Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца
Министерство образования и науки республики Казахстан
Северо-Казахстанский государственный
университет
им. М. Козыбаева
Факультет информационных технологий
Кафедра математики
Курсовая работа
"Некоторые интерполяционные свойства конечномерных
сетевых пространств и пространств Лоренца"
Петропавловск, 2007
Аннотация
В данной курсовой работе исследованы свойства некоторых семейств
конечномерных пространств и доказаны интерполяционные теоремы для этих классов
пространств.
Содержание
Введение
1. Основные понятия и некоторые
классические теоремы теории интерполяции
2. Общие свойства
интерполяционных пространств
3. О норме и спектральном радиусе
неотрицательных матриц
4. Некоторые интерполяционные
свойства семейств конечномерных пространств
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Теория интерполяции функциональных пространств как самостоятельная ветвь
функционального анализа сформировалась за последние 40-45 лет. Она играет все
возрастающую роль в анализе и его приложениях. Центральной темой теории является
проблема интерполяции линейных операторов. Эта проблема тесно связана с задачей
построения совокупности "промежуточных" пространств – арены, на
которой действуют "промежуточные" операторы. Основополагающий вклад в
теорию был сделан Эл.-Л. Лионсом, А.П. Кальдероном и С.Г. Крейном. При этом не
следует, конечно, забывать, что исследованием названных авторов предшествовали
(и стимулировали их) классические теоремы Рисса и Марцинкевича об интерполяции
линейных операторов в пространствах lp.
Теория интерполяция также применяется в других областях анализа
(например, в теории уравнений с частными производными, численном анализе,
теории аппроксимации). Рассматривают два существенно различных интерполяционных
метода: метод вещественной интерполяции и метод комплексной интерполяции.
Модельными примерами для этих методов служат доказательства теоремы
Марцинкевича и теоремы Рисса-Торина соответственно. Один из самых ранних
примеров интерполяции линейных операторов был предложен Шуром. Шур
сформулировал свой результат для билинейных форм, или вернее для матриц,
соответствующих этим формам. В 1926 году М. Рисс доказал первую версию теоремы
Рисса-Торина с ограничением p≤q,
которое как он показал, существенно в случае, когда в качестве скаляров берутся
вещественные числа. Основным рабочим инструментом Рисса было неравенство
Гельдера. Но в 1938 году Торин привел совершенно новое доказательство и смог
устранить ограничение p≤q.
В то время как Рисс пользовался вещественными скалярами и неравенством
Гельдера, Торин использовал комплексные скаляры и принцип максимума.
1. Основные понятия и некоторые классические
теоремы теории интерполяции
Пусть (u,μ) –
пространство с мерой μ, которую будем всегда предполагать
положительной. Две рассматриваемые функции будем считать равными, если они
отличаются друг от друга лишь на множестве нулевой μ-меры.
При этом обозначим через lp(u,dμ) или просто (lp(dμ), lp(u) или lp) лебегово пространство всех скалярнозначных μ-измерных функций f и u, для которых величина
конечна, здесь 1≤p<∞.
В случае, когда p=∞, пространство lp состоит из всех μ-измеримых
ограниченных функций. В этом случае
Пусть T - линейное
отображение пространства lp=lp(u,dμ)
в пространство lq=lq(v,dν). Это означает, что T(αf+βg)=αT(f)+βT(g).
Если к тому же T- ограниченное отображение, то
есть если величина конечна, то пишут T: lp®lq.
Число μ называется нормой отображения T. Справедливы
следующие известные теоремы:
Теорема 1.1 (интерполяционная теорема Рисса-Торина)
Предположим, что и
что T: с
нормой μ0 и T : с
нормой μ1.
Тогда T: → с нормой μ, удовлетворяющей
неравенству (*), при условии, что 0<θ<1
и ; .
Неравенство (*) означает, что μ как функция
от θ логарифмически выпукла, то есть lnμ – выпуклая
функция.
Доказательство теоремы приведено в [1].
Для скалярнозначной μ-измерной функции f,
принимающей почти всюду конечные значения, введем функцию распределения m(σ,f) по формуле
Ясно, что m(σ,f)
представляет собой вещественнозначную функцию от σ, определенную на
положительной вещественной полуоси . Очевидно, что m(σ,f) – невозрастающая и
непрерывная справа функция. Кроме того,
при 1≤p<∞
и .
