Типовой расчет
1. Найти сумму ряда:
Решение.
Разложим
знаменатель на множители.
Значит,
Разложим
дробь , используя метод неопределённых
коэффициентов.
то
есть:
, ,
Следовательно,
Тогда,
исходный ряд примет вид:
Найдём
n – первые членов ряда, записывая
дроби с одинаковыми знаменателями друг под другом:
=
=
=
=
=
=
=
=
Сложим
n – первых членов ряда и найдём их
сумму.
.
Тогда
искомая сумма равна:
.
Ответ:
.
2. Найти сумму ряда:
Решение.
Разложим
дробь , используя метод неопределённых коэффициентов.
то
есть:
, , ,
Следовательно,
Тогда,
исходный ряд примет вид:
Найдём
n – первых членов ряда , записывая дроби с одинаковыми
знаменателями, друг под другом:
=
=
=
=
=
=
=
=
Сложим
n – первых членов ряда
и
найдём их сумму.
.
Тогда
искомая сумма равна:
Ответ:
.
3. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Так
как , то рассмотрим ряд
, тогда
Воспользуемся
признаком Даламбера.
,
Тогда,
Ответ:
Ряд сходится.
4. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Преобразуем
n – член этого ряда.
Сравним
ряд с рядом ,
пользуясь предельным признаком сравнения:
,
Тогда,
Поскольку
А = 1 (0<A<+∞) –
действительное число. Следовательно, ряды либо сходятся, либо расходятся. Ряд - является рядом Дирихле. Так как
α = 3 > 1, то данный ряд сходится. Следовательно, и сравниваемый ряд тоже сходится.
Ответ:
ряд сходится.
5. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Воспользуемся
признаком Даламбера.
,
Находим
m по формуле:
Тогда:
Так
как , то ряд расходится.
Ответ:
ряд расходится.
6. Исследовать ряд на сходимость
Решение.
Рассмотрим
ряд
.
Поскольку
при :
Воспользуемся
признаком Даламбера.
,
Находим
m по формуле:
Тогда:
Так
как , то ряд сходится.
Согласно
признаку сравнения сходится и ряд .
Ответ:
ряд сходится.
7. Вычислить сумму ряда с точностью
α..
α. = 0,001.
Решение.
Прежде
чем находить сумму ряда необходимо убедиться, что данный ряд сходится. Проверим
исходный ряд на сходимость.
- числовой знакочередующейся.
Воспользуемся
признаком Лейбница:
1)
2)
Следовательно,
ряд условно сходится.
Проверим
абсолютную сходимость ряда . Рассмотрим ряд .
Воспользуемся
признаком Даламбера:
,
Находим
m по формуле:
Тогда:
Следовательно,
ряд
сходится абсолютно.
Вычисляем
члены ряда с точностью до 4 цифр после запятой до тех пор, пока какой-нибудь
член ряда по модулю не будет меньше α. = 0,001:
а1
=
-1,5 а2 = 0,1042 а3 = - 0,0016 а4 = 0,0000093
Для
приближённого вычисления ряда достаточно первых трех членов ряда (по следствию
признака Лейбница: сумма сходящегося знакопеременного числового ряда не
превышает его первого члена). Следовательно, ошибка при вычислении не превысит
0,0000093, а, значит, и . Требуемая точность
достигнута.
Следовательно:
.
Ответ:
.
8. Найти область сходимости
функционального ряда
Решение.
Рассмотрим
два интервала:
Проверим
необходимый признак сходимости рядов:
Необходимый
признак не выполняется. Следовательно, при ряд расходится.
2)
, то есть
Проверим
необходимый признак сходимости рядов:
Необходимый
признак не выполняется. Следовательно, при ряд
расходится.
При
имеем:
то
есть ряд расходится.
Окончательно,
получаем ряд расходится при любом Х
Ответ:
9. Найти область сходимости
функционального ряда
Решение.
Воспользуемся
признаком Даламбера:
.
В
данном примере:
,
.
Следовательно,
ряд сходится при любом Х, т.е.
Ответ:
.
10. Найти сумму ряда:
Решение.
Найдём
область абсолютной сходимости ряда, пользуясь признаком Даламбера:
то
есть . Ряд сходится для тех значений Х, для
которых , то есть , .
При
ряд расходится, так как .
Следовательно,
.
Перепишем
данный ряд:
Обозначим
сумму трёх рядов через , и соответственно, тогда
.
Определяем
область сходимости этих рядов, пользуясь признаком Даламбера:
1)
:
то
есть . Ряд сходится для тех значений Х, для
которых , то есть , .
Следовательно,
.
2)
:
то
есть . Ряд сходится для тех значений Х, для
которых , то есть , .
Следовательно,
.
3)
:
то
есть . Ряд сходится для тех значений Х, для
которых , то есть , .
Следовательно,
.
Найдём
сумму ряда .
Это
сумма бесконечной геометрической прогрессии: ,
тогда:
.
Найдём
сумму ряда .
.
Обозначим
сумму ряда в скобках за и проинтегрируем:
.
Продифференцируем
:
.
Отсюда:
сумму
ряда .
.
Обозначим
сумму ряд в скобках за и проинтегрируем:
.
Тогда,
продифференцируем :
Отсюда:
.
Следовательно:
для всех .
Ответ:
для всех .