это потенциальная бесконечность.
Если же рассмотреть всю бесконечную прямую, то она даёт пример актуальной
бесконечности.
Античные философы и
математики признавали, как правило, только потенциальную бесконечность,
решительно отвергая возможность оперировать с актуально бесконечными
атрибутами. [5]
Соответственно этой
доктрине формулировались научные утверждения. Например, теорема о бесконечности
множества простых чисел у античных математиков формулировалась так: «Каково бы
ни было простое число P, существует простое число, большее, чем P».
Аристотель писал:
Всегда возможно придумать большее число, потому что количество частей, на
которые можно разделить отрезок, не имеет предела. Поэтому бесконечность
потенциальна, никогда не действительна; какое бы число делений ни задали,
всегда потенциально можно поделить на большее число.
Именно Аристотель
сделал большой вклад в осознание бесконечности, разделив её на потенциальную и
актуальную и вплотную подойдя с этой стороны к основам математического анализа,
а также указав на пять источников представления о ней:
время;
разделение величин;
неиссякаемость творящей
природы;
само понятие границы,
толкающее за её пределы;
мышление, которое
неостановимо.
С точки зрения
математики бесконечность есть величина, которая постоянно возрастает, но не
когда не завершается, не становится равной чему-то определенному.
Интерпретируем это
утверждение с точки зрения физики: возрастание - это процесс, связанный со
временем. То есть, пока существует время происходит возрастание, но если
допустить отсутствие этой формы существования, то, следовательно, произойдет
остановка возрастания и бесконечность станет равной чему-то определенному, то
есть бесконечность станет конечной. Геометрический образ бесконечности – линия,
вдоль которой можно двигаться с любой сколь угодно большой скоростью, но
никогда не достичь ее конца которого нет. С физической точки зрения это
утверждение означает приоритетность пространства над временем, а также, то, что
форма существования пространства является бесконечной.
"Другой моделью
может служить конечный отрезок, – если скорость движения вдоль него бесконечно
мала." Из этого утверждения следует, что пространство приоритетно над
временем, а также то, что оно конечно. Следовательно, бесконечность становится
конечной. “Бесконечность берется как нечто очень большое, больше всего, что мы
способны постичь, - и в то же время как нечто, совершенно однородное с конечным
и разве что недоступное подсчету. … Иначе говоря, не было достоверно
установлено, что именно отличает бесконечное от конечного физически или
геометрически.”[6]
В математике не
существует одного понятия бесконечности, она наделяется особыми свойствами в
каждом разделе. Более того, эти различные «бесконечности» не взаимозаменяемы. К
примеру, теория множеств подразумевает разные бесконечности, причём одна может
быть больше другой. Скажем, количество целых чисел бесконечно большое (оно
называется счётным). Чтобы обобщить понятие количества элементов для
бесконечных множеств, в математике вводится понятие мощности множества. При
этом не существует одной «бесконечной» мощности. Например, мощность множества
действительных чисел больше мощности целых чисел, потому что между этими
множествами нельзя построить взаимно-однозначное соответствие (биекцию), а
целые числа включены в действительные.
Таким образом, в этом
случае «число элементов» (мощность) одного множества «бесконечней» «числа
элементов» (мощности) другого. Основоположником этих понятий был немецкий
математик Георг Кантор.
В математическом
анализе к множеству действительных чисел добавляются два символа и,
применяющиеся для определения граничных значений и сходимости. Сто́ит
отметить, что в этом случае речь об «осязаемой» бесконечности не идёт, так как
любое утверждение, содержащее этот символ, можно записать, используя только
конечные числа и кванторы. Эти символы, как и многие другие, были введены для
сокращения записи более длинных выражений.
Современная физика
вплотную подходит к отрицаемой Аристотелем актуальности бесконечности — то есть
доступности в реальном мире, а не только в абстрактном. Например, есть понятие
сингулярности, тесно связанное с чёрными дырами и теорией большого взрыва: это точка
в пространстве—времени, в которой масса в бесконечно малом объёме сосредоточена
с бесконечной плотностью. Уже есть солидные косвенные доказательства
существования чёрных дыр, хотя теория большого взрыва находится ещё в стадии
разработки. Понятие бесконечности получила развитие в философии и теологии
наравне с точными науками. К примеру, в теологии бесконечность Бога не столько
даёт количественное определение, сколько означает неограниченность и
непостижимость. В философии бесконечность долгое время рассматривалась также
как атрибут пространства и времени; в наши дни это дискуссионный вопрос
космологии. Например, древнейшим, первым известным, встречающимся в совершенно
различных культурах символом бесконечности является змей Уроборос, иногда
разворачиваемый в виде перевёрнутой восьмёрки.[7]
Бесконечность в
философии, понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественная
бесконечность, выражаемая в законах науки и фиксирующая универсальный
(всеобщий) характер связей явлений; количественная бесконечность, выступающая
как неограниченность процессов и явлений. Проблема качественной бесконечности
обсуждалась уже в античной философии, в частности в связи с космогонией и
проблемами природы мышления. Но особое значение она приобрела в философии
нового времени в связи с развитием естествознания и проблемами его логического
обоснования (Р. Декарт, Дж. Локк, Г. Лейбниц).
