Складність деяких методів експоненціювання точки кривої

Складність деяких методів експоненціювання точки кривої

Найпоширенішою операцією у всіх криптографічних алгоритмах є  - кратне додавання точки , позначуване як

Цю операцію звичайно називають скалярним множенням, або, звертаючись до термінології мультиплікативної групи, експоненціюванням точки кривої.

З метою підвищення продуктивності під час обчислення точки  багатьма авторами запропоновано різні методи. Дамо стислий опис й оцінку складності найпоширеніших з них.

Підхід до розрахунку точки  може відрізнятися залежно від того, чи є точка  фіксованою (заздалегідь відомою) або довільною точкою. У першому випадку завжди можна користуватися передрозрахунками точок, наприклад, , які зберігаються в пам'яті. Двійкове подання числа  дозволяє селектрувати ті з них, які в результаті підсумовування утворять точку . У другому, більш загальному випадку, всі обчислення доводиться проводити в реальному часі.

Нехай порядок  і число  подано у двійковій системі

Розглянемо спочатку основні алгоритми експоненціювання при невідомій заздалегідь точці

експоненціювання алгоритм скалярне множення

Алгоритм подвоєння-додавання

Це найприродніший і найпростіший метод, при якому обчислення здійснюються за формулою

Ці обчислення на основі методу розрахунку ліворуч-праворуч здійснюються за допомогою наступного алгоритму.

Алгоритм 1.

Вхід:

Вихід:

1.

2.

2.1

2.2

3. .

Реалізація методу вимагає  операцій  подвоєння точки й  додавань , де  - вага Хеммінга двійкового вектора  (число одиниць цього вектора). Оскільки в середньому число одиниць випадкового вектора дорівнює , загальне число групових операцій оцінюється величиною

Алгоритм подвоєння-додавання-віднімання

Попередній алгоритм можна вдосконалити, якщо вести додаткову операцію-віднімання точки. Цей метод запропонований в 1990 році Ф. Морейном і Дж. Олівосом. Наприклад, число  у двійковій системі має вага у , але його можна подати як  з вагою  Ця ідея знижує вагу Хеммінга і, відповідно, число групових операцій. Реалізувати алгоритм подвоєння - додавання віднімання можна переходом від двійкового подання числа  до трійкового  з коефіцієнтами   Одне із властивостей подання  - відсутність у ньому суміжних пар ненульових елементів, завдяки чому зростає питома вага нульових елементів . Для розрахунку  використовується наступний алгоритм.

Алгоритм 2.

Вхід: позитивне ціле число

Вихід:

1.

2.

2.1

2.2

2.3

3.

Після розрахунку  обчислюється точка  методом ліворуч-праворуч за допомогою алгоритму 3.

Алгоритм 3.

Вхід:

Вихід:

1.

2.

2.1

2.2

2.3

3. .

-подання числа  може виявитися на один біт більше двійкового. Водночас, для випадкового  ймовірність ненульових елементів  і  знижується від  до , тобто, у середньому, для  - розрядного числа їхня кількість оцінюється величиною . Тоді загальне середнє число групових операцій додавання  й подвоєння  в алгоритмі 3 можна оцінити як суму

Метод вікон з алгоритмом подвоєння - додавання - віднімання

Якщо в криптосистемі є резерви пам'яті, їх можна задіяти для подальшого збільшення швидкості обчислень. Ідея в тому, що замість точки  можна експоненціювати і надалі складати суміжні блоки або вікна шириною  в  - поданні точки

Для цього розраховується за допомогою алгоритму 2 трійкове число , що потім може розбиватися на блоки довжиною, не менше

Назвемо  - вікном числа непарний коефіцієнт  утримуючий хоча б один ненульовий елемент. Зазначимо, що . Наприклад, при  маємо вісім різних значень

Цих вікон достатньо для формування числа  довільної довжини . Зазначимо, що парні коефіцієнти в  - поданні числа  надлишкові, тому що вони утворяться подвоєнням непарних. На першому етапі передрозрахунків розраховуються й записуються на згадку вісім точок:  і

У загальному випадку в пам'яті зберігається  точок. Число  може бути визначене за допомогою модифікованого алгоритму 2. Модифікація полягає в тому, що: на кроці 2.1 замість  необхідно записати , де  означає ціле число , певне в інтервалі . Далі обчислюється точка  згідно з алгоритмом 4.

Алгоритм 4.

Вхід:

Вихід:

1.

2.

3.

3.1

3.2

4. .

Нехай, наприклад, при цьому  й  Використання трійкового  вимагає, мабуть, двох додавань точок, тоді як у другому випадку за рахунок попереднього розрахунку точки  достатньо одного додавання. Число подвоєнь однаково в обох випадках. Зрозуміло також, що виграш за рахунок вікна з'являється лише при порівняно більших довжинах  числа

Перший крок алгоритму 4 у загальному випадку вимагає  групових операцій із точками кривої. На третьому кроці складність обчислень оцінюється середнім числом  групових операцій додавання й подвоєння. Збільшення ширини  вікна веде до збільшення складності обчислень на першому кроці (і об'єму пам'яті) і зниження тимчасової складності на третьому кроці. Для значень  розширення поля порядку 180-260 оптимальним виявляється вікно шириною , а при  - вікно шириною

Метод Монтгомері

Розглянемо метод Монтгомері. Нехай  з Позначимо   Можна перевірити, що

 (1)

Отже, знаючи  - координати точок  й , можна обчислити  координати точок  й , перейти до пари , або до пари .

