Эрмитовы операторы
Эрмитовы операторы
Содержание
Линейные операторы
Линейные уравнения
Эрмитовы операторы
Линейные
операторы
Пусть M и N — линейные множества. Оператор L, преобразующий элементы множества M в элементы множества N, называется линейным, если для любых элементов f и g из M и
комплексных чисел λ и μ справедливо равенство
L(λ+ μg) = λLf + μLg (1)
При этом
множество M = ML называется областью определения оператора
L. Если Lf = f
при всех f Є M, то оператор L называется тождественным (единичным) оператором.
Единичный оператор будем обозначать через I.
Линейные уравнения
Пусть L — линейный оператор с областью
определения ML . Уравнение
Lu = F (2)
называется
линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или
правой частью), а неизвестный элемент и из ML — решением этого уравнения.
Если в
уравнении (2) свободный член F положить
равным нулю, то полученное уравнение
Lu = 0 (3)
называется
линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).
В силу
линейности оператора L совокупность
решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и
= 0 всегда является решением этого уравнения.
и = ио
+ ŭ.
Отсюда
непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным
в ML, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее
однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в ML . Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое
решение в ML. Обозначим через Rl область значений оператора L, т.е. (линейное) множество элементов вида {Lf}, где f пробегает ML. Тогда для любого F Є Rl уравнение (2) имеет единственное
решение и Є ML , и,
таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из Rl соответствующее решение уравнения (2).
Этот оператор называется обратным оператором к оператору L и обозначается через L-1, так что
и = L-1F. (4)
Оператор
L-1, очевидно, является линейным и
отображает Rl на ML. Непосредственно из определения
оператора L-1, а также из соотношений (2) и (4) вытекает:
L
L-1F = F, F Є Rl ; L-1Lu = u, и Є ML,
т.е. L L-1=I, L-1L = I.
Если
линейный оператор L имеет
обратный L-1, то системы функций {φk} и {Lφk} одновременно линейно независимы. (При этом,
естественно, предполагается, что все φk принадлежат ML.)
Рассмотрим
линейное однородное уравнение
Lu = λu, (5)
где λ — комплексный параметр. Это уравнение
имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из ML. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет
ненулевые решения из ML, называются собственными значениями оператора L, а соответствующие решения — собственными элементами
(функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 ≤ r ≤ ∞, линейно независимых собственных
элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого
собственного значения; если кратность r = 1, то λ
называется простым собственным значением.
Если
кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u1,...,и2 — соответствующие линейно независимые
собственные элементы, то любая их линейная комбинация
u0 = c1u1 + c2u2 + ... + crur
также
является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и
приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если
решение уравнения
Lu = λ u + f (6)
и =
и* +∑сkиk, (7)
где и*
— частное решение (6) и сk, k = l,2,...,r, —
произвольные постоянные.
Эрмитовы операторы
Линейный
оператор L, переводящий MLСL2(G) в L2(G), называется эрмитовым,
если его область определения ML плотна в L2(G) и для любых f и g из Ml справедливо равенство
(Lf,g) = (f,Lg ).
Выражения
(Lf, g) и (Lf, f)
называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными
оператором L.
Для того
чтобы линейный оператор L был
эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (Lf, f), f Є
Ml, где Ml плотна в L2(G), принимала
только вещественные значения.
Линейный
оператор L, переводящий Ml С L2(G) в L2(G),
называется положительным, если Ml плотна в L2(G) и
(Lf, f) ≥ 0, f Є Ml .
В
частности, всякий положительный оператор эрмитов.
Теорема.
Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения
вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным
собственным значениям, ортогональны.
Доказательство. Пусть λ0 — собственное
значение, u0 — соответствующая нормированная собственная функция
эрмитова оператора L, L u0 = λ0u0. Умножая
скалярно это равенство на u0, получим
(Lu0, u0) = (λ0 u0, u0) = λ0 (u0, u0)
λ0|| u0||2
= λ0.
(8)
Но для
эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (Lf, f) принимает только вещественные (неотрицательные)
значения, и, стало быть, в силу (7) λ0 — вещественное
(неотрицательное) число.
Докажем,
что любые собственные функции и1 и и2,
соответствующие различным собственным значениям λ1 и λ2, ортогональны. Действительно, из
соотношений
из
вещественности λ1 и λ2
и из эрмитовости оператора L получаем
цепочку равенств
λ1(и1,и2)
= (λ и1,и2) = (Lи1,и2) = (и1,Lu2) = (и1,λ2и2)
= =λ2(и1,и2),
т.е. λ1(и1,и2)
= λ2(и1,и2). Отсюда,
поскольку λ1 ≠ λ2, вытекает, что скалярное произведение (и1,и2)
равно нулю. Теорема доказана.
Предположим,
что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое
собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения:
λ1,λ2,..., повтори λk столько раз, какова его кратность. Соответствующие
собственные функции обозначим через и1,и2,…
так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна
собственная функция иk:
Luk = λk , иk, k = 1,2,...
Собственные функции,
соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать
ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая
ортонормальная система {φk} состоит из линейно независимых функций. Всякая
система ψ1,ψ2,... линейно
независимых функций из L2(G) преобразуется в ортонормальную систему φ1,φ2,
— следующим процессом ортогонализации
Шмидта:
φ1 = ψ1 /||ψ2 || , φ2
= ψ2 – (ψ2, φ1)
φ1 / || ψ2 – (ψ2, φ1)
φ1 ||
φk = ψk – (ψk, φk-1)φk-1 – … – (ψk,φ1)φ1 / || ψk – (ψk, φk-1)φk-1 – … – – (ψk,φ1)φ1||
При этом опять получаются
собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной
теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Таким
образом, если система собственных функций {ик} эрмитова
оператора L не более чем счетна, то ее можно
выбрать ортонормальной:
(Luk,ui ) = λk(иk,ui) = λkδki
Список
литературы
1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения
математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.
2. Владимиров В. С. Уравнения
математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.
3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.:
Физмат-лит, 2000.