Специфика проведения измерений и обработки результатов
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Метрология, стандартизация и технические измерения
Специфика проведения измерений и обработки
результатов
Задание 1.
Однократное измерение
Условие
задания
При
однократном измерении физической величины получено показание средства измерения
X = 10. Определить, чему равно
значение измеряемой величины, если экспериментатор обладает априорной
информацией о средстве измерений и условиях выполнения измерений согласно
данным таблицы 1.
Экспериментальные
данные:
Информация
о средстве измерения:
Вид
закона распределения нормальный
Значение
оценки среднего квадратичного отклонения 
Доверительная
вероятность 
Мультипликативная
поправка 
Расчет
Предел, в котором
находится значение измеряемой величины без учета поправки определяется как:
; 
,
где Е - доверительный
интервал. Значение Е определяется в зависимости от закона распределения
вероятности результата измерения. Для нормального закона
,
где t - квантиль распределения для заданной доверительной
вероятности. Его выбирают из таблицы интегральной функции нормированного
нормального распределения 
, при этом следует учитывать, что 
. t = 1,64 при P=0,9
.
Используя правила
округления, получим:
.
С учетом поправки
значение измеряемой величины определяется как:
; 
.
Вносим мультипликативную
поправку:
, 
,
.
Записываем результат:
<Q<
;
P=0,9
Задание 2. Многократное измерение
Условие
задания
При
многократном измерении одной и той же физической величины получена серия из 24
результатов измерений 
.
Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице. Определить
результат измерения.
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
|
485
|
484
|
486
|
482
|
483
|
484
|
484
|
481
|
|
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
|
485
|
485
|
485
|
492
|
484
|
481
|
480
|
481
|
|
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
23
|
24
|
|
|
484
|
485
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
492
|
Для
обработки результатов измерений необходимо исключить ошибки. Число измерений
лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.
Поэтому исключение ошибок проводится на основе 
критерия.
Определяем
среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов измерений.
Далее
определяем значения критерия
для каждого значения результата измерений по формуле:
В
соответствии с доверительной вероятностью 
с учетом 
находим из соответствующей таблицы значение 
, которое зависит от числа
измерений 
и 
.
При 
, следовательно значение 492 исключаем как
ошибку.
Исключение
ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие 
.
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
|
485
|
484
|
486
|
482
|
483
|
484
|
484
|
481
|
|
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
|
485
|
485
|
485
|
484
|
481
|
480
|
481
|
484
|
|
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
|
|
|
|
485
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
|
|
Заново
определяем значения критерия
для каждого значения результата измерений по формуле:
В
соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа
измерений и .
Условие выполняется для всех
результатов измерений.
Следующим
шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения
оставшихся результатов измерений. Проверка выполняется по составному критерию,
так как количество результатов измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50.
Применяя
первый критерий, следует вычислить отношение:
и
сравнить с 
и 
.
Задаемся
рекомендуемой доверительной вероятностью 
и для уровня значимости 
определяем из соответствующей
таблицы квантили распределения и .
Значение
соответствует условию 
. Первый критерий
выполняется.
Применяя
второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью 
и для уровня значимости 
с учетом по соответствующим таблицам
определяем значения 
и 
.
Для из таблицы для интегральной
функции нормированного нормального распределения 
определяем значение 
и рассчитываем E:
, 
Используя правила
округления, получим:
Далее
сравниваем значения 
и 
.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
|
|
1,41
|
0,41
|
2,41
|
1,59
|
1,59
|
0,41
|
0,41
|
1,59
|
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
16
|
|
|
1,41
|
1,41
|
1,41
|
0,41
|
2,59
|
3,59
|
2,59
|
0,41
|
|
17
|
18
|
19
|
20
|
21
|
22
|
|
|
|
|
1,41
|
1,41
|
0,41
|
0,59
|
0,59
|
1,41
|
|
|
Мы
видим, что не более m разностей превосходят , следовательно второй критерий, а вместе
с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон распределения можно
признать нормальным с вероятностью 
.
Определяем
стандартное отклонение среднего арифметического.
Так как
закон распределения нормальный, то стандартное отклонение среднего
арифметического определяется следующим образом:
Определяем
доверительный интервал
Закон
распределения нормальный, следовательно доверительный интервал для заданной
доверительной вероятности определяется из распределения Стьюдента 
, где определяется из соответствующей
таблицы.
