Сучасні форми та системи оплати праці
Кафедра
информатики и
вычислительной информатики
Дисциплина
«ИНФОРМАТИКА»
ОТЧЕТ
по
курсовой работе
Тема:
«Решение прикладных задач методом дихотомии »
Москва 2009
г.
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ
РАБОТУ
Вариант № 11.
Часть 1
Использование численных
методов решения нелинейных уравнений, используемых в прикладных задачах.
Для выполнения 1 части
необходимо:
·
Составить
программу и рассчитать значение функции в левой части нелинейного уравнения для
решения задачи отделения корней;
·
Составить
логическую схему алгоритма, таблицу идентификаторов и программу нахождения
корня уравнения методом дихотомии и методом Ньютона;
·
Ввести программу
в компьютер ,отладить, решить задачу с точностью ε=0.0001 и вывести результат;
·
Предусмотреть в
программе вывод на экран дисплея процесса получения корня.
Уравнение: , [1,2];
Метод численного решения:
метод дихотомии,метод хорд.
Решение.
Метод дихотомии
1. Этот метод позволяет отыскать корень
уравнения f()=0 с любой наперед заданной
точностью ε.
Предполагается,что
искомый корень уравнения уже отделен,т.е. указан отрезок [ a ; b ] непрерывности функции f(x) такой,что на
концах этого отрезка функция принимает различные значения.
Суть метода в том, что [ a ;b ] делится пополам.Половина, где нет корня отбрасывается, а
другая делиться на два.
1-й Шаг. Вычисление середины отрезка
Если f()=0, то мы нашли точный корень уравнения.
Если f() · f(x0)<0, то находится в интервале
[] следовательно ;
Иначе
2-й Шаг. Вычисление середины отрезка
Если f()=0, то мы нашли точный корень уравнения.
Если f(· f(x1)<0 , то ;
Иначе
n-ый Шаг. Вычисление середины отрезка
Если f()=0, то мы нашли точный корень уравнения.
Если f(·f(xn)<0 , то ;
Иначе
Условием нахождения
корня является:
2. Нелинейное
уравнение и условие его решения:
, [1,2], ε = 0,0001;
3. График функции:
4. Схема алгоритма:
5. Таблица идентификаторов:
Обозначение
|
Идентификатор
|
Тип
|
n
|
n
|
int
|
|
a
|
double
|
|
b
|
double
|
|
eps
|
double
|
x
|
x
|
double
|
f(x)
|
f(x)
|
6. Листинг программы:
#include<stdio.h>
#include<math.h>
double
f(double x)
{
return 0.25*(pow(x,3))+x-1.2502;
}
int main(void)
{
int n=0;
double x,a=0.,b=2.,eps=0.0001;
while
(fabs(a-b)>2*eps)
{
x=(a+b)/2,
n++;
printf("step=%3i
x=%11.8lf f(x)=%11.8lf\n",n,x,f(x));
if (f(x)==0)
{
printf("Tothnii
koreni x=%lf\nkolithestvo iteratsii n=%i\n",x,n);
return 0;
}
else if
(f(a)*f(x)<0) b=x;
else a=x;
}
printf("Reshenie
x=%11.8lf pri Eps=%lf\nkolithestvo iteratsii n=%i\n",x,eps,n);
return 0;
}
7. Листинг решения:
step= 1x= 1.50000000f(x)=-0.21392288
step= 2x=
1.25000000f(x)=-0.00893133
step= 3x=
1.12500000f(x)= 0.08982692
step= 4x=
1.18750000f(x)= 0.04080796
step= 5x=
1.21875000f(x)= 0.01602415
step= 6x=
1.23437500f(x)= 0.00356738
step= 7x=
1.24218750f(x)=-0.00267680
step= 8x=
1.23828125f(x)= 0.00044659
step= 9x=
1.24023438f(x)=-0.00111478
step= 10 x=
1.23925781f(x)=-0.00033401
step= 11 x=
1.23876953f(x)= 0.00005631
step= 12 x=
1.23901367f(x)=-0.00013885
step= 13 x=
1.23889160f(x)=-0.00004127
Reshenie x=
1.23889160 pri Eps=0.0001
kolithestvo
iteratsii n=13
Метод хорд:
1. Этот метод заключается в том, что к
графику функции проводится хорда. Находим точку пересечения с осью OX и опускаем из этой точки прямую
параллельную OY. Из точки пе-ресечения прямой и
графика проводим хорду и операция повторяется до тех пор, пока точка
пересечения хорды с осью OX не
приблизиться к корню функции до заданной погрешности.
Шаг первый:
Нас интересует точка
пересечения с осью ОХ.
