Фактор-группы. Cмежные классы

Фактор-группы. Cмежные классы

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

Математический факультет

Кафедра алгебры и методики преподавания математики

Курсовая работа

СОДЕРЖАНИЕ

Ведение

1.Основные определения и теоремы

2.Смежные классы

2.1. Правые и левые смежные классы

2.2 Двойные смежные классы

3. Нормальные подгруппы и фактор-группы

3.1 Нормальные подгруппы

3.2 Фактор-группы

Заключение

Список использованных источников

ВВЕДЕНИЕ

Первый значительный вклад в теорию групп внес Эварист Галуа (1811–1832) при исследовании вопроса о разрешимости в радикалах алгебраических уравнений. Именно Галуа впервые ввел понятие группы и попытался выяснить, как они устроены. До него группы в виде подстановок корней уравнения возникли также в работах Лагранжа (1771), Роффини (1799) и Абеля (1825).

В 1830–1832 годах Галуа пришел к понятиям нормальной подгруппы, разрешимой группы, простой группы. С тех пор многие ученые математики занимались исследованиями в вопросах связанными с группами, вводили новые понятия, строили свои догадки, формулировали и доказывали теоремы.

Теория групп – один из центральных разделов современной алгебры, в настоящее время активно разрабатываемый в Беларуси в научных школах Минска, Гомеля, Витебска, Новополоцка, Мозыря.

Понятие группы приобретает в настоящее время все большее господство над самыми различными разделами математики и ее приложений и наряду с понятием функции относится к самым фундаментальным понятиям всей математики.

Понятие группы не труднее понятия функции; его можно освоить на самых первых ступенях математического образования, тем более что сделать это можно на материале элементарной математики. Вместе с тем знакомство с этой теорией кажется одним из самых естественных способов ознакомления с современной математикой вообще.

Моя цель состоит в том, чтобы разобраться с начальными понятиями, связанными с группами: фактор-группы, смежные классы, доказать наиболее важные теоремы, следствия, выделить некоторые свойства.

1.ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ

Рассмотрим некоторое непустое множество G, на котором определена бинарная алгебраическая операция.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Пара (G,*) называется группой, если:

1) операция ассоциативна, т.е. для любых a, b, c ÎG выполняется

a*(b*c)=(a*b)*c;

2) в G существует нейтральный элемент относительно, т.е. для любого a Î G найдется такой элемент e ,что выполняется

a*e=e*a=a

3) для любого элемента G существует симметричный элемент относительно, т.е. для любых a, bÎ G выполняется

a*b=b*a=e;

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Подмножество H группы G называется подгруппой, если H-группа относительно той же операции, которая определена на G.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Зафиксируем в группе G элемент a. Пересечение всех подгрупп группы G, содержащих элемент а, называется циклической подгруппой, порожденной элементом а, и обозначается áаñ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Если G совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то G называют циклической группой.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть элемент аÎG имеет конечный порядок k.

Тогда

áаñ ={e, a, a, … , a}

Кроме того, а= e в точности тогда, когда k делит m.

ТЕОРЕМА 1.2. Все подгруппы бесконечной циклической группы G = áаñ исчерпываются единичной подгруппой E={e} и бесконечными подгруппами á аñ для каждого натурального m.

ТЕОРЕМА 1.3.Все подгруппы конечной циклической группы áаñ порядка n исчерпываются циклическими подгруппами á аñ порядка n/m для каждого натурального m, делящего n.

ТЕОРЕМА 1.4. Непустое подмножество H группы G будет подгруппой тогда и только тогда, когда hhH и hH.

2. СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ

2.1 Правые и левые смежные классы

Пусть G – группа, H – ее подгруппа и gÎG.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.1. Правым смежным классом группы G по подгруппе H называется множество Hg= {hg | hÎH} всех элементов группы G вида hg , где h “пробегает” все элементы подгруппы H.

Аналогично определяется левый смежный класс gH={gh | hÎH}.

ЛЕММА 2.1.1. Пусть G – группа, H – подгруппа. Тогда справедливы утверждения:

1) H=He;

2) gÎHg для каждого gÎG;

3) если a Î H, то Ha=H; если bÎ Ha , то Hb=Ha;

4) Ha=Hb тогда и только тогда, когда abÎH;

5) два смежных класса либо совпадают, либо их пересечение пусто;

6) если H – конечная подгруппа, то | Hg | = | H | для всех gÎG.