Используя функцию распределения m(σ,f), введем теперь слабые lp-пространства,
обозначаемые через . Пространства , 1≤p<∞,
состоит из всех функций f , таких что
В предельном случае p=∞, положим .
Заметим, что не является нормой при 1≤p<∞.
Действительно, ясно, что
Применяя неравенство , заключаем, что
Последнее означает, что представляет собой
так называемое квазинормированное векторное пространство. (В отличие от
нормированных пространств, где выполняются неравенство треугольника , в квазинормированных пространствах
имеет место лишь "квази-неравенство треугольника" для некоторого k≥1.)
Однако, при p>1 в пространстве можно ввести норму, при наделении
которой оно становится банаховым пространством.
Теорема 1.2 (Интерполяционная теорема Марцинкевича)
Пусть p0≠p1
и
T: с
нормой ,
T: с
нормой .
Положим ; , и допустим, что p≤q.
Тогда T: →, с нормой μ, удовлетворяющей
неравенству .
Эта теорема, напоминает теорему Рисса-Торина, но отличается от нее во
многих важных отношениях.
Во-первых, здесь скаляры могут быть как вещественными, так и
комплексными, в то время как в теореме Рисса-Торина обязательно нужно, чтобы
скаляры были комплексными. Во-вторых здесь имеется ограничение p≤q. Наиболее важная
особенность состоит в том, что в предпосылках теоремы пространства и заменены
на более широкие пространства и .
Таким образом, теорема Марцинкевича может оказаться применимой в тех
случаях, где теорема Рисса-Торина уже не работает.
2. Общие свойства интерполяционных
пространств
Пусть A - векторное
пространство над полем вещественных или комплексных чисел. Оно называется
нормированным векторных пространством, если существует вещественнозначная
функция (норма) , определенная на A, удовлетворяющая условием.
1) , причем
2) (λ-скаляр)
3) .
Пусть A и B – два
нормированных векторных пространства. Отображение T из A в B называется ограниченным
линейным оператором, если
, и .
Ясно, что всякий ограниченный линейный оператор непрерывен.
Пусть A0 и A1
– топологических векторных пространства. Говорят, что
A0 и A1 совместимы,
если существует отделимое топологическое векторное пространство U, такое, что A0 и A1, являются подпространствами. В этом случае
можно образовать сумму A0 + A1, и пересечение A0∩A1. Сумма состоит из всех aU, представимых
в виде a=a0+a1, где a0A, и a1A,
Справедлива следующая лемма
Лемма 2.1. Пусть A0 и A1-совместимые нормированные векторные
пространства. Тогда
A0 + A1,
также представляет собой нормированное векторное пространство с нормой
При этом если A0 и A1
– полные пространства, то A0∩A1 и A0 + A1 также полны.
Дадим некоторые важные определения:
Категория σ состоит из объектов A,B,C…., и морфизмов R,S,T,…. между объектами и морфизмами
определено трехместное отношение T: A↷B.
Если T: A↷B и S: B↷C, то существует морфизм ST,
называемый произведением (или композицией) морфизмов S
и T, такой, что ST: A↷ C.
Операция взятия произведения морфизмов удовлетворяет закону
ассоциативности: T(SR)=(TS)R. далее, для всякого объекта A из σ существует морфизм I=IA, такой, что для любого морфизма T: A↷A TI=IT=T
Через σ1 обозначим категорию всех совместимых пар пространств из σ.
Определение 2.1. Пусть =(A0,A1)-заданная пара из σ1.
Пространство A из σ будем называть промежуточным
между A0 и A1
(или относительно ), если имеют место
непрерывные вложения.
.
Если, кроме, того T: ↷ влечет T: A ↷
A, то A называется
интерполяционным пространством между A0 и A1.
Более общим образом, пусть и - две пары из σ1. Тогда
два пространства A и B из
σ называются интерполяционными относительно и соответственно и T:
↷
влечет T: A↷
B.
