Фактор-группы. Cмежные классы
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ
БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
Математический факультет
Кафедра алгебры и методики
преподавания математики
Курсовая работа
СОДЕРЖАНИЕ
Ведение
1.Основные определения и теоремы
2.Смежные классы
2.1. Правые и левые смежные классы
2.2 Двойные смежные классы
3. Нормальные подгруппы и фактор-группы
3.1 Нормальные подгруппы
3.2 Фактор-группы
Заключение
Список использованных источников
ВВЕДЕНИЕ
Первый значительный
вклад в теорию групп внес Эварист Галуа (1811–1832) при исследовании вопроса о
разрешимости в радикалах алгебраических уравнений. Именно Галуа впервые ввел
понятие группы и попытался выяснить, как они устроены. До него группы в виде
подстановок корней уравнения возникли также в работах Лагранжа (1771), Роффини
(1799) и Абеля (1825).
В 1830–1832 годах
Галуа пришел к понятиям нормальной подгруппы, разрешимой группы, простой группы.
С тех пор многие ученые математики занимались исследованиями в вопросах
связанными с группами, вводили новые понятия, строили свои догадки,
формулировали и доказывали теоремы.
Теория групп – один из
центральных разделов современной алгебры, в настоящее время активно
разрабатываемый в Беларуси в научных школах Минска, Гомеля, Витебска,
Новополоцка, Мозыря.
Понятие группы приобретает в настоящее время все
большее господство над самыми различными разделами математики и ее приложений и
наряду с понятием функции относится к самым фундаментальным понятиям всей
математики.
Понятие группы не труднее понятия функции; его можно
освоить на самых первых ступенях математического образования, тем более что сделать
это можно на материале элементарной математики. Вместе с тем знакомство с этой
теорией кажется одним из самых естественных способов ознакомления с современной
математикой вообще.
Моя цель состоит в том, чтобы разобраться с
начальными понятиями, связанными с группами: фактор-группы, смежные классы,
доказать наиболее важные теоремы, следствия, выделить некоторые свойства.
1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
Рассмотрим некоторое непустое множество G, на котором
определена бинарная алгебраическая операция.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пара (G,*) называется группой, если:
1) операция ассоциативна, т.е. для любых a, b, c ÎG выполняется
a*(b*c)=(a*b)*c;
2) в G существует нейтральный элемент относительно, т.е.
для любого a Î G
найдется такой элемент e ,что выполняется
a*e=e*a=a
3) для любого элемента G существует симметричный
элемент относительно, т.е. для любых a, bÎ G выполняется
a*b=b*a=e;
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Подмножество H группы G называется
подгруппой, если H-группа относительно той же операции, которая определена на G.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Зафиксируем в группе G элемент a.
Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих элемент а, называется циклической
подгруппой, порожденной элементом а, и обозначается áаñ.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Если G совпадает с одной из своих
циклических подгрупп, то G называют циклической группой.
ТЕОРЕМА 1.1. Пусть элемент аÎG имеет конечный порядок k.
Тогда
áаñ ={e,
a, a, … , a}
Кроме того, а= e в точности тогда, когда k делит m.
ТЕОРЕМА 1.2. Все подгруппы бесконечной циклической
группы G = áаñ исчерпываются
единичной подгруппой E={e} и бесконечными подгруппами á аñ
для каждого натурального m.
ТЕОРЕМА 1.3.Все подгруппы конечной циклической группы
áаñ порядка n
исчерпываются циклическими подгруппами á аñ
порядка n/m для каждого натурального m, делящего n.
ТЕОРЕМА 1.4. Непустое подмножество H
группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда hhH и hH.
2. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ
2.1 Правые и левые смежные классы
Пусть G – группа, H – ее подгруппа и gÎG.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.1. Правым смежным
классом группы G по подгруппе H называется множество Hg= {hg | hÎH}
всех элементов группы G вида hg
, где h “пробегает” все элементы подгруппы H.
Аналогично определяется левый смежный класс gH={gh | hÎH}.
ЛЕММА 2.1.1. Пусть G – группа, H
– подгруппа. Тогда справедливы утверждения:
1) H=He;
2) gÎHg для каждого gÎG;
3) если a Î H, то Ha=H; если bÎ Ha , то Hb=Ha;
4) Ha=Hb тогда и только
тогда, когда abÎH;
5) два смежных класса либо совпадают, либо их пересечение пусто;
6) если H – конечная
подгруппа, то | Hg | = | H | для всех gÎG.
