Сопротивление материалов при нагрузке
Вариант
37
Задача 1
Абсолютно
жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум
стержням с равным поперечным сечением. Площадь сечения стержней А = 2∙10-4
м2. Модуль упругости материала стержней Е = 2×105 МПа, коэффициент
линейного расширения a =
12×10–6 1/град. Размеры бруса: a = 0,5 м, b = 3
м, h = 1м, с = 2 м.
Требуется:
1. Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений за
допускаемое [s] =
160 МПа.
2. Вычислить допускаемую нагрузку по
предельному состоянию [Q]пр.
3. Сравнить полученные результаты.
4. Вычислить монтажные напряжения в
обоих стержнях, если длина второго стрежня короче номинальной на величину d2 = 2∙10-3 м
5. Вычислить напряжения в обоих
стержнях, если температура первого стержня увеличится на величину Dt1 = -40°С.
6. Вычислить напряжения в обоих стержнях
от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и
изменение температуры первого стержня.
1.
Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв
большее из напряжений в стержнях за допускаемое [s].
Составляем расчетную схему. Под действием силы Q
стержни 1 и 2 будет растягиваться. Вследствие этого появятся внутренние силы N1 и N2.
Составим уравнение моментов относительно точки О:
При неизвестных реактивных усилиях N1,
N2, Rox, Roy и трех уравнений статики (плоская система сил)
заданная стержневая система является статически неопределимой, и степень
статической неопределимости (ССН) определяется:
ССН = m – n,
где m – количество неизвестных реакций, n – количество уравнений. Таким образом, ССН = 4 – 3 =1, то
есть для решения данной задачи необходимо составить еще одно дополнительное
уравнение, называемое уравнением совместности деформаций.
Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1О
и СС1О имеем:
.
Считаем, что угловые деформации малы, поэтому изменением угла b пренебрегаем.
АА1=Dl2,
, KА1=Dl1. То
есть:
По закону Гука имеем:
; .
Длину первого стержня определяем по теореме Пифагора:
м
Подставляем значения удлинений в уравнение совместности деформаций:
.
Тогда, . Окончательно имеем: N2 = 1,3×N2
Из этого выражения видно, что N1<N2. Соответственно, напряжения в первом стержне sI меньше,
чем напряжения во втором sII. Поэтому, максимальные напряжения по абсолютному
значению будут во втором стержне: sII = [s] и кН.
Значение N1 = 24,62 кН.
Оба стержня сжаты.
Найдем напряжения в обоих стержнях: sII = [s] = -160 МПа; sI =
-123,1 МПа. растянуты.
Подставим значения сил N1 и N2 в первое уравнение и определим значение [Q]:
кН.
2. Вычислить допускаемую нагрузку по
предельному состоянию [Q]пр.
Предельное состояние
будет возникать, если напряжения в стержнях будут равны предельным, то есть
пределу текучести sт: sI = sII = sт
Составляем уравнение
предельного равновесия:
;.
Предельные усилия в
каждом из стержней:
.
Решаем относительно предельной нагрузки для системы:
.
Допускаемая нагрузка по предельному состоянию [Q]пр
определяется как:
,
где n – коэффициент запаса прочности.
С учетом, что получим [Q]пр
= 23,51 кН.
3. Сравнить полученные результаты.
Определяем погрешность между расчетами:
%.
По условию предельного состояния допускаемую нагрузку можно не менять
(погрешность d < 5%).
4. Вычислить монтажные напряжения в
обоих стержнях, если длина второго стержня короче номинальной на величину d2=1,5 мм.
Составляем расчетную схему. С учетом удлинения стержня 2 точка А должна
совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 1. Сопротивление первого стержня
приводит к тому, что точка А занимает положение А1. В связи с этим,
в стержнях появляются внутренние усилия N1 и
N2. Составим уравнение статики:
;
Из этого уравнения следует, что:
Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1О
и ВВ1О имеем:
;
; ;
KВ1=Dl1.
По закону Гука:
; .
Решая совместно уравнения получим:
N1= 29,76 кН; N2=
41,34 кН.
2 стержень сжат; 1 – растянут.
Определим напряжения:
sI =148,8 МПа; sII = -206,7 МПа.
5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого
стержня уменьшится на величину Dt1=40°.
;
Из этого уравнения
следует, что:
Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1О
и ВВ1О имеем:
; ; ; ; ; АА1=Dl2.
По закону Гука:
; .
Решая совместно получим:
N1=5,15 кН; N2=7,15
кН.
2 стержень сжат; 1 – растянут.
Определим напряжения:
sI =25,75 МПа; sII = -35,76 МПа.
5. Вычислить напряжения в обоих стержнях
от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и
изменение температуры первого стержня.
Сведем данные расчетов в Таблицу
Таблица 1.
