№
вар
|
Коэффициенты квадратной матрицы А и вектора b системы линейных
алгебраических уравнений
|
а11
|
а12
|
а13
|
а14
|
а21
|
а22
|
а23
|
а24
|
а31
|
а32
|
а33
|
а34
|
а41
|
а42
|
а43
|
а44
|
b1
|
b2
|
b3
|
b4
|
8
|
2,4
|
1,4
|
1,6
|
1,8
|
2,6
|
12
|
0,6
|
4,0
|
-0,8
|
0,85
|
0,1
|
0,2
|
0,4
|
1,2
|
1,0
|
1,5
|
0,1
|
0,2
|
-0,4
|
0,6
|
2.
Операции численного
решения системы линейных алгебраических уравнений
a11·x1+ a12·x2+ a13·x3+ a14·x4=b1
a21·x1+ a22·x2+ a23·x3+ a24·x4=b2
(1)
a31·x1+ a32·x2+ a33·x3+ a34·x4=b3
a41·x1+ a42·x2+ a43·x3+ a44·x4=b4
Составим расширенную
матрицу системы (1):
Преобразуем
матрицу А, для чего умножим первую строку расширенной матрицы на а21/а11
и вычтем из второй строки расширенной матрицы, затем первую строку умножим на а31/а11
и вычтем из третьей строки расширенной матрицы, далее первую строку на а41/а11 и вычтем из
четвёртой строки, что с помощью Mathcad будет выглядеть так:
Получили новые
коэффициенты матрицы А:
Далее аналогично умножаем
и вычитаем из второй строки:
Получили новые
коэффициенты матрицы А, где число нулевых членов увеличилось.
Далее аналогично умножаем
и вычитаем из третьей строки.
Проверим правильность
нахождения корней:
Ответ: х1≈0,1 х2≈-0,67 х3≈-2,1 х4≈2,31
2.2
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом последовательного
исключения неизвестных (метод Холесского)
Метод
Холесского заключается в представлении матрицы в виде произведения двух
треугольных матриц L и U , имеющих следующий вид: диагональные
элементы L матрицы равны единице, а элементы выше главной диагонали
равны нулю; у матрицы U равны нулю элементы, лежащие ниже главной
диагонали. Тогда можно записать:
,
что эквивалентно двум
треугольным системам,
которые
можно решить способом изложенным выше. Элементы lij, и uij
матриц L и U можно найти, образуя произведение матриц LU и приравнивая его
элементы последовательно элементам а11, а11……. аnn
матрицы А.
Последовательно
приравниваем элементы полученной матрицы к элементам а11, а11…….
аnn матрицы А и находим элементы lij, и uij .
По первой строке:
По второй строке:
По третьей строке:
По четвёртой строке:
Далее вычисляем значения
ξ:
2.3
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом определителей
Система
уравнений с неизвестными, определитель которой не равен нулю, всегда имеет
единственное решение. Это решение определяется так: значение каждого из неизвестных
равно дроби, знаменателем которой является определитель системы, а числитель
получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом
неизвестном столбцом свободных членов.
Ответ: х1≈0,1 х2≈-0,67 х3≈-2,1 х4≈2,31
2.4
Решение системы линейных алгебраических уравнений методом обратной матрицы
Если
требуется решить систему для фиксированных значений aij, но для различных
значений вектора В, то выгодно построить обратную матрицу А-1 и
затем воспользоваться соотношением
Ответ: х1≈0,1 х2≈-0,67 х3≈-2,1 х4≈2,31
2.5
Решение однородной системы линейных алгебраических уравнений
Однородной
системой линейных алгебраических уравнений называют такую систему, свободные
члены которой равны нулю, т.е.:
a11·x1+ a12·x2+ a13·x3+ a14·x4=0
a21·x1+ a22·x2+ a23·x3+ a24·x4=0
a31·x1+ a32·x2+ a33·x3+ a34·x4=0
a41·x1+ a42·x2+ a43·x3+ a44·x4=0
Однородная линейная
система допускает нулевое решение х1=0, х2=0, х3=0, х4=0 и, следовательно,
всегда совместна. Интересно выяснить случаи, когда однородная система имеет
ненулевые решения. Это будет, если определитель равен нулю.
Найдем
значение коэффициента а, при котором определитель равен нулю:
Решение
системы будем искать, исключив из нее первое уравнение. Убедимся, что для новой
системы уравнений определитель матрицы А не равен нулю:
a21·x1+ a22·x2+ a23·x3 =- a24·x4
a31·x1+ a32·x2+ a33·x3=- a34·x4
a41·x1+ a42·x2+ a43·x3=-a44·x4
Решение
системы линейных алгебраических уравнений выполним методом последовательного
исключения неизвестных (метод Гаусса). Увеличим для более точных расчётов число
знаков после запятой:
В
результате будем иметь систему, решение которой определит неизвестные для
произвольного значения х4 :
Выводы по работе №2
В результате выполнения практического занятия №2 были изучены
некоторые возможности математического
пакета MathCad в среде Windows 98 для использования матричной алгебры и решения системы линейных алгебраических
уравнений, а также изучены методы решения систем линейных алгебраических уравнений. В процессе работы я научился:
1.
Задавать шаблоны
матриц и векторов.
2.
Работать с
массивами, векторами и матрицами.
3.
Решать системы
линейных алгебраических уравнений различными методами.
Интересно
признать, что решение систем уравнений в курсе высшей математики занимало
большое количество времени. Например, решение системы методом последовательного
исключения неизвестных (метод Гаусса) довольно громоздкий для ручного расчёта и
намного быстрее производится с помощью MathCad , причём с точностью до 18 знаков после запятой.
Наиболее наглядным является метод определителей, а самым простым и быстрым -
метод обратной матрицы. Результаты расчётов, полученные разными методами,
совпадают.