Двойные интегралы и дифференциальные уравнения второго порядка
Министерство образования Российской
Федерации
Институт дистанционного образования
ГОУ ВПО « Тюменский государственный
университет »
Контрольная работа
по дисциплине: «Высшая математика»
Тема: «ДВОИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА»
УК (220501.65)/3. сокращенная
Выполнил студент Петренко Н. В.
Нижневартовск 2010
Контрольная работа
Вариант 5
1.
Вычислить
интегралы:
1.1.
где D – прямоугольник 
1.2.
где D – область, ограниченная линиями 
2. Найти общее решение уравнений:
2.1.
2.2.
Решение контрольной
работы.
1. где D – прямоугольник
Построим область D:
Сводя двойной интеграл к
повторному и расставляя пределы, получаем:
Ответ: I=20.
2. где D – область, ограниченная линиями
Построим область D,
которая ограничена ветвью гиперболы у=6/х, расположенной в первой четверти и
прямой у=7-х. Находим точки пересечения: 6/х=7-х; 
, откуда х=1 и х=6. Имеем две точки (1;6) и
(6;1).
Запишем границы области
D: 
Сводя двойной
интеграл к повторному и расставляя пределы, получаем:
=126-72-36-7/2+1/3+6=24-19/6=(144-19)/6=125/6.
Ответ: I=125/6.
3.
Характеристическое
уравнение 
имеет
кратные корни k=2, поэтому общее решение имеет вид: 
.
Ответ: .
4.
Это линейное неоднородное
дифференциальное уравнение (ЛНДУ). Решением ЛНДУ является сумма решений
соответствующего однородного (ЛОДУ) и любого частного решения. Решаем ДУ: у''+y'-2=0.
Характеристическое уравнение 
имеет корни k =-2 и k=1, поэтому общее решение однородного ДУ имеет вид: 
. Частное решение будем
искать в виде: 
.
Дважды дифференцируем последнее: 
. Подставляем в заданное ДУ и приравниваем
коэффициенты:
, откуда В=-3, С=-3, D=-4,5. Запишем
общее решение заданного неоднородного ДУ: 
.
Ответ: .