Доказательство
Первые три свойства вытекают из определения правого смежного класса
(4) Если Ha = Hb, то ea = hb, hÎH
и ab= hÎH. Обратно, если abÎH, то aÎHb и Ha=Hb по
утверждению 3.
(5) Пусть Ha Ç Hb ≠Æ и c Î Ha Ç Hb. Тогда c=a=b и ab=ÎH. Теперь Ha=Hb по утверждению 4).
(6) Для каждого gÎG
отображение φ: h→hg есть биекция множеств H и Hg. Поэтому | H |
= | Hg |
Ч.т.д.
Из свойств 2) и 5) следует, что каждый элемент группы G
содержится точно в одном правом смежном классе по подгруппе H.
Это свойство позволяет ввести следующее определение.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.2. Пусть H подгруппа группы G. Подмножество T элементов группы G называется
правой трансверсалью подгруппы H в группе G , если T содержит точно один
элемент из каждого правого смежного класса группы G по
подгруппе H .Итак, если T = { | aÎI} –правая трансверсаль подгруппы H в
группе G, то G
= , HÆ при .
Таким образом, справедлива теорема.
ТЕОРЕМА 2.1.1. Если H – подгруппа группы G, то G является подгруппой
непересекающихся правых смежных классов по подгруппе H.
Если G – конечная группа, то число различных
правых смежных классов по подгруппе H также будет
конечно, оно называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается через |G : H|. Ясно, что индекс подгруппы H в
конечной группе G совпадает с числом элементов в правой
трансверсали T подгруппы H,
т.е.
|G : H|=|T|=|G|/|H|
ТЕОРЕМА 2.1.2. (Лагранжа) Если H-подгруппа конечной группы G, то | G | = | H || G : H |. В частности, порядок конечной
группы делится на порядок каждой своей подгруппы.
Доказательство.
Пусть индекс H в группе G равен n . По теореме 2.1.1. имеем
разложение
G=HgHgHg, HgHgÆ при i ≠ j.
| Hg| = |H| для всех i, то | G
| = | H || G : H |
СЛЕДСТВИЕ 2.1.1. Порядок каждого элемента конечной группы делит порядок
всей группы.
Доказательство
Порядок элемента a совпадает с порядком
циклической подгруппы áаñ, порожденный этим
элементом, см. теорему 1.1. Поэтому, | á аñ | = | a | делит | G |.
Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы H
в группе G. Если L={ l | aÎ J } – левая
трансверсаль подгруппы H в группе G,
то
G=lH,
lH Ç lH=Æ при .
Ясно, что индекс подгруппы H в конечной группе G совпадает с числом элементов в левой трансверсали L подгруппы H, т.е. | G : H |=| L
|. Для левой трансверсали справедлив аналог теоремы 2.1.1 .Поэтому из теоремы
Лагранжа имеем
СЛЕДСТВИЕ 2.1.2. Число левых и число правых смежных классов конечной
группы G по подгруппе H совпадают.
ТЕОРЕМА 2.1.3. В группе простого порядка
нет неотрицательных подгрупп. В частности, группа простого порядка циклическая.
Доказательство.
Пусть G – конечная группа простого порядка p. Если H – подгруппа группы G, то по теореме Лагранжа | H | делит
| G |. Поэтому либо | H |=1 и H – единичная подгруппа, либо | H |= p и H совпадает с группой G. Выберем неединичный элемент а в группе G
и рассмотрим циклическую подгруппу áаñ,
порожденную этим элементом. Так как a ≠
e ,то á
аñ ≠ E, поэтому áаñ = G
и G – циклическая группа.
ТЕОРЕМА 2.1.4. Пусть H ≤ K ≤
G и G – конечная группа. Если T – правая трансверсаль подгруппы H в
группе K, а S – правая
трансверсаль подгруппы K в группе G,
то TS – правая трансверсаль подгруппы H
в группе G. В частности, | G : H | = | G : K
|| K : H |.
Доказательство
Пусть
T={t, … ,t}, S={s, … , s}
Тогда
K=Ht. . . Ht, HtHtÆ, i ≠j;
G=Ks. . . Ks, KsKsÆ, i ≠j.
Теперь
G =( Ht. . . Ht)s. . . (
Ht. . . Ht)s. (2.1.1)
Предположим, что HtsHts для некоторых натуральных a,b,c и d. Тогда
ts(ts) = tsstÎH ≤ K,
поэтому
ssÎ tKt = K,
K s=Ks
Но s и s– элементы из правой трансверсали
подгруппы K в группе G, поэтому
s= s и b = d. Теперь
ts(ts) = ttÎH, H t=Ht
и a = c.