Кожна така ітерація вимагає одного подвоєння й одного додавання з використанням формули (1).

Після останньої ітерації,  - координата точки  може бути відновлена з  - координати точки  й  - координат точок  і  за формулою

Використовуючи проективні координати, можна позбутися від інвертування, і кожна ітерація вимагатиме шість множень. Усього ж трудомісткість алгоритму 5, що реалізує метод експоненціювання Монтгомері, дорівнює  причому алгоритм не вимагає додаткової пам'яті на зберігання попередньо обчислених змінних, а час його роботи не залежить від значення

Алгоритм 5. Метод експоненціювання Монтгомері.

Вхід:

Вихід:

2.

2.1

3.1

3.2

4.

Алгоритм 5 вимагає однієї інверсії, а не двох, тому що можна обчислити

, а  потім отримати множенням на . Можна домогтися істотного збільшення продуктивності, якщо операцію подвоєння замінити операцією ділення точки на два. Виграш до 40% при цьому досягається у зв'язку з відсутністю операції інверсії елемента в полі. Крім того, групові операції послідовних ділень у НБ зводяться практично до однієї операції множення в полі.

Методи експоненціювання при фіксованій точці

Фіксованою точкою в криптосистемі завжди є генератор або базова точка криптосистеми порядку . Такі точки - це відкриті ключі користувачів. Якщо в системі є резерв пам'яті, його можна використати для зберігання заздалегідь розрахованих точок. Наприклад, якщо обчислити й записати в пам'яті точки , то для визначення скалярного добутку  залишиться лише обчислити суми точок відповідно до двійкового подання . У середньому для цього буде потрібно лише  операцій. Їхнє число можна зменшити до  операцій додавання й віднімання, якщо скористатися трійковим поданням .

Другим досить витонченим підходом є підхід на основі вікон з фіксованою базою. Замість двійкового подання числа використовується -е із передобчислюванням точок . Дійсно, нехай -е подання числа має вигляд

Тоді

де

Ці обчислення здійснюються за допомогою наступного алгоритму.

Алгоритм 6.

Вхід: ширина вікна , ,

Вихід:

1. Передрозрахунки:

2.

3.

3.1

3.2

4.

Середня обчислювальна складність алгоритму оцінюється кількістю додавань :

.

Метод вікон у цьому випадку більше продуктивний, ніж при невідомій точці, тому що передрозрахунки не входять в алгоритм експоненціювання. Якщо використати поряд з додаванням подвоєння точки, реалізувати алгоритм можна інакше. Два вікна точки  шириною  кожне можна подати у вигляді:

;

Всі можливі точки  й  обчислюються на етапі передрозрахунків і записуються на згадку. Загальна кількість цих точок  зростає експоненційно зі збільшенням ширини вікна . Двійкове подання точки  розбивається далі на  фрагментів шириною . У кожному такому фрагменті відбираються старші розряди й розряди зі зрушенням вправо на  (тобто на половину фрагмента).

Їхні двійкові подання дають першу пару точок  й , які складаються, після чого їхня сума подвоюється.

Далі реалізується алгоритм послідовних додавань і подвоєнь праворуч із двома вікнами, описаний нижче.

Алгоритм 7.

Вхід: ширина вікна , ,,

Вихід:

1. Передрозрахунки: обчислити всі точки  й

,

2. Подати число  у вигляді конкатенації фрагментів шириною

 Нехай  означає й біт фрагмента

3.

4.

4.1

4.2

5.

Обчислювальна складність цього алгоритму оцінюється числом групових операцій

Обмінюючи час обчислень на пам'ять, можна й далі підвищувати продуктивність експоненціювання точки кривої. Наприклад, для кожного вікна шириною  можна заздалегідь розрахувати  точок, при цьому на згадку рийдеться записати  точок. Операція подвоєння в цьому випадку не використовується, а складність оцінюється числом додавань. Цей алгоритм назвемо алгоритмом максимальної пам'яті. У табл.13.1 дані для порівняння величини пам'яті  й тимчасової складності  (числа групових операцій) алгоритму 6 й алгоритму максимальної пам'яті при . В обох випадках зі збільшенням ширини вікна збільшується пам'ять і знижується число групових операцій. Очевидно, що останній алгоритм за наявності більших резервів пам'яті дозволяє істотно прискорити операцію експоненціювання фіксованої точки

Таблиця 1 - Об'єм пам'яті й тимчасова складність  (число групових операцій) алгоритму 6 й алгоритму максимальної пам'яті при

 A