Сделаем допущение: х=x1
y=0
Введем обозначение
x0
f()=f(x0)
Подставим в уравнение
Отсюда
x1=x0-
Шаг второй:
x2=x1-
Для n-го шага:
xn=xn-1-
Условием нахождения
корня является:
2. Нелинейное
уравнение и условие его решения:
, [1,2],
ε = 0,0001;
3. График функции:
Таблица
идетификаторов:
Идентификатор
|
Тип
|
n
|
n
|
int
|
|
a
|
double
|
|
b
|
double
|
|
eps
|
double
|
x
|
x
|
double
|
f(x)
|
f(x)
|
double
|
6. Листинг программы:
#include<stdio.h>
#include<math.h>
double
f(double x)
{
return
(0.25*(pow(x,3)))+x-1.2502;
}
int main(void)
{
int n=0;
double
x,a=1.,b=2.,eps=0.0001,xn;
xn=a;
while
(fabs(xn-x)>eps)
{
x=xn;
n++;
xn=x-f(x)*(b-x)/(f(b)-f(x));
printf("step=%3i
x=%11.8lf f(x)=%11.8lf\n",n,xn,f(xn));
}
printf("pribligennoe
znathenie x=%lf pri Eps=%lf\nkolithestvo iterasii n=%i\n",xn,eps,n);
return 0;
}
7. Листинг решения:
step= 1 x= 1.22334934 f(x)= 0.01236182
step= 2 x=
1.23796144 f(x)= 0.00070219
step= 3 x=
1.23879055 f(x)= 0.00003951
step= 4 x=
1.23883720 f(x)= 0.00000222
pribligennoe
znathenie x=1.238837 pri Eps=0.0001
kolithestvo iterasii n=4
Анализ результатов:
|
метод дихотомии
|
метод хорд
|
значение корня
|
1.23889160
|
1.23883720
|
значение функции
|
-0.00004127
|
0.00000222
|
количество итераций
|
13
|
4
|
Вывод: Метод дихотомии прост в реализации, но
обладает малой скоростью сходимости по сравнению с методом хорд, что выражается
в количестве шагов. Метод хорд к тому же обладает большей точностью.
Часть 2
Решение дифференциального
уравнения.
Вариант №11.
Метод Эйлера
1.Математическое
описание
Геометрический смысл
метода Эйлера состоит в следующем: дифференциальное уравнение определяет в
точке (x0,y0) направление касательной к искомой
интегральной кривой
k0=y'(x0)=f(x0,y0)
На n-ом шаге имеем точку (xn-1,yn-1), задающую начальное условие для
уравнения:
y(xn-1)=yn-1
Уравнение определяет
угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке
Соответствующее уравнение
касательной:y-yn-1=k(x-xn-1)
Отсюда получаем значение
х=хn , соответствующее точке: хn=хn-1+h,
А именно: yn-yn-1=kn-1(xn-1+h-xn-1), или
yn=yn-1+h·kn-1
yn=yn-1+h·f(xn-1,yn-1)
Полученная формула
является основной расчетной формулой метода Эйлера.
Процесс вычислений заканчивается,
когда аргумент после очередного приращения выйдет за пределы исследуемого
отрезка .
2. Дифференциальное
уравнение:
x0 = 0 , y0
= 1, xmax =1, Δx = 0.01; 0.005; 0.001
3. Схема алгоритма:
5. Таблица идентификаторов:
Обозначение
|
Идентификатор
|
Тип
|
s
|
s
|
int
|
i
|
i
|
int
|
x
|
x
|
double
|
xmax
|
x_max
|
double
|
x1
|
x1
|
double
|
Δx
|
h[i]
|
double
|
y
|
y
|
double
|
d
|
d
|
double
|
f(x)
|
f(x)
|
double
|
k
|
k(x,y)
|
double
|
6. Листинг программы:
#include<stdio.h>
#include<math.h>
double
k(double x,double y )
{
return
((x/exp(x*x))-2.*x*y);
}
double
f(double x)
{
return
((1./exp(x*x))*(1+x*x/2.));
}
int
main(void)
{
int s,i;
double
x,x1,x_max=1,y,d;
double
h[3]={0.01,0.005,0.001};
FILE*file;
file=fopen("result.txt","w+");
for
(i=0;i<=2;i++)
{ s=0;y=1;
for(x=0;x<=x_max;x+=h[i])
{
s++;
x1=x+h[i];
y=y+k(x,y)*h[i];
d=y-f(x1);//
y- pribl. f(x)- tochnoe
printf("
step =%4.i x=%6.4lf y=%6.4lf yt=%6.4lf d=%10.8lf\n",s,x1,y,f(x1),d);
fprintf(file,"
step =%4.i x=%10.8lf y=%10.8lf yt=%10.8lf d=%10.8lf\n",s,x1,y,f(x1),d);
}
}
fclose(file);
return 0;
Вывод: Интегрированная
среда Visual С позволяет обрабатывать программы
,записанные на языке С++ .Для программирования циклических алгоритмов были
использованы операторы организации циклов с параметрами, решение использует
форматируемый вывод и оператор присваивания, а также использовались операторы
вызова функций. Чем больше шаг, тем точнее вычисления.