Таким образом, формула (2.1.1.) является разложением группы G
по подгруппе H и TS – правая
трансверсаль подгруппы H в группе G.
Так как индекс подгруппы совпадает с числом элементов в правой трансверсали
этой подгруппы, то
|G : H
|=| TS |=| T | | S |=| K : H
|| G : K |
Отметим, что теорема Лагранжа вытекает из теоремы
2.1.4. при H=E.
2.3. Двойные смежные
классы
Пусть H и K – подгруппы группы G и g Î G. Множество
HgK ={
hgk | h Î H, k Î K}
называется двойным смежным классом группы G по подгруппам H и K
ЛЕММА 2.3.1. Пусть H и K –подгруппы группы G. Тогда
справедливы следующие утверждения:
1) Каждый элемент gÎ G содержится в единственном двойном
смежном классе HgK;
2) Два двойных смежных класса по H
и K либо совпадают, либо их пересечение пусто;
3) Группа G есть объединение
непересекающихся двойных смежных классов по подгруппам H
и K;
4) Каждый двойной смежный класс по H
и K есть объединение правых смежных классов по H и левых смежных классов по K;
5) Если группа G конечна, то
двойной смежный класс HgK содержит
| K: H K | правых смежных классов по H и | H : H K|
левых смежных классов по К.
Доказательство.
(1)Так как каждая
подгруппа содержит единичный элемент, то
g=ege Î HgK
Допустим, что gÎHxK. Тогда g=hxk
для некоторых hÎH, kÎK и
HgK=H(hxk)K=HxK.
(2) и (3) следуют из (1)
(4)Так как
HgK= =,
то утверждение (4)
доказано.
Подсчитаем число
правых смежных классов в разложении HgK= по
подгруппе H. Допустим, что Hgk=Hgk. Тогда
Hg kk = Hg и kk Î gHgK=HK
Справедливо и обратное, т.е. если kkÎ HK, то
kkÎ gHg,
g kkÎHg, g kÎHgk
и Hg k= Hgk. Поэтому, в двойном смежном классе HgK правых смежных классов по H
столько, сколько их в группе K по
подгруппе HK.
Аналогично,
Hgk= и hgK=hgK
тогда и только тогда,
когда hhÎHK. Поэтому, в произведении HgK левых смежных классов по K будет
точно столько, каков индекс
|H : H K|
Произведение подгрупп.
При g = e
двойной смежный класс HgK=HK={hk | hÎH , kÎK} превращается в произведение подгрупп H и K . В
общем случае HK не является подгруппой.
Пример:
Найдем разложение
симметрической группы S в
левые смежные классы по подгруппе .
Для этого найдем все
левые смежные классы группы
S={Î,(12),(13),(23),(123),(132)}
по подгруппе H=={Î,(12)}
ÎH = Î{Î, (12)} =
{Î, (12)}
= H,
(12)H =
(12) {Î,
(12)} = {(12), Î}
= H,
(13)H =
(13) {Î,
(12)} = {(13), (123)},
(23)H =
(23) {Î,
(12)} = {(23), (132)},
(123)H =
(123){Î,(12)}
= {(123),(13)} = (13)H,
Искомое разложение принимает вид
S=ÎH (13)
H (23) H.
3. НОРМАЛЬНЫЕ
ПОДГРУППЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ
3.1 Нормальные
подгруппы
Подгруппа H
называется нормальной подгруппой группы G, если xH=Hx
для всех xÎG. Запись H G читается так:
“H – нормальная
подгруппа группы G”. Равенство xH=Hx означает, что
для любого элемента hÎH
существует элемент hÎ H такой, что xh= hx.
ТЕОРЕМА 3.1.1.(Критерий
нормальной подгруппы) Для подгруппы H группы G следующие
утверждения эквивалентны:
1) H –
нормальная подгруппа группы G;
2) Подгруппа H
вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. hÎH для всех hÎH и всех xÎG;
3) Подгруппа H совпадает с
каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. H=H для всех xÎG.
Доказательство.
Доказательство проведем по схеме (1) (2) (3)(4)
(1)
(2). Пусть H
G,
т.е. xH=Hx
для всех xÎG.
Если h — произвольный элемент из H, то hx Hx =
xH. Поэтому существует элемент hH такой, что hx = x h.Теперь xhx =
h H.
