Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей
Муниципальное
общеобразовательное учреждение
Средняя
общеобразовательная школа № 4
Секция: математика
ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
по теме
Доказательства неравенств
с помощью одномонотонных последовательностей
Позолотина
Наталья Андреевна, 9б класс,
МОУ
СОШ №4 Центрального района.
224-49-85
Руководитель:
Тропина Наталья Валерьяновна,
кандидат
педагогических наук,
доцент
кафедры математического анализа НГПУ.
(Работа
выполнена в МОУ СОШ №4)
Новосибирск 2008
Содержание
Введение
1. Основные понятия и определения
2. Обоснование метода одномонотонных
последовательностей для случая с произвольным числом переменных
2.1 Доказательство неравенств с
минимальным числом переменных
2.2 Случай с двумя
последовательностями из двух переменных
Упражнения
2.3 Случай с двумя
последовательностями из трех переменных
Упражнения
2.4 Случай с двумя
последовательностями из n переменных
Упражнения
2.5 Случай с n последовательностями
из n переменных
Упражнения
Заключение
Список использованной литературы
Введение
В школьном курсе
математике мы изучали доказательства неравенств в основном двумя способами:
-
сведение к
очевидному с помощью равносильных преобразований;
-
графически
(исследование свойств и построение графиков функции)
Не существует универсального
способа доказательства всех неравенств, и более того, не существует конкретных
указаний для выбора способа доказательства. Поэтому любой новый способ
доказательства неравенств представляет особый интерес.
В данном работе мы
рассмотрим один из таких способов: доказательство неравенств с помощью
одномонотонных последовательностей.
Работа состоит из 2-х
параграфов. В первом параграфе я объясняю основные определения, которые нам понадобятся
для работы. Во втором параграфе находится основная работа с примерами и
упражнениями.
1. Основные понятия и
определения
В данном параграфе мы
рассмотрим основные понятия и определения, которые нам понадобятся для
дальнейшей работы.
Определение 1. Множество
– это совокупность, собрание, набор некоторых объектов по какому – либо общему
для них признаку.
Определение 2. Натуральные
числа N – это целые положительные числа 1,
2, 3, 4, 5,…
Определение 3. Целые
числа Z – это числа 0, +1, +2, +3, +4, +5…:
Z = N -N {0}
Определение 4.
Рациональные числа Q – это числа представимые обычными
дробями в виде , где m є Z , n є N (или
конечными, или бесконечными периодичными дробными).
Определение 5.
Иррациональные числа I –
это числа, представимые бесконечными непериодическими десятичными дробями и
непредставимые в виде .
Определение 6.
Вещественные (действительные) числа R – объединение множества рациональных и иррациональных чисел.
R=Q I
Определения 7.
Неравенство – соотношение между величинами, показывающее, что одна величина
больше или меньше другой.
Например: ,
Известно, что все
неравенства подчиняются определенным свойствам, таким как:
а) a<b, b<ca<c
b) ab, baa=b
c) ab a+cb+c
d) a0 -a0
Определения 8. Доказать
неравенство – установить истинность неравенства.
Неравенства бывают разными:
с одной, двумя и более переменными, со степенями. Ля каждого неравенства
существует свой способ доказательств. Мы рассмотрим еще один способ: через
одномонотонные последовательности.
Определение 9. Следствие
– из двух неравенств одно является следствием другого, если область истинности
второго неравенства содержит в себе область истинности первого неравенства.
Обозначение: f1(x)>f2(x)ц1(x)>ц2(x) – второе неравенство – следствие
первого.
Определение 10. Два
неравенства называются равносильными, если каждое из них является следствием
другого. Иначе это можно сформулировать так: два неравенства считаются
равносильными, если их множества значений переменных, для которых они истинны,
совпадают.
Обозначаются равносильные
неравенства: f1(x)>f2(x)ц1(x)>ц2(x)
Эти определения
аналогичны соответствующим определениям для уравнений. Как и для уравнений,
можно сформулировать утверждения о действиях, преобразующих данное неравенство
в равносильное ему. Такими действиями могут быть:
– прибавление к обеим
частям неравенства одного слагаемого;
– перенос слагаемого с
противоположным знаком из одной части неравенства в другую;
– умножение обеих частей
на положительное число или положительную функцию и т.д.
Следует, однако,
производя эти действия, следить, чтобы не изменилась область допустимых
значений, так как иначе будет нарушена равносильность этих неравенств.
Определение 11. Метода
математической индукции – метод доказательства неравенств, путем схожести доказательств
от самого легкого к самому сложному.
Например, Р(n) – некоторое утверждение, зависимое
от n є N
1)
Проверяем
правдивость Р(1)
2)
Предполагаем, что
P(k) истинно
3)
Доказываем
истинность Р(k+1)
4) Заключаем, что Р(n) истинно для любых n.
Определение 13.
Произведение одномонотонных последовательностей (а1, а2,
…аn), (b 1, b2,…bn), …( d 1, d 2,…, d n) это число вида
= а1b1…d1+а2b2…d2+ …+anbn…dn
2. Обоснование метода
одномонотонных последовательностей для случая с произвольным числом переменных
Данный параграф разбит на
пункты, в которых мы попробуем прийти к самому общему доказательству, для
случая k последовательностей с n числом переменных, с помощью метода
математической индукции.
