Случай бесконечной плотности объемного заряда и бесконечного суммарного заряда
Случай бесконечной плотности объемного заряда и
бесконечного суммарного заряда.
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Cлучаи
c бесконечной плотностью заряда ρ физически абсолютно невозможны, но они
"появляются" в задачах с точечными зарядами, заряженными нитями и
плоскостями. При этом возникают некоторые сложности, а именно: - неограниченность
поля и потенциала;
-
ρ = ± ∞ - как записать уравнение Пуассона?
-
поле точечного заряда (
): пытаемся посчитать div, а
получается ноль - где же заряд?
-
невозможность наличия каких-либо диэлектриков: если 
, то любой диэлектрик
пробивается.
Преодолеть
математическую часть описанных сложностей можно путем записи ρ через
δ-функцию. В частности,
|
ρ(x, y, z)
|
=
|
|
(20)
|
|
ρ(x, y, z)
|
=
|
λ(z)·δ(x)δ(y) –бесконечная нить по оси z (заряд λ(z))
|
|
|
ρ(x, y, z)
|
=
|
σ(y, z)·δ(x) –бесконечная плоскость yz (заряд σ(y, z))
|
|
Мы
не будем применять такой подход. Вместо этого, мы далее считаем ρ конечной
величиной, в то время как заряженные бесконечно тонкие поверхности, нити и
точечные заряды рассматриваем отдельно.
Смежная
проблема: бесконечный суммарный заряд и - как следствие - некорректное поведение
потенциала на ∞. Такое происходит в декартовой системе при ρ = ρ(x)
и в цилиндрической (ρ = ρ(r)). В реальной задаче этого быть не может,
т.к. есть ограничение и по другим координатам. В учебных примерах либо должно
быть обеспечен нулевой суммарный заряд 
(
), или же, понимая некорректность ситуации, необходимо
задать φ = 0 в какой-либо точке не на бесконечности. Примером такой задачи
является нахождение потенциала равномерно заряженного цилиндра.
Список литературы
2.
В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М.
Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.:
Наука, 1992. - 661 с.
Для
подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r