Глубокий философский
анализ проблемы бесконечности дал Г. Гегель, различивший истинную (качественную)
и «дурную» бесконечность как безграничное увеличение количества и связавший
категорию бесконечности с характеристикой процессов развития. Эти идеи были
материалистически переосмыслены марксизмом, подчеркнувшим диалектическую
взаимосвязь бесконечности и конечного, противоречивую природу бесконечности.
Важное значение имело указание связи Б. с категорией всеобщего. Применительно к
космологическим проблемам количественная бесконечность рассматривается обычно
как бесконечность материального мира в пространстве и времени.
Противоборствующими
здесь являются, с одной стороны, религиозная и идеалистическая точка зрения,
толкующая бесконечность как бесконечность бога, его вневременность или как
продукт сознания, а с др. стороны, ‒ точка зрения материализма,
рассматривающего бесконечность как одно из свойств пространства и времени и
исследующего её в опоре на результаты математики и космологии. По данным
современной космологии, Вселенная (материальный мир, рассматриваемый лишь в
аспекте пространственно-временного распределения масс) бесконечна в
пространстве и времени, а её пространственные и временные характеристики по
отдельности могут быть и конечными, и бесконечными, в зависимости от выбора
системы отсчёта.
3.Понятие бесконечности
в искусстве
Понятие бесконечности
присутствует и в искусстве.
Вариацией на эту тему
являются и стихи английского поэта Уильямса Блэйка:
“В одном мгновенье
видеть Вечность,
Огромный мир – в зерне
песка
В едином миге –
бесконечность
И небо – в чашечке
цветка”.
Б. Паскаль писал о
бесконечности: “Я вижу со всех сторон только бесконечности, которые заключают
меня в себе как атом; я как тень, которая продолжается только момент и никогда
не возвращается.
Бесконечность есть в
отрывках стихотворений таких поэтов и ученых, как римского поэта и философа Тит
Лукреция Кара.
“Нет краев у нее, и нет
ни конца, ни предела,
И безразлично, в какой
ты находишься части Вселенной.
Где бы ты не был,
везде, с того места, что ты занимаешь,
Все бесконечной она
остается во всех направленьях”.
Низами – среднеазиатский
поэт вопрошал:
Разве далям бесконечным
измеренье есть?”
Немецкий поэт 18в.
Альберт фон Галлер утверждал:
“Нагромождаю чисел
тьму,
Мильоны складываю в
гору,
Ссыпаю в кучу времена,
Миров бесчисленных
просторы.
Когда ж с безумной
высоты
Я на тебя взгляну, то
ты -
Превыше не в пример
Всех чисел и всех мер:
Они лишь часть тебя”.
И здесь уместно
вставить слова Максимилиана Волошина:
“Когда уйду я в
бесконечность,
То мне откроется она,
Так ослепительно ясна,
Так беспощадна, так
сурова,
И звездным ужасом
полна”.
Иллюстрациями этого
понятия могут служить и некоторые замечательные графические работы известного
голландского “математического графика”, художника М.К. Эшера.[8]
В этих работах Эшер, умело опираясь на математические конструкции применяемые в
алгебре и геометрии, подчеркивает несовершенство и ограниченность нашей
геометрической интуиции. Именно глубоким проникновением в природу
геометрической бесконечности и объясняется сильное воздействие на зрителя
“математических работ” Эшера.
На полотне можно
изобразить лишь иллюзию бесконечности, но не саму бесконечность. Гравюра Эшера
“Все меньше и меньше” представляет собой первую попытку изображения
бесконечности. При приближении к центру окружности фигурки, заполняющие
плоскость, уменьшаются, каждая последующая фигурка занимает площадь вдвое
меньшую, чем предыдущая: в центре площадь их становится бесконечно малой, а
количество бесконечно большой величиной. Такая конструкция является
фрагментарной, т. к. она позволяет расширение новыми все более увеличивающимися
фигурами.
Избежать
фрагментарности и представить бесконечность во всей ее полноте внутри четко
очерченной границе позволяет лишь метод, обратный только что рассмотренному.
Это такие гравюры как
“Круговой предел 1, 2, 3”
В круговом пределе 3
вдоль каждой цепочки сохранена однородная ориентация фигур, рыбки плывут
вереницей по дугам от края до края гравюры и так, что чем ближе к центру, тем
фигуры становятся больше. Каждая цепочка подобна траектории ракеты, которая
взмывает с одной из точек окружности и исчезает на противоположной стороне. При
этом ни одна из фигурок цепочки не достигает граненой линии, за пределами
которой “абсолютное ничто”.
Но сферическая вселенная
и не может существовать без охватывающей ее пустоты не только потому, что
понятие “внутри” предполагает понятие “снаружи”, но и потому, что в этом
“ничто” воображаемые, но геометрически точно определенные центры дуг,
образующие структуру сферического мира.