Фактор, вызывающий напряжения
|
Напряжения, МПа
|
1 стержень
|
2 стержень
|
Нагрузка [Q]
= 20,96 МПа
|
-160
|
-123,1
|
Неточность изготовления 2-го стержня
|
148,8
|
-206,7
|
Изменение температуры 1-го стержня
|
25,75
|
-35,76
|
ИТОГО
|
14,55
|
-365,56
|
Из таблицы видно, что для
заданной схемы для стержня 1 сочетания всех трех факторов является
благоприятным фактором (напряжения значительно меньше допускаемых), а для
стрежня 2 - неблагоприятным: стержень разрушится.
Задача 2
Дана двух опорная балка с приложенными к ней нагрузками М= -15кНм;
F=-20 кН; q = 12 кН/м. Допускаемое
напряжение [s] = 160 МПа. размеры балки a = 0,8 м; b = 0,7 м; c = 0,5 м.
Требуется:
1. Подобрать для схем (а) балку круглого, прямоугольного
(отношение сторон h/b=2),
кольцевого (отношение диаметров с=0,5), двутаврового сечений при заданном [s];
2. Сравнить площади поперечных сечений и сделать вывод о том,
какая форма наиболее рациональна.
Решение
1.
Определяем
опорные реакции балки.
Проверяем
правильность определения опорных реакций:
Реакции определены верно.
2.
Запишем
уравнения поперечных сил и изгибающих моментов для каждого участка балки.
Участок I. О ≤ Z1≤0,8
; кН;
; ; кНм.
Строим эпюры по вычисленным значениям.
Участок
П. 0 < Z2 < 0,7
; кН;
; кН×м; кН×м.
Строим эпюры по вычисленным значениям.
Участок IП.
0 < Z3 < 0,5
Q(z3) = -RВ + q×z3; Q(0) =
87 кH; Q(0.5) = 93 кН
M(z3)= RВ
z3 – q×z3×z3×0.5; M(0) = 0; M(0.5)=
-45 кH×м
3. Опасным будет сечение, в котором изгибающий момент достигает
максимального значения по абсолютной величине.
В данной задаче Mmax = 45 кН×м.
Вычисляем необходимый момент сопротивления поперечного сечения
балки
см3.
3.1. Двутавровое поперечное сечение.
Этому моменту сопротивления соответствует двутавр №24, момент
сопротивления и площадь поперечного сечения которого соответственно равны Wx=289 cм3; А= 34,8 см2.
3.2. Прямоугольное сечение (h/b = 2).
см
3.3. Круглое поперечное сечение:
, см
см2.
3.4. Кольцевое сечение (с = 0,7).
см
см2
3.
Сравниваем
площади поперечных сечений А, подобранных профилей, сведя данные в Таблицу 2:
Таблица
2.
Тип сечения
|
Площадь сечения, см2
|
Двутавровое
|
38,4
|
Прямоугольное
|
112,5
|
Круглое
|
156,4
|
Кольцевое
|
95,7
|
Таким образом, при изгибе оптимальным является сечение двутавра.
Задача 3
Дан стержень с опорами, закрепленными по указанной схеме, сжат
силой F
= 90 кН. Поперечное сечение – равносторонний треугольник. Длина стержня 1
= 0,85 м. Материал стержня - чугун. Модуль упругости Е = 1,3×105 МПа,
допускаемое напряжение [σ] = 130 МПа. Коэффициент закрепления опор m = 0,7
Требуется определить:
- размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на сжатие
[σ];
- величину критической силы Fk;
- коэффициент запаса устойчивости nу.
Решение.
Задача
решается методом приближения. В первом приближении задаемся коэффициентом
уменьшения основного допускаемого напряжения j1 = 0,5. Из условия
устойчивости определяем площадь сечения:
Из площади сечения находим сторону сечения b:
Þ =
4,3 см.
Определяем минимальный радиус инерции по формуле:
, где .
=0,88 см
Определяем гибкость стержня:
По таблице находим соответствующее значение коэффициента
уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,36. Производим
проверку на устойчивость:
МПа > [s]
Так как σ > [σ], то задаемся новым значением φ и
повторяем весь расчет.
=6,1 см. = 1,24 см.
По таблице находим соответствующее значение коэффициента
уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,6. Производим
проверку на устойчивость:
МПа
Допускаемая
погрешность не более 5%. Определяем погрешность
Погрешность больше допустимой, поэтому задаемся новым значением
φ и повторяем весь расчет.
=5,54 см. = 1,13 см.
По таблице находим соответствующее значение коэффициента
уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,46. Производим
проверку на устойчивость:
МПа
Определяем
погрешность
Погрешность не находится в допускаемых пределах.
Задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.
=5,71 см. = 1,16 см.
По таблице находим соответствующее значение коэффициента
уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,56. Производим
проверку на устойчивость:
МПа
Определяем
погрешность
Погрешность не находится в допускаемых пределах.
Задаемся новым значением φ и повторяем весь расчет.
=5,5 см. = 1,12 см.
По таблице находим соответствующее значение коэффициента
уменьшения основного допускаемого напряжения j' = 0,46. Производим
проверку на устойчивость:
МПа
Значения повторяются. Поэтому принимаем b = 5,71 см, А = 14,1 см2.
Определяем критическую силу:
кН.
Определяем коэффициент запаса устойчивости:
Ответ: FK=695 кН; nу = 7,7.