Доказательство

Первые три свойства вытекают из определения правого смежного класса

(4) Если Ha = Hb, то ea = hb, hÎH и ab= hÎH. Обратно, если abÎH, то aÎHb и Ha=Hb по утверждению 3.

(5) Пусть Ha Ç Hb ≠Æ и c Î Ha Ç Hb. Тогда c=a=b и ab=ÎH. Теперь Ha=Hb по утверждению 4).

(6) Для каждого gÎG отображение φ: h→hg есть биекция множеств H и Hg. Поэтому | H | = | Hg |

Ч.т.д.

Из свойств 2) и 5) следует, что каждый элемент группы G содержится точно в одном правом смежном классе по подгруппе H. Это свойство позволяет ввести следующее определение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1.2. Пусть H подгруппа группы G. Подмножество T элементов группы G называется правой трансверсалью подгруппы H в группе G , если T содержит точно один элемент из каждого правого смежного класса группы G по подгруппе H .Итак, если T = { | aÎI} –правая трансверсаль подгруппы H в группе G, то G = , HÆ при .

Таким образом, справедлива теорема.

ТЕОРЕМА 2.1.1. Если H – подгруппа группы G, то G является подгруппой непересекающихся правых смежных классов по подгруппе H.

Если G – конечная группа, то число различных правых смежных классов по подгруппе H также будет конечно, оно называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается через |G : H|. Ясно, что индекс подгруппы H в конечной группе G совпадает с числом элементов в правой трансверсали T подгруппы H, т.е.

|G : H|=|T|=|G|/|H|

ТЕОРЕМА 2.1.2. (Лагранжа) Если H-подгруппа конечной группы G, то | G | = | H || G : H |. В частности, порядок конечной группы делится на порядок каждой своей подгруппы.

Доказательство.

Пусть индекс H в группе G равен n . По теореме 2.1.1. имеем разложение

G=HgHgHg, HgHgÆ при i ≠ j.

| Hg| = |H| для всех i, то | G | = | H || G : H |

СЛЕДСТВИЕ 2.1.1. Порядок каждого элемента конечной группы делит порядок всей группы.

Доказательство

Порядок элемента a совпадает с порядком циклической подгруппы áаñ, порожденный этим элементом, см. теорему 1.1. Поэтому, | á аñ | = | a | делит | G |.

Аналогично определяется левая трансверсаль подгруппы H в группе G. Если L={ l | aÎ J } – левая трансверсаль подгруппы H в группе G, то

G=lH, lH Ç lH=Æ при .

Ясно, что индекс подгруппы H в конечной группе G совпадает с числом элементов в левой трансверсали L подгруппы H, т.е. | G : H |=| L |. Для левой трансверсали справедлив аналог теоремы 2.1.1 .Поэтому из теоремы Лагранжа имеем

СЛЕДСТВИЕ 2.1.2. Число левых и число правых смежных классов конечной группы G по подгруппе H совпадают.

ТЕОРЕМА 2.1.3. В группе простого порядка нет неотрицательных подгрупп. В частности, группа простого порядка циклическая.

Доказательство.

Пусть G – конечная группа простого порядка p. Если H – подгруппа группы G, то по теореме Лагранжа | H | делит | G |. Поэтому либо | H |=1 и H – единичная подгруппа, либо | H |= p и H совпадает с группой G. Выберем неединичный элемент а в группе G и рассмотрим циклическую подгруппу áаñ, порожденную этим элементом. Так как a ≠ e ,то á аñ ≠ E, поэтому áаñ = G и G – циклическая группа.

ТЕОРЕМА 2.1.4. Пусть H ≤ K ≤ G и G – конечная группа. Если T – правая трансверсаль подгруппы H в группе K, а S – правая трансверсаль подгруппы K в группе G, то TS – правая трансверсаль подгруппы H в группе G. В частности, | G : H | = | G : K || K : H |.

Доказательство

Пусть

T={t, … ,t}, S={s, … , s}

Тогда

K=Ht. . . Ht, HtHtÆ, i ≠j;

G=Ks. . . Ks, KsKsÆ, i ≠j.