Да немало я потрудился,
чтобы представить замкнутость... но зато я теперь убедился, что глаз и рука
могут создать и объяснить все на свете, даже бесконечность не пугает их...”
Работы Эшера можно
демонстрировать, когда говорим о симметрии, о трехмерном пространстве, при
изучении правильных многогранников и т.д. и т.п.
Заключение
Понятие бесконечности,
значение которого в современной системе познания столь невообразимо велико,
зародилось в глубочайшей древности и при становлении прошло весьма сложный
путь. Впервые это понятие обсуждается в школе элеатов: элеец Зенон вводит
понятие актуально бесконечного.
Чтобы создать науку о
движении — физику, Аристотель должен доказать возможность мыслить движение без
противоречия. Для этого он вводит принцип непрерывности.
Таким путем Аристотель
разрешает те трудности, которые возникают при допущении, что пространство и
время состоят из бесконечного множества «неделимых», и получает возможность
мыслить движение как непрерывный процесс, а не как сумму «продвинутостей». Принцип
отношения имеет применение и в греческой астрономии, тоже не признающей
актуально бесконечного. Архимед не допускает отношения между какой-либо
величиной и тем, что величины не имеет (т. е. на нашем языке — нулем), а
значит, не допускает бесконечности. Средневековая наука опиралась на теории,
созданные еще в античности: геометрию Евклида, астрономическую систему Птолемея
и физику Аристотеля. В эпоху Возрождения характерен острый интерес к понятию
бесконечности. Оно не только не вызывает к себе недоверия, но, напротив,
становится предметом специального исследования у ученых и философов.
Бесконечность — концепция, используемая в математике, философии и естественных
науках.
В процессе развития
математики сформировались следующие подходы к этому понятию: арифметическая и
геометрическая, потенциальная и актуальная бесконечности. Геометрический образ
бесконечности – линия, вдоль которой можно двигаться с любой сколь угодно
большой скоростью, но никогда не достичь ее конца которого нет. С физической
точки зрения это утверждение означает приоритетность пространства над временем,
а также, то, что форма существования пространства является бесконечной.
Бесконечность в
философии, понятие, употребляемое в двух различных смыслах: качественная
бесконечность, выражаемая в законах науки и фиксирующая универсальный
(всеобщий) характер связей явлений; количественная бесконечность, выступающая
как неограниченность процессов и явлений. Понятие бесконечности присутствует и
в искусстве.
О бесконечности писали
Б. Паскаль, У. Блэйк, Альберт фон Галлер и др. Иллюстрациями этого понятия
могут служить и некоторые замечательные графические работы известного
голландского “математического графика”, художника М.К. Эшера.
Таким образом, понятие
бесконечности получила развитие и в науке и в искусстве. Она охватывает собой
все существующее, и то, что уже познано человеком, и то, что предстоит познать
в будущем. Она неизменно остается тождественной только самой себе, никаким
образом не реагирует на конечную величину - она включает последнюю, и в то же
время через конечные величины выражается.
Список использованной
литературы
1.Архимед. Сочинения. М., 1962. С.
358-359.
2.Бурбаки Н. Очерки по истории
математики. — М.: КомКнига, 2007.
3.Бурова И.Н. Развитие проблемы
бесконечности в истории науки. - М.: Наука, 1987.
4.Евклид. Начала. Кн. I-VI. М., 1949. С.
142.
5.Егоров В.С. Философия открытого мира.-
М., 2002.
6.Мауриц Э. Магия М.К. Эшера.- Арт -
родник, 2007.
7.Садохин А.П. Концепции современного
естествознания.- ЮНИТИ-ДАНА, 2008.
8.Стахов А.П. , Проблема бесконечности в
математике // «Академия Тринитаризма», М., Эл.- № 77-6567.- 2006.
9.Трубникова Н.Н., Шульгин Н.Н.
Существуют бесконечности, большие других бесконечностей, и бесконечности,
других бесконечностей меньшие. — М., РОССПЭН, 2001.- С. 174.
10.Успенский
П.Д. Новая модель Вселенной.- Изд-во Чернышева, 1993. - С. 463.
[1] Евклид. Начала.
Кн. I-VI. М., 1949. С. 142.
[2] Архимед. Сочинения. М., 1962. С. 358-359.
[3] Трубникова
Н.Н., Шульгин Н.Н. Существуют бесконечности, большие других бесконечностей, и
бесконечности, других бесконечностей меньшие. — М., РОССПЭН, 2001.- С. 174.
[4] Стахов А.П., Проблема
бесконечности в математике // «Академия Тринитаризма», М., Эл.- № 77-6567.-
2006.
[5] Бурбаки Н.
Очерки по истории математики. — М.: КомКнига, 2007.
[6] Успенский П.Д. Новая модель
Вселенной.- Изд-во Чернышева, 1993. - С. 463.
[7] Егоров В.С.
Философия открытого мира.- М, 2002.
[8]
Мауриц Э. Магия М.К. Эшера.- Арт-родник, 2007.