2.1 Доказательство
неравенств с минимальным числом переменных
а1*b1 – неравенство с минимальным числом переменных. Тогда
= a1b1.
Так как это неравенство
минимальное из всех существующих, то сравнивать с похожим неравенством его
просто невозможно.
2.2Случай с двумя последовательностями
из двух переменных
Если = a1b1. то =а1b1+а2b2
Теорема 1. Пусть (а1а2)(b1b2) –
одномонотонные последовательности. Тогда
Доказательство
Действительно,
– =a1b1+a2b2-a1b2-a2b1 = (a1-a2) (b1-b2)
Так
как последовательности (а1а2)(b1b2)
одномонотонны, то числа a1-a2 и b1-b2
имеют одинаковый знак. Поэтому
(a1-a2)(b1-b2) 0.
Теорема доказана.
Упражнения
Данные ниже упражнения
мы решим с помощью Теоремы 1
Упражнение №1.
Пусть a и b – положительные вещественные числа.
Доказать неравенство
a3 +b3 a2b+b2a.
Доказательство.
Заметим, прежде всего,
что
a3 +b3 =, a2b+b2a =
А так как
последовательности (a2, b2), (a, b) одномонотонны, то
А это значит, что a3 +b3 a2b+b2a.
Что и требовалось
доказать.
Докажем это же
неравенство, но другим способом.
Значит a3 +b3
a2b+b2a.
Что и требовалось доказать.
Мы не можем сказать какой
из методов доказательства решения легче, так как в данном случае оба метода
решения неравенства примерно одинаковые по сложности.
Упражнение №2.
Пусть a и b – положительные вещественные числа.
Доказать неравенство.
а2+b2.
Доказательство.
Заметим, прежде всего,
что
а2+b2 =, ,
А так как
последовательности (),
() одномонотонны, то
.
Что и требовалось
доказать.
2.3 Случай с двумя
последовательностями из трех переменных
Рассмотрим
последовательность (а1,а2,а3) и (b 1,
b2,b3), и запишем в виде таблицы
Если последовательность
(а1,а2,а3)(b1, b2 ,b3) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а1,а2,а3
находиться над наибольшим из чисел b 1,b2,b3, а второе по величине а1,а2,а3
находиться над вторым по величине из чисел b 1,b2,b3 , и где наименьшее из чисел а1,а2,а3
находиться над наименьшим из чисел b 1,b2,b3 то последовательность одномонотонная.
Если =a1b1, и =а1b1+а2b2, то =а1b1+а2b2+a3b3
Для доказательства
следующих теорем нам понадобится одно свойство одномонотонных последовательностей,
которое оформим в виде леммы.
Лемма. Если (а1,
а2, …аn) и (b 1, b2,…bn) одномонотонные последовательности,
то их произведение не изменится при перестановки местами столбцов.
Доказательство.
Рассмотрим
последовательность с двумя переменными из двух переменных.
=а1b1+а2b2.
Заметим, что а1b1+а2b2 = а2b2+ а1b1 по переместительному свойству сложения. Значит, в
самой таблице мы тоже можем переставлять столбцы переменных, при этом сохраняется
одномонотонность последовательности. То есть
=
Теперь рассмотрим
последовательность с двумя последовательностями из трех переменных.
=а1b1+а2b2+a3b3.
Кроме того, что мы можем поменять
переменные по переместительному свойству, а по сочетательному свойству мы можем
объединять некоторые слагаемые, сохраняя одномонотонность последовательности.
То есть
а1b1+а2b2+a3b3= (a3b3+а2b2)+ а1b1 =
Лемма доказана
Теорема 2. Пусть (а1
а2 а3), (b1 b2 b3) – одномонотонные последовательности
и ()(здесь и в дальнейшем) любая перестановка
чисел b1 b2 b3. Тогда
.
Доказательство.
Действительно, если
последовательность отличается
от (b1 b2 b3) то найдется пара чисел k, l (1k<l3) такая, что последовательности (ak, al) и (bk, bl) не одномонотонны. Значит, поменяв
местами числа и , мы увеличим всю сумму, а
значит и всю сумму . То
есть
, так как .
Очевидно, что за конечное
число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную
последовательность.
Теорема доказана
Данные ниже упражнения
мы решим с помощью Теоремы 2
Упражнение №1.
Пусть a и b и c –
положительные вещественные числа.
Докажите неравенство.
a3+b3+c3a2b+b2c+c2a.
Доказательство.
Заметим, прежде всего,
что
a3+b3+c3=, a2b+b2c+c2a =
А так как
последовательности (a2, b2, c2), (a, b , c) одномонотонны, то
.
А это значит, что a3+b3+c3a2b+b2c+c2a.
Что и требовалось
доказать.
Упражнение №2.
Пусть a и b и c –
положительные вещественные числа.
Докажите неравенство.
.
Доказательство.
Заметим, прежде всего,
что
и (a, b, c) и () одномонотонные последовательности, то
,
.