Теперь

G =( Ht. . . Ht)s. . .  ( Ht. . .  Ht)s. (2.1.1)

Предположим, что HtsHts для некоторых натуральных a,b,c и d. Тогда

ts(ts) = tsstÎH ≤ K,

поэтому

ssÎ tKt = K, K s=Ks

Но s и s– элементы из правой трансверсали подгруппы K в группе G, поэтому s= s и b = d. Теперь

ts(ts) = ttÎH, H t=Ht

и a = c. Таким образом, формула (2.1.1.) является разложением группы G по подгруппе H и TS – правая трансверсаль подгруппы H в группе G. Так как индекс подгруппы совпадает с числом элементов в правой трансверсали этой подгруппы, то

|G : H |=| TS |=| T | | S |=| K : H || G : K |

Отметим, что теорема Лагранжа вытекает из теоремы 2.1.4. при H=E.

2.3. Двойные смежные классы

Пусть H и K – подгруппы группы G и g Î G. Множество

HgK ={ hgk | h Î H, k Î K}

называется двойным смежным классом группы G по подгруппам H и K

ЛЕММА 2.3.1. Пусть H и K –подгруппы группы G. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) Каждый элемент gÎ G содержится в единственном двойном смежном классе HgK;

2) Два двойных смежных класса по H и K либо совпадают, либо их пересечение пусто;

3) Группа G есть объединение непересекающихся двойных смежных классов по подгруппам H и K;

4) Каждый двойной смежный класс по H и K есть объединение правых смежных классов по H и левых смежных классов по K;

5) Если группа G конечна, то двойной смежный класс HgK содержит

| K: H K | правых смежных классов по H и | H : H K| левых смежных классов по К.

Доказательство.

(1)Так как каждая подгруппа содержит единичный элемент, то

g=ege Î HgK

Допустим, что gÎHxK. Тогда g=hxk для некоторых hÎH, kÎK и

HgK=H(hxk)K=HxK.

(2) и (3) следуют из (1)

(4)Так как

HgK= =,

то утверждение (4) доказано.

Подсчитаем число правых смежных классов в разложении HgK= по подгруппе H. Допустим, что Hgk=Hgk. Тогда

Hg kk = Hg и kk Î gHgK=HK

Справедливо и обратное, т.е. если kkÎ HK, то

kkÎ gHg, g kkÎHg, g kÎHgk

и Hg k= Hgk. Поэтому, в двойном смежном классе HgK правых смежных классов по H столько, сколько их в группе K по подгруппе HK.

Аналогично,

Hgk= и hgK=hgK

тогда и только тогда, когда hhÎHK. Поэтому, в произведении HgK левых смежных классов по K будет точно столько, каков индекс

|H : H  K|

Произведение подгрупп. При g = e двойной смежный класс HgK=HK={hk | hÎH , kÎK} превращается в произведение подгрупп H и K . В общем случае HK не является подгруппой.

Пример:

Найдем разложение симметрической группы S в левые смежные классы по подгруппе .

Для этого найдем все левые смежные классы группы

S={Î,(12),(13),(23),(123),(132)} по подгруппе H=={Î,(12)}

ÎH = Î{Î, (12)} = {Î, (12)} = H,

(12)H = (12) {Î, (12)} = {(12), Î} = H,

(13)H = (13) {Î, (12)} = {(13), (123)},

(23)H = (23) {Î, (12)} = {(23), (132)},

(123)H = (123){Î,(12)} = {(123),(13)} = (13)H,

Искомое разложение принимает вид

S=ÎH (13) H (23) H.

3. НОРМАЛЬНЫЕ ПОДГРУППЫ И ФАКТОР-ГРУППЫ

3.1 Нормальные подгруппы

Подгруппа H называется нормальной подгруппой группы G, если xH=Hx для всех xÎG. Запись H  G читается так: “H – нормальная подгруппа группы G”. Равенство xH=Hx означает, что для любого элемента hÎH существует элемент hÎ H такой, что xh= hx.

ТЕОРЕМА 3.1.1.(Критерий нормальной подгруппы) Для подгруппы H группы G следующие утверждения эквивалентны:

1) H – нормальная подгруппа группы G;

2) Подгруппа H вместе с каждым своим элементом содержит все ему сопряженные элементы, т.е. hÎH для всех hÎH и всех xÎG;

3) Подгруппа H совпадает с каждой своей сопряженной подгруппой, т.е. H=H для всех xÎG.

Доказательство.