Если выполнено
,
В этом случае, говорят, что A и B
равномерные интерполяционные пространства.
Определение 2.2 Интерполяционные пространства A и
B называются пространствами типа θ (0≤θ≤1),
если
В случае с=1 говорят, что A и B - точные интерполяционные пространства типа θ.
3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц
Хорошо известно, что проблема нахождения нормы линейного оператора,
спектрального радиуса оператора являются трудной проблемой и в конечномерном
случае. В то же время, иногда важно не вычисляя нормы оператора знать, как она
изменится в случае некоторого преобразования.
В данной работе изучается влияние распределения ненулевых элементов
неотрицательной матрицы на норму соответствующего оператора и спектрального
радиуса.
Определим пространство как множество всех
наборов вида
a=(a1, a2,…, aN)
с нормой
.
Множество Q={(k,l):k,l=1,…,N} назовем решеткой размерности N x N. Любое множество Q0={(ki,lj): , }
будет являться подрешеткой размерности r x m.
Спектральный радиус линейного оператора в конечномерном пространстве определяется следующим образом:
r(A)=,
где lk-
собственные значения оператора A.
Пусть m ≤ N, d1,…,dm
- положительные числа. Через Dm обозначим
множество неотрицательных матриц А, ненулевые элементы которых принимают
значения d1,…,dm.
Через P(A) обозначим множество
индексов соответствующих положительным элементам. Пусть AÎDm.
Если D={(ki,lj), i=1,…,q, j=1,…,p}
подрешетка, содержащая P(A), то
для соответствующего оператора А
Как видно из этого определения, от перестановки строк и столбцов матрицы
норма не меняется.
Пусть даны положительные числа d1,…,dm и натуральное число m
< N2.
Будем исследовать следующие вопросы:
Как расположить числа d1,…,dm в решетке Q, чтобы
норма линейного оператора AQ соответствующего
решетке (матрице) Q была максимальной?
Пусть в неотрицательной решетке Q m положительных элементов. Как
расположить (m+1)-ый элемент, чтобы норма линейного
оператора AQ соответствующей
полученной решетке была максимальной?
Как расположить числа d1,…,dm в решетке Q, чтобы
спектральный радиус был минимальным (максимальным)?
Справедливы следующие теоремы:
Теорема 3.1 Пусть d1,…,dm положительные числа, Dm - класс неотрицательных матриц, ненулевые элементы
которых принимают значения d1,…,dm. Если m ≤ N, Q0
-произвольная подрешетка размерности 1 m, то
.
Доказательство. Воспользуемся определением и неравенством
Коши-Буняковского, получаем
Неравенство в обратную сторону очевидно.
Теорема доказана.
Данное утверждение говорит о том, что если ненулевых элементов меньше
либо равно N, то своего максимума норма достигается
когда все ненулевые элементы расположены в одной строке или в одном столбце.
Теорема 3.2 Пусть d1=…=dm=d, то есть Dm – множество
всех матриц, имеющие m ненулевых элементов, которые
равны числу d. Q0 -произвольная
решетка, симметричная относительно главной диагонали размерности nn,
где n=min{r:
r2 ≥ m}. Тогда
,
где [m1/2] - целая часть числа m1/2.
Доказательство. Из свойства спектрального радиуса имеем для AÎDm
.
Пусть Q1 -подрешетка, также
симметричная относительно главной диагонали размерности .
Тогда для AÎDm, Q1ÌP(A)ÌQ0 имеет место представление
А=А1+А0, где А1,А0ÎDm,
Р(А1)=Q1, P(A0)ÌQ1\Q0.
Учитывая, что матрицы А0 и А1 неотрицательны,
получаем
,
поэтому r(A0)≤r(A).
С другой стороны А1 – симметричная матрица и следовательно
.
Таким образом,
.
Теорема доказана.
Теорема 3.3 Пусть множество GÌQ, где Q - решетка размерности nn таково, что,
если (k,l)ÎG, то (l,m),(n,k)ÏG для всех n,mÎ{1,2,…,N}.
Тогда, если P(A)ÌG, то r(P(A))=0.