(2)
(3). Пусть выполняются требование 2).
Тогда H = {h | h H} Í Í
H для всех x G. В частности, Hx Í H, т.е. xHxÍ H. Теперь
H
Í
xHx =H и H
= H для всех x G.
(3)
(1). Если H= H
для всех x G, то xHx =
H и Hx = xH для всех x G, т.е. H – нормальная подгруппа
группы G.
Ч.т.д.
СЛЕДСТВИЕ
3.1.1.
Если
HG и h H, то hÍ
H. Обратно, если hÍ
H для всех h H, то HG.
Понятие
"нормальная подгруппа" можно рассматривать не только по отношению ко
всей группе, но и относительно подгрупп. Если H £
K £
G, то подгруппа H будет нормальной в K, если xH = Hx для всех x K.
Простая
группа. В каждой группе G тривиальные подгруппы (единичная подгруппа E и сама
группа G) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе G нет
других нормальных подгрупп, то группа G называется простой. Единичную группу E
считают непростой группой.
ТЕОРЕМА
3.1.2. Абелева простая группа является циклической группой простого порядка.
Обратно, каждая группа простого порядка будет простой абелевой группой.
3.2
Фактор-группы
Пусть
H — нормальная подгруппа группы G. Обозначим через совокупность
всех левых смежных классов группы G по подгруппе H, т.е. = ={xH | x Î
G}. Положим
(xH)(yH)
= xyH. (3.2.1)
Проверим,
что это равенство задает алгебраическую операцию на множестве . Если xH = xH, yH
= yH для некоторых x,
y Î G, то x = xh, y = =yg,
h и g Î
H. Поэтому
(xH)(yH) = xyH =
(xh)(yg)H = xy(yhy)gH = xyH,
т.к.
yhy ÎH по теореме 3.1.1.
Таким образом, равенство (3.2.1) не зависит от выбора представителей смежных
классов и каждой паре xH, yH ставится в соответствие единственный элемент xyH.
Ясно,
что предложенная операция (3.2.1) определена на и
ассоциативна. Элемент eH = H будет единичным, а элемент aH — обратным к элементу aH. Таким
образом, доказана следующая.
ТЕОРЕМА
3.2.1. Совокупность = {xH | x Î
G} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией
(xH)(yH)
= xyH
образует
группу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH) = aH.
Группа
называется фактор-группой группы G по
подгруппе H и обозначается через G/H.
Если
H не будет нормальной подгруппой, то равенство (3.2.1.) не будет задавать
алгебраическую операцию, и совокупность левых смежных классов не будет группой.
Очевидно,
что если группа G конечна, то фактор-группа группы G по любой нормальной
подгруппе H также будет конечной группой порядка, равного индексу подгруппы H в
группе G, т.е.
|G/H
|=| G : H |=| G | / | H |
ЛЕММА
3.2.1. Если фактор-группа G/Z(G) циклическая, то группа G абелева.
Доказательство.
Пусть
G/Z(G) = á gZ(G)ñ
циклическая группа и a, b — произвольные элементы группы G. Тогдаa
= gz, b
= gz, z, zÎ
Z(G),
k, l
Î Z
и
ab = gzgz =
ggzz = ggzz =
gzgz = ba
ТЕОРЕМА
3.2.2. Все фактор-группы бесконечной циклической группы á
аñ
исчерпываются бесконечной циклической группой á
аñ
/ E »
á
а ñ
и конечными циклическими группами áaáаñ ñ
порядка m для каждого натурального числа m.
Доказательство.
По
теореме 1.2 все подгруппы бесконечной циклической группы A = áаñ
исчерпываются единичной подгруппой E и бесконечными циклическими подгруппами M
= á
аñ, m Î
N. Так как каждая циклическая группа абелева, то в ней любая подгруппа
нормальна.
Фактор-группа
A/E очевидно будет бесконечной циклической группой, изоморфной A. Так как A =
{a | k Î
Z}, то фактор-группа A/M состоит из смежных классов aM,
k Î Z. Если два смежных класса совпадут aM = aM, то
aÎM
и s - t кратно m. Отсюда следует, что смежные классы M, aM, aM, . , aM попарно
различны. Кроме того, для любого aM Î
A/M имеем:
t = mq
+ r, 0 ≤ r
< m
и
aM
= aaM = aM.
Таким
образом,
A/M = {M, aM, aM, .
. . , aM} = áaMñ,
т.е.
фактор-группа A/M будет конечной циклической группой порядка m.