Доказательство проведем по схеме (1)  (2) (3)(4)

(1)  (2). Пусть H  G, т.е. xH=Hx для всех xÎG. Если h — произвольный элемент из H, то hx  Hx = xH. Поэтому существует элемент hH такой, что hx = x h.Теперь xhx = h H.

(2)  (3). Пусть выполняются требование 2). Тогда H = {h | h H} Í Í H для всех x G. В частности, Hx Í H, т.е. xHxÍ H. Теперь

H Í xHx =H и H = H для всех x  G.

(3)  (1). Если H= H для всех x  G, то xHx = H и Hx = xH для всех x G, т.е. H – нормальная подгруппа группы G.

Ч.т.д.

СЛЕДСТВИЕ 3.1.1.

Если HG и h H, то hÍ H. Обратно, если hÍ H для всех h H, то HG.

Понятие "нормальная подгруппа" можно рассматривать не только по отношению ко всей группе, но и относительно подгрупп. Если H £ K £ G, то подгруппа H будет нормальной в K, если xH = Hx для всех x  K.

Простая группа. В каждой группе G тривиальные подгруппы (единичная подгруппа E и сама группа G) являются нормальными подгруппами. Если в неединичной группе G нет других нормальных подгрупп, то группа G называется простой. Единичную группу E считают непростой группой.

ТЕОРЕМА 3.1.2. Абелева простая группа является циклической группой простого порядка. Обратно, каждая группа простого порядка будет простой абелевой группой.

3.2 Фактор-группы

Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы G по подгруппе H, т.е. = ={xH | x Î G}. Положим

(xH)(yH) = xyH. (3.2.1)

Проверим, что это равенство задает алгебраическую операцию на множестве . Если xH = xH, yH = yH для некоторых x, y Î G, то x = xh, y = =yg, h и g Î H. Поэтому

(xH)(yH) = xyH = (xh)(yg)H = xy(yhy)gH = xyH,

т.к. yhy ÎH по теореме 3.1.1. Таким образом, равенство (3.2.1) не зависит от выбора представителей смежных классов и каждой паре xH, yH ставится в соответствие единственный элемент xyH.

Ясно, что предложенная операция (3.2.1) определена на  и ассоциативна. Элемент eH = H будет единичным, а элемент aH — обратным к элементу aH. Таким образом, доказана следующая.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Совокупность  = {xH | x Î G} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией

(xH)(yH) = xyH

образует группу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH) = aH.

Группа  называется фактор-группой группы G по подгруппе H и обозначается через G/H.

Если H не будет нормальной подгруппой, то равенство (3.2.1.) не будет задавать алгебраическую операцию, и совокупность левых смежных классов не будет группой.

Очевидно, что если группа G конечна, то фактор-группа группы G по любой нормальной подгруппе H также будет конечной группой порядка, равного индексу подгруппы H в группе G, т.е.

|G/H |=| G : H |=| G | / | H |

ЛЕММА 3.2.1. Если фактор-группа G/Z(G) циклическая, то группа G абелева.

Доказательство.

Пусть G/Z(G) = á gZ(G)ñ циклическая группа и a, b — произвольные элементы группы G. Тогдаa = gz, b = gz, z, zÎ Z(G), k, l Î Z

и

ab = gzgz = ggzz = ggzz = gzgz = ba

ТЕОРЕМА 3.2.2. Все фактор-группы бесконечной циклической группы á аñ исчерпываются бесконечной циклической группой á аñ / E » á а ñ и конечными циклическими группами áaáаñ ñ порядка m для каждого натурального числа m.

Доказательство.

По теореме 1.2 все подгруппы бесконечной циклической группы A = áаñ исчерпываются единичной подгруппой E и бесконечными циклическими подгруппами M = á аñ, m Î N. Так как каждая циклическая группа абелева, то в ней любая подгруппа нормальна.

Фактор-группа A/E очевидно будет бесконечной циклической группой, изоморфной A. Так как A = {a | k Î Z}, то фактор-группа A/M состоит из смежных классов aM, k Î Z. Если два смежных класса совпадут aM = aM, то aÎM и s - t кратно m. Отсюда следует, что смежные классы M, aM, aM, . , aM попарно различны. Кроме того, для любого aM Î A/M имеем:

t = mq + r, 0 ≤ r < m и aM = aaM = aM.

Таким образом,

A/M = {M, aM, aM, . . . , aM} = áaMñ,

т.е. фактор-группа A/M будет конечной циклической группой порядка m.

