Розробка та аналіз математичної моделі технологічного об' єкта із заданими параметрами

Розробка та аналіз математичної моделі технологічного об' єкта із заданими параметрами

Розробка та аналіз математичної моделі технологічного об' єкта із заданими параметрами

1 Аналітичне моделювання статичного режиму

Рис. 1

Розрахувати статичну модель  і побудувати статичну характеристику повітряного ресиверу для випадку ізотермічного розширення газу.

G1=25

G2=25

p0=6

p=2

p1=1,5

Визначимо границі об’єкту моделювання, його виходи і входи. У відповідності з математичною моделю маємо 1 вихідну величину – Р і 2 вхідні  та . Виличини Р0 і Р1 будемо вважати постійними. Складемо рівняння математичного балансу.

Де  та  - коефіцієнти витрати клапанів;  та  значення щільності газу відповідно для Р0 і Р1

Це рівняння є рівнянням статики, яке зв’язує вихідну величину Р зі вхідними  та .

Але в цьому рівняння присутні значення значення щільності газу  та , які для ізотермічного процесу повністю визначаються значеннями тиску Р0 і Р1.

І в зв’язку з тим, що Р0, а значить, і  являються постійними величинами, тиск слід виразити через значення щільності.

Для ізотермічного процесу, який протікає при постійній температурі з рівнянням стану ідеального газу.

З цієї формули слідує, що при постійній температурі і незмінному значенні маси газу і його молярній масі М добуток тиску газу на його об’єм повинно залишатися постійною.

Відомо, що :

Значення функціональної залежності  отримано в загальному вигляді. Перейдемо до чисельного представлення отриманої функціональної залежності. Для цього визначаємо чисельне значення усіх необхідних величин ( основного статичного режиму).

Таблиця 1

Значення параметрів ресивера в номінальному статичному режимі

З довідника відомо, що  при тиску і температури 20⁰С дорівнює  кг/см²

Отримана залежність - статична модель об'єкта в явній формі, що відповідає поставленому завданню. Розрахуємо характеристику

2 Аналітичне моделювання динамічного режиму

Отримати рівняння динаміки двохємкістного ресивера, схематично зображеного на рис.1. Визначальним параметром даного об’єкта є тиск Р₃. Необхідно знайти залежність:

, де  ступінь відкриття клапану на вхідному потоці;  - витрати газу з ресивера, кг/год.

Рис. 2. Розрахункова схема об’єкту моделювання

Основний статичний режим визначається такими значеннями параметрів

Н/см² ;  Н/см² ;  Н/см² ; кг/год

Ємкості ресивера мають об’єм ;

На основі матеріальних балансів складаємо рівняння статики для кожної із єкостей

,

де  та  - коефіцієнти витрати;  та  - це значення щільності газу відповідно перед вхідним клапоном та у першій ємкості.

Враховуючи акумулюючу здатність кожної з ємкостей, перетворимо рівняння статики на рівняння динаміки:

За умовою, що

 та ,

Отримуємл наступну систему диференційних рівнянь:

Зробимо аналіз змінних, що входять у рівняння. Змінними є : . Якщо та  будуть змінюватися, то навіть за сталим значенням  будуть змінюватися  та , а в зв’язку з тим, що  - змінна, то змінною буду і . Таким чином, змінними в рівняннях будуть . Рівняння, з врахуванням визначенних змінних, будуть нелінійними. Лінеаризуємо рівняння розкладанням в ряд Тейлора.

В рівняннях є залежні між собою змінні. Це тиск  та щільність , тиск  та щільність . Іх однозначана залежність буде визначатися законом розширення газу. Якщо теплообмін з навколішнім середовищем близький до ідеального та не дуже великий перепад тиску, можна прийняти ізотермічний закон розширення газу PV=RT. Тоді можна записати:

,

Введемо умовне позначення .

Де

Виключивши з рівнянь змінни  та розділивши всі складові рівняння на коефіцієнт при , отримаємо:

Де     

; ; ;

; ; ;

Розмірність всіх додатків рівняння динамікт однакова, що є необхідною, хоч і не достатьньою умовою стверджувати, що рівняння динаміки отримано вірно.

Визначимо із статичних залежностей та з довідників значення величин . Спочатку визначимо . Тиск та щільність для незмінної температури знаходяться у такій залежності:

,

де  - атмосферний тиск, Н/см²;

 - абсолютне значення тиску відповідно перед ресивером, у першій та другій ємкості, ; ; .

Щільність повітря ддля атмосферного тиску за довідником кг/м³.

Враховуючи викладне вище, із залежності вирахуємо числові значення  для основного статичного режиму:

, ,

Визначимо числові значення коефіцієнтів витрати .

 .

Знайдемо числове значення виразу , .

Запишимо значення всіх констант та змінних в номінальному (початковому) режимі в табл.2. Користуючись значенням величин, записаних у табл. 2, знайдемо числові значення проміжних коефіцієнтів B, D, C та E.

; ; ; .

Таблиця 2

Значення параметрів ресивера в номінальноу статичному режимі

Користуючись розрахованими значеннями В, D, C та Е, а також значеннями параметрів із таблиці 1, з використанням залежностей обчислимо значення коефіціентів рівняння динаміки.

 год² ; год; ;  ; .

Підставляючи значення коефіцієнтів у рівняння динаміки запишемо його у числовій формі

.

Це рівняння є рівнянням динамікт ресивера відповідно до залежності .

Знайдемо розв'язання рівняння

у вигляді , де  - вільна складова;  - примусова складова.

Початкові умови приймемо нульовими:

Керуючий вплив визначаємо наступним чином: . Збурюючий вплив  та його похідну приймаємо нульовими. Харакеристичне рівняння диференційного рівняння має вид: , ; .

Таким чином вільна складова вирішення має наступний вид:

де, С₁ та С₂ – сталі інтегрування.

Примусова складова, у урахуванням того, що  не залежить від часу, складе:

Н/см²

Для визначення сталих інтегрування С₁ та С₂ складемо систему равняння з урахуванням початкових умов та того, що похідна від  має наступний вид:

Система рівнянь формується наступним чином:

Звідси маємо:

Розв'язання системи рівняння дозволяє отримати такі значення С₁ та С₂:

, .

Таким чином, остаточно запишемо розв'язання рівняння

За цією формулою проведемо розрахунки , результати яких наведені в таблиці.