Диференціальні операції в скалярних і векторних полях. Основні поняття і формули
Диференціальні операції в скалярних і векторних
полях. Основні поняття і формули
1. Скалярне поле
Нехай – область у тривимірному просторі (або
на площині). Кажуть, що в області задано скалярне
поле, якщо кожній точці поставлено у
відповідність деяке число .
Прикладами скалярних
полів є поле температури даного тіла, поле густини даного неоднорідного
середовища, поле вологості повітря, поле атмосферного тиску, поле потенціалів
заданого електростатичного поля тощо.
Поверхня (лінія),
на якій функція набуває одне й те саме
значення, називається поверхнею (лінією) рівня скалярного поля (наприклад,
поверхні або лінії постійної температури). Надаючи різних
постійних значень: , отримаємо сім’ю поверхонь
(ліній) рівня даного скалярного поля.
Фізичні скалярні
поля не залежать від вибору системи координат: величина є
функцією лише точки і, можливо, часу
(нестаціонарні поля).
Якщо в просторі
ввести прямокутну систему координат , то точка у цій системі координат матиме певні
координати і скалярне поле стане
функцією цих координат: .
2. Векторне
поле
Кажуть, що в
області задано векторне поле, якщо кожній точці
поставлено у відповідність деякий вектор .
Фізичні приклади
векторних полів: електричне поле системи електричних зарядів, яке
характеризується в кожній точці вектором напруженості ;
магнітне поле, утворене електричним струмом і яке характеризується в кожній
точці вектором магнітної індукції ; поле тяжіння,
утворене системою мас і яке характеризується в кожній точці вектором сили
тяжіння , що діє в цій точці на одиничну масу;
поле швидкостей потоку рідини, яке описується в кожній точці вектором швидкості
.
Зручною
геометричною характеристикою векторного поля є векторні лінії – криві, в
кожній точці яких вектор напрямлений
по дотичній до кривої. Векторні лінії поля тяжіння, електричного і магнітного
полів називається силовими лініями, а поля швидкостей – лініями струму.
Нехай векторна
лінія, яка проходить через точку , описується
рівнянням , де –
параметр. Умова колінеарності вектора поля і
дотичного вектора в довільній точці цієї лінії
має вигляд
,(1)
де – деяке число. Умову (1) можна записати
також у вигляді
(2)
або, помноживши
на , у вигляді
.(3)
Кожне із рівнянь
(1) – (3) є диференціальним рівнянням векторних ліній у векторній формі і
визначає множину векторних ліній. Конкретна векторна лінія, яка проходить через
задану точку , визначається додатковою умовою
,(4)
де – радіус-вектор точки .
Фізичні векторні
поля не залежать від системи координат: в кожній точці вектор
повністю визначається своїм модулем і напрямом. Якщо в просторі введена
прямокутна система координат , то векторне поле описується
вектор-функцією трьох змінних або трьома
скалярними функціями – її координатами:
.
Оскільки в
прямокутних координатах , то векторне рівняння (3) для векторних ліній
еквівалентне системі диференціальних рівнянь
,(5)
а додаткове
векторне рівняння (4) еквівалентне таким умовам:
,(6)
де – координати точки .
3. Похідна за
напрямом
Скалярне і
векторне поля
і
Називаються диференційованими
разів, якщо функції
диференційовані разів. Надалі розглядатимемо поля, диференційовані
потрібне нам число разів.
Нехай – скалярне поле, задане в області , –
одиничний фіксований вектор; – фіксована точка; – довільна точка із , відмінна від і
така, що вектор колінеарний . Нехай, далі, –
величина напрямленого відрізка (вона дорівнює його
довжині , якщо напрям вектора збігається з напрямом вектора , і дорівнює – ,
якщо вектори і є
протилежними).
Означення. Число називається похідною скалярного поля
(функції ) в точці за
напрямом і позначається символом .
Похідна за
напрямом є швидкістю зміни функції за напрямом в
точці .
Якщо в
прямокутній системі координат , то
.(7)
Зокрема, якщо
вектор збігається з одним із ортів або , то
похідна за напрямком збігається з відповідною частинною
похідною. Наприклад, якщо , то
.
Аналогічно
визначається похідна за напрямом векторного поля.
Означення. Вектор називається похідною векторного поля (вектор-функції ) в точці за напрямом і позначається символом .
Якщо в
прямокутній системі координат , то
.
4. Градієнт
скалярного поля
скалярне
векторне поле дивергенція
Означення. Градієнтом скалярного поля називається вектор-функція
.
Із рівності (7)
випливає, що
,(8)
Звідси , оскільки .
Тут – кут між векторами і в
точці . Очевидно, що має найбільше значення при , тобто у напрямі в даній точці. Інакше кажучи, вектор в даній точці вказує напрям найбільшого
зростання поля (функції ) у цій точці, а є
швидкість зростання функції в цьому напрямі.
Таким чином, вектор не залежить від вибору
системи координат, а його модуль і напрям у кожній точці визначається самою
функцією .
5. Потенціальне
поле
Означення. Векторне поле називається потенціальним в області , якщо воно збігається в
області з полем градієнта деякого скалярного
поля :
.(9)
Функція називається скалярним потенціалом
векторного поля . Якщо , то із рівності (9) випливає, що
.