ТЕОРЕМА 3.2.3. Все фактор-группы конечной циклической группы áañ порядка n исчерпываются конечными циклическими группами áaáаñ ñ порядка m для каждого натурального m, делящего n.

Доказательство.

По теореме 1.3, все подгруппы конечной циклической группы A = áañ порядка n исчерпываются циклическими подгруппами M = á аñ порядка n/m для каждого натурального m, делящего n. Легко проверить, что

A/M = áaMñ = {aM, aM, . . . , aM,M},

т.е. A/M=áaáаñ ñ будет циклической группой порядка m.

Условимся через S(G,H) обозначать совокупность всех подгрупп группы G, содержащих подгруппу H. В частности, S(G,E)=S(G) — совокупность всех подгрупп группы G, а S(G,G) = {G}.

ТЕОРЕМА 3.2.4.(Теорема о соответствии)

Пусть H — нормальная подгруппа группы G. Тогда:

1) если U — подгруппа группы G и H ≤ U, то  = U/H — подгруппа фактор-группы = G/H;

2) каждая подгруппа фактор-группы  = G/H имеет вид  = V/H, где V— подгруппа группы G и H £V ;

3) отображение  : U →  является биекцией множества S(G,H) на множество S();

4) если N Î S(G,H), то N — нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда N/H – нормальная подгруппа фактор-группы G/H.

Доказательство.

(1) Пусть U Î S(G,H) и пусть  ={uH | u Î U} — совокупность смежных классов группы U по своей нормальной подгруппе H. Если uH, uH Î Î, то u, u Î U, а так как U — подгруппа, то uuÎ U и uÎ U. Поэтому,

(uH)(uH) = uuH Î , (uH)= u H Î

и по критерию подгруппы (теорема 1.4) совокупность – подгруппа группы .

(2) Пусть  — произвольная подгруппа из . Тогда состоит из некоторых смежных классов группы G по подгруппе H. Обозначим через V множество всех тех элементов группы G, из которых состоят смежные классы, принадлежащие  , т.е. V = {x Î G | xH Î  }. Если v, v Î V, то vH, vH Î  , а так как  — подгруппа, то

(vH)( vH) = v vH Î  и (vH) = v H Î

Следовательно, v v Î V и v Î V , т.е. V — подгруппа группы G. Ясно, что H ≤ Vэ

(3) Отображение  : U →  будет сюръекцией на основании утверждения (2). Докажем, что  – инъекция. Пусть U и V — подгруппы, содержащие H, и предположим, что подгруппы  = {uH | u Î U} и  = { vH | v Î V } совпадают. Тогда для любого элемента u Î U существует элемент v Î V такой, что uH = vH. Поэтому vu Î H ≤ V ∩ U. Теперь u Î V и U ≤ V . Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно U = V и  — инъекция.

(4) Если N  G, N Î S(G,H), то

(gH) (nH)(gH) = gngH Î N/H

gngH = (gH) (nH)(gH) Î

и gngH ÎN, значит N G.

Пример: Найдем все фактор-группы группы S.

Среди подгрупп группы S со своими сопряженными совпадают следующие подгруппы: E, S, H= (см. пример выше). По теореме 4.1. эти три подгруппы нормальны в S. Ясно, что S/ S– единичная группа, а S/ E изоморфна S.Порядок подгруппы H= равен 3, а порядок S/ H равен 2. Поэтому S/ H – циклическая группа порядка 2.Смежные классы S по H исчерпываются классами H и (12)H. Таким образом, группа S имеет три фактор-группы: S/ H S, S/ SE, S/ H={H,(12)H}=.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теория групп является одним из самых важных разделов математики, а понятия фактор-группы и смежных классов – всего лишь маленькая частичка этого огромного айсберга знаний. В мире все еще существуют нерешенные проблемы теории групп, разбираясь же в самых простых определениях и теоремах можно прийти к чему-то большему. Возможно, в недалеком будущем именно мне удастся разрешить эти вопросы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Александров, П.С. Введение в теорию групп /П.С. Александров –М.:Наука, 1980.

2. Богопольский, О.В. Введение в теорию групп /О.В. Богопольский – М.: Институт компьютерных исследований, 2002.

3. Монахов, В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов /В.С.Монахов – Мн.:Вышэйшая школа, 2006.