Складывая эти
неравенства, мы получаем
.
Отделим дроби с
одинаковым знаменателем в правой части
.
Вычислив, получаем
.
А это значит, что
Что и требовалось
доказать
2.4 Случай с двумя
последовательностями из n переменных
Рассмотрим одномонотонные
последовательность (а1, а2, …аn) и (b 1, b2,…bn)
Если =a1b1, и =а1b1+а2b2, то =а1b1+а2b2…anbn
Теорема 3. Пусть (а1 а2 … аn), (b1 b2 … bn) – одномонотонные последовательности
и ()перестановка чисел b1
b2 … bn. Тогда
.
Доказательство.
Действительно, если
последовательность ()
отличается от (b1 b2 … bn) то найдется пара чисел k, l (1k<ln)
такая, что последовательности (ak, al) и (bk, bl) не одномонотонны. Значит, поменяв
местами числа и и , мы увеличим всю сумму, а
значит и всю сумму .
То есть
,
так как .
Очевидно, что за конечное
число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную
последовательность.
Теорема доказана.
Следствие.
Для любого nN
верно
.
Доказательство.
Но последовательности (а1
а2 … аn)
и () не являются
одномонотонными, и поэтому мы не можем воспользоваться теоремой 3.
Однако эти
последовательности противомонотонны: числа в последовательностях расположены в
обратном порядке – самому большому по величине соответствует самое маленькое, а
самому маленькому соответствует самое большое. А из противомонотонных
последовательностей сделать одномонотонные очень просто – достаточно все числа
второй линии взять со знаком минус. В данном случае одномонотонными являются
последовательности
(а1 а2
… аn) и ()
Поэтому
Отсюда и следует
искомое неравенство
Следствие
Для любого nN
верно
(Неравенство Чебышева).
Доказательство.
В силу теоремы 3
справедливы следующие n неравенства
Значит
В этих неравенствах левая
часть не изменяется, а в правой части элементы второй строки меняются
циклически.
Складываем все и получаем
Что и требовалось
доказать
Упражнение №1.
Пусть a и b и c –
положительные вещественные числа.
Докажите неравенство.
Доказательство.
Заметим, прежде всего,
что
a3+b3+c3+d3=, a2b+b2c+c2d+d2a =.
А так как
последовательности
(a2, b2, c 2, d3), (a, b , c, d)
одномонотонны, то
.
А это значит, что a3+b3+c3+d3a2b+b2c+c2d+d2a.
Что и требовалось
доказать.
Доказательство этого
неравенства с помощью одномонотонных последовательностей я не могу сравнить с
другим доказательством, так как доказать другим способом это неравенство я не
смогла.
2.5 Случай с n последовательностями из n переменных
Рассмотрим одномонотонные
последовательность (а1, а2, …аn), (b1, b2,…bn), …(d 1, d 2,…, d n).
Если =a1b1, и =а1b1+а2b2, и =а1b1+а2b2…anbn,
то = а1b1…d1+а2b2…d2+ …+anbn…dn
Теорема 4. Рассмотрим
одномонотонные последовательности (а1, а2, …аn), (b 1, b2,…bn), …, (d1, d2,…,dn). Тогда
.
Доказательство.
Действительно, если последовательность
(a1, а2, …аn), (b'1, b'2,…b'n), …, (d'1,
d'2,…,d'n) отличается от (а1, а2, …аn), (b 1, b2,…bn), …, (d1, d2,…,dn), то найдутся переменные k, l (1k<ln)
такие, что последовательности (ak, al) и (bk, bl) …(dk, dl) не одномонотонны. Значит, поменяв
местами числа ,, ak, al … dk, dl мы увеличим всю сумму, а значит и
всю сумму . То
есть
,
так как .
Очевидно, что за конечное
число попарных перестановок элементов n-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.
Теорема доказана.
Пример
Упражнение 1
Пусть а1, а2,
…аn - положительные вещественные числа.
Докажите, что
Это неравенство
называется неравенством Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом.
Докажем его двумя способами
Доказательство.
Перепишем его в виде:
, введя новые переменные
Имеем
Если сравнить эти два
доказательства неравенства, можно заметить, что доказательство с помощью
одномонотонных последовательностей гораздо легче в сравнении с доказательством
Коши.
неравенство одномонотонный последовательность
коши
Заключение
Работая по данной теме, я
узнала новый способ доказательства неравенств, вспомнила уже изученные способы
доказательства неравенств. Все упражнения в работе я решала сама.
Список использованной
литературы
1.
Большой
справочник школьника. 5 – 11 кл. М. Дрофа, 2001 г.
2.
В.В. Зайцев, В.В.
Рыжков, М.И. Сканави. Элементарная математика (повторительный курс). М., Наука.
1976 г.
3.
Р.Б. Алексеев, Л.Д.
Курлядчик. Нетрадиционные способы доказательства традиционных неравенств.
/Математика в школе. 1991 г. №4
4.
Л. Пинтер, Й.
Хегедыш. Упорядоченные наборы чисел и неравенства. /Квант. 1985 г. №12.
/