Інколи
потенціалом векторного поля називають таку
функцію , що .
Розглянемо,
наприклад, поле тяжіння точкової маси ,
розміщеної на початку координат. Воно описується вектор-функцією ( –
гравітаційна стала, ). З такою силою діє це поле
на одиничну масу, розміщену в точці . Поле тяжіння є
потенціальним. Його можна подати у вигляді градієнта скалярної функції , яка називається ньютонівським
потенціалом поля тяжіння точкової маси .
Дійсно
.
Аналогічно , звідси
.
Далі, розглянемо
ще один приклад. Нехай задано електричне поле точкового заряду , розміщеного на початку координат. Воно
описується в точці вектором напруженості
.
Це поле також є
потенціальним полем. Його можна подати у вигляді .
Функція називається потенціалом електричного
поля точкового заряду .
Поверхні рівня
потенціала називаються еквіпотенціальними
поверхнями.
6. Дивергенція
Означення. Дивергенцією векторного
поля називається скалярна функція
.
Слово
«дивергенція» означає «розбіжність».
Розглянемо,
наприклад, електричне поле точкового заряду ,
розміщеного в початку координат:
,
.
Оскільки , і аналогічно ,
то
(при ). Цей результат означає відсутність
поля у довільній точці, крім початку координат. В початку координат .
7. Ротор
Означення.
Ротором (або вихором) векторного поля
називається
вектор-функція
.
Зокрема, для
плоского поля маємо
.
Розглянемо тверде
тіло, яке обертається навколо осі із сталою кутовою
швидкістю (рис. 1).
Рисунок 1 –
Тверде тіло, яке обертається навколо осі
Векторне поле
швидкостей точок цього тіла можна подати у вигляді
.
Знайдемо ротор
поля швидкостей :
.
Таким чином, є сталим вектором, напрямленим уздовж
осі обертання , а його модуль дорівнює
подвоєній кутовій швидкості обертання тіла:
.
Розглянемо
потенціальне поле . Його потенціал . Обчислимо ротор цього поля:
.
Взагалі, ротор
довільного потенціального поля дорівнює нулю (див. підрозділ 2). Тому кажуть,
що потенціальне поле є безвихровим.
8.
Соленоїдальне поле
Векторне поле називається соленоїдальним в області , якщо в цій області . Оскільки характеризує
густину джерел поля , то в тій області, де поле соленоїдальне, немає
джерел цього поля.
Наприклад,
електричне поле точкового заряду
соленоїдальне (задовольняє умову ) всюди поза точкою,
де знаходиться заряд (в цій точці ). Векторні лінії
соленоїдального поля не можуть починатися або закінчуватися на межі області,
або бути замкненими кривими. Прикладом соленоїдального поля з замкненими
векторними лініями є магнітне поле, яке створюється струмом у провіднику.
Якщо векторне
поле можна подати як ротор деякого
векторного поля , тобто , то вектор – функція називається векторним потенціалом поля .
Можна перевірити
(див. докладніше п. 2), що , тобто поле є соленоїдальним.
Довільне векторне
поле можна подати у вигляді суми потенціального і соленоїдального полів.
9. Оператор
Гамільтона
Згадаємо, що
символ називається оператором частинної
похідної по . Під добутком цього оператора на
функцію розумітимемо частинну похідну , тобто .
Аналогічно, і –
оператори частинних похідних по і по .
Введемо векторний
оператор «набла» або оператор Гамільтона:
.
За допомогою
цього символічного (операторного) «вектора» зручно записувати і виконувати
операції векторного аналізу.
У результаті
множення вектора на скалярну функцію отримуємо :
.
Скалярний добуток
вектора на вектор – функцію дає :
.
Векторний добуток
вектора на вектор – функцію дає :
.
10.
Нестаціонарні поля
Нехай в області визначено нестаціонарне скалярне поле : величина є
функцією точки і часу . Приклад такого поля – змінний з часом
розподіл температури в будь-якому середовищі (наприклад, в потоці рідини).
Розглянемо точку , яка рухається в області (частинку рідини). Координати точки
(частинки) змінюються з часом за відомим законом .
Величина в рухомій точці є
складеною функцією :
.
Обчислимо похідну
по цієї функції (вона називається повною
похідною). За правилом диференціювання складеної функції знаходимо
.
Вводячи в точці вектор швидкості , отримуємо
Або
.(11)
Аналогічно, якщо
в області задано нестаціонарне векторне поле , то для рухомої точки векторна величина є складеною функцією : .
Повну похідну по для кожної координати вектор
– функції можна обчислити за формулою (11).
Помноживши результати на базисні вектори і
складаючи, отримуємо
.(12)
У формулах (11) і
(12) доданки і виражають
швидкості зміни величин та з часом при фіксованих координатах,
тобто характеризують локальні зміни цих величин, і тому називаються локальними
похідними. Доданки і утворюються
за рахунок зміни координат точки, її руху (конвекції). Тому ці доданки у
виразах повних похідних називаються конвективними похідними.
Локальні похідні
характеризують нестаціонарність розглянутого поля у даній точці простору.
Конвективні похідні характеризують неоднорідність поля у даний момент часу.