ТЕОРЕМА
3.2.3. Все фактор-группы конечной циклической группы áañ
порядка n исчерпываются конечными циклическими группами áaáаñ ñ
порядка m для каждого натурального m, делящего n.
Доказательство.
По
теореме 1.3, все подгруппы конечной циклической группы A = áañ
порядка
n исчерпываются циклическими подгруппами M = á
аñ порядка n/m для
каждого натурального m, делящего n. Легко проверить, что
A/M = áaMñ
= {aM, aM, . . . , aM,M},
т.е.
A/M=áaáаñ ñ
будет циклической группой порядка m.
Условимся
через S(G,H) обозначать совокупность всех подгрупп группы G, содержащих
подгруппу H. В частности, S(G,E)=S(G) — совокупность всех подгрупп группы G, а
S(G,G) = {G}.
ТЕОРЕМА
3.2.4.(Теорема о соответствии)
Пусть
H — нормальная подгруппа группы G. Тогда:
1)
если U — подгруппа группы G и H ≤ U, то =
U/H — подгруппа фактор-группы = G/H;
2)
каждая подгруппа фактор-группы = G/H имеет вид = V/H, где V— подгруппа группы G и H £V
;
3)
отображение : U → является
биекцией множества S(G,H) на множество S();
4)
если N Î
S(G,H), то N — нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда N/H –
нормальная подгруппа фактор-группы G/H.
Доказательство.
(1)
Пусть U Î
S(G,H) и пусть ={uH | u Î
U} — совокупность смежных классов группы U по своей нормальной подгруппе H.
Если uH, uH Î
Î, то u, u Î U, а так как U —
подгруппа, то uuÎ
U и uÎ U. Поэтому,
(uH)(uH) = uuH Î , (uH)= u H Î
и
по критерию подгруппы (теорема 1.4) совокупность –
подгруппа группы .
(2)
Пусть — произвольная подгруппа из . Тогда состоит
из некоторых смежных классов группы G по подгруппе H. Обозначим через V
множество всех тех элементов группы G, из которых состоят смежные классы,
принадлежащие , т.е. V = {x Î
G | xH Î
}. Если v, v Î V, то vH, vH Î
, а так как —
подгруппа, то
(vH)( vH) =
v vH Î
и (vH) = v H Î
Следовательно,
v v Î
V и v Î V , т.е. V — подгруппа
группы G. Ясно, что H ≤ Vэ
(3)
Отображение : U → будет
сюръекцией на основании утверждения (2). Докажем, что –
инъекция. Пусть U и V — подгруппы, содержащие H, и предположим, что подгруппы = {uH | u Î
U} и = { vH | v Î
V } совпадают. Тогда для любого элемента u Î U существует элемент v
Î
V такой, что uH = vH. Поэтому vu Î
H ≤ V ∩ U. Теперь u Î V и U ≤ V .
Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно U = V и — инъекция.
(4)
Если N
G,
N Î
S(G,H),
то
(gH) (nH)(gH) = gngH Î
N/H
gngH = (gH) (nH)(gH) Î
и
gngH
ÎN,
значит N G.
Пример:
Найдем все фактор-группы группы S.
Среди
подгрупп группы S со своими сопряженными
совпадают следующие подгруппы: E,
S,
H= (см.
пример выше). По теореме 4.1. эти три подгруппы нормальны в S. Ясно, что S/ S– единичная группа, а S/ E
изоморфна S.Порядок подгруппы H= равен 3, а порядок S/ H
равен 2. Поэтому S/ H
– циклическая группа порядка 2.Смежные классы S по H
исчерпываются классами H
и (12)H. Таким образом, группа
S имеет
три фактор-группы: S/ H S, S/ SE,
S/ H={H,(12)H}=.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Теория групп является одним из самых важных разделов математики, а
понятия фактор-группы и смежных классов – всего лишь маленькая частичка этого
огромного айсберга знаний. В мире все еще существуют нерешенные проблемы теории
групп, разбираясь же в самых простых определениях и теоремах можно прийти к
чему-то большему. Возможно, в недалеком будущем именно мне удастся разрешить
эти вопросы.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Александров,
П.С. Введение в теорию групп /П.С. Александров –М.:Наука, 1980.
2. Богопольский,
О.В. Введение в теорию групп /О.В. Богопольский – М.: Институт компьютерных
исследований, 2002.
3. Монахов, В.С.
Введение в теорию конечных групп и их классов /В.С.Монахов – Мн.:Вышэйшая
школа, 2006.