Доказательство. Не трудно проверить, что для матрицы А с ненулевыми
элементами из G (т.е. P(A)ÌG) имеет место равенство А2=0, т.е. А –
нильпотентная матрица индекса 2 и следовательно у нее единственное собственное
значение 0.
Теорема доказана.
Теорема 3.4 Пусть AÎDm.
Пусть Q0 -минимальная подрешетка содержащая P(A), (Q0ÉP(A)) такая, что в каждой строке и в каждом столбце находится
хотя бы один элемент соответствующий нулевому элементу матрицы A.
Доказательство.
Так как норма оператора не зависит от перестановки строк и столбцов
матрицы, то можно считать, что решетка A0={(i,j), i=1,…,l; j=1,…,m}
расположена в левом верхнем углу матрицы A. Пусть
добавлен еще один ненулевой элемент d с координатами (i0,j0) вне
решетки Q0. Возможны три случая:
1)
1 ≤ i0 ≤ l, j0 >
m;
2)
i0 > l, 1 ≤ j0 ≤
m;
3)
i0 > l, j0 > m.
Рассмотрим первый случай. Не уменьшая общности положим, что этот
ненулевой элемент соответствует индексу (1, m+1). По
условию теоремы в каждой строке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой
элемент и мы можем предположить, что a1m=0. Получаем:
Используя неравенства
,
имеем:
Пусть z1=x1,
z2=x2,…,zm= и
,
тогда
где элемент имеет координаты (1,m).
Следовательно
Рассмотрим второй случай. Пусть добавленный ненулевой элемент
соответствует индексу (l+1,1). Учитывая, что в каждой
строке и в каждом столбце решетки есть хотя бы один ненулевой элемент и то, что
от перестановки строк норма матрицы не меняется, мы можем предположить, что al1=0. Аналогично первому случаю имеем:
.
Используя неравенства
,
получаем:
.
Пусть z1=y1,
z2=y2,…,zm= и
,
тогда
где элемент имеет координаты (l,1). Следовательно
Рассмотрим последний случай. Не уменьшая общности положим, что этот
ненулевой элемент соответствует индексу (l+1, m+1). В этом случае нужно учесть, что от перестановки строк и
столбцов норма матрицы не изменится, поэтому можно положить, что alm=0. Рассуждая также, как и в предыдущих
случаях, получаем:
где элемент имеет координаты (l,m).
Теорема доказана. Аналогичные задачи для интегральных операторов были
рассмотрены в работах [1], [5].
4. Некоторые интерполяционные свойства семейств конечномерных пространств
Пусть 1 ≤ p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞. Определим семейство
конечномерных пространств:
где невозрастающая перестановка
последовательности . Обозначим через –множество всех непустых подмножеств из
{1,2,...N} Пусть M , 1 ≤
p < ∞, 1 ≤ q ≤ ∞, множество M назовем
сетью.
Определим семейство конечномерных пространств
|e| - количество элементов множества e.
При q=∞ положим
Данные пространства являются конечномерными аналогами сетевых
пространств, введенных в [1].
Будем говорить что {AN} ↪ {BN} если существует константа c,
такая что для любого , где
c не зависит от .
Лемма 4.1 Пусть 1 ≤ q <q1≤
∞, 1 ≤ p ≤ ∞,
. Тогда имеет место вложение
↪
то есть
где с не зависит от выбора N.
Доказательство. Пусть
(1)
то есть ↪
Теперь рассмотрим случай, когда 1 ≤ q <q1< ∞, и воспользуемся неравенством (1)
Лемма 4.2 Пусть 1≤p<p1<∞,
1≤q,q1≤∞.
Тогда имеем место вложение
↪
Доказательство.
Согласно условию леммы, нам достаточно доказать вложения при p < p1 :
↪
Получаем:
Лемма доказана.
Лемма 4.3 Пусть 1<p<∞, 1≤q≤∞, M= . Тогда
Равенства понимаются с точностью до эквивалентности норм, причем
константы не зависят от.
Доказательство. Сначала докажем соотношение:
(2)
Заметим, что
Поэтому
Теперь покажем обратное неравенство. Пусть .
Учитывая выбор имеем.
~
~
Заметим, что
Согласно (2) получаем:
то есть ↪.