, 
Используя правила
округления, получим:
Результат
измерений запишется в виде:
Задание
3. Обработка результатов нескольких серий измерений
Условие
задания
При
многократных измерениях одной и той же величины получены две серии по 12 (
) результатов измерений в
каждой. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице.
Вычислить результат многократных измерений.
Серия
измерений 1.
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
485
|
484
|
486
|
482
|
483
|
484
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
|
484
|
481
|
485
|
485
|
485
|
492
|
Серия
измерений 2.
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
484
|
481
|
480
|
481
|
484
|
485
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
492
|
Обработка
результатов производится для каждой серии отдельно.
Для
обработки результатов серий измерений необходимо исключить ошибки. Число
измерений лежит в диапазоне 10…15<n<40…50. Поэтому исключение ошибок проводится на основе критерия.
Серия
измерений 1.
Определяем
среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии
измерений 1.
Далее
определяем значения критерия
для каждого значения результата серии измерений по формуле:
В
соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа
измерений и .
При , следовательно, значение 492 исключаем как
ошибку.
Исключение
ошибок продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся условие .
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
485
|
484
|
486
|
482
|
483
|
484
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
|
|
484
|
481
|
485
|
485
|
485
|
|
Заново
определяем значения критерия
для каждого значения результата серии измерений по формуле:
В
соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа
измерений и .
Условие выполняется для всех
результатов серии измерений.
Следующим
шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения
оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному
критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне
10…15<n<40…50.
Применяя
первый критерий, следует вычислить отношение:
и
сравнить с и .
Задаемся
рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости определяем из соответствующей
таблицы квантили распределения и .
Значение
соответствует условию . Первый критерий
выполняется.
Применяя
второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости с учетом по соответствующим таблицам
определяем значения и .
Для из таблицы для интегральной
функции нормированного нормального распределения определяем значение и рассчитываем E:
, 
.
Используя правила
округления, получим:
Далее
сравниваем значения и .
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
0
|
2
|
2
|
1
|
0
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
|
|
0
|
3
|
1
|
1
|
1
|
|
Мы
видим, что не более разностей превосходят значение . Следовательно, второй
критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняются полностью. Закон
распределения можно признать нормальным с вероятностью
.
Серия
измерений 2.
Определяем
среднее арифметическое и среднеквадратическое отклонение результатов серии
измерений 2.
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
484
|
481
|
480
|
481
|
484
|
485
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
|
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
492
|
Далее
определяем значения критерия
для каждого значения результата серии измерений по формуле:
В
соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа
измерений и .
При , следовательно значение 492 исключаем как
ошибку.
Исключение
ошибок продолжается до тех пор, когда не будет выполнятся условие .
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
484
|
481
|
480
|
481
|
484
|
485
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
|
|
485
|
484
|
483
|
483
|
485
|
|
Заново
определяем значения критерия
для каждого значения результата серии измерений по формуле:
В
соответствии с доверительной вероятностью с учетом находим из соответствующей таблицы значение , которое зависит от числа
измерений и .
Условие выполняется для всех
результатов серии измерений.
Следующим
шагом анализа является проверка гипотезы о нормальности распределения
оставшихся результатов серии измерений. Проверка выполняется по составному
критерию, так как количество результатов серии измерений лежит в диапазоне
10…15<n<40…50.
Применяя
первый критерий, следует вычислить отношение:
и
сравнить с и .
Задаемся
рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости определяем из соответствующей
таблицы квантили распределения и .
Значение
соответствует условию . Первый критерий
выполняется.
Применяя
второй критерий, задаемся рекомендуемой доверительной вероятностью и для уровня значимости с учетом по соответствующим таблицам
определяем значения и .
Для из таблицы для интегральной
функции нормированного нормального распределения определяем значение и рассчитываем E:
, 
.
Используя правила округления,
получим:
Далее
сравниваем значения и .
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
|
|
0,82
|
2,18
|
3,18
|
2,18
|
0,82
|
1,82
|
|
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
|
|
|
1,82
|
0,82
|
0,18
|
0,18
|
1,82
|
|
Мы
видим, что не более разностей
превосходят значение . Следовательно второй
критерий, а вместе с тем и составной критерий выполняется полностью. Закон
распределения можно признать нормальным с вероятностью .
Далее
необходимо проверить значимость различия средних арифметических серий.