Докажем обратное включение. Пусть Введем
следующие обозначения:
Тогда
.
Пусть для определенности
.
Возможны следующие случаи:
.
В первом случае получаем, что
.
Во втором случае , следовательно . Представим ,
тогда . Здесь и далее -
целая часть числа .
Получаем
Заметим, что существует такое, что
Положим Тогда .
.
Таким образом, получаем
Из того, что
Имеем
То есть . Следовательно ↪ где соответствующие
константы не зависят от N.
Лемма доказана.
Для пары пространств определим
интерполяционные пространства аналогично [5] .
Пусть ,
тогда
где
При q=∞
Лемма 4.4 Пусть , d>1. Тогда
Справедлива следующая
Теорема 4.1 Пусть ≤p0<p1<∞, 1<q0,q1≤∞, M –
произвольная сеть. Тогда
↪
Доказательство.
Учитывая, что ↪нам достаточно, доказать следующее
вложение
↪
Пусть Рассмотрим произвольное
представление a=a0+a1, где
тогда
(3)
Так как представление a=a0+a1 произвольно, то из (3) следует
Где Рассматривая норму элемента в
пространстве и применяя
лемму 4.4 , получаем:
Теорема доказана.
Теорема 4.2 Пусть 1≤p0<p1<∞, 1<q0,q1≤∞, Тогда
имеет место равенство
Это равенство понимается в смысле эквивалентности норм с константами, не
зависящими N.
Доказательство. По теореме 4.1 и того, что является
обобщением пространств Лоренца нам достаточно доказать следующее вложение:
↩
.
Определим элементы и следующим образом
, тогда .
Заметим что
(4)
где
(5)
где
Тогда
Из (4) и (5) имеем:
Оценим отдельно каждое из слагаемых последнего равенства, используя
неравенство Гельдера:
~
где .
Таким образом, получаем, что Аналогично
рассмотрим второе слагаемое:
~
~
~
Таким образом, получаем
где c не зависит от .
Теорема доказана.
Теорема 4.3 Пусть - матрица , тогда
~
Причем соответствующие константы не зависят от
Доказательство.
Воспользуемся эквивалентными представлением нормы и
неравенством о перестановках, получим
~
где - невозрастающая перестановка
последовательности
Применим неравенство Гельдера
Учитывая лемму 3, имеем
Обратно, пусть e произвольное множество из M1, , где
Тогда
В силу произвольности выбора e из M1 получаем требуемый результат.
Следствие. Пусть - матрица
Доказательство. Из теоремы 3 следует, что
Воспользуемся интерполяционными теоремами 1,2, получаем
то есть
С другой стороны по лемме 1 и теореме 3 имеем
,
Следствие доказано.
Заключение
В данной курсовой работе приведены и доказаны некоторые свойства
конечномерных пространств, а именно пространств Лоренца и сетевых пространств.
Полученные результаты могут быть полезны для студентов, магистрантов,
аспирантов и преподавателей. Кроме того, данный материал может быть использован
для чтения спецкурсов и спецсеминаров.
Список использованной литературы
1.
Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир,
1980.
2.
Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных
операторов. М.: Наука, 1965.
3.
Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Об интегральных операторах в
пространствах. Фундаментальная и прикладная математика. Т.5. №2, 1999. С.
475-491.
4.
Костюченко А.Г., Нурсултанов Е.Д. Теория управления катастрофами.
//Успехи математических наук, 1998. Т.53. Выпуск 2.
5.
Нурсултанов Е.Д. Сетевые пространства и неравенства типа Харди-Литтлвуда
//Матем.сборник.-1998.-Т.189, №3.-С.83-102.
6.
Таджигитов А.А. О зависимости нормы матрицы от взаимного расположения ее
элементов. // Материалы Международной научной конференции "Современные
проблемы теории функций и их приложения", Саратов, Россия, 2004, с.
177-178.
7.
Таджигитов А.А. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц.
//Материалы Международной научно-практической конференции "Современные
исследования в астрофизике и физико-математических науках", Петропавловск,
2004, с. 104-107.
8.
Таджигитов А.А. Интерполяционные свойства конечномерных пространств.
//Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов
2005", Астана, 2005, с. 41-42.