Для этого
необходимо вычислить моменты закона распределения разности:
Задавшись
доверительной вероятностью , определяем из соответствующих таблиц
интегральной функции нормированного нормального распределения значение и сравниваем 
с 
.
Условие 
выполняется. Различие между
средними арифметическими в сериях с доверительной вероятностью можно признать незначимым.
Далее
необходимо проверить равнорассеянность результатов измерений в сериях.
Для
этого определяем значение:
И,
задавшись доверительной вероятностью , определяем из соответствующих таблиц значение
аргумента интегральной функции распределения вероятности Фишера 
.
Условие 
выполняется. Серии с
доверительной вероятностью считаем рассеянными.
Выше
было показано, что серии равнорассеяны и с незначимым различием средних
арифметических. Исходя из этого все результаты измерений объединяются в единый
массив и затем для него выполняется обработка по алгоритму, согласно которому
необходимо определить оценку результата измерения 
и среднеквадратического отклонения 
.
Задавшись
доверительной вероятностью , определяем из таблиц распределения Стьюдента
значение для числа
степеней свободы
Затем
определяем доверительный интервал :
Используя правила
округления, получим:
Результат
измерений запишется в виде:
.
Задание
4. Функциональные преобразования результатов измерений (косвенные измерения)
Условие
задания
При
многократных измерениях независимых величин 
и 
получено по 12 (n) результатов измерений. Эти результаты после внесения
поправок представлены в таблице 2. Определить результат вычисления 
, (вид функции 
и характер величин 
представлены в таблице 3).
Вид
функциональной зависимости 
.
Характер
и единицы величин:
- ЭДС, мВ;
- сопротивление, Ом;
- сила тока, А.
Обработка
результатов измерений величин и проведена в задании 3 первой
расчетно-графической работы.
Средние
значения и среднеквадратические отклонения для величин и имеют вид
Гипотеза
о нормальности распределения величин и подтверждается.
Определим
оценку среднего значения функции:
Определим
поправку
Определим
оценку стандартного отклонения функции
Определяем
доверительный интервал для функции
Законы
распределения вероятности результатов измерения и признаны нормальными, можно определить для принятой доверительной
вероятности из таблиц
для распределения Стьюдента. При этом число степеней свободы определяется из выражения
Используя правила
округления, получим:
Результат
запишется в виде:
Задание 5. Обработка
экспериментальных данных при изучении зависимостей
Условие
задания
При
многократных совместных измерениях величин и получено по 20 (n) пар
результатов измерений. Эти результаты после внесения поправок представлены в таблице
4. Определить уравнение регрессии по : 
.
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|
|
61;602
|
62;613
|
63;620
|
64;631
|
65;639
|
66;648
|
67;656
|
|
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
|
|
68;662
|
69;667
|
70;682
|
9;87
|
19;188
|
29;286
|
39;386
|
|
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
|
|
|
49;485
|
59;575
|
69;667
|
79;770
|
89;868
|
99;966
|
|
В
качестве прямой регрессии будем использовать прямую вида
.
Параметры
прямой определим по методу наименьших квадратов.
Далее
проверяем правильность выбора вида уравнения регрессии. Для этого следует
применить критерии серий и инверсий.
Рассчитываем
отклонения экспериментальных значений от соответствующих расчетных значений,
рассчитанных для того же аргумента:
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|
|
-4,67
|
-0,67
|
0,33
|
3,33
|
5,33
|
-1,67
|
5,93
|
|
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
|
|
7,23
|
4,53
|
5,83
|
4,13
|
3,43
|
1,73
|
-1,97
|
|
|
15
|
16
|
17
|
18
|
19
|
20
|
|
|
|
-6,67
|
-6,67
|
-1,37
|
-0,67
|
0,33
|
1,33
|
|
последовательность
∆Yi записана по мере возрастания Х
Критерий
серий:
Рассчитываем
число серий в полученной последовательности: N=6
Задавшись
доверительной вероятностью 
, для n=20 определяем по таблице допустимые границы 
и 
:
Критерий
инверсий:
Рассчитываем
число инверсий А в полученной последовательности : А=106.
Задавшись
доверительной вероятностью для n=20 определяем по таблице допустимые границы 
и 
:
Оба
неравенства выполняются 
и
. Поэтому можно
считать, что рассчитанное уравнение регрессии достоверно описывает экспериментально